2022年中考数学复习之小题狂练450题（解答题）：一次函数（含答案）

这是一份2022年中考数学复习之小题狂练450题（解答题）：一次函数（含答案），共29页。试卷主要包含了x﹣2m+1，其中m≠1，之间的关系，之间的函数关系如图所示，，点B在直线l等内容，欢迎下载使用。
2022年中考数学复习之小题狂练450题（解答题）：一次函数
一．解答题（共10小题）
1．（2021•萧山区二模）如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，b）．
（1）直接写出不等式x+1＞mx+n的解集；
（2）直接写出方程组的解；
（3）直线l3：y＝nx+m是否也经过点P？请说明理由．

2．（2021•滨江区校级三模）已知一次函数y＝（m﹣1）x﹣2m+1，其中m≠1．
（1）无论m取何值，判断点A（2，﹣1）是否一定在一次函数的图象上，并说明理由．
（2）若点B（1，t），C（3，t+2）都在该一次函数的图象上，求m的值．
（3）当﹣2≤x≤3时，函数有最大值为2，求函数表达式．
3．（2021•滨州）甲、乙两车沿同一条笔直的道路匀速同向行驶，车速分别为20米/秒和25米/秒．现甲车在乙车前500米处，设x秒后两车相距y米，根据要求解答以下问题：
（1）当x＝50（秒）时，两车相距多少米？当x＝150（秒）时呢？
（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）在给出的平面直角坐标系中，请直接画出（2）中所求函数的图象．

4．（2021•兰州）小军到某景区游玩，他从景区入口处步行到达小憩屋，休息片刻后继续前行，此时观光车从景区入口处出发的沿相同路线先后到达观景点，如图，l1，l2分别表示小军与观光车所行的路程y（m）与时间x（min）之间的关系．根据图象解决下列问题：
（1）观光车出发 分钟追上小军；
（2）求l2所在直线对应的函数表达式；
（3）观光车比小军早几分钟到达观景点？请说明理由．

5．（2021•兴安盟）移动公司推出A，B，C三种套餐，收费方式如表：
套餐
月保底费（元）
包通话时间（分钟）
超时费（元/分钟）
A
38
120
0.1
B
　 　
　 　
　 　
C
118
不限时

设月通话时间为x分钟，A套餐，B套餐的收费金额分别为y1元，y2元．其中B套餐的收费金额y2元与通话时间x分钟的函数关系如图所示．

（1）结合表格信息，求y1与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）结合图象信息补全表格中B套餐的数据；
（3）选择哪种套餐所需费用最少？说明理由．
6．（2021•齐齐哈尔二模）甲乘船从A码头出发顺流到B码头，再逆流返回A码头，往返两次的顺流速度相同，逆流速度相同．乙乘漂流筏从A、B两码头间的C码头出发，以9km/h的速度到达B码头后马上乘快艇返回A码头（换乘时间忽略不计）两人同时出发，最后乙比甲先到达A码头（两人行驶途中所受其它阻力忽略不计）．两人离B码头的路程y（km）与甲行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示．结合图象解答下列问题：
（1）m＝ ，n＝ ，甲在静水中的速度为 km/h，乙从B码头到A码头的速度为 km/h；
（2）求图中线段DE的函数解析式；
（3）两人第二次相遇时离C码头 km．

7．（2021•雁塔区校级一模）2020年初新型冠状肺炎的爆发及蔓延牵动了全国人民的心，也增强了大家的防护意识，因此，日常生活中开展科学、规范的防护工作显得十分重要．某社区为防控疫情传播，保障社区人员的生命安全，计划购买大量消毒液用于日常消毒．经了解，甲、乙两个销售公司推出的购买优惠方案如下：甲公司规定：每瓶消毒液一律按标价的八五折出售；乙公司规定：每瓶消毒液按标价出售，若购买数量超过20瓶则超出的部分打七折．已知每瓶消毒液的标价为8元，若该社区计划购买消毒液共x瓶，购买甲公司消毒液所需费用为y1元，购买乙公司消毒液所需费用为y2元．
（1）分别求y1、y2与x之间的函数关系式；
（2）若该社区计划购买消毒液共60瓶，则选择哪一家销售公司比较合算？
8．（2021•沈阳模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x，y轴于B、A两点，将△AOB沿直线折叠，使点B落在点C处．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）求OC的长；
（3）若点D沿射线BA运动，连接OD，当△CDB与△CDO面积相等时，请直接写出直线OD的函数表达式．

