2021-2022学年吉林省长春市南关区净月华岳学校九年级（下）月考数学试卷（4月份）（含解析）

这是一份2021-2022学年吉林省长春市南关区净月华岳学校九年级（下）月考数学试卷（4月份）（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

副标题
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）
下列四个数中，最小的数是( )
A. −2B. |−3|C. −(−1)D. −13
一个数用科学记数法表示为2.16×105，则这个数是( )
A. 216B. 2160C. 21600D. 216000
下列立体图形中，主视图是圆的是( )
A. B. C. D.
下列计算结果正确的是( )
A. a+a2=a3B. 2a6÷a2=2a3C. 2a2⋅3a3=6a6D. (2a3)2=4a6
如图，测得一商场自动扶梯的长AB为12米，自动扶梯与地面所成的角为α，则该自动扶梯到达的高度BC为( )
A. 12tanα米B. 12sinα米C. 12csαD. 12sinα米
关于x的一元二次方程x2+mx−1=0的根的情况是( )
A. 没有实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 有两个相等的实数根D. 无法确定
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧相交于点D和点E，直线DE交AC于点F，交AB于点G，连接BF，若BF=3，AG=2，则BC=( )
A. 5
B. 43
C. 25
D. 213
如图，正方形AOCD的边长为6，点A在y轴正半轴上，点D在第一象限，函数y=kx(k≠0)的图象与边CD交于点E，与边AD交于点F.若△DEF的面积为8，则k的值为( )
A. 6
B. 8
C. 12
D. 16
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
分解因式：m2−4m=______．
不等式组3x+9>02x≤4，的解集为______．
正八边形每个外角的度数为______ ．
如图，点A、B、C均在⊙O上，若∠A=60°，OB=2，则阴影部分的面积为______．
如图，在矩形ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点，将△ADM沿AM所在直线折叠，使点D落到EF上点G处，已知BC=4，则线段EG的长度为______．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+4x+m与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，过点C作CD//x轴交抛物线于点D.若AB+CD=6，则抛物线的解析式为______．
三、解答题（本大题共10小题，共78.0分）
先化简，再求值：2x(x−1)−(x−1)2，其中x=−2．
2022年冬奥会在北京和张家口联合举办．乐乐和果果都计划去观看冬奥项目比赛．他们都喜欢的冬奥项目分别是：A.花样滑冰，B.速度滑冰，C.跳台滑雪，D.自由式滑雪．乐乐和果果计划各自在这4个冬奥项目中任意选择一个观看，每个项目被选择的可能性相同．
(1)乐乐选择项目“A.花样滑冰”的概率是______；
(2)用画树状图或列表的方法，求乐乐和果果恰好选择同一项目观看的概率．
随着我国科技事业的不断发展，国产无人机大量进入快递行业.现有A，B两种型号的无人机都被用来运送快件，A型机比B型机平均每小时多运送20件，A型机运送700件所用时间与B型机运送500件所用时间相等，两种无人机平均每小时分别运送多少快件？
图①、图②是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的顶点都在格点上．在图①、图②中，只用无刻度的直尺，按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写出画法．
(1)在图①中画△ABC边AB的中线CD．
(2)在图②中的边BC上找到点F，连结AF，使AF=CF．
如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，分别过点C、D作CE//BD，DE//AC，CE和DE交于点E．
