2022年中考数学复习之小题狂练450题（解答题）：二次函数（含答案）

这是一份2022年中考数学复习之小题狂练450题（解答题）：二次函数（含答案），共30页。试卷主要包含了x﹣2a+1与y轴交于点A，，点P为x轴上一动点，之间的函数关系如图中抛物线所示，，它的对称轴为直线l等内容，欢迎下载使用。
2022年中考数学复习之小题狂练450题（解答题）：二次函数
一．解答题（共10小题）
1．（2021•牡丹江）抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0）和点C（0，3）．
（1）求此抛物线所对应的函数解析式，并直接写出顶点D的坐标；
（2）若过顶点D的直线将△ACD的面积分为1：2两部分，并与x轴交于点Q，则点Q的坐标为 ．
注：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标（﹣）

2．（2021•嘉兴）已知二次函数y＝﹣x2+6x﹣5．
（1）求二次函数图象的顶点坐标；
（2）当1≤x≤4时，函数的最大值和最小值分别为多少？
（3）当t≤x≤t+3时，函数的最大值为m，最小值为n，若m﹣n＝3，求t的值．
3．（2021•湘潭）如图，一次函数y＝x﹣图象与坐标轴交于点A、B，二次函数y＝x2+bx+c图象过A、B两点．
（1）求二次函数解析式；
（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

4．（2021•甘肃模拟）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2）．B（2，2），抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣2与直线x＝﹣2交于点P．
（1）用含m的代数式表示抛物线的对称轴及顶点坐标；
（2）设点P的纵坐标为yp，求yp的最小值；此时抛物线上有两点（x1，y1）（x2，y2），且x1＜x2≤﹣2．比较y1与y2的大小；
（3）当抛物线与线段AB有公共点时，请求出m的取值范围．
5．（2021•抚顺）某厂家生产一批遮阳伞，每个遮阳伞的成本价是20元，试销售时发现：遮阳伞每天的销售量y（个）与销售单价x（元）之间是一次函数关系，当销售单价为28元时，每天的销售量为260个；当销售单价为30元时，每天的销售量为240个．
（1）求遮阳伞每天的销出量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）设遮阳伞每天的销售利润为w（元），当销售单价定为多少元时，才能使每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
6．（2021•五峰县模拟）抛物线y＝x2+（a﹣3）x﹣2a+1与y轴交于点A．
（1）若抛物线y＝x2+（a﹣3）x﹣2a+1经过坐标原点时，求该抛物线的解析式．
（2）求证：抛物线与x轴一定有两个交点．
（3）无论a为何值时，抛物线都经过定点P，求出P点的坐标．
（4）若线段AP与双曲线仅有一个交点时：
①求a的取值范围．
②求抛物线y＝x2+（a﹣3）x﹣2a+1的顶点D与x轴距离的最大值．

7．（2021•兰州）如图1，二次函数y＝a（x+3）（x﹣4）图象交坐标轴于点A，B（0，﹣2），点P为x轴上一动点．
（1）求二次函数y＝a（x+3）（x﹣4）的表达式；
（2）过点P作PQ⊥x轴分别交线段AB，抛物线于点Q，C，连接AC．当OP＝1时，求△ACQ的面积；
（3）如图2，将线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PD．当点D在抛物线上时，求点D的坐标．

8．（2021•青岛）科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽略空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度y1（米）与小钢球运动时间x（秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度y2（米）与它的运动时间x（秒）之间的函数关系如图中抛物线所示．
（1）直接写出y1与x之间的函数关系式；
（2）求出y2与x之间的函数关系式；
（3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？

9．（2021•思明区校级二模）抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于不重合的两点A（x1，0），B（x2，0）．x1≠x2．
（1）若x1＝2，当c+b＝1时，求抛物线解析式；
（2）若x1＝2x2，比较c与b﹣3的大小，并说明理由；
（3）若AB的中点坐标为（﹣c2﹣c﹣，0），且﹣2≤c≤﹣，设此抛物线顶点为P，交y轴于点D，延长PD交x轴于点E，点O为坐标原点，令△DEO面积为S，求S的取值范围．
10．（2021•陕西）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣5，0）和点B，与y轴交于点C（0，5），它的对称轴为直线l．
（1）求该抛物线的表达式及点B的坐标；
（2）若点P（m，2）在l上，点P′与点P过关于x轴对称．在该抛物线上，是否存在点D、E、F，使四边形P′DEF与四边形P′BPA位似，且位似中心是P′？若存在，求点D、E、F的坐标；若不存在，请说明理由．