9．（2021•沈阳）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线y＝kx+15（k≠0）经过点C（3，6），与x轴交于点A，与y轴交于点B．线段CD平行于x轴，交直线y＝x于点D，连接OC，AD．
（1）填空：k＝ ，点A的坐标是（ ， ）；
（2）求证：四边形OADC是平行四边形；
（3）动点P从点O出发，沿对角线OD以每秒1个单位长度的速度向点D运动，直到点D为止；动点Q同时从点D出发，沿对角线DO以每秒1个单位长度的速度向点O运动，直到点O为止．设两个点的运动时间均为t秒．
①当t＝1时，△CPQ的面积是 ．
②当点P，Q运动至四边形CPAQ为矩形时，请直接写出此时t的值．

10．（2021•金华）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣，0），点B在直线l：y＝x上，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于点C．
（1）如图，点B，C分别在第三、二象限内，BC与AO相交于点D．
①若BA＝BO，求证：CD＝CO．
②若∠CBO＝45°，求四边形ABOC的面积．
（2）是否存在点B，使得以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求OB的长；若不存在，请说明理由．


2022年中考数学复习之小题狂练450题（解答题）：一次函数（10题）
参考答案与试题解析
一．解答题（共10小题）
1．（2021•萧山区二模）如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，b）．
（1）直接写出不等式x+1＞mx+n的解集；
（2）直接写出方程组的解；
（3）直线l3：y＝nx+m是否也经过点P？请说明理由．

【考点】一次函数与一元一次不等式；一次函数与二元一次方程（组）．
【专题】一次函数及其应用；几何直观；运算能力．
【分析】（1）根据点P（1，b）即可得到结论；
（2）直接把（1，b）代入y＝x+1可得b的值方程组的解就是两函数图象的交点；
（3）根据l2：y＝mx+n过点P（1，2）可得2＝m+n，如果y＝nx+m经过点P则点P的坐标满足函数解析式，代入可得m+n＝2，进而可得答案．
【解答】解：（1）∵直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，b），
∴x+1＞mx+n的解集为x＞1；

（2）把（1，b）代入y＝x+1可得：b＝1+1＝2，
∵直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，2），
∴方程组的解为；

（3）直线l3：y＝nx+m经过点P，
理由：∵l2：y＝mx+n过点P（1，2），
∴2＝m+n，
将P（1，2）代入l3：y＝nx+m，可得，m+n＝2，
因此直线l3：y＝nx+m经过点P．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组和一次函数的关系，以及一次函数图象上点的坐标特点，关键是掌握方程组的解就是两函数图象的交点．
2．（2021•滨江区校级三模）已知一次函数y＝（m﹣1）x﹣2m+1，其中m≠1．
（1）无论m取何值，判断点A（2，﹣1）是否一定在一次函数的图象上，并说明理由．
（2）若点B（1，t），C（3，t+2）都在该一次函数的图象上，求m的值．
（3）当﹣2≤x≤3时，函数有最大值为2，求函数表达式．
【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【分析】（1）把x＝2代入y＝（m﹣1）x﹣2m+1，计算得y＝﹣1，即可得答案；
（2）把B（1，t），C（3，t+2）代入，即可解得m的值；
（3）分两种情况：当m﹣1＞0时，把（3，2）代入y＝（m﹣1）x﹣2m+1即可解得m＝4，得到解析式，当m﹣1＜0时，同理可得一次函数解析式为y＝﹣x+．
【解答】解：（1）A（2，﹣1）一定在一次函数y＝（m﹣1）x﹣2m+1的图象上，理由如下：
把x＝2代入y＝（m﹣1）x﹣2m+1得：y＝2（m﹣1）﹣2m+1＝﹣1，
∴x＝2时，y＝﹣1，即（2，﹣1）在y＝（m﹣1）x﹣2m+1的图象上；
（2）∵点B（1，t），C（3，t+2）都在一次函数y＝（m﹣1）x﹣2m+1的图象上，
∴，解得，
∴m的值是2；
（3）当m﹣1＞0，即m＞1时，一次函数y＝（m﹣1）x﹣2m+1中，y随x的增大而增大，
∴x＝3时，y有最大值2，
把（3，2）代入y＝（m﹣1）x﹣2m+1得：3（m﹣1）﹣2m+1＝2，解得m＝4，
∴此时一次函数解析式为y＝3x﹣7；
当m﹣1＜0，即m＜1时，y＝（m﹣1）x﹣2m+1中，y随x的增大而减小，
∴当x＝﹣2时，y有最大值2，
把（﹣2，2）代入y＝（m﹣1）x﹣2m+1得：﹣2（m﹣1）﹣2m+1＝2，解得m＝，
∴此时一次函数解析式为y＝﹣x+，
综上所述，一次函数解析式为y＝3x﹣7或y＝﹣x+．
【点评】本题考查一次函数综合应用，解题的关键是掌握一次函数图象上点坐标的特征及一次函数的性质．
3．（2021•滨州）甲、乙两车沿同一条笔直的道路匀速同向行驶，车速分别为20米/秒和25米/秒．现甲车在乙车前500米处，设x秒后两车相距y米，根据要求解答以下问题：
（1）当x＝50（秒）时，两车相距多少米？当x＝150（秒）时呢？
（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）在给出的平面直角坐标系中，请直接画出（2）中所求函数的图象．

