2023年吉林省长春市南关区东北师大附中净月实验学校中考数学一检试卷（含解析）

2023年吉林省长春市南关区东北师大附中净月实验学校中考数学一检试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  如图，该立体图形的左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

2.  年月日下午，“天宫课堂”第二课在中国空间站正式开讲并直播，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富进行授课央视新闻抖音号进行全程直播，共吸引万网友观看，其中万用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  不等式的解集是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，数轴上点和点分别表示数和，则下列式子不正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  据古书记载：“春秋，鲁班至楚为楚王作攻城云梯，云梯之面为二角约为，若楚欲攻宋，知宋城高为十余丈，则梯长为修矣？”译：春秋时期，鲁班来到楚国为楚王制作了攻城用的云梯，如图所示，云梯与水平面的夹角为，若楚国欲攻打宋国，已知宋国城墙高为丈，则云梯梯身长约为(    )

 

A. 丈 B. 丈 C. 丈 D. 丈

6.  如图，，是的弦，点在弦上，连接并延长交于点，已知，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，在中，，，点，分别是图中所作直线和射线与，的交点根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，是双曲线上的一点，点是的中点，过点作轴的垂线，垂足为点，交双曲线于点，且的面积是，则(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9.  分解因式        ．

10.  若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是______ ．

11.  把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分本，则剩余本；如果每人分本，则缺本设这个班有学生人，则的值为______ ．

12.  如图，把直角尺的角的顶点落在上，两边分别交于三点，，，若的半径为则劣弧的长为______ ．

13.  如图，在正六边形中，以点为原点建立直角坐标系，边落在轴上，若点的坐标为，则点的坐标是______ ．

14.  二次函数，为常数，且，若对于任意的满足，且此时所对应的函数值最小值为，则的值是______ ．

三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
先化简，再求值：，其中，．

16.  本小题分
年春节期间，满江红在各大影院上映后，小明去影院观看这部电影，该影院有、两个入口和、、三个出口，若从每个入口进影院的可能性相同，从每个出口出影院的可能性也相同．
观众不从出口出影院的概率是        ；
用列表或画树状图的方法求小明恰好经过通道与通道的概率．

17.  本小题分
沃柑是一种甘甜爽口的水果，富含丰富的维生素某水果基地决定将一批沃柑送往外地销售现有甲、乙两种货车，已知甲种货车比乙种货车每辆车多装箱沃柑且甲种货车装运箱沃柑所用车辆数与乙种货车装运箱沃柑所用车辆数相等，求甲种货车每辆车可装多少箱沃柑？

18.  本小题分
图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
在图的线段上画一点，使得：：；
在图中，画的高；
在图中，若点、分别为线段、上的动点，连接、，当取最小值时，画出点、的位置．

 

19.  本小题分
如图，在四边形中，，过点作的角平分线交于点，连接交于点，．
求证：四边形是菱形；
若，的周长为，求菱形的面积．

20.  本小题分
每年月日是世界读书日，某校为了解学生课外阅读情况，随机抽取名学生，对每人每周用于课外阅读的平均时间单位：分钟进行调查，结果填入下表：

整理数据：

分析数据：

请根据以上提供的信息，解答下列问题：
填空： ______ ， ______ ， ______ ；
已知该校学生人，若每人每周用于课外阅读的平均时间不少于分钟为达标，请估计达标的学生数；
设阅读一本课外书的平均时间为分钟，请选择适当的统计量，估计该校学生每人一年按周计平均阅读多少本课外书？

21.  本小题分
小李、小王分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加公益活动如图，折线和线段分别表示小李、小王离甲地的距离单位：千米与时间单位：小时之间的函数关系根据图中提供的信息，解答下列问题：
求小王的骑车速度，点的横坐标；
求线段对应的函数表达式；
当小王到达乙地时，小李距乙地还有多远？

22.  本小题分
实践与探究
操作一：如图，将矩形对折，使点与点重合，点与点重合，折痕为展平后，将矩形沿过点的直线折叠，折痕为，点在边上，使点的对应点
落在上，连接若点、、共线，求证：≌；
操作二：如图，在矩形中，，，若矩形沿过点的直线折叠，点在边上，折痕为，点的对应点落在矩形的内部．
连接，的最小值为______ ；
如图，将矩形再沿过点的直线折叠，使点在直线边上折痕为，点的对应点为点，将矩形沿过点的直线继续折叠，点在上，折痕为，点的对应点为点我们发现，点的位置不同，点的位置也不同，当点恰好与点重合时，线段的长为______ ．

 

23.  本小题分
如图，在中，，，，点为边的中点动点从点出发，沿折线向点运动，在、上的速度分别为每秒个单位长度和每秒个单位长度连结、，设点的运动时间为秒．
线段的长为______ ；
用含的代数式表示线段的长；
当为钝角时，求的取值范围；
做点关于直线的对称点，连结，当时，直接写出的值．