2022年中考数学复习之小题狂练450题（解答题）：二次函数（10题）
参考答案与试题解析
一．解答题（共10小题）
1．（2021•牡丹江）抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0）和点C（0，3）．
（1）求此抛物线所对应的函数解析式，并直接写出顶点D的坐标；
（2）若过顶点D的直线将△ACD的面积分为1：2两部分，并与x轴交于点Q，则点Q的坐标为 Q1（﹣，0），Q2（﹣1，0） ．
注：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标（﹣）

【考点】一次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x轴的交点．
【专题】二次函数图象及其性质；几何直观．
【分析】（1）利用待定系数法，将A，C两点的坐标代入抛物线解析式中求出系数b，c，从而求出顶点D的坐标；
（2）由过顶点D的直线将△ACD的面积分为1：2两部分，取线段AC的三等分点E、F，连接DE、DF交x轴于点Q1、Q2，由直线DE和直线DF求出满足条件Q点的坐标．
【解答】解：（1）把点A（﹣3，0）和点C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c得：，
解得：，
∴y＝﹣x2﹣2x+3，
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴顶点D（﹣1，4）．
（2）取线段AC的三等分点E、F，连接DE、DF交x轴于点Q1、Q2，则：
S△DAE：S△DEC＝1：2，S△DAF：S△DFC＝2：1，
∵点A（﹣3，0），点C（0，3），
∴E（﹣2，1），F（﹣1，2），
∴DF⊥x轴于点Q2，
∴Q2（﹣1，0），
设直线DE的解析式为：y＝kx+b（k≠0），
把点D（﹣1，4），E（﹣2，1）代入，得：，
解得：，
∴直线DE的表达式为：y＝3x+7，
当y＝0时，x＝﹣，
∴Q1（﹣，0）．
故答案为：Q1（﹣，0），Q2（﹣1，0）．

【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式以及三角形三等分线和三角形面积之间的关系，解题的关键是求出直线DE和DF，然后直线与x轴的交点即为点Q．
2．（2021•嘉兴）已知二次函数y＝﹣x2+6x﹣5．
（1）求二次函数图象的顶点坐标；
（2）当1≤x≤4时，函数的最大值和最小值分别为多少？
（3）当t≤x≤t+3时，函数的最大值为m，最小值为n，若m﹣n＝3，求t的值．
【考点】二次函数的性质；二次函数的最值．
【专题】分类讨论；二次函数图象及其性质；运算能力．
【分析】（1）解析式化成顶点式即可求得；
（2）根据二次函数图象上点的坐标特征即可求得最大值和最小值；
（3）分三种情况讨论，根据二次函数的性质得到最大值m和最小值n，进而根据m﹣n＝3得到关于t的方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4，
∴顶点坐标为（3，4）；
（2）∵a＝﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，
∵顶点坐标为（3，4），
∴当x＝3时，y最大值＝4，
∵当1≤x≤3时，y随着x的增大而增大，
∴当x＝1时，y最小值＝0，
∵当3＜x≤4时，y随着x的增大而减小，
∴当x＝4时，y最小值＝3．
∴当1≤x≤4时，函数的最大值为4，最小值为0；
（3）当t≤x≤t+3时，对t进行分类讨论，
①当t+3＜3时，即t＜0，y随着x的增大而增大，
当x＝t+3时，m＝﹣（t+3）2+6（t+3）﹣5＝﹣t2+4，
当x＝t时，n＝﹣t2+6t﹣5，
∴m﹣n＝﹣t2+4﹣（﹣t2+6t﹣5）＝﹣6t+9，
∴﹣6t+9＝3，解得t＝1（不合题意，舍去），
②当0≤t＜3时，顶点的横坐标在取值范围内，
∴m＝4，
i）当0≤t≤时，在x＝t时，n＝﹣t2+6t﹣5，
∴m﹣n＝4﹣（﹣t2+6t﹣5）＝t2﹣6t+9，
∴t2﹣6t+9＝3，解得t1＝3﹣，t2＝3+（不合题意，舍去）；
ii）当＜t＜3时，在x＝t+3时，n＝﹣t2+4，
∴m﹣n＝4﹣（﹣t2+4）＝t2，
∴t2＝3，解得t1＝，t2＝﹣（不合题意，舍去），
③当t≥3时，y随着x的增大而减小，
当x＝t时，m＝﹣t2+6t﹣5，
当x＝t+3时，n＝﹣（t+3）2+6（t+3）﹣5＝﹣t2+4，
.m﹣n＝﹣t2+6t﹣5﹣（﹣t2+4）＝6t﹣9，
∴6t﹣9＝3，解得t＝2（不合题意，舍去），
综上所述，t＝3﹣或．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，分类讨论是解题的关键．
3．（2021•湘潭）如图，一次函数y＝x﹣图象与坐标轴交于点A、B，二次函数y＝x2+bx+c图象过A、B两点．
（1）求二次函数解析式；
（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．
【专题】方程思想；函数的综合应用；矩形 菱形 正方形；运算能力；应用意识．
【分析】（1）由y＝x﹣可求出A（3，0），B（0，﹣），代入二次函数y＝x2+bx+c即得二次函数解析式为y＝x2﹣x﹣；
（2）由二次函数y＝x2﹣x﹣可得其对称轴为直线x＝＝1，设P（1，m），Q（n，n2﹣n﹣），而C与B关于直线x＝1对称，可得C（2，﹣），
①当BC、PQ为对角线时，，可得，此时四边形BQCP是平行四边形，根据P（1，﹣），B（0，﹣），C（2，﹣）可得PB＝PC，即得此时Q（1，﹣）；②BP、CQ为对角线时，同理可得Q（﹣1，0）；③以BQ、CP为对角线，同理可得Q（3，0）．
【解答】解：（1）在y＝x﹣中，令x＝0得y＝﹣，令y＝0得x＝3，
∴A（3，0），B（0，﹣），
∵二次函数y＝x2+bx+c图象过A、B两点，
∴，解得，
∴二次函数解析式为y＝x2﹣x﹣；
（2）存在，理由如下：
由二次函数y＝x2﹣x﹣可得其对称轴为直线x＝＝1，
设P（1，m），Q（n，n2﹣n﹣），而B（0，﹣），
∵C与B关于直线x＝1对称，
∴C（2，﹣），
①当BC、PQ为对角线时，如图：