【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【分析】（1）根据题意，可以先计算出两车相遇需要的时间，然后即可计算出当x＝50和x＝150时，两车的距离；
（2）先计算出两车相遇需要的时间，然后根据x的取值范围不同，写出相应的函数解析式即可；
（3）根据（2）中的函数解析式和两点确定一次函数的图象的方法，可以画出相应的函数图象．
【解答】解：（1）∵500÷（25﹣20）＝500÷5＝100（秒），
∴当x＝50时，两车相距：20×50+500﹣25×50＝1000+500﹣1250＝250（米），
当x＝150时，两车相距：25×150﹣（20×150+500）＝3750﹣（3000+500）＝3750﹣3500＝250（米），
答：当x＝50（秒）时，两车相距250米，当x＝150（秒）时，两车相距250米；
（2）由题意可得，乙车追上甲车用的时间为：500÷（25﹣20）＝500÷5＝100（秒），
∴当0≤x≤100时，y＝20x+500﹣25x＝﹣5x+500，
当x＞100时，y＝25x﹣（20x+500）＝25x﹣20x﹣500＝5x﹣500，
由上可得，y与x的函数关系式是y＝；
（3）在函数y＝﹣5x+500中，当x＝0时，y＝﹣5×0+500＝500，当x＝100时，y＝﹣5×100+500＝0，
即函数y＝﹣5x+500的图象过点（0，500），（100，0）；
在函数y＝5x﹣500中，当x＝150时，y＝250，当x＝200时，y＝500，
即函数y＝5x﹣500的图象过点（150，250），（200，500），
画出（2）中所求函数的图象如右图所示．

【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，画出相应的函数图象，利用数形结合的思想解答．
4．（2021•兰州）小军到某景区游玩，他从景区入口处步行到达小憩屋，休息片刻后继续前行，此时观光车从景区入口处出发的沿相同路线先后到达观景点，如图，l1，l2分别表示小军与观光车所行的路程y（m）与时间x（min）之间的关系．根据图象解决下列问题：
（1）观光车出发 6 分钟追上小军；
（2）求l2所在直线对应的函数表达式；
（3）观光车比小军早几分钟到达观景点？请说明理由．

【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【分析】（1）观察两直线的交点的横坐标判断即可；
（2）利用待定系数法求l2所在直线对应的函数表达式；
（3）由（2）可得观光车到达景区的时间，进而得出观光车比小军早到达观景点的时间．
【解答】解：（1）由图象可知，观光车出发：21﹣15＝6（分钟），追上小军；
故答案为：6；
（2）设l2所在直线对应的函数表达式为y＝kx+b，
则，
解得，
15+3000÷300＝25（min），
∴l2所在直线对应的函数表达式为y＝300x﹣4500（15≤x≤25）；
（3）33﹣25＝8（min），
故观光车比小军早8分钟到达观景点．
【点评】此题主要考查了一次函数的应用，读函数的图象时，首先要理解横纵坐标表示的含义，数形结合思想的应用是解题关键．
5．（2021•兴安盟）移动公司推出A，B，C三种套餐，收费方式如表：
套餐
月保底费（元）
包通话时间（分钟）
超时费（元/分钟）
A
38
120
0.1
B
　58　
　360　
　0.1　
C
118
不限时

