中考数学复习之小题狂练450题（选择题）：二次函数（含答案）

这是一份中考数学复习之小题狂练450题（选择题）：二次函数（含答案），共19页。试卷主要包含了的图象如图所示，有如下结论等内容，欢迎下载使用。

1．（陕西）某景点的“喷水巨龙”口中C处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系如图所示，D为该水流的最高点，DA⊥OB，垂足为A．已知OC＝OB＝8m，OA＝2m，则该水流距水平面的最大高度AD的长度为（ ）

A．9m B．10m C．11m D．12m
2．（铜仁市）已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴有两个交点A（﹣1，0），B（3，0），抛物线y＝a（x﹣h﹣m）2+k与x轴的一个交点是（4，0），则m的值是（ ）
A．5 B．﹣1 C．5或1 D．﹣5或﹣1
3．（北碚区校级模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有如下结论：
①abc＞0；②a+b+c＝0；③a+2b＝0；④4b+c＜0；⑤a﹣b≥am2+bm（m为任意实数）．
其中正确结论的个数是（ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．（渠县校级一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③当m≠1时，a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x2≠x1，则x1+x2＝2．其中正确的有（ ）

A．①②③ B．②④ C．②⑤ D．②③⑤
5．（梧州模拟）二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点坐标是（2，1），且图象与y轴交于点（0，9）．将二次函数y＝ax2+bx+c的图象以原点为旋转中心顺时针旋转180°，则旋转后得到的函数解析式为（ ）
A．y＝2（x﹣2）2+1 B．y＝﹣2（x﹣2）2﹣1
C．y＝﹣2（x+2）2﹣1 D．y＝﹣2（x+2）2+1
6．（牡丹江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为（1，n），与x轴的一个交点B（3，0），与y轴的交点在（0，﹣3）和（0，﹣2）之间．下列结论中：①＞0；②﹣2＜b＜﹣；③（a+c）2﹣b2＝0；④2c﹣a＜2n，则正确的个数为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
7．（鹤峰县模拟）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，抛物线与y轴交点位于（0，2）与（0，3）之间，给出四个结论：①abc＜0，②b＞1，③4a﹣2b+c＜0，④am2+bm≥a+b，⑤当x＝﹣2.5时，y＝y1，当x＝2.5时，y＝y2，则y1＞y2，⑥关于x一元二次方程ax2+bx+c﹣5＝0，一定有两个不等的实根，其中正确的有（ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．（滨州）对于二次函数y＝x2﹣6x+21，有以下结论：①当x＞5时，y随x的增大而增大；②当x＝6时，y有最小值3；③图象与x轴有两个交点；④图象是由抛物线y＝x2向左平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的．其中结论正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．已知抛物线y＝ax2+bx+c上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
以下结论正确的是（ ）
A．抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下
B．当x＜3时，y随x增大而增大
C．方程ax2+bx+c＝0的根为0和2
D．当y＞0时，x的取值范围是0＜x＜2
10．（日照）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣1，其图象如图所示．下列结论：①abc＜0；②（4a+c）2＜（2b）2；③若（x1，y1）和（x2，y2）是抛物线上的两点，则当|x1+1|＞|x2+1|时，y1＜y2；④抛物线的顶点坐标为（﹣1，m），则关于x的方程ax2+bx+c＝m﹣1无实数根．其中正确结论的个数是（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1
中考数学复习之小题狂练450题（选择题）：二次函数（10题）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（陕西）某景点的“喷水巨龙”口中C处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系如图所示，D为该水流的最高点，DA⊥OB，垂足为A．已知OC＝OB＝8m，OA＝2m，则该水流距水平面的最大高度AD的长度为（ ）

A．9m B．10m C．11m D．12m
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【分析】设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+k，将点C（0，8）、B（8，0）代入求出a、k的值即可．
【解答】解：根据题意，设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+k，
将点C（0，8）、B（8，0）代入，得：
，
解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）2+9，