此时BC的中点即是PQ的中点，即，
解得，
∴当P（1，﹣），Q（1，﹣）时，四边形BQCP是平行四边形，
由P（1，﹣），B（0，﹣），C（2，﹣）可得PB2＝＝PC2，
∴PB＝PC，
∴四边形BQCP是菱形，
∴此时Q（1，﹣）；
②BP、CQ为对角线时，如图：

同理BP、CQ中点重合，可得，
解得，
∴当P（1，0），Q（﹣1，0）时，四边形BCPQ是平行四边形，
由P（1，0），B（0，﹣），C（2，﹣）可得BC2＝4＝PC2，
∴四边形BCPQ是菱形，
∴此时Q（﹣1，0）；
③以BQ、CP为对角线，如图：

BQ、CP中点重合，可得，
解得，
∴P（1，0），Q（3，0）时，四边形BCQP是平行四边形，
由P（1，0），B（0，﹣），C（2，﹣）可得BC2＝4＝PC2，
∴四边形BCQP是菱形，
∴此时Q（3，0）；
综上所述，Q的坐标为：（1，﹣）或（﹣1，0）或（3，0）．
【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、二次函数图象上点的坐标特征、菱形的判定及中点坐标、两点间距离公式等知识，解题的关键是分类画出图形，利用对角线互相平分列方程解决问题．
4．（2021•甘肃模拟）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2）．B（2，2），抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣2与直线x＝﹣2交于点P．
（1）用含m的代数式表示抛物线的对称轴及顶点坐标；
（2）设点P的纵坐标为yp，求yp的最小值；此时抛物线上有两点（x1，y1）（x2，y2），且x1＜x2≤﹣2．比较y1与y2的大小；
（3）当抛物线与线段AB有公共点时，请求出m的取值范围．
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．
【专题】二次函数图象及其性质；几何直观；运算能力．
【分析】（1）把抛物线的解析式化成顶点式，即可求得对称轴及顶点坐标；
（2）先将x0＝﹣2代入抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣2中，可得y0＝22﹣2m×（﹣2）+m2﹣2＝（m+2）2﹣2，根据二次函数的最值可得y0的最小值，确定此时抛物线的解析式，根据增减性和图象可得y1与y2的大小；
（3）令y＝2解出两个解，这两个解符合AB横坐标范围，可解答．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2mx+m2﹣2＝（x﹣m）2﹣2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝m，顶点坐标为（m，﹣2）；
（2）∵抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣2与直线x＝﹣2交于点P（x0，y0），
∴y0＝22﹣2m×（﹣2）+m2﹣2＝（m+2）2﹣2，
∴当m＝﹣2时，y0取得最小值，此时y0＝﹣2，如图1，
∴y＝x2+4x+2＝（x+2）2﹣2，
∴当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，
∵x1＜x2≤﹣2，
∴y1＞y2；
（3）如图2，y＝x2﹣2mx+m2﹣2＝（x﹣m）2﹣2，

