2022年中考数学复习之小题狂练450题（填空题）：方程与不等式（含答案）

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2022年中考数学复习之小题狂练450题（填空题）：方程与不等式一．填空题（共10小题）1．（2021•大连）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．”若设有牧童x人，根据题意，可列方程为      ．2．（2021•兴安盟）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其中一次方程组是用算筹布置而成，如图（1）所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组表示出来，就是，类似的，图（2）所示的算筹图用方程组表示出来，就是      ． 3．（2021•南通）若m，n是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根，则的值为      ．4．（2021•绥棱县模拟）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+（m2﹣4）x+m+5＝0的两个实数根互为相反数，则m等于      ．5．（2021•佳木斯模拟）若关于x的一元一次不等式组的解集是x≥a，则a的取值范围是      ．6．（2021•黑龙江）已知关于x的不等式组有5个整数解，则a的取值范围是      ．7．（2021•雅安）若关于x的分式方程2﹣＝的解是正数，则k的取值范围是      ．8．（2021•临沂模拟）目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展，某市2019年底有5G用户2万户，计划到2021年底全市5G用户数累计达到3.38万户，设全市5G用户数年平均增长率为x，则该市5G用户数平均增长率为      ．9．（2021•云南模拟）已知关于x的不等式组无解，且关于y的一元二次方程my2+4y+1＝0有两个实数根，则整数m的值可以是      ．10．（2021•黔西南州）有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货15.5t，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35t，则3辆大货车与2辆小货车一次可以运货      t．
2022年中考数学复习之小题狂练450题（填空题）：方程与不等式（10题）参考答案与试题解析一．填空题（共10小题）1．（2021•大连）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．”若设有牧童x人，根据题意，可列方程为  6x+14＝8x ．【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．【分析】设有牧童x人，根据“每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完”，结合竹竿的数量不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．【解答】解：设有牧童x人，依题意得：6x+14＝8x．故答案为：6x+14＝8x．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．2．（2021•兴安盟）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其中一次方程组是用算筹布置而成，如图（1）所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组表示出来，就是，类似的，图（2）所示的算筹图用方程组表示出来，就是   ． 【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．【专题】一次方程（组）及应用；推理能力．【分析】根据题意和图（1），可知第一个小棍数代表几个x，第二个小棍数代表几个y，最后的代表常数，然后即可根据图（2），写出相应的方程组．【解答】解：由题意可得，图（2）所示的算筹图用方程组表示出来，就是 ，故答案为：．【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程组．3．（2021•南通）若m，n是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根，则的值为  3 ．【考点】根与系数的关系．【专题】一元二次方程及应用；运算能力．【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到m2+3m﹣1＝0，再根据根与系数的关系得到m+n＝﹣3，再将其代入所求式子即可求解．【解答】解：m，n是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根，∴m2+3m﹣1＝0，∴3m﹣1＝﹣m2，∴m+n＝﹣3，∴＝＝＝3，故答案为3．【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解与方程的关系得到3m﹣1＝﹣m2是解题的关键．4．（2021•绥棱县模拟）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+（m2﹣4）x+m+5＝0的两个实数根互为相反数，则m等于  ﹣2 ．【考点】根与系数的关系．【专题】一元二次方程及应用；应用意识．【分析】设方程的两根是a，b，根据根与系数的关系及相反数定义得到a+b＝﹣＝0，求出m，再根据一元二次方程的定义以及根的判别式判断即可．【解答】解：设方程的两根是a，b，∵一元二次方程（m﹣1）x2+（m2﹣4）x+m+5＝0的两个实数根互为相反数，由根与系数的关系得：a+b＝﹣＝0，且m﹣1≠0，∴m＝±2，由题意，Δ＝（m2﹣4）2﹣4（m﹣1）（m+5）≥0，当m＝2时，Δ＜0，舍去，当m＝﹣2时，Δ＞0，符合题意，即m等于﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查对一元二次方程的定义，根的判别式，根与系数的关系等知识点的理解和掌握，能得出﹣＝0和m﹣1≠0、△≥0是解此题的关键．5．（2021•佳木斯模拟）若关于x的一元一次不等式组的解集是x≥a，则a的取值范围是  a＞2 ．【考点】解一元一次不等式组．【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【分析】求出第1个不等式，结合不等式组的解集可得答案．【解答】解：由3x﹣1＞x+3，得：x＞2，∵不等式组的解集为x≥a，∴a＞2，故答案为：a＞2．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．6．（2021•黑龙江）已知关于x的不等式组有5个整数解，则a的取值范围是  ﹣＜a≤0 ．【考点】一元一次不等式组的整数解．【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【分析】解两个不等式得到不等式组的解集为3a﹣2≤x≤2，则可确定不等式组的整数解为2，1，0，﹣1，﹣2，于是可得到a不等式组，解不等式组可得a的范围．