(1)求证：四边形ODEC是矩形；
(2)当∠ADB=60°，AD=23时，求EA的长．
为了进一步推进学校安全教育，切实增强广大学生的安全防范意识和自护自救能力，某校举行了安全知识网络竞赛活动，测试满分为100分，为了了解八、九年级学生此次竞赛成绩的情况，分别随机在八、九年级抽取了20名参赛学生的成绩．已知抽到的八年级的竞赛成绩(单位：分)如下：80，95，60，80，75，60，95，65，75，70，80，75，85，65，90，70，75，80，85，80．
注：分数在80分以上(不含80分)为优秀．
为了便于分析数据，统计员对八年级的数据进行了整理，得到下表：
九年级所抽竞赛成绩的平均数、中位数、优秀率如表：
(1)根据题目信息填空：a=______，b=______，c=______；
(2)八年级小宇和九年级小乐的分数都为80分，请判断小宇、小乐在各自年级的排名谁的更靠前，并简述你的理由；
(3)若九年级共有600人参加竞赛，请估计九年级80分以上(不含80分)的人数．
甲、乙两车间一起加工一批零件，同时开始加工，10个小时完成任务．在这个过程中，甲车间的工作效率不变，乙车间在中间停工一段时间维修设备，然后按停工前的工作效率继续加工．设甲、乙两车间各自加工零件的数量为y(个)，甲车间加工的时间为x(时)，y与x之间的函数图象如图所示．
(1)甲车间每小时加工零件的个数为______个，这批零件的总个数为______个；
(2)求乙车间维护设备后，乙车间加工零件的数量y与x之间的函数关系式；
(3)在加工这批零件的过程中，当甲、乙两车间共同加工完930个零件时，求甲车间的时间．
【猜想】如图①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A，C分别在DG和DE上，连结AE，BG.试猜想线段BG和AE的数量关系是______．
【探究】如图①，正方形DEFG绕点D逆时针旋转α(0°<α<360°)，如图②.试判断你猜想的结论是否仍然成立，请利用图②证明你的结论．
【应用】在图②中，BC=DE=4.当AE取最大值时，直接写出AF的值为______．
如图，在△ABC中，AC=4，BC=3，∠ACB=90°，D是AC的中点．动点P从点A出发沿AB以每秒4个单位的速度向点B匀速运动(点P不与A、B重合)，过点P作AB的垂线交AC或CB于点Q，连结PD.设点P的运动时间为t秒．
(1)AB=______．
(2)求PQ的长(用含t的代数式表示)．
(3)连结DQ，当△PQD是直角三角形时，求t的值．
(4)作点C关于PD的对称点C′，作直线DC′.当直线DC′和边AB垂直时，直接写出t的值．
已知二次函数y=x2−2ax+1(a为常数)，若点A、点B是二次函数图象上两点，点A的坐标为(a−1,y1)，点B的坐标为(2a+1,y2)，且点A与点B不重合．
(1)当y1=y2时，求函数y=x2−2ax+1的表达式．
(2)当y1(3)当a>0时，若点B到x轴的距离是点A到x轴的距离的2倍，求a的值．
(4)以AB为对角线构造矩形ACBD，且矩形两边分别与x轴、y轴平行．二次函数图象与矩形ACBD的边交于点E，当矩形的一个顶点与点E连线所在直线将矩形ACBD的面积分成1：3两部分时，直接写出a的值．
答案和解析
1.【答案】
A
【解析】
解：|−3|=3，−(−1)=1，
∵−2<−13<1<3，
∴−2<−13<−(−1)<|−3|，
∴四个数中，最小的数是−2．
故选：A．
首先根据绝对值的含义和求法，求出|−3|=3，根据相反数的定义化简−(−1)=1，然后根据有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，判断出四个数中，最小的数是哪个即可．
此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
2.【答案】
D
【解析】
解：2.16×105=216000，
故选：D．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】
D
【解析】
解：三棱柱、圆柱的主视图都是长方形，
圆锥的主视图是三角形，
球的主视图是圆，
故选：D．
分别得出三棱柱，圆柱，圆锥，球的主视图即可．
本题考查三棱柱，圆柱，圆锥，球的主视图，明确视图的意义是正确判断的前提．
4.【答案】
D
【解析】
解：A、a与a2不是同类项，不能合并计算，故此选项不符合题意；
B、原式=2a4，故此选项不符合题意；