所以当x＝2时，y＝9，即AD＝9m，
故选：A．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式．
2．（铜仁市）已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴有两个交点A（﹣1，0），B（3，0），抛物线y＝a（x﹣h﹣m）2+k与x轴的一个交点是（4，0），则m的值是（ ）
A．5 B．﹣1 C．5或1 D．﹣5或﹣1
【考点】抛物线与x轴的交点．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【分析】先利用二次函数的性质得到两抛物线的对称轴，然后利用A点或B点向右平移得到点（4，0）得到m的值．
【解答】解：∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k的对称轴为直线x＝h，抛物线y＝a（x﹣h﹣m）2+k的对称轴为直线x＝h+m，
∴当点A（﹣1，0）平移后的对应点为（4，0），则m＝4﹣（﹣1）＝5；
当点B（3，0）平移后的对应点为（4，0），则m＝4﹣3＝1，
即m的值为5或1．
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
3．（北碚区校级模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有如下结论：
①abc＞0；②a+b+c＝0；③a+2b＝0；④4b+c＜0；⑤a﹣b≥am2+bm（m为任意实数）．
其中正确结论的个数是（ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【分析】由抛物线开口向下，对称轴以及与y轴的交点即可判断①；根据抛物线的对称性即可判断②；由对称轴得出b＝2a，即可得出a+2b＝5a＜0，即可判断③；由2a＝b，结合当x＝1时，a+b+c＝0，进一步即可判断④；根据x＝﹣1时，函数y＝a﹣b+c的值最大，得出对任意m有am2+bm+c≤a﹣b+c，即可判断⑤．
【解答】解：∵开口向下，则a＜0，
∵抛物线和y轴的正半轴相交，则c＞0，
∵对称轴为x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a＜0，
∴abc＞0，故①正确；
由图象可知，抛物线过点（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1时，
∴点（﹣3，0）关于直线x＝﹣1的对称点（1，0）在抛物线上，
∴a+b+c＝0，故②正确；
∵b＝2a，
∴a+2b＝5a＜0，故③错误；
∵当x＝1时，a+b+c＝0，b＝2a，
∴a＝b，
∴b+b+c＝0，
∴c＝﹣b，
∴4b+c＝4b﹣b＝b＜0，故④正确；
∵当x＝﹣1时，二次函数有最大值，
∴对任意m有a﹣b+c≥am2+bm+c，
∴a﹣b≥am2+bm，故⑤正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换的熟练运用．
4．（渠县校级一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③当m≠1时，a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x2≠x1，则x1+x2＝2．其中正确的有（ ）

A．①②③ B．②④ C．②⑤ D．②③⑤
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝1，根据抛物线对称轴方程得到﹣＝1，则可对①进行判断；由抛物线开口方向得到a＜0，由b＝﹣2a得到b＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得到c＞0，则可对②进行判断；利用x＝1时，函数有最大值对③进行判断；根据二次函数图象的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）与（﹣1，0）之间，则x＝﹣1时，y＜0，于是可对④进行判断；由ax12+bx1＝ax22+bx2得到ax12+bx1+cax22+bx2+c，则可判断x＝x1和x＝x2所对应的函数值相等，则x2﹣1＝1﹣x1，于是可对⑤进行判断．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①错误；
∵b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，所以②正确；
∵x＝1时，函数值最大，
∴a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm（m≠1），所以③正确；
∵抛物线与x轴的交点到对称轴x＝1的距离大于1，
∴抛物线与x轴的一个交点在点（2，0）与（3，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）与（﹣1，0）之间，
∴x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，所以④错误；
当ax12+bx1＝ax22+bx2，则ax12+bx1+c＝ax22+bx2+c，
∴x＝x1和x＝x2所对应的函数值相等，
∴x2﹣1＝1﹣x1，
∴x1+x2＝2，所以⑤正确；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
5．（梧州模拟）二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点坐标是（2，1），且图象与y轴交于点（0，9）．将二次函数y＝ax2+bx+c的图象以原点为旋转中心顺时针旋转180°，则旋转后得到的函数解析式为（ ）
A．y＝2（x﹣2）2+1 B．y＝﹣2（x﹣2）2﹣1
