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数学选择性必修第一册4.3 等比数列教学演示ppt课件
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这是一份数学选择性必修第一册4.3 等比数列教学演示ppt课件，共51页。PPT课件主要包含了学习目标，随堂演练，课时对点练，等比数列的概念，内容索引，同一个，解不是等比数列，2an＝n2，课堂小结，基础巩固等内容，欢迎下载使用。
1.通过实例，理解等比数列的概念.2.能根据等比数列的定义判断一个数列是否为等比数列，并能进行 简单的求值.
同学们，看这一张A4纸，大家也可以随便找一张纸，看看能折叠多少次，大约折叠上7次就折不动了吧，我们可以做一个假设，假如十张纸的厚度为1毫米，如果你能折叠50次的话，你就可以沿着它到达太阳了，因为每折一次，它的厚度就会变为原来的两倍，其厚度的变化为0.1毫米，0.2毫米，0.4毫米，0.8毫米，由其厚度产生的一组数，就是我们今天要研究的等比数列.
二、等比数列中的基本计算
三、等比数列的判定与证明
问题 观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题.①我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？”构成数列：9,92,93,94,95,96,97,98.②《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，这句话中隐藏着一列数：
类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？
提示 我们可以通过除法运算探究以上数列的取值规律.
也就是说从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于9；
等比数列的概念一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的 一项的 都等于 常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的 ，通常用字母q表示(q≠0).注意点：(1)定义的符号表示： ＝q(n∈N*且n≥2)或 ＝q(n∈N*)；(2)定义强调“从第二项起”，因为第一项没有前一项；(3)比必须是同一个常数；(4)等比数列中任意一项都不能为0；(5)公比可以为正数、负数，但不能为0.
例1 判断下列数列是否是等比数列，如果是，写出它的公比.
(2)10,10,10,10,10，…；
解 是等比数列，公比为1；
(4)1,0,1,0,1,0，…；
(5)1，－4,16，－64,256，….
解 是等比数列，公比为－4.
反思感悟 判断一个数列是否为等比数列的方法定义法：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列是等比数列，否则，不是等比数列，且等比数列中任意一项不能为0，对于含参的数列需要分类讨论.
跟踪训练1 (多选)以下数列中，不能判定数列是等比数列的有A.数列1,2,6,18，…
解析 A，数列不符合等比数列的定义，不是等比数列；B，前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故不能判定是等比数列；C，当a＝0时，不是等比数列；D，该数列符合等比数列的定义，是等比数列.
例2 (教材144页例2改编)求出下列等比数列中的未知项：(1)4，a,9；
所以a2＝36，所以a＝6或a＝－6.
(2)1，b，c，－8.
所以b＝－2，c＝4.
反思感悟 一般地，如果几个数成等比数列，则按照等比数列的定义构造方程或方程组求值即可，但要注意题目中的要求，比如正项的等比数列或负项的等比数列.特别地，如果三个数a，G，b成等比数列，则我们把G称为a，b的等比中项，即G2＝ab，若G2＝ab，则三个数a，G，b不一定成等比数列，要考虑0的情况，但要注意的是a，b的符号必须相同且非零，其等比中项有两个，且互为相反数.
解析 因为1，a,3成等差数列，1，b,4成等比数列，
解 不一定，比如数列0,0,0，…或1,2,4,5,6,7…，
反思感悟 若一个数列是等比数列，则在任意连续三项中都有＝an·an＋2；反之不能成立，需要考虑特殊情况或任意性.
跟踪训练3 判断下列数列是否为等比数列：(1)an＝2n；
(3)an＝3×2n；
(4)an＝2n＋1.
1.知识清单：(1)等比数列的概念.(2)根据等比数列的定义进行简单的运算.(3)等比数列的判定与证明.2.方法归纳：定义法，方程(组)思想.3.常见误区：由a，G，b成等比数列能推出G2＝ab；但G2＝ab不能推出a，G，b成等比数列.
1.下列数列是等比数列的是A.10,100,1 000,1 000 0B.4,6,9,12 C.－1,0,1,2D.lg 2，lg 3，lg 6，lg 18
解析 A满足等比数列的定义，其余均不满足.
2.(多选)已知a是1,2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab等于A.6 B.－6 C.－12 D.12
∴ab＝±6，故选AB.
3.(多选)下列说法正确的有A.等比数列中的项不能为0B.等比数列的公比的取值范围是RC.若一个常数列是等比数列，则公比为1D.22,42,62,82，…成等比数列
解析 A显然正确；等比数列的公比不能为0，故B错误；C显然正确；
4.若数列an＝3n－1＋a－2是等比数列，则a＝____.
解析 由题意a1＝a－1，a2＝a＋1，a3＝a＋7，所以有(a＋1)2＝(a－1)(a＋7)，解得a＝2.
1.下列数列是等比数列的是A.1,11,111,1111 B.1，－2,4，－8C.1,5,25，－125 D.22,32,42,52
解析 由等比数列的定义可知，只有B满足题意，其余均不是.