C、原式=6a5，故此选项不符合题意；
D、原式=4a6，故此选项符合题意；
故选：D．
根据合并同类项运算法则判断A，根据单项式除以单项式的运算法则判断B，根据单项式乘单项式的运算法则判断C，根据积的乘方与幂的乘方运算法则判断D．
本题考查整式的混合运算，掌握单项式乘以单项式，单项式除以单项式，幂的乘方(am)n=amn，积的乘方(ab)n=anbn运算法则是解题关键．
5.【答案】
B
【解析】
解：∵sinα=BCAB，
∴BC=sinα⋅AB=12sinα，
故选：B．
利用三角函数的定义即可求解．
本题考查了三角函数，正确理解三角函数的定义是关键．
6.【答案】
B
【解析】
解：∵Δ=m2−4×1×(−1)=m2+4，
∵m2≥0，
∴m2+4>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
先求出根的判别式Δ的值，再判断出其符号即可得到结论．
本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac的关系是解答此题的关键．
7.【答案】
C
【解析】
解：由作法得GF垂直平分AB，
∴FB=FA，AG=BG=2，
∴∠FBA=∠A，
∵∠ABC=90°，
∴∠A+∠C=90°，
∠FBA+∠FBC=90°，
∴∠C=∠FBC，
∴FC=FB，
∴FB=FA=FC=3，
∴AC=6，AB=4，
∴BC=AC2−AB2=62−42=25
故选：C．
利用线段垂直平分线的性质得到FB=FA，AG=BG=2，再证明FC=FB=FA=3，利用勾股定理即可解决问题．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了线段垂直平分线的性质．
8.【答案】
C
【解析】
解：由题意可知，OC=OA=CD=AD=6，
∴E(6,k6)，F(k6,6)，
∴DE=CD−CE=6−k6=36−k6，DF=AD−AF=6−k6=36−k6，
∴S△DEF=12⋅DE⋅DF=12⋅36−k6⋅36−k6=8．
解得k=12(负值舍去)，
故选：C．
由点E，F在函数y=kx(k≠0)的图象上，可分别表达点E和点F的坐标，则可表达DE和DF的长，进而根据△DEF的面积为8建立方程，求解即可．
本题考查反比例函数综合题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常常考题．
9.【答案】
m(m−4)
【解析】
解：m2−4m=m(m−4)．
故答案为：m(m−4)．
提取公因式m，即可求得答案．
本题考查了提公因式法分解因式．题目比较简单，解题需细心．
10.【答案】
−3【解析】
解：3x+9>0①2x≤4②，
解不等式①得：x>−3，
解不等式②得：x≤2，
故不等式组的解集为−3故答案为：−3分别解两个不等式，求解集公共部分即可．
本题考查解一元一次不等式组，解题关键是熟知如何确定解集的公共部分．
11.【答案】
45°
【解析】
解：因为任何一个多边形的外角和都是360°，
所以正八边形的每个外角的度数是：360°÷8=45°．
故答案为：45°．
利用多边形的外角和等于360度即可得出答案．
本题主要考查了多边形的外角和定理，熟记任何一个多边形的外角和都是360°是解题的关键．
12.【答案】
8π3
【解析】
解：∵∠A=60°，
∴∠BOC=2∠A=120°，
∴阴影部分的面积=240π×22360=8π3，
故答案为：83π；
根据圆周角定理和扇形的面积公式即可得到结论．
本题考查扇形的面积公式、圆周角定理等知识，解题的关键正确的识别图形；
13.【答案】
23
【解析】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=4，AD//BC，∠B=90°，
∵E、F分别为AD、BC的中点，
∴AE=BF=2，
∵AE//BF，
∴四边形AEFB是平行四边形，
∵∠B=90°，
∴四边形AEFB是矩形，
∴∠AEG=90°，
由折叠可知：AG=AD=4，
∴EG=AG2−AE2=42−22=23．
故答案为：23．
根据矩形的性质和判定可得四边形AEFB是矩形，然后利用勾股定理即可解决问题．
本题考查了翻折变换，矩形的性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
14.【答案】
y=x2+4x+3
【解析】