C．y＝﹣2（x+2）2﹣1 D．y＝﹣2（x+2）2+1
【考点】二次函数的性质；二次函数图象与几何变换．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【分析】将二次函数y＝ax2+bx+c的图象以原点为旋转中心顺时针旋转180°后，顶点为（﹣2，﹣1），与y轴交于点（0，﹣9），据此可得出所求的结论．
【解答】解：将二次函数y＝ax2+bx+c的图象以原点为旋转中心顺时针旋转180°，顶点为（﹣2，﹣1），与y轴交于点（0，﹣9），
∴y＝a（x+2）2﹣1，
把（0，﹣9）代入得，﹣9＝4a﹣1，
∴a＝﹣2，
∴旋转后得到的函数解析式为y＝﹣2（x+2）2﹣1，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，在绕抛物线顶点旋转过程中，求得二次函数的顶点坐标和与y轴的交点是解题的关键．
6．（牡丹江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为（1，n），与x轴的一个交点B（3，0），与y轴的交点在（0，﹣3）和（0，﹣2）之间．下列结论中：①＞0；②﹣2＜b＜﹣；③（a+c）2﹣b2＝0；④2c﹣a＜2n，则正确的个数为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．
【专题】二次函数图象及其性质；几何直观．
【分析】①②根据二次函数图象开口方向，对称轴可求得a，b符号和关系，与y轴交点判断c的取值范围，③利用当x为1，﹣1时，y对应的值进行判断对错，④依据顶点坐标可以判断出系数与n关系式．
【解答】解：①∵函数图象开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在y轴右侧，a与b异号，
∴b＜0，
∵函数图象与y轴交负半轴，
∴c＜0，故，正确
②∵顶点坐标（1，n），对称轴x＝＝1，
∴b＝﹣2a＜0，a＝﹣，
∴B点（3，0）关于对称轴x＝1对称点为（﹣1，0），
∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，得c＝b，
∵﹣3＜c＜﹣2，
∴﹣3＜＜﹣2，
∴﹣2＜b＜，错误．
③当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，（a+c）2﹣b2＝（a+b+c）（a﹣b+c）＝0，正确．
④当x＝1，时，y＝a+b+c＝n，
∵a＝﹣，c＝b，
∴n＝2b，
∴2c﹣a＝，
∵b＜0，
∴＞4b，即2c﹣a＞2n，错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，函数图象对称性性质的使用，解题关键是找到各个系数与顶点坐标之间的关系．
7．（鹤峰县模拟）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，抛物线与y轴交点位于（0，2）与（0，3）之间，给出四个结论：①abc＜0，②b＞1，③4a﹣2b+c＜0，④am2+bm≥a+b，⑤当x＝﹣2.5时，y＝y1，当x＝2.5时，y＝y2，则y1＞y2，⑥关于x一元二次方程ax2+bx+c﹣5＝0，一定有两个不等的实根，其中正确的有（ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【考点】根的判别式；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断①，由抛物线对称轴和抛物线经过（﹣1，0）可得抛物线经过（3，0），从而可得b，c与a的关系，进而判断②，由x＝﹣2时y＜0可判断③，由x＝1时y取最大值可判断④，由抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1可判断⑤，将ax2+bx+c﹣5＝0化为只含系数a的方程，根据根与判别式的关系可判断⑥．
【解答】∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，①正确．
∵抛物线经过点（﹣1，0），抛物线对称轴为直线x＝1，
∴抛物线经过（3，0），
∴a﹣b+c＝0，9a+3b+c＝0，
∴10a+2b+2c＝0，
∵b＝﹣2a，
∴a＝﹣，
∴﹣5b+2b+2c＝﹣3b+2c＝0，
∴b＝c，
∵抛物线与y轴交点位于（0，2）与（0，3）之间，
∴2＜c＜3，
∴＜b＜2，②正确．
∵x＝﹣2时，y＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，③正确．
∵x＝1时，y取最大值，
∴a+b+c≥am2+bm+c，
∴a+b≥am2+bm，④错误．
∵抛物线开口向下，2.5﹣1＜1﹣（﹣2.5）
∴y1＜y2，⑤错误．
∵b＝c＝﹣2a，
∴c＝﹣3a，a＝﹣c，
∴﹣1＜a＜﹣，
由ax2+bx+c﹣5＝0可得ax2﹣2ax﹣3a﹣5＝0，
∴Δ＝（﹣2a）2﹣4a（﹣3a﹣5）＝16a2+20a＝4a（a+5）＜0，
∴方程ax2+bx+c﹣5＝0无实数根，⑥错误．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
8．（滨州）对于二次函数y＝x2﹣6x+21，有以下结论：①当x＞5时，y随x的增大而增大；②当x＝6时，y有最小值3；③图象与x轴有两个交点；④图象是由抛物线y＝x2向左平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的．其中结论正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】二次函数的性质；二次函数图象与几何变换．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力；应用意识．
