高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示教学设计及反思

课程目标

学科素养

A.会把向量正交分解；

B.会用坐标表示向量；

1.数学抽象：向量的正交分解；

2.逻辑推理：将一向量分解为两个垂直的向量；

3.数学运算：求向量的坐标；

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、复习回顾，温故知新

平面向量基本定理：

如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使。

 我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底。

二、探索新知

1.平面向量的正交分解：

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解。

思考1：我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数对（即它的坐标）表示，那么，如何表示坐标平面内的一个向量呢？

【解析】在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个不共线向量i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y使得a＝xi+yj，则把有序数对（x，y），叫做向量a的坐标．记作a＝（x，y），此式叫做向量的坐标表示．

  作向量，设，所以。

【结论】向量的起点为原点时，向量的坐标与向量终点的坐标一致。

两向量相等时，坐标一样。

例1．如图，用基底 i , j 分别表示向量a,b,c,d,并求出它们的坐标

【解析】:由图可知,a=+=xi+yj,

∴a=(2,3).

同理,b=-2i+3j=(-2,3);

c=-2i-3j=(-2,-3);

d=2i-3j=(2,-3).[来源:学*科*网Z*X*X*K]

通过复习上节所学平面向量基本定理，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。

通过思考，建立点的坐标和向量坐标之间的关系，提高学生分析问题、概括能力。

通过例题练习向量的坐标表示，提高学生解决问题的能力。

三、达标检测

1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．(　　)

(2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．(　　)

(3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关．(　　)

(4)点的坐标与向量的坐标相同．(　　)

【答案】　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×

【解析】　(1)错误．对于同一个向量，无论位置在哪里，坐标都一样．

(2)正确．根据向量的坐标表示，当始点在原点时，终点与始点坐标之差等于终点坐标．

(3)错误．根据两向量差的运算，两向量差的坐标与两向量的顺序有关．

(4)错误．当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标等于(终)点的坐标．

2.如图，在正方形ABCD中，O为中心，且＝(－1，－1)，则＝________；________.

【解析】因为＝(－1，－1)，

由正方形的对称性可知，B(1，－1)，所以＝(1，－1)，

同理＝(－1，1)．

3.如图，已知在边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角，求点B和点D的坐标和与的坐标．

【解析】由题意知B, D分别是30°，120°角的终边与以点O为圆心的单位圆的交点．设B(x1，y1)，D(x2，y2)．由三角函数的定义，

得x1＝cos30°＝，y1＝sin30°＝，

所以B.

x2＝cos120°＝－，

y2＝sin120°＝，

所以D.

所以＝，＝.

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。

四、小结

1. 向量的正交分解；

2.向量的坐标表示；

五、作业

预习下一节。

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。