解：设A(x1,0)，B(x2,0)，
令y=0，则x2+4x+m=0，
由根与系数的关系得：x1+x2=−4，x1⋅x2=m，
则AB=|x1−x2|=(x1+x2)2−4x1⋅x2=16−4m，
令x=0，则y=m，
∴C(0,m)，
∵CD//x轴，
∴点D纵坐标为m，
当y=m时，则x2+4x+m=m，
解得：x=−4，或x=0，
∴D(−4,m)，
∴CD=0−(−4)=4，
∵AB+CD=6，
∴AB=16−4m=2，
解得：m=3，
∴抛物线的解析式为y=x2+4x+3，
故答案为：y=x2+4x+3．
先用根与系数的关系求出AB=16−4m，再根据CD//x求出CD，然后由AB+CD=6得到关于m的方程，解方程求出m即可．
本题考查抛物线与x轴的交点以及根与系数的关系，关键是根与系数关系的应用．
15.【答案】
解：2x(x−1)−(x−1)2，
=2x2−2x−(x2−2x+1)
=2x2−2x−x2+2x−1
=x2−1，
当x=−2时，原式=(−2)2−1=2−1=1．
【解析】
先根据单项式乘多项式和完全平方公式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
16.【答案】
14
【解析】
解：(1)乐乐选择项目“A.花样滑冰”的概率是14，
故答案为：14；
(2)画树状图如下：

共有16种等可能的结果，其中乐乐和果果恰好选择同一项目观看的结果有4种，
∴乐乐和果果恰好选择同一项目观看的概率为416=14．
(1)直接由概率公式求解即可；
(2)画树状图，共有16种等可能的结果，其中乐乐和果果恰好选择同一项目观看的结果有4种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
17.【答案】
解：设A型机平均每小时运送快递x件，则B型机平均每小时运送快递(x−20)件，
根据题意得：700x=500x−20，
解得：x=70，
经检验，x=70是原分式方程的根，且符合题意，
∴70−20=50，
答：A型机平均每小时运送快递70件，B型机平均每小时运送快递50件．
【解析】
设A型机平均每小时运送快递x件，则B型机平均每小时运送快递(x−20)件，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合A型机运送700件所用时间与B型机运送500件所用时间相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
18.【答案】
解：(1)如图①中，线段CD即为所求；
(2)如图②中，点F即为所求．
【解析】
(1)利用网格特征作出AB的中点D，连接CD即可；
(2)作AC的中垂线交BC于点F，连接AF，点F即为所求．
本题考查作图−应用与设计作图，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是学会利用网格特征解决问题，属于中考常考题型．
19.【答案】
(1)证明：∵CE//BD，DE//AC，
∴四边形ODEC是平行四边形．
又∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC=90°．
∴四边形ODEC是矩形；
(2)解：中，∠ADO=60°，
∴∠OAD=30°，
∴OD=12AD=3，AO=3，
∴AC=6，EC=3，
∴AE=39．
【解析】
本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，是基础题，熟记矩形的判定方法与菱形的性质是解题的关键．
(1)先证四边形ODEC是平行四边形，然后根据菱形的对角线互相垂直，得到∠DOC=90°，根据矩形的定义即可判定四边形ODEC是矩形；
(2)根据含30度角直角三角形的性质、勾股定理来求EA的长度即可．
20.【答案】
6 3 77.5
【解析】
解：(1)根据频数统计的方法可得，
成绩在60≤x≤70的有6人，即a=6，
成绩在80≤x≤90的有3人，即b=3，
八年级20名学生成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为75+802=77.5(分)，因此中位数是77.5，即c=77.5，
故答案为：6，3，77.5；
(2)600×50%=300(人)，
答：九年级共有600人参加竞赛，请估计九年级80分以上(不含80分)的人数为300人．