2.若2，a,6成等比数列，则a等于
解析 由等比中项的性质可得，a2＝2×6＝12，
3.在等比数列{an}中，a1＝8，a4＝64，则a3等于A.16 B.16或－16C.32 D.32或－32
4.在数列{an}中，若an＋1＝3an，a1＝2，则a4为A.108 B.54 C.36 D.18
解析 因为an＋1＝3an，所以数列{an}是公比为3的等比数列，则a4＝33a1＝54.
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件
6.(多选)在等比数列{an}中，a1＝ ，q＝2，则a4与a8的等比中项为
设a4与a8的等比中项为x，则有x2＝16，所以x＝±4.
7.若{an}为等比数列，且a3＋a4＝4，a2＝2，则公比q＝________.
所以a4＝a3q＝2q2，所以2q2＋2q＝4，即q2＋q－2＝0，解得q＝1或q＝－2.
8.在△ABC中，若sin A，sin B，sin C成公比为 的等比数列，则cs B＝____.
(2)an＝5×32－n；
当且仅当q＝－1时，等号成立；综上所述，a1＋a3的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞).
11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“b2＝ac”是“a，b，c成等比数列”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
解析 因为a，b，c是△ABC的三边，所以a，b，c均不为0，
反之：当a，b，c成等比数列，可得b2＝ac，所以“b2＝ac”是“a，b，c成等比数列”的充要条件.
12.“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话出自《庄子·天下篇》，其意思为“一根一尺长的木棰，每天截取其一半，永远都取不完”.设第一天这根木棰被截取一半剩下a1尺，第二天被截取剩下的一半剩下a2尺，…，第五天被截取剩下的一半剩下a5尺，则 等于A.18 B.20 C.22 D.24
解析 设这根木棰总长为1, 每天截取其一半，剩下的部分记为an，
解析 不等式x2－5x－6<0的解集为{x|－1
解得a＝－4或a＝－1，当a＝－1时，2a＋2＝0,3a＋3＝0，不满足条件.当a＝－4时，等比数列为：－4，－6，－9，…，满足条件.
15.已知在等差数列{an}中，a2＋a4＝16，a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，把各项按如图所示排列.则从上到下第10行，从左到右的第11个数值为________.
解析 设公差为d，由a2＋a4＝16，得a1＋2d＝8，①由a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，得(a2＋1)2＝(a1＋1)(a4＋1)，解得d＝3或d＝0，②当d＝3时，a1＝2，an＝3n－1.由题图可得第10行第11个数为数列{an}中的第92项，a92＝3×92－1＝275.当d＝0时，an＝8，a92＝8.
16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a，b，c成等比数列，且a2－c2＝ac－bc，求∠A的大小及 的值.
1.通过实例，理解等比数列的概念.2.能根据等比数列的定义判断一个数列是否为等比数列，并能进行 简单的求值.
同学们，看这一张A4纸，大家也可以随便找一张纸，看看能折叠多少次，大约折叠上7次就折不动了吧，我们可以做一个假设，假如十张纸的厚度为1毫米，如果你能折叠50次的话，你就可以沿着它到达太阳了，因为每折一次，它的厚度就会变为原来的两倍，其厚度的变化为0.1毫米，0.2毫米，0.4毫米，0.8毫米，由其厚度产生的一组数，就是我们今天要研究的等比数列.
二、等比数列中的基本计算
三、等比数列的判定与证明
问题 观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题.①我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？”构成数列：9,92,93,94,95,96,97,98.②《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，这句话中隐藏着一列数：
类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？
提示 我们可以通过除法运算探究以上数列的取值规律.
也就是说从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于9；
等比数列的概念一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的 一项的 都等于 常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的 ，通常用字母q表示(q≠0).注意点：(1)定义的符号表示： ＝q(n∈N*且n≥2)或 ＝q(n∈N*)；(2)定义强调“从第二项起”，因为第一项没有前一项；(3)比必须是同一个常数；(4)等比数列中任意一项都不能为0；(5)公比可以为正数、负数，但不能为0.
例1 判断下列数列是否是等比数列，如果是，写出它的公比.
(2)10,10,10,10,10，…；
解 是等比数列，公比为1；
(4)1,0,1,0,1,0，…；
(5)1，－4,16，－64,256，….
解 是等比数列，公比为－4.
反思感悟 判断一个数列是否为等比数列的方法定义法：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列是等比数列，否则，不是等比数列，且等比数列中任意一项不能为0，对于含参的数列需要分类讨论.
跟踪训练1 (多选)以下数列中，不能判定数列是等比数列的有A.数列1,2,6,18，…
解析 A，数列不符合等比数列的定义，不是等比数列；B，前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故不能判定是等比数列；C，当a＝0时，不是等比数列；D，该数列符合等比数列的定义，是等比数列.
例2 (教材144页例2改编)求出下列等比数列中的未知项：(1)4，a,9；
所以a2＝36，所以a＝6或a＝－6.
(2)1，b，c，－8.
所以b＝－2，c＝4.
