湖北省咸宁市2020-2021学年八年级（下）质检数学试卷（4月份）（含解析）

湖北省咸宁市2020-2021学年八年级（下）质检数学试卷（4月份）

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）

1. 化简的结果是

A.  B.  C.  D.

2. 下列二次根式中：、、、，，最简二次根式的个数为

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

3. 化简二次根式的正确结果是

A.  B.  C.  D.

4. 下列各组数中，是勾股数的是

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

5. 已知、、为的三边，且满足，则是

A. 等边三角形 B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形

6. 如图，在中，，是的中点，过点作的平行线交于点，作的垂线交于点，若，且的面积为，则的长为

A.  B.  C.  D.

7. 如图，长方体的长为，宽为，高为，点离点的距离为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是

A.
B.
C.
D.

8. 如图，平行四边形的对角线与相交于点，于，，，，则的长为

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9. 已知，满足，则 ______ ．
10. 已知，，则的值为______．
11. 如果式子有意义，则的取值范围是______．
12. 如图，▱中，、相交于点，若，，则的周长为______．
     

13. 在平行四边形中，于，于，，，平行四边形的周长为，则平行四边形的面积为______．
     

14. 如图，在平面直角坐标系中，将沿轴向右滚动到的位置，再到的位置依次进行下去，若已知点，，则点的坐标为______．

15. 在平行四边形中，，平分交于点，平分交于点，且，则的长为______．
16. 如图直角三角形中，，于点，平分交于点、交于点，交于点，于，以下个结论：；是等边三角形；；中正确的是______ 将正确结论的序号填空．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）

17. 计算：
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     
18. 先化简，再求值：，其中．
    
    
    
    
    
    
     
19. 已知实数，，在数轴上的位置如图所示，化简．
    
    
    
    
    
    
     
20. 如图，在中，，，，求边上的高．
    
     

21. 在▱中，，分别是，上的点，且，连接，，
    ．
    求证：四边形是平行四边形；
    若平分，，，，求的长．

22. 如图，在中，，是边上的中线，是上一点，且．
    求证：．
    若，，求的周长．
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，在▱中，，的平分线，分别与线段交于点，，与交于点．
    求证：，．
    若，，，求和的长度．
    
    
    
    
    
    
     
24. 如图，已知中，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒．
    
    出发秒后，求的长；
    当点在边上运动时，出发几秒钟后，能形成等腰三角形？
    当点在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：．
故选：．
直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的乘法，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

2.【答案】
 

【解析】解：最简二次根式有，共个，
故选：．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了最简二次根式的定义，能熟记定义是解此题的关键，注意：最简二次根式具备以下两个条件：被开方数不含有分母，被开方数的每个因式的指数都小于根指数．
 

3.【答案】
 

【解析】解：根据代数式有意义得：，，
，
原式


．
故选：．
根据分母不等于和被开方数大于等于，得到是负数，然后化简即可．
本题考查了二次根式，解题的关键是根据代数式有意义得到是负数．
 

4.【答案】
 

【解析】解：，不是整数，不是勾股数，不符合题意；
B.不是整数，不是勾股数，不符合题意；
C.，是勾股数，符合题意；
D.，不是整数，不是勾股数，不符合题意；
故选：．
欲判断是否为勾股数，必须根据两小边的平方和是否等于最长边的平方，从而得出答案．
此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形．
 

5.【答案】
 

【解析】解：，
，或，
即或，
的形状为等腰三角形或直角三角形．
故选：．
由，可得：，或，进而可得或，进而判断的形状．
此题考查了利用边判断三角形的形状，有两边相等的三角形是等腰三角形，满足的三角形是直角三角形．
 

6.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了三角形中位线定理，三角形的面积的计算，勾股定理，平行线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
过作于，根据已知条件得到，求得，求得，根据三角形的面积公式得到，得到，求得负值舍去，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】
解：过作于，

是的中点，
，
，
，
，
，
，，
，
，
的面积为，
，
，
，
，
，
，
，
负值舍去，
，
．
故选：．  

7.【答案】
 

【解析】解：如图：；

；

．

所以需要爬行的最短距离是，
故选：．
要求正方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．
本题主要考查两点之间线段最短，关键是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．
 

8.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理的逆定理和平行四边形的性质，能得出是直角三角形是解此题的关键．
由勾股定理的逆定理可判定是直角三角形，所以平行四边形的面积即可求出．
【解答】
解：，，四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
在中，，，
，
，
故选：．  

9.【答案】
 

【解析】解：由题意的，，，
解得，
则，
则，
故答案为：．
根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，求出的值，代入原式求出的值，计算即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
先把、的值分母有理化达到化简的目的，再把写成的形式，代入即可．
此题考查分母有理化和代数式求值，注意把代数式变形，可使运算简便．
 

11.【答案】且
 

【解析】解：式子有意义，
，
解得且．
故答案为：且．
根据被开方数大于等于，分母不等于列式求解即可．
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为；二次根式的被开方数是非负数．
 