当y＝2时，（x﹣m）2﹣2＝2，
∴x﹣m＝±2，
∴x＝m±2，
∵抛物线与线段AB有公共点，且点A（0，2），B（2，2），
∴0≤m﹣2≤2或0≤m+2≤2，
∴﹣2≤m≤0或2≤m≤4；
∴m的范围为﹣2≤m≤0或2≤m≤4．

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的最值问题与对称轴的关系，增减性及抛物线与线段的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是关键，并运用了数形结合的思想，此类题目，利用对称轴的变化求解更简便．
5．（2021•抚顺）某厂家生产一批遮阳伞，每个遮阳伞的成本价是20元，试销售时发现：遮阳伞每天的销售量y（个）与销售单价x（元）之间是一次函数关系，当销售单价为28元时，每天的销售量为260个；当销售单价为30元时，每天的销售量为240个．
（1）求遮阳伞每天的销出量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）设遮阳伞每天的销售利润为w（元），当销售单价定为多少元时，才能使每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【考点】二次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；二次函数的应用；应用意识．
【分析】（1）设函数关系式为y＝kx+b，由当销售单价为28元时，每天的销售量为260个；当销售单价为30元时，每天的销量为240个．可列方程组，即可求解；
（2）由每天销售利润＝每个遮阳伞的利润×销售量，列出函数关系式，由二次函数的性质可求解．
【解答】解：（1）设函数关系式为y＝kx+b，
由题意可得：，
解得：，
∴函数关系式为y＝﹣10x+540；
（2）由题意可得：w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣10x+540）＝﹣10（x﹣37）2+2890，
∵﹣10＜0，
∴当x＝37时，w有最大值为2890，
答：当销售单价定为37元时，才能使每天的销售利润最大，最大利润是2890元．
【点评】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，待定系数法求解析式，求出函数关系式是解题的关键．
6．（2021•五峰县模拟）抛物线y＝x2+（a﹣3）x﹣2a+1与y轴交于点A．
（1）若抛物线y＝x2+（a﹣3）x﹣2a+1经过坐标原点时，求该抛物线的解析式．
（2）求证：抛物线与x轴一定有两个交点．
（3）无论a为何值时，抛物线都经过定点P，求出P点的坐标．
（4）若线段AP与双曲线仅有一个交点时：
①求a的取值范围．
②求抛物线y＝x2+（a﹣3）x﹣2a+1的顶点D与x轴距离的最大值．