设月通话时间为x分钟，A套餐，B套餐的收费金额分别为y1元，y2元．其中B套餐的收费金额y2元与通话时间x分钟的函数关系如图所示．

（1）结合表格信息，求y1与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）结合图象信息补全表格中B套餐的数据；
（3）选择哪种套餐所需费用最少？说明理由．
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【分析】（1）根据：每月话费＝基本服务费+超出每分钟收费×超出时间，可分别求得y1，y2关于x的函数关系式；
（2）根据图象解答即可；
（3）根据题意求出y2与x的函数关系式，再结合（1）的结论列方程或不等式解答即可．
【解答】解：（1）当0≤x≤120 时，y1＝38；
当x＞120时，y1＝38+0.1（x﹣120）＝0.1x+26，
∴；
（2）由图象可知，当月保底费为58元；包通话时间360分钟；超时费：（70﹣58）÷（480﹣360）＝0.1（元），
故答案为：58，360，0.1；
（3）当x＞360时，设：y2＝kx+b，
又∵图象过点（360，58），（480，70）两点，
∴，
解得，
∴y2＝0.1x+22；
∴；
当y1＝58，0.1x+26＝58，
解得x＝320，
∴当x＝320 时，A、B套餐所需费用一样多，都比C套餐花费少；
当0≤x＜320 时，A套餐所需费用最少．
当y2＝118时，0.1x+22＝118，
解得x＝960，
当x＝960 时，B、C套餐所需费用一样多，都比A套餐花费少；
当320＜x＜960时，B套餐所需费用最少．
当x＞960 时，C套餐所需费用最少，
综上所述：当0≤x≤320 时，A套餐所需费用最少；
当320＜x≤960时，B套餐所需费用最少；
当x＞960 时，C套餐所需费用最少．
【点评】本题主要考查一次函数的实际应用能力，理解题意抽象出相等关系并列出函数解析式及方程是解题的关键．
6．（2021•齐齐哈尔二模）甲乘船从A码头出发顺流到B码头，再逆流返回A码头，往返两次的顺流速度相同，逆流速度相同．乙乘漂流筏从A、B两码头间的C码头出发，以9km/h的速度到达B码头后马上乘快艇返回A码头（换乘时间忽略不计）两人同时出发，最后乙比甲先到达A码头（两人行驶途中所受其它阻力忽略不计）．两人离B码头的路程y（km）与甲行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示．结合图象解答下列问题：
（1）m＝ ，n＝ 4 ，甲在静水中的速度为 27 km/h，乙从B码头到A码头的速度为 54 km/h；
（2）求图中线段DE的函数解析式；
（3）两人第二次相遇时离C码头 16 km．

【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【分析】（1）根据乙出速度和路程可得m的值，根据甲顺流航行的速度可得n的值，进而可得其它两个值；
（2）利用待定系数法可得解析式；
（3）求出线段DF和MN的解析式，联立方程组可得答案．
【解答】解：（1）由图象可得，乙以9km/h的速度航行了30km，
∴m＝＝．
由乙的航行可得水的速度是9km/h，
甲顺流航行36km用1小时，
∴甲顺流航行的速度是36km/h，
∴n＝3+1＝4，甲在静水中的速度是36﹣9＝27（km/h），
乙从B码头到A码头的速度为36÷（4﹣）＝54（km/h），
故答案为：，4，27，54；
（2）由题意可得D（，0），E（4，36），
设线段DE的解析式为y＝kx+b，
则，
解得k＝54，b＝﹣180，
∴线段DE的解析式为y＝54x﹣180（≤x≤4）；
（3）如图，

