数学必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示教学设计

6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示

(人教A版普通高中教科书数学必修第二册第六章)

一、教学目标

1. 借助平面直角坐标系，理解平面向量的正交分解.

2.掌握平面向量的坐标表示.

二、教学重难点

1.教学重点：对平面向量正交分解及坐标表示的理解.

2.教学难点：平面向量的坐标表示.

三、教学过程

1.复习引入

问题1：什么是平面向量基本定理？

【答案预设】如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向量，有且只有一对实数，使。我们把不共线向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

【设计意图】引导学生从本质上认识平面向量基本定理的实质就是把向量分解为两个不共线的向量之和.特殊地，互相垂直时一种特殊分解，会为我们带来方便.例如，在物理中，重力能分解成两个方向的力，互相垂直，这就是力的正交分解.

引出正交分解的概念，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做正交分解．

2.问题探究，形成概念

问题2：我们知道，在平面直角坐标系中，每一点都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示.那么，如何表示直角坐标平面内的一个向量呢?

【预设答案】

（1）建立直角坐标系，选x,y轴方向上的单位向量 作为基底；

（2）作平面内的任意一个向量，以为基底，根据平面向量基本定理，分解向量；

（3）这样，平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把有序数对 (x，y) 叫做向量的坐标，记作.

其中，x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，叫做向量的坐标表示.

【设计意图】借助平面直角坐标系，引导学生理解平面向量的正交分解及坐标表示.

3.    概念深化

思考1：在平面直角坐标系中，向量的坐标是什么含义？？

思考2：你能写出向量的坐标表示吗？

思考3：实数对“（0，1）”表示什么意思？

【活动预设】

（1）以x、y轴方向上的单位向量为基底，分解后的系数所对应的实数对(x,y)

（2）.

（3）点A（0，1），区间（0，1），向量＝（0，1），如果不作说明则指向不明.

【设计意图】引导学生对向量坐标表示概念进行深入理解.

4.    平面向量坐标与点得坐标的联系

问题3： 如图，以O为起点作向量 ，则的坐标与点A的坐标有何联系？

【活动预设】

设，则向量的坐标 (x，y) 就是终点A的坐标；

反过来，终点A的坐标 (x，y) 也就是向量的坐标.

因为，所以终点A的坐标 (x，y) 就是向量的坐标.

所以，如果向量的起点在原点，则终点的坐标就是向量的坐标.这就建立了点的坐标与向量坐标之间的联系.

【设计意图】理解平面直角坐标系中，向量的坐标与点的坐标之间的联系.

5.初步应用，理解概念

例：如图，分别用基底表示向量，并求出它们的坐标.

【预设的答案】

方法1：由图可知，，所以.

同理，，，

.

方法2：作

易得点M的坐标为(2,3),则

因为点M与N关于y轴对称，与点P关于原点对称，与Q点关于x轴对称

则N(-2,3),P(-2,-3),Q(2,-3),

同理，，，.

【设计意图】

（1）加深对向量坐标表示的理解；

（2）向量坐标与点坐标联系的应用.

5.归纳小结

思考：1.你对平面向量的坐标表示如何理解？

      2.平面向量的坐标与点的坐标有什么联系？

【设计意图】总结本节课学习的重点内容.

四、课外作业

1.设是平面直角坐标系内分别与轴，轴正方向相同的两个单位向量，为坐标原点，

若＝，＝，则2＋的坐标是(　　)

A．          B．          C．          D．

2.设是平面直角坐标系内分别与轴，轴正方向相同的两个单位向量，且A(2,3)，B(4,2)，则可以表示为(　　)

A．        B．          C．      D．

【预设答案】1.D   2.C

【设计意图】巩固本节课学习的重点内容.