【考点】二次函数综合题．
【专题】函数的综合应用；推理能力．
【分析】（1）（0，0）代入抛物线关系式即可求解；
（2）表示出Δ＝（a﹣3）2﹣4（﹣2a+1）＝a2+2a+5，配方后说明其大于0即可证明；
（3）抛物线y＝x2+（a﹣3）x﹣2a+1＝x2﹣3x+1+（x﹣2）a，当x＝2时，无论a为何值时，y的值＝22﹣6+1＝﹣1，即可求解；
（4）①设直线AP的解析式为y＝kx+b，将A（0，﹣2a+1），P（2，﹣1），代入，即可得直线AP函数关系式为：y＝（a﹣1）x﹣2a+1，联立方程组：，当直线AP与双曲线仅有一个交点时，消元后得Δ＝（2a﹣1）2+4（a﹣1）（a+2）＝8a2﹣7＝0，解得：a＝±，结合线段端点横坐标的取值范围进行讨论，即可求解；
②利用公式得顶点D（，），得，当a≤﹣1时，yD随x的增大而增大，当﹣4≤a＜﹣2时，，当a＝时，yD＝，得|yD|的最大值是．
【解答】（1）解：当x＝0时，y＝0，
∴﹣2a+1＝0，
∴a＝，
∴抛物线的解析式：；
（2）证明：Δ＝（a﹣3）2﹣4（﹣2a+1）
＝a2+2a+5
＝（a+1）2+4，
∵（a+1）2≥0，
∴Δ＞0，
∴抛物线与x轴一定有两个交点；
（3）解：抛物线y＝x2+（a﹣3）x﹣2a+1＝x2﹣3x+1+（x﹣2）a，
当x＝2时，无论a为何值时，y的值＝22﹣6+1＝﹣1，
∴抛物线都经过定点P，P点的坐标为（2，﹣1）；
（4）解：①设直线AP的解析式为y＝kx+b，
∵A（0，﹣2a+1），P（2，﹣1），
∴，
解得：，
∴直线AP函数关系式为：y＝（a﹣1）x﹣2a+1，
联立方程组：，
当直线AP与双曲线仅有一个交点时，
∴（a﹣1）x2﹣（2a﹣1）x﹣（a+2）＝0只有一解，
即Δ＝（2a﹣1）2+4（a﹣1）（a+2）＝8a2﹣7＝0，
解得：a＝±，
∴时，直线AP与双曲线仅有一个交点；
当a+2＞0，即a＞﹣2时，﹣2＜a＜时，线段AP与双曲线有两个交点
a＝时，线段AP与双曲线仅有一个交点，
a＞时，线段AP与双曲线没有交点
当a+2＜0，即a＜﹣2，
x＝2时，y＝，
∴a≥﹣4，
∴﹣4≤a＜﹣2时，线段AP与双曲线仅有一个交点，
a＜﹣4时，线段AP与双曲线没有交点，
综上所述：﹣4≤a＜﹣2或a＝时，线段AP与双曲线仅有一个交点；
②利用公式得顶点D（，），
∴，
当a≤﹣1时，yD随x的增大而增大，
∴当﹣4≤a＜﹣2时，，
当a＝时，yD＝，
∴|yD|的最大值是，
若线段AP与双曲线仅有一个交点时，抛物线y＝x2+（a﹣3）x﹣2a+1的顶点D与x轴距离的最大值．

【点评】本题考查了二次函数，一次函数待定系数法求解析式，二次函数的增减性，顶点坐标公式，二次函数与x轴的交点，解题关键是二次函数与代数，几何结合的综合解题能力．
7．（2021•兰州）如图1，二次函数y＝a（x+3）（x﹣4）图象交坐标轴于点A，B（0，﹣2），点P为x轴上一动点．
（1）求二次函数y＝a（x+3）（x﹣4）的表达式；
（2）过点P作PQ⊥x轴分别交线段AB，抛物线于点Q，C，连接AC．当OP＝1时，求△ACQ的面积；
（3）如图2，将线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PD．当点D在抛物线上时，求点D的坐标．

【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；压轴题；推理能力；应用意识．
【分析】（1）将B（0，﹣2）代入y＝a（x+3）（x﹣4），即可求解；
（2）先求直线AB的解析式为y＝x﹣2，则Q（1，﹣），C（1，﹣2），可求S△ACQ＝S△ACP﹣S△APQ＝；
（3）设P（t，0），过点D作x轴垂线交于点N，可证明△PND≌△BOP（AAS），则D（t+2，﹣t），将D点代入抛物线解析式得﹣t＝（t+2+3）（t+2﹣4），求得D（3，﹣1）或D（﹣8，10）．
【解答】解：（1）将B（0，﹣2）代入y＝a（x+3）（x﹣4），
∴a＝，
∴y＝（x+3）（x﹣4）＝x2﹣x﹣2；
（2）令y＝0，则（x+3）（x﹣4）＝0，
∴x＝﹣3或x＝4，
∴A（4，0），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝x﹣2，
∵OP＝1，
∴P（1，0），
∵PQ⊥x轴，
∴Q（1，﹣），C（1，﹣2），
∴AP＝3，
∴S△ACQ＝S△ACP﹣S△APQ＝×3×2﹣×3×＝；
（3）设P（t，0），
如图2，过点D作x轴垂线交于点N，
∵∠BPD＝90°，
∴∠OPB+∠NPD＝90°，∠OPB+∠OBP＝90°，
∴∠NPD＝∠OBP，
∵BP＝PD，
∴△PND≌△BOP（AAS），
∴OP＝ND，BO＝PN，
∴D（t+2，﹣t），
∴﹣t＝（t+2+3）（t+2﹣4），
解得t＝1或t＝﹣10，
∴D（3，﹣1）或D（﹣8，10）．