(1)根据频数统计的方法，分别对20个数据进行统计可得a、b的值，根据中位数的定义求出八年级成绩的中位数，即确定c的值；
(2)求出样本中九年级80分以上的学生所占的百分比即可估计总体中80分以上的学生所占的百分比，进而计算相应的人数即可．
本题考查中位数、频数分布表以及样本估计总体，理解中位数、频数统计的方法是解决问题的前提．
21.【答案】
75 1110
【解析】
解：(1)甲车间每小时加工零件件数为750÷10=75(件)，
这批零件的总件数为750+90÷2×(10−4+2)=1110(件)．
故答案为：75；1110．
(2)设乙车间维护设备后，乙车间加工零件的数量y与x之间的函数关系式y=kx+b，
由图象经过(4,90)与(10,360)两点可得，
4k+b=9010k+b=360，
解得k=45b=−90，
所以y=45x−90．
(3)甲车间加工零件数量y与x之间的函数关系式为y=75x，
当75x+45x−90=930时，x=8.5．
答：甲、乙两车间共同加工完930件零件时甲车间所用的时间为8.5小时．
(1)根据工作效率=工作总量÷工作时间，即可求出甲车间每小时加工零件件数，再根据乙车间停工前后的作效率不变求出乙加工的件数即可解答；
(2)根据待定系数法，即可求出乙车间维修设备后，乙车间加工零件数量y与x之间的函数关系式；
(3)根据加工的零件总件数=工作效率×工作时间，求出甲车间加工零件数量y与x之间的函数关系式，将甲、乙两关系式相加令其等于930，求出x值，此题得解．
本题考查了一次函数的应用以及解一元一次方程，解题的关键是：(1)根据数量关系，列式计算；(2)根据数量关系，找出乙车间维修设备后，乙车间加工服装数量y与x之间的函数关系式；(3)根据数量关系，找出甲车间加工服装数量y与x之间的函数关系式．
22.【答案】
BG=AE 213
【解析】
解：【猜想】BG=AE．
理由：如图1，∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
∵四边形DEFG是正方形，
∴DE=DG．
在△BDG和△ADE中，
∵BD=AD∠BDG=∠ADEGD=ED，
∴△ADE≌△BDG(SAS)，
∴BG=AE．
故答案为：BG=AE；
【探究】成立BG=AE．
理由：如图2，连接AD，
∵在Rt△BAC中，D为斜边BC中点，
∴AD=BD，AD⊥BC，
∴∠ADG+∠GDB=90°.
∵四边形EFGD为正方形，
∴DE=DG，且∠GDE=90°，
∴∠ADG+∠ADE=90°，
∴∠BDG=∠ADE．
在△BDG和△ADE中，
∵BD=AD∠BDG=∠ADEGD=ED，
∴△BDG≌△ADE(SAS)，
∴BG=AE；
【应用】∵BG=AE，
∴当BG取得最大值时，AE取得最大值．
如图3，当旋转角为270°时，BG=AE．
∵BC=DE=4，
∴BG=2+4=6．
∴AE=6．
在Rt△AEF中，由勾股定理，得
AF=AE2+EF2=36+16=213．
故答案为：213．
【猜想】由等腰直角三角形的性质及正方形的性质就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出结论；
【探究】如图2，连接AD，由等腰直角三角形的性质及正方形的性质就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出结论；
【应用】由猜想可知BG=AE，当BG取得最大值时，AE取得最大值，由勾股定理就可以得出结论．
本题考查了旋转的性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质的运用，正方形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
23.【答案】
5
【解析】
解：(1)∵∠ACB=90°，
∴AB=AC2+BC2=42+32=5，
故答案是：5；
(5)如图1，

作CE⊥AB于E，
由csA=AEAC=ACAB得，
AE4=45，
∴AE=165，
∴165÷4=45，
如图2，

当0∵∠APQ=∠ACB=90°，∠A=∠A，
∴△APQ∽△ABC，
∴APAC=PQBC，
∴4t4=PQ3，
∴PQ=3t，
如图3，

当45≤t<54时，
∵∠BPQ=∠ACB=90°，∠B=∠B，
∴△BPQ∽△BCA，
∴PQ4=5−4t3，
∴PQ=43(5−4t)==163t+203，
∴PQ=3t3t(0(3)如图4，