由题意得，M（1，0），N（3，36），F（0，30），
设线段DF的解析式为：y＝kx+b，
，解得k＝﹣9，b＝30，
∴y＝﹣9x+30；
设线段MN的解析式为：y＝kx+b，
，解得k＝18，b＝﹣18，
∴y＝18x﹣18；
联立方程组，
解得x＝，y＝14，
∴30﹣14＝16（km），
故答案为：16．
【点评】本题考查一次函数的实际应用，利用待定系数法得到函数解析式是解题关键．
7．（2021•雁塔区校级一模）2020年初新型冠状肺炎的爆发及蔓延牵动了全国人民的心，也增强了大家的防护意识，因此，日常生活中开展科学、规范的防护工作显得十分重要．某社区为防控疫情传播，保障社区人员的生命安全，计划购买大量消毒液用于日常消毒．经了解，甲、乙两个销售公司推出的购买优惠方案如下：甲公司规定：每瓶消毒液一律按标价的八五折出售；乙公司规定：每瓶消毒液按标价出售，若购买数量超过20瓶则超出的部分打七折．已知每瓶消毒液的标价为8元，若该社区计划购买消毒液共x瓶，购买甲公司消毒液所需费用为y1元，购买乙公司消毒液所需费用为y2元．
（1）分别求y1、y2与x之间的函数关系式；
（2）若该社区计划购买消毒液共60瓶，则选择哪一家销售公司比较合算？
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【分析】（1）由已知条件直接写出y1、y2与x之间的函数关系式；
（2）把x60代入两个解析式即可判断．
【解答】解：（1）由题意知，y1＝8×0.85x＝6.8x，
y2＝；
（2）当x＝60时，y1＝6.8x×60＝408，
y2＝160+0.75×8×40＝400，
∵408＞400，
∴选择乙销售公司比较合算．
【点评】本题主要考查一次函数的应用，关键是根据已知条件写出从甲、乙两种医疗机构购买的函数解析式．
8．（2021•沈阳模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x，y轴于B、A两点，将△AOB沿直线折叠，使点B落在点C处．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）求OC的长；
（3）若点D沿射线BA运动，连接OD，当△CDB与△CDO面积相等时，请直接写出直线OD的函数表达式．

【考点】一次函数综合题．
【专题】方程思想；待定系数法；一次函数及其应用；平移、旋转与对称；几何直观；应用意识．
【分析】（1）在y＝﹣x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝6，即可得A（0，4），B（6，0）；
（2）设直线l2与y轴交于点H，连接BH，在y＝2x﹣中，令x＝0得y＝﹣，得H（0，﹣），即得BH＝＝，故CH＝BH＝，可得OC＝CH﹣OH＝3；
（3）分两种情况：①当D在第一象限时，由△CDB与△CDO面积相等，得CD∥OB，即可得点D的坐标为（，3），直线OD的解析式为：y＝2x；②当D在第二象限时，设点D到y轴的距离为a，可得a+3＝×3•a，可求得点D的坐标为（﹣3，6），直线OD的解析式为：y＝﹣2x．
【解答】解：（1）在y＝﹣x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝6，
∴A（0，4），B（6，0）；
（2）设直线l2与y轴交于点H，连接BH，如图：

在y＝2x﹣中，令x＝0得y＝﹣，
∴H（0，﹣），
∴BH＝＝＝，
∵△AOB沿直线折叠，使点B落在点C处，
∴CH＝BH＝，
∴OC＝CH﹣OH＝﹣＝3；
（3）①当D在第一象限时，如图：

∵△CDB与△CDO面积相等，
∴CD∥OB，
∴点D的纵坐标为3，
当y＝3时，﹣x+4＝3，
解得：x＝，
∴点D的坐标为（，3），
∴直线OD的解析式为：y＝2x；
②当D在第二象限时，如图：

AC＝OA﹣OC＝4﹣3＝1，
设点D到y轴的距离为a，
则S△CDB＝S△CDA+S△CAB
＝×1•a+×1×6
＝a+3，
∵△CDB与△CDO面积相等，
∴a+3＝×3•a，
解得a＝3，
∴点D的横坐标为﹣3，
当x＝﹣3时，y＝﹣×（﹣3）+4＝6，
∴点D的坐标为（﹣3，6），
∴直线OD的解析式为：y＝﹣2x；
综上所述，点D沿射线BA运动，△CDB与△CDO面积相等，直线OD的函数表达式为：y＝2x或y＝﹣2x．
【点评】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到待定系数法、三角形面积的计算等，解题的关键是掌握折叠的性质及根据已知列方程，求出D到y轴的距离．
9．（2021•沈阳）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线y＝kx+15（k≠0）经过点C（3，6），与x轴交于点A，与y轴交于点B．线段CD平行于x轴，交直线y＝x于点D，连接OC，AD．
（1）填空：k＝ ﹣3 ，点A的坐标是（ 5 ， 0 ）；
（2）求证：四边形OADC是平行四边形；
（3）动点P从点O出发，沿对角线OD以每秒1个单位长度的速度向点D运动，直到点D为止；动点Q同时从点D出发，沿对角线DO以每秒1个单位长度的速度向点O运动，直到点O为止．设两个点的运动时间均为t秒．
①当t＝1时，△CPQ的面积是 12 ．
②当点P，Q运动至四边形CPAQ为矩形时，请直接写出此时t的值．