【解答】解：，由不等式①，得 x≥3a﹣2，由不等式②，得 x≤2，∴3a﹣2≤x≤2，∵不等式组有5个整数解，∴x＝2，1，0，﹣1，﹣2，∴﹣3＜3a﹣2≤﹣2，∴﹣＜a≤0，故答案为﹣＜a≤0．【点评】本题考查了不等式组的整数解，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键，7．（2021•雅安）若关于x的分式方程2﹣＝的解是正数，则k的取值范围是  k＜4且k≠0 ．【考点】分式方程的解；解分式方程；解一元一次不等式．【专题】计算题；分式方程及应用；运算能力．【分析】解分式方程，然后根据分式方程解的情况确定k的取值范围．【解答】解：原方程去分母，得：2（x﹣2）﹣（1﹣k）＝﹣1，解得：x＝，∵分式方程的解为正数，且x≠2，∴，且，解得：k＜4且k≠0，故答案为：k＜4且k≠0．【点评】本题主要考查了解分式方程及利用分式方程的解确定待定字母的取值范围，理解解分式方程的步骤及方程的解的概念是解题基础．8．（2021•临沂模拟）目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展，某市2019年底有5G用户2万户，计划到2021年底全市5G用户数累计达到3.38万户，设全市5G用户数年平均增长率为x，则该市5G用户数平均增长率为  30% ．【考点】一元二次方程的应用．【专题】一元二次方程及应用；运算能力；应用意识．【分析】设全市5G用户数年平均增长率为x，根据该市2019年底及计划到2021年底全市5G用户数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设该市5G用户数年平均增长率为x，依题意得：2（1+x）2＝3.38，即（1+x）2＝1.69，解得：x1＝0.3，x2＝﹣2.3（舍去），所以增长率为0.3＝30%，答：该市5G用户数年平均增长率为30%，故答案为：30%．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9．（2021•云南模拟）已知关于x的不等式组无解，且关于y的一元二次方程my2+4y+1＝0有两个实数根，则整数m的值可以是  3≤m≤4 ．【考点】一元二次方程的定义；根的判别式；解一元一次不等式组．【专题】一元二次方程及应用；运算能力．【分析】根据不等式组的解法关于x的不等式组无解，得到m≥3，再根据判别式的意义得到m≠0且Δ＝16﹣4m≥0，解得m≤4且m≠0，然后写出它们的公共部分即可得到m的取值范围．【解答】解：不等式组整理得，∵关于x的不等式组无解，∴m≥3，∵关于y的一元二次方程my2+4y+1＝0有两个实数根，∴m≠0且Δ＝16﹣4m≥0，解得m≤4且m≠0，∴m的取值范围为3≤m≤4．故答案为：﹣3≤m≤4．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了解一元一次不等式组．10．（2021•黔西南州）有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货15.5t，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35t，则3辆大货车与2辆小货车一次可以运货  17 t．【考点】二元一次方程组的应用．【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；推理能力；应用意识．【分析】设每辆大货车一次可以运货x吨，每辆小货车一次可以运货y吨，由题意：2辆大货车与3辆小货车一次可以运货15.5t，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35t，列出方程组，解方程组，即可求解．【解答】解：设每辆大货车一次可以运货x吨，每辆小货车一次可以运货y吨，由题意，得：，解得：，则3x+2y＝3×4+2×2.5＝17，即3辆大货车与2辆小货车一次可以运货17t，故答案为：17．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．
考点卡片1．由实际问题抽象出一元一次方程审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程．（1）“总量＝各部分量的和”是列方程解应用题中一个基本的关系式，在这一类问题中，表示出各部分的量和总量，然后利用它们之间的等量关系列方程．（2）“表示同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中的一个基本相等关系，也是列方程的一种基本方法．通过对同一个量从不同的角度用不同的式子表示，进而列出方程．2．由实际问题抽象出二元一次方程组（1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系．3．二元一次方程组的应用（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．（4）求解．（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．（二）设元的方法：直接设元与间接设元．当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．4．一元二次方程的定义（1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．（2）概念解析：一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．5．根的判别式利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．6．根与系数的关系（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2．（3）常用根与系数的关系解决以下问题：①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．7．一元二次方程的应用1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．2、列一元二次方程解应用题中常见问题：（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．4．解：准确求出方程的解．5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．6．答：写出答案．8．分式方程的解求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．9．解分式方程（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程时，一定要检验．10．解一元一次不等式根据不等式的性质解一元一次不等式基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．11．解一元一次不等式组（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．12．一元一次不等式组的整数解（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．（2）已知解集（整数解）求字母的取值．一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．