反思感悟 一般地，如果几个数成等比数列，则按照等比数列的定义构造方程或方程组求值即可，但要注意题目中的要求，比如正项的等比数列或负项的等比数列.特别地，如果三个数a，G，b成等比数列，则我们把G称为a，b的等比中项，即G2＝ab，若G2＝ab，则三个数a，G，b不一定成等比数列，要考虑0的情况，但要注意的是a，b的符号必须相同且非零，其等比中项有两个，且互为相反数.
解析 因为1，a,3成等差数列，1，b,4成等比数列，
解 不一定，比如数列0,0,0，…或1,2,4,5,6,7…，
反思感悟 若一个数列是等比数列，则在任意连续三项中都有＝an·an＋2；反之不能成立，需要考虑特殊情况或任意性.
跟踪训练3 判断下列数列是否为等比数列：(1)an＝2n；
(3)an＝3×2n；
(4)an＝2n＋1.
1.知识清单：(1)等比数列的概念.(2)根据等比数列的定义进行简单的运算.(3)等比数列的判定与证明.2.方法归纳：定义法，方程(组)思想.3.常见误区：由a，G，b成等比数列能推出G2＝ab；但G2＝ab不能推出a，G，b成等比数列.
1.下列数列是等比数列的是A.10,100,1 000,1 000 0B.4,6,9,12 C.－1,0,1,2D.lg 2，lg 3，lg 6，lg 18
解析 A满足等比数列的定义，其余均不满足.
2.(多选)已知a是1,2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab等于A.6 B.－6 C.－12 D.12
∴ab＝±6，故选AB.
3.(多选)下列说法正确的有A.等比数列中的项不能为0B.等比数列的公比的取值范围是RC.若一个常数列是等比数列，则公比为1D.22,42,62,82，…成等比数列
解析 A显然正确；等比数列的公比不能为0，故B错误；C显然正确；
4.若数列an＝3n－1＋a－2是等比数列，则a＝____.
解析 由题意a1＝a－1，a2＝a＋1，a3＝a＋7，所以有(a＋1)2＝(a－1)(a＋7)，解得a＝2.
1.下列数列是等比数列的是A.1,11,111,1111 B.1，－2,4，－8C.1,5,25，－125 D.22,32,42,52
解析 由等比数列的定义可知，只有B满足题意，其余均不是.
2.若2，a,6成等比数列，则a等于
解析 由等比中项的性质可得，a2＝2×6＝12，
3.在等比数列{an}中，a1＝8，a4＝64，则a3等于A.16 B.16或－16C.32 D.32或－32
4.在数列{an}中，若an＋1＝3an，a1＝2，则a4为A.108 B.54 C.36 D.18
解析 因为an＋1＝3an，所以数列{an}是公比为3的等比数列，则a4＝33a1＝54.
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件
6.(多选)在等比数列{an}中，a1＝ ，q＝2，则a4与a8的等比中项为
设a4与a8的等比中项为x，则有x2＝16，所以x＝±4.
7.若{an}为等比数列，且a3＋a4＝4，a2＝2，则公比q＝________.
所以a4＝a3q＝2q2，所以2q2＋2q＝4，即q2＋q－2＝0，解得q＝1或q＝－2.
8.在△ABC中，若sin A，sin B，sin C成公比为 的等比数列，则cs B＝____.
(2)an＝5×32－n；
当且仅当q＝－1时，等号成立；综上所述，a1＋a3的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞).
11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“b2＝ac”是“a，b，c成等比数列”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
解析 因为a，b，c是△ABC的三边，所以a，b，c均不为0，
反之：当a，b，c成等比数列，可得b2＝ac，所以“b2＝ac”是“a，b，c成等比数列”的充要条件.
12.“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话出自《庄子·天下篇》，其意思为“一根一尺长的木棰，每天截取其一半，永远都取不完”.设第一天这根木棰被截取一半剩下a1尺，第二天被截取剩下的一半剩下a2尺，…，第五天被截取剩下的一半剩下a5尺，则 等于A.18 B.20 C.22 D.24
解析 设这根木棰总长为1, 每天截取其一半，剩下的部分记为an，
解析 不等式x2－5x－6<0的解集为{x|－1
解得a＝－4或a＝－1，当a＝－1时，2a＋2＝0,3a＋3＝0，不满足条件.当a＝－4时，等比数列为：－4，－6，－9，…，满足条件.
15.已知在等差数列{an}中，a2＋a4＝16，a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，把各项按如图所示排列.则从上到下第10行，从左到右的第11个数值为________.
解析 设公差为d，由a2＋a4＝16，得a1＋2d＝8，①由a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，得(a2＋1)2＝(a1＋1)(a4＋1)，解得d＝3或d＝0，②当d＝3时，a1＝2，an＝3n－1.由题图可得第10行第11个数为数列{an}中的第92项，a92＝3×92－1＝275.当d＝0时，an＝8，a92＝8.
16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a，b，c成等比数列，且a2－c2＝ac－bc，求∠A的大小及 的值.
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