【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象和性质，待定系数法求抛物线解析式，三角形面积，全等三角形判定和性质，旋转的性质等，熟练掌握二次函数的图象及性质，分类讨论，数形结合是解题的关键．
8．（2021•青岛）科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽略空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度y1（米）与小钢球运动时间x（秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度y2（米）与它的运动时间x（秒）之间的函数关系如图中抛物线所示．
（1）直接写出y1与x之间的函数关系式；
（2）求出y2与x之间的函数关系式；
（3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？

【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【分析】（1）先设出一次函数的解析式，再用待定系数法求函数解析式即可；
（2）用待定系数法求函数解析式即可；
（3）当1＜x≤6时小钢球在无人机上方，因此求y2﹣y1，当6＜x≤8时，无人机在小钢球的上方，因此求y1﹣y2，然后进行比较判断即可．
【解答】解：（1）设y1与x之间的函数关系式为y1＝kx+b，
∵函数图象过点（0，30）和（1，35），
则，
解得：，
∴y1与x之间的函数关系式为y1＝5x+30；
（2）∵x＝6时，y1＝5×6+30＝60，
∵y2的图象是过原点的抛物线，
设y2＝ax2+bx，
∴点（1.35），（6.60）在抛物线y2＝ax2+bx上，
∴，
解得：，
∴y2＝﹣5x2+40x，
答：y2与x的函数关系式为y2＝﹣5x2+40x；
（3）设小钢球和无人机的高度差为y米，
由﹣5x2+40x＝0得，x＝0或x＝8，
①1＜x≤6时，
y＝y2﹣y1＝﹣5x2+40x﹣5x﹣30＝﹣5x2+35x﹣30＝﹣5（x﹣）2+
∵a＝﹣5＜0，
∴抛物线开口向下，
又∵1＜x≤6，
∴当x＝时，y的最大值为；
②6＜x≤8时，y＝y1﹣y2＝5x+30+5x2﹣40x＝5x2﹣35x+30＝5（x﹣）2﹣，
∵a＝5＞0，
∴抛物线开口向上，
又∵对称轴是直线x＝，
∴当x＞时，y随x的增大而增大，
∵6＜x≤8，
∴当x＝8时，y的最大值为70，
∵＜70，
∴高度差的最大值为70米．
【点评】本题考查了二次函数以及一次函数的应用，关键是根据实际情况判断无人机和小钢球的高度差．
9．（2021•思明区校级二模）抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于不重合的两点A（x1，0），B（x2，0）．x1≠x2．
（1）若x1＝2，当c+b＝1时，求抛物线解析式；
（2）若x1＝2x2，比较c与b﹣3的大小，并说明理由；
（3）若AB的中点坐标为（﹣c2﹣c﹣，0），且﹣2≤c≤﹣，设此抛物线顶点为P，交y轴于点D，延长PD交x轴于点E，点O为坐标原点，令△DEO面积为S，求S的取值范围．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x轴的交点．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【分析】（1）把（2，0）代入y＝x2+bx+c得4+2b+c＝0，加上c+b＝1，则可求出b、c，从而得到抛物线解析式，然后利用二次函数的性质求解；
（2）利用x1、x2为方程x2+bx+c的两根得到x1+x2＝﹣b，x1•x2＝c，则b＝﹣3x2，c＝2x22，所以b﹣3＝（﹣3x2）﹣3＝﹣4x2﹣3，利用求差法比较两代数式的大小；
（3）由A，B坐标和抛物线顶点（﹣，）可得b与c的等量关系，由c的取值范围可得的取值范围，用含c代数式表示，通过取值范围求解．
【解答】解：（1）把（2，0）代入y＝x2+bx+c得4+2b+c＝0，
解方程组，
解得，
∵抛物线解析式为y＝x2﹣5x+6；
（2）c＞b﹣3．理由如下：
∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于不重合的两点（x1，0），（x2，0）．
∴x1、x2为方程x2+bx+c的两根，
∴x1+x2＝﹣b，x1•x2＝c，
而x1＝2x2，
∴b＝﹣3x2，c＝2x22，
∴b﹣3＝（﹣3x2）﹣3＝﹣4x2﹣3，
∵c﹣（b﹣3）＝2x22﹣（﹣4x2﹣3）＝2x22+4x2+3＝2（x2+2）2+1＞0，
∴c＞b﹣3；
（3）∵抛物线y＝x2+bx+c的顶点P为（﹣，），