当∠PDQ=90°时，PD//BC，
∴APPB=ADCD=1，
∴AP=PB=12AB=52，
∴t=52÷4=58，
如图5，

当∠PQD=90°时，
∵∠PQD=∠BPQ=90°，
∴DQ//AB，
同理可得，BQ=CQ=12BC=32，
∴BP3=325，
∴BP=910，
∴AP=AB−BP=5−910=4110，
∴t=4110÷4=4140，
综上所述：t=58或4140；
(4)如图6，

当PD平分∠ADE时，C′D交AB于E，作PF⊥AC于F，
∴PF=PE，
在Rt△ADE中，
AE=AD⋅csA=2×45=85，DE=AD⋅sinA=65，
由S△ADE=S△PDE+S△APD得，
12AE⋅DE=12DE⋅PE+12AD⋅PF，
∴85×65=65PE+2PE，
∴PE=35，
∴AP=AE−PE=85=35=1，
∴t=14，
如图7，

由S△ADP−S△PDE=S△ADE得，
AD⋅PE−DE⋅PE=4825，
∴(2−65)⋅PE=4825，
∴PE=125，
∴AP=AE+PE=85+125=4，
∴t=4÷4=1，
综上所述：t=14或4．
(1)根据勾股定理求得AB；
(2)先求出Q在AC和BC的临界值，分为两种情形：当Q在AC上时，证得△APQ∽△ACB，进而求得PQ，当点Q在BC上时，证得△BPQ∽△BCA，进而表示出PQ；
(3)分为当∠PDQ=90°时，可得出P是AB的中点，当∠PQD=90°时，可得出△Q是BC的中点，进而求得结果；
(4)分为当∠ADE时，可根据面积法求得PE，当PD平分∠PDE时，同样根据面积法求得PE，进而求得t的值．
本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形．
24.【答案】
解：(1)∵y=x2−2ax+1=(x−a)2−a2+1，
∴抛物线的对称轴为直线x=a，
∵y1=y2，
∴2a=a−1+2a+1，
∴a=0，
∴y=x2+1；
(2)∵y=x2−2ax+1，
∴抛物线的开口向上，
∵y1∴|2a+1−a|>|a−a+1|，
解得a>0或a<−2；
(3)∵a>0，
∴点B到x轴的距离为2a+1，A到x轴的距离|a−1|，
∵点B到x轴的距离是点A到x轴的距离的2倍，
∴2a+1=2|a−1|，
∴a=14；
(4)由题意可得点A的坐标为(a−1,2−a2)，点B的坐标为(2a+1,2a+2)，
∵点A与点B不重合，
∴a−1≠2a+1，
∴a≠−2；
如图1，当a>0时，D(2a+1,2−a2)，
∵S△BED=12×DE×BD，S矩形ACBD=AD×BD，
∴S△BEDS矩形ACBD=12×EDAD，
∵直线BE将矩形ACBD的面积分成1：3两部分，
∴EDAD=12，
∴E点是AD的中点，
∴E(32a,2−a2)，
∴2−a2=(32a)2−2a×(32a)+1，
解得a=2或a=−2(舍)；
如图2，当a<0时，C(a−1,2a+2)，
∵S△ACE=12×AC×CE，S矩形ACBD=AC×BC，
∴S△ACES矩形ACBD=12×CEBC，
∵直线AE将矩形ACBD的面积分成1：3两部分，
∴CEBC=12，
∴E点是BC的中点，
∴E(32a,2a+2)，
∴2a+2=(32a)2−2a×(32a)+1，
解得a=−23或a=−2(舍)；
综上所述：a的值为−23或a=2．
【解析】
(1)由题意可知抛物线的对称轴为直线x=a，由y1=y2可得A、B两点关于对称轴对称，求a的值即可；
(2)由题意可得|2a+1−a|>|a−a+1|，求a的范围即可；
(3)由题意可得2a+1=2|a−1|，求出a的值即可；
(4)分两种情况讨论：当a>0时，D(2a+1,2−a2)，由题意可得EDAD=12，则E点是AD的中点，可求E(32a,2−a2)，再将E点代入抛物线的解析式即可求a的值；当a<0时，C(a−1,2a+2)，由题意可得CEBC=12，则E点是BC的中点，可求E(32a,2a+2)，再将E点代入抛物线的解析式即可求a的值．
本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，矩形的面积与三角形的面积求法，数形结合，分类讨论是解题的关键．
题号
一
二
三
总分
得分
成绩等级
分数(单位：分)
学生数
D级
60≤x≤70
a
C级
709
B级
80b
A级
902
年级
平均数
中位数
优秀率
八年级
77
c
25%
九年级
78.5
82.5
50%