【考点】一次函数综合题．
【专题】函数思想；应用意识．
【分析】（1）代入C点坐标即可得出k值确定直线的解析式，进而求出A点坐标即可；
（2）求出AD点坐标，根据CD＝OA，CD∥OA，即可证四边形OADC是平行四边形；
（3）①作CH⊥OD于H，设出H点的坐标，根据勾股定理计算出CH的长度，根据运动时间求出PQ的长度即可确定△CPQ的面积；
②根据对角线相等确定PQ的长度，再根据P、Q的位置分情况计算出t值即可．
【解答】解：（1）∵直线y＝kx+15（k≠0）经过点C（3，6），
∴3k+15＝6，
解得k＝﹣3，
即直线的解析式为y＝﹣3x+15，
当y＝0时，x＝5，
∴A（5.0），
故答案为：﹣3，5，0；
（2）∵线段CD平行于x轴，
∴D点的纵坐标与C点一样，
又∵D点在直线y＝x上，
当y＝6时，x＝8，
即D（8，6），
∴CD＝8﹣3＝5，
∵OA＝5，
∴OA＝CD，
又∵OA∥CD，
∴四边形OADC是平行四边形；
（3）①作CH⊥OD于H，

∵H点在直线y＝x上，
∴设H点的坐标为（m，m），
∴CH2＝（m﹣3）2+（m﹣6）2，DH2＝（m﹣8）2+（m﹣6）2，
由勾股定理，得CH2+DH2＝CD2，
即（m﹣3）2+（m﹣6）2+（m﹣8）2+（m﹣6）2＝52，
整理得m＝或8（舍去），
∴CH＝3，
∵OD＝＝10，
∴当t＝1时，PQ＝OD﹣t﹣t＝10﹣1﹣1＝8，
∴S△CPQ＝PQ•CH＝×8×3＝12，
故答案为：12；
②∵OD＝10，
当0≤t≤5时，PQ＝10﹣2t，
当5≤t≤10时，PQ＝2t﹣10，
当点P，Q运动至四边形CPAQ为矩形时，PQ＝AC，
∵AC＝＝2，
当0≤t≤5时，10﹣2t＝2，
解得t＝5﹣，
当5≤t≤10时，2t﹣10＝2，
解得t＝5+，
综上，当点P，Q运动至四边形CPAQ为矩形时t的值为5﹣或5+．
【点评】本题主要考查一次函数的性质，熟练掌握待定系数法求解析式，平行四边形的性质和矩形的性质是解题的关键．
10．（2021•金华）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣，0），点B在直线l：y＝x上，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于点C．
（1）如图，点B，C分别在第三、二象限内，BC与AO相交于点D．
①若BA＝BO，求证：CD＝CO．
②若∠CBO＝45°，求四边形ABOC的面积．
（2）是否存在点B，使得以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求OB的长；若不存在，请说明理由．

【考点】一次函数综合题．
【专题】一次函数及其应用；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；推理能力；应用意识．
【分析】（1）①由BC⊥AB，CO⊥BO，可得∠BAD+∠ADB＝∠COD+∠DOB＝90°，而根据已知有∠BAD＝∠DOB，故∠ADB＝∠COD，从而可得∠COD＝∠CDO，CD＝CO；
②过A作AM⊥OB于M，过M作MN⊥y轴于N，设M（m，m），可得tan∠OMN＝tan∠AOM＝，即＝，设AM＝3n，则OM＝8n，Rt△AOM中，AM2+OM2＝OA2，可求出AM＝3，OM＝8，由∠CBO＝45°可知△BOC是等腰直角三角形，△ABM是等腰直角三角形，从而有AM＝BM＝3，BO＝CO＝OM﹣BM＝5，AB＝AM＝3，BC＝BO＝5，即可求出S四边形ABOC＝S△ABC+S△BOC＝；
（2）（一）过A作AM⊥OB于M，当B在线段OM或OM延长线上时，设OB＝x，则BM＝|8﹣x|，AB＝，
由△AMB∽△BOC，＝，即＝，得OC＝，BC＝＝，以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，分两种情况：①若＝，OB＝4；②若＝，OB＝4+或OB＝4﹣或OB＝9；
（二）当B在线段MO延长线上时，设OB＝x，则BM＝8+x，AB＝，由△AMB∽△BOC，＝，即＝，得OC＝•（8+x），以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，需满足＝，即＝，可得OB＝1．
【解答】（1）①证明：∵BC⊥AB，CO⊥BO，
∴∠ABC＝∠BOC＝90°，
∴∠BAD+∠ADB＝∠COD+∠DOB＝90°，
∵BA＝BO，
∴∠BAD＝∠DOB，
∴∠ADB＝∠COD，
∵∠ADB＝∠CDO，
∴∠COD＝∠CDO，
∴CD＝CO；
②解：过A作AM⊥OB于M，过M作MN⊥y轴于N，如图：