【分析】将题目中的函数解析式化为顶点式，然后根据二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣6x+21＝（x﹣6）2+3，
∴该函数的对称轴为直线x＝6，函数图象开口向上，
当5＜x＜6时，y随x的增大而减小，当x＞6时，y随x的增大而增大，故①不符合题意；
当x＝6时，y有最小值3，故②符合题意；
当y＝0时，无实数根，即图象与x轴无交点，故③不符合题意；
图象是由抛物线y＝x2向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的，故④不符合题意；
故正确的是②，正确的个数是1，
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
9．已知抛物线y＝ax2+bx+c上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
以下结论正确的是（ ）
A．抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下
B．当x＜3时，y随x增大而增大
C．方程ax2+bx+c＝0的根为0和2
D．当y＞0时，x的取值范围是0＜x＜2
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【分析】将表格内点坐标代入y＝ax2+bx+c中求出抛物线解析式，然后逐个判断求解．
【解答】解：将（﹣1，3），（0，0），（1，﹣1）代入y＝ax2+bx+c得：
，
解得，
∴y＝x2﹣2x．
A．∵a＝1，
∴抛物线开口向上，
故A错误，不符合题意．
B．∵图象对称轴为直线x＝1，且开口向上，
∴x＞1时，y随x增大而增大，
故B错误，不符合题意．
C．∵y＝x2﹣2x＝x（x﹣2），
∴当x＝0或x＝2时y＝0，
故C正确，符合题意．
D．∵抛物线开口向上，与x轴交点坐标为（0，0），（2，0），
∴x＜0或x＞2时，y＞0，
故D错误，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，求出二次函数解析式求解
10．（日照）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣1，其图象如图所示．下列结论：①abc＜0；②（4a+c）2＜（2b）2；③若（x1，y1）和（x2，y2）是抛物线上的两点，则当|x1+1|＞|x2+1|时，y1＜y2；④抛物线的顶点坐标为（﹣1，m），则关于x的方程ax2+bx+c＝m﹣1无实数根．其中正确结论的个数是（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】根的判别式；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【分析】①由图象开口方向，对称轴位置，与y轴交点位置判断a，b，c符号．
②把x＝±2分别代入函数解析式，结合图象可得（4a+c）2﹣（2b）2的结果符号为负．
③由抛物线开口向上，距离对称轴距离越远的点y值越大．
④由抛物线顶点纵坐标为m可得ax2+bx+c≥m，从而进行判断ax2+bx+c＝m﹣1无实数根．
【解答】解：①∵抛物线图象开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在直线y轴左侧，
∴a，b同号，b＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，故①正确．
②（4a+c）2﹣（2b）2＝（4a+c+2b）（4a+c﹣2b），
当x＝2时ax2+bx+c＝4a+c+2b，由图象可得4a+c+2b＞0，
由图象知，当x＝﹣2时，ax2+bx+c＝4a+c﹣2b，由图象可得4a+c﹣2b＜0，
∴（4a+c）2﹣（2b）2＜0，即（4a+c）2＜（2b）2，
故②正确．
③|x1+1|＝|x1﹣（﹣1）|，|x2+1|＝|x2﹣（﹣1）|，
∵|x1+1|＞|x2+1|，
∴点（x1，y1）到对称轴的距离大于点（x2，y2）到对称轴的距离，
∴y1＞y2，
故③错误．
④∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，m），
∴y≥m，
∴ax2+bx+c≥m，
∴ax2+bx+c＝m﹣1无实数根．
故④正确，
综上所述，①②④正确，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的图象的性质，解题关键是熟练掌握二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中a，b，c与函数图象的关系．
考点卡片
1．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
2．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
3．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
4．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．
①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．
5．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
6．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
7．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
3
0
﹣1
m
3
…
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
3
0
﹣1
m
3
…