12.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查平行四边形的性质．三角形的周长等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
根据平行四边形的性质，三角形周长的定义即可解决问题．
【解答】
解：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
的周长，
故答案为．  

13.【答案】
 

【解析】解：平行四边形的周长为，
，
设为，，
，
解得，
平行四边形的面积为．
故答案为．
由平行四边形的对边相等可得一组对边的和为，设为未知数，利用两种方法得到的平行四边形的面积相等，可得长，乘以即为平行四边形的面积．
本题主要考查了平行四边形的性质，平行四边形的对边相等，面积等于底高．
 

14.【答案】
 

【解析】解：，
点，，
根据勾股定理，得
，
根据旋转可知：
，
所以点，；
继续旋转得，
，；
，

发现规律：
，．
所以点 的坐标为．
故答案为．
根据点，得，再根据旋转的过程寻找规律即可求解．
本题考查了规律型：点的坐标，解决本题的关键是灵活运用旋转的知识．
 

15.【答案】或
 

【解析】解：如图，在▱中，，，，，
，，
平分交于点，平分交于点，
，，
，，
，，
，
，
；
在▱中，，，，，
，，
平分交于点，平分交于点，
，，
，，
，，
，
，
；
综上所述：的长为或．
故答案为：或．
根据平行线的性质得到，由平分，得到，等量代换得到，根据等腰三角形的判定得到，同理，根据已知条件得到四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，，即可得到结论．
本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行四边形的性质，解答本题的关键是判断出．
 

16.【答案】
 

【解析】解：如图，连接，

，
，
，
，
，
，故正确；
，
，，
平分，
，
，
，
，
是等腰三角形，故错误；
平分，，，
，
在和中，
，
≌，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，故正确；
，，
四边形是平行四边形，
，
，
故正确．
所以正确的是．
故答案为：．
过作交于，得出平行四边形，推出，求出，得出，证≌，推出，即可得出答案．
本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力，有一定的难度．
 

17.【答案】解：解：原式
；
原式
．
 

【解析】利用二次根式的性质化简，然后进行有理数的加减运算；
利用二次根式的性质、绝对值的意义和二次根式的除法法则运算．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
 

18.【答案】解：原式

，
当时，
原式

．
 

【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算可得．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
 

19.【答案】解：如图所示：，，，，
则原式
．
 

【解析】直接利用数轴判断得出：，，，，进而化简即可．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出各部分符号是解题关键．
 

20.【答案】解：设，则，
依题意有，
解得，
在中，．
故BC边上的高为．
 

【解析】设，则，依题意有，求得，再根据勾股定理求得．
考查了勾股定理，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，本题关键是求出的长．
 

21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
在和中，
≌，
，
，，
，
四边形是平行四边形；
解：
，
，
平分，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，
，
，
，
．
 

【解析】根据平行四边形的性质得到，，根据全等三角形的性质和平行四边形的判定定理即可得到结论；
根据平行线的性质和角平分线的定义得到，求得，根据勾股定理的逆定理和勾股定理即可得到结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理，矩形的性质和判定的应用，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
 

22.【答案】证明：，是边上的中线，
，
，
，
，
；

解：，是边上的中线，
，，
，
，
，
，
，
，
的周长为：．
 

【解析】由等腰三角形的性质可得平分，再利用可得出，从而可得出，即可得出结论；
由等腰三角形的性质可得，由，根据等角的余角相等可得，从而可得出，利用勾股定理求出，即可得出的周长．
本题主要考查等腰三角形的性质，平行线的判定，直角三角形斜边上的中线，利用等腰三角形三线合一的性质是解题的关键．
 

23.【答案】证明：在平行四边形中，，
，
，分别是，的平分线，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
又，
，
，
同理可得，
；
解：过点作交于，交于点，

，，
四边形是平行四边形，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
由得，
，
，
．
 

【解析】根据平行四边形的性质和平行线的性质得到；然后根据角平分线的性质推知，即证得，由等腰三角形的判定可得出，同理可得，则可得出结论；
过点作交于，交于点，证明四边形是平行四边形，，得出，由勾股定理求出，即可求出；由得，根据线段的和差即可求出．
本题考查了平行四边形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 

24.【答案】解：， ，，
；
，，
根据题意得：，
解得：，
即出发秒钟后，能形成等腰三角形；
已知中，，，，
勾股定理求得
当时，如图所示，
则，
，
．
，
，
，
，
，
秒．
当时，如图所示，
则，
秒．
当时，如图所示，
过点作于点，
则，
，
，
，
秒．
综上所述：当为秒或秒或秒时，为等腰三角形．
 

【解析】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质，注意分类讨论思想的应用．
根据点、的运动速度求出，再求出和，用勾股定理求得即可；设出发秒钟后，能形成等腰三角形，则，由，，列式求得即可；
当点在边上运动时，能使成为等腰三角形的运动时间有三种情况：
当时，则，可证明，则，则，从而求得；
当时，则，易求得；
当时，过点作于点，则求出，，即可得出．