∵M在直线l：y＝x上，设M（m，m），
∴MN＝|m|＝﹣m，ON＝|m|＝﹣m，
Rt△MON中，tan∠OMN＝＝，
而OA∥MN，
∴∠AOM＝∠OMN，
∴tan∠AOM＝，即＝，
设AM＝3n，则OM＝8n，
Rt△AOM中，AM2+OM2＝OA2，
又A的坐标为（﹣，0），
∴OA＝，
∴（3n）2+（8n）2＝（）2，
解得n＝1（n＝﹣1舍去），
∴AM＝3，OM＝8，
∵∠CBO＝45°，CO⊥BO，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∵BC⊥AB，∠CBO＝45°，
∴∠ABM＝45°，
∵AM⊥OB，
∴△ABM是等腰直角三角形，
∴AM＝BM＝3，BO＝CO＝OM﹣BM＝5，
∴等腰直角三角形△ABM中，AB＝AM＝3，
等腰直角三角形△BOC中，BC＝BO＝5，
∴S△ABC＝AB•BC＝15，S△BOC＝BO•CO＝，
∴S四边形ABOC＝S△ABC+S△BOC＝；
（2）解：存在点B，使得以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，理由如下：
（一）过A作AM⊥OB于M，当B在线段OM或OM延长线上时，如图：


由（1）②可知：AM＝3，OM＝8，
设OB＝x，则BM＝|8﹣x|，AB＝，
∵CO⊥BO，AM⊥BO，AB⊥BC，
∴∠AMB＝∠BOC＝90°，∠ABM＝90°﹣∠OBC＝∠BCO，
∴△AMB∽△BOC，
∴＝，即＝，
∴OC＝，
Rt△BOC中，BC＝＝，
∵∠ABC＝∠BOC＝90°，
∴以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，分两种情况：
①若＝，则＝，
解得x＝4，
∴此时OB＝4；
②若＝，则＝，
解得x1＝4+，x2＝4﹣，x3＝9，x4＝﹣1（舍去），
∴OB＝4+或OB＝4﹣或OB＝9；
（二）当B在线段MO延长线上时，如图：

由（1）②可知：AM＝3，OM＝8，
设OB＝x，则BM＝8+x，AB＝，
∵CO⊥BO，AM⊥BO，AB⊥BC，
∴∠AMB＝∠BOC＝90°，∠ABM＝90°﹣∠OBC＝∠BCO，
∴△AMB∽△BOC，
∴＝，即＝，
∴OC＝•（8+x），
Rt△BOC中，BC＝＝•，
∵∠ABC＝∠BOC＝90°，
∴以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，需满足＝，即＝，
解得x1＝﹣9（舍去），x2＝1，
∴OB＝1，
综上所述，以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，则OB 的长度为：4或4+或4﹣或9或1；
【点评】本题考查一次函数图象及应用，涉及等腰三角形性质与判定，相似三角形性质与判定，勾股定理等知识，解题的关键是根据已知用含未知数的代数式表达相关线段的长度．

考点卡片
1．一次函数图象与系数的关系
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限；
②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限；
③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限；
④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限．
2．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
3．待定系数法求一次函数解析式
待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：
（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；
（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；
（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．
4．一次函数与一元一次不等式
（1）一次函数与一元一次不等式的关系
从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；
从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
（2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）
对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（﹣，0）．
当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞，不等式kx+b＜0的解为：x＜；
当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜，不等式kx+b＜0的解为：x＞．
5．一次函数与二元一次方程（组）
（1）一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y＝kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．
（2）二元一次方程（组）与一次函数的关系

（3）一次函数和二元一次方程（组）的关系在实际问题中的应用：要准确的将条件转化为二元一次方程（组），注意自变量取值范围要符合实际意义．
6．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
7．一次函数综合题
（1）一次函数与几何图形的面积问题
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．
（2）一次函数的优化问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．
（3）用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．