抛物线x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），AB的中点坐标为（﹣c2﹣c﹣，0），
∴﹣＝﹣c2﹣c﹣，
∴b＝2c2+2c+1＝2（c+）2+＞0，
∵﹣2≤c≤﹣，
∴﹣3≤≤﹣，
设直线PD的解析式为y＝kx+m，
把x＝0代入y＝x2+bx+c可得点D坐标为（0，c），
由点P（﹣，），D（0，c）在直线上可得直线PD解析式为y＝x+c，
∴S＝OE•OD＝||•|﹣c|＝＝，
∴＝＝（+1）2+1，
∴抛物线＝（+1）2+1的对称轴为直线＝﹣1，开口向上，
当﹣3≤≤﹣时，＝﹣1时，取最小值为1，
当＝﹣3时，取最大值为5，
∴1≤≤5，
∴≤S≤1．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握配方法求二次函数最值．
10．（2021•陕西）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣5，0）和点B，与y轴交于点C（0，5），它的对称轴为直线l．
（1）求该抛物线的表达式及点B的坐标；
（2）若点P（m，2）在l上，点P′与点P过关于x轴对称．在该抛物线上，是否存在点D、E、F，使四边形P′DEF与四边形P′BPA位似，且位似中心是P′？若存在，求点D、E、F的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【专题】函数的综合应用；图形的相似；几何直观；应用意识．
【分析】（1用待定系数法可得抛物线的表达式为y＝x2+6x+5，令y＝0即可得B（﹣1，0）；
（2）延长AP'交抛物线于F，延长BP'交抛物线于D，对称轴交抛物线于E，由y＝x2+6x+5＝（x+3）2﹣4知：E（﹣3，﹣4），抛物线对称轴为直线x＝﹣3，故P（﹣3，2），P'（﹣3，﹣2），即得PP'＝4，P'E＝2，由A（﹣5，0），P'（﹣3，﹣2）可得直线AP'为y＝﹣x﹣5，解得F（﹣2，﹣3），故AP'＝2，P'F＝，同理可得BP'＝2，P'D＝，即有＝＝＝2，故四边形P'FED与四边形P′BPA位似，且位似中心是P′．
【解答】解：（1）∵A（﹣5，0）、C（0，5）在抛物线y＝x2+bx+c上，
∴，解得，
∴抛物线的表达式为y＝x2+6x+5，
令y＝0得x＝﹣1或x＝﹣5，
∴B（﹣1，0）；
（2）存在，理由如下：
延长AP'交抛物线于F，延长BP'交抛物线于D，对称轴交抛物线于E，如图：

由y＝x2+6x+5＝（x+3）2﹣4知：E（﹣3，﹣4），抛物线对称轴为直线x＝﹣3，
∵点P（m，2）在对称轴直线l上，
∴P（﹣3，2），
∵点P′与点P关于x轴对称，
∴P'（﹣3，﹣2），
∴PP'＝4，P'E＝2，
由A（﹣5，0），P'（﹣3，﹣2）可得直线AP'为y＝﹣x﹣5，
解得或，
∴F（﹣2，﹣3），
∴AP'＝＝2，P'F＝＝，
由B（﹣1，0）、P'（﹣3，﹣2）可得直线BP'为y＝x+1，
解得或，
∴D（﹣4，﹣3），
∴BP'＝＝2，P'D＝＝，
∴＝＝＝2，
由位似图形定义知，四边形P'FED与四边形P′BPA位似，且位似中心是P′，
∴抛物线上存在D（﹣4，﹣3），E（﹣3，﹣4），F（﹣2，﹣3），使四边形P'FED与四边形P′BPA位似，且位似中心是P′．
【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法及位似四边形，解题的关键是掌握位似图形的定义，作出图形．

考点卡片
1．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
2．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
3．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
4．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．
①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．
5．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
6．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
7．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
8．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
9．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．