24.  本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线为常数经过点，点在抛物线上，且点的横坐标为．
求抛物线的解析式，并直接写出顶点的坐标；
当时，过点作轴，垂足为点，过点作轴的垂线交抛物线于点，若，求的值；
点关于轴的对称点是点，点也在抛物线上，点的横坐标是，当线段不与坐标轴平行时，以为对角线构造矩形，使矩形各边与坐标轴垂直．
若抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而增大时，或者随的增大而减小时，求的取值范围；
当抛物线与矩形的边只有个交点，且交点的纵坐标之差为时，直接写出的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：从左边看，底层是两个小正方形，上层左边是一个小正方形，
故选：．
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
 

2.【答案】 

【解析】解：万．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
系数化为得，
故选：．
根据一元一次不等式解法直接求解即可得到答案．
本题考查解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式解法是解决问题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：如图所示：，，
A、，正确，不合题意；
B、，正确，不合题意；
C、，正确，不符合题意；
D、，故此选项错误，符合题意．
故选：．
利用，的位置，进而得出：，，即可分析得出答案．
此题主要考查了数轴以及有理数混合运算等知识，正确掌握运算法则是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
在中，，
．
故选：．
在中，，即可得出答案．
本题考查解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：连接，

，
，
，
，
，
．
故选：．
连接，根据圆的半径都相等即可求出答案．
本题考查的是圆的性质和等腰三角形的性质，掌握圆的半径相等和等边对等角是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
由作图痕迹得到平分，点为的垂直平分线与的交点，
，所以选项不符合题意；
，所以选项不符合题意；
，
，
，
所以选项不符合题意；
，，
，
，
选项符合题意．
故选：．
利用基本作图得到平分，则可对选项进行判断；利用基本作图可得到点为的垂直平分线与的交点，则根据线段垂直平分线的性质得到，所以可对选项进行判断；再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，则，接着利用得到，可对、选项进行判断；根据三角形内角和定理计算出，则可对选项进行判断．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了等腰三角形的性质．
 

8.【答案】 

【解析】解：点是的中点，
，，
，
，
点在双曲线上，轴，，
，
，
双曲线经过第一象限，
．
故选：．
根据点是的中点，根据三角形中线的性质可得，，进而可得，根据点在双曲线上，轴，，进而即可求解．
本题考查了三角形中线的性质，反比例函数的的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
原式提取公因式即可得到结果．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据题意得．
解得，
即的取值范围为．
故答案为：．
根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

11.【答案】 

【解析】解：设有名学生，根据书的总量相等可得：
，
解得：．
答：这个班有名学生．
故答案为：．
可设有名学生，根据总本数相等和每人分本，剩余本，每人分本，缺本可列出方程，求解即可．
本题考查了一元一次方程的应用，根据该班人数表示出图书数量得出等式方程是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：连接、，如图：

，
，
劣弧的长．
故答案为：．
连接、，如图，先根据圆周角定理求出的度数，再根据弧长公式计算即可．
本题考查了圆周角定理和弧长公式的计算，属于基础题型，熟练掌握基本知识是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：过作轴于，
在正六边形中，，
，
点的坐标为，
，
，，
，
，
故答案为：
过作轴于，根据正六边形的性质得到，求得，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了正多边形与圆，坐标与图形性质，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
将代入得，
将代入得，
当时，，
，
解得舍或，
当时，，不符合题意．
故答案为：．
由二次函数解析式可得抛物线的顶点坐标，分类讨论，时求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 

15.【答案】解：原式
，
当，时，
原式
． 

【解析】先用完全平方公式，平方差公式等展开，再将，的值代入计算即可．
本题考查整式化简求值，解题的关键是掌握完全平方公式，平方差公式，将所求式子化简．
 

16.【答案】 

【解析】解：观众不从出口出影院，即从或出口出影院，
观众不从出口出影院的概率是．
故答案为：．
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中小明恰好经过通道与通道的结果有种，
小明恰好经过通道与通道的概率为．
观众不从出口出影院，即从或出口出影院，根据概率公式计算即可．
画树状图得出所有等可能的结果数和小明恰好经过通道与通道的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
 

17.【答案】解：设甲种货车每辆车可装箱沃柑，则乙种货车每辆车可装箱沃柑，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：甲种货车每辆车可装箱沃柑． 

【解析】设甲种货车每辆车可装箱沃柑，则乙种货车每辆车可装箱沃柑，由题意：甲种货车装运箱沃柑所用车辆数与乙种货车装运箱沃柑所用车辆数相等．即可列出关于的分式方程，解分式方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

18.【答案】解：如图，取格点，，连接交于点，
：：，
：：．
则点即为所求．

，，
，
为等腰三角形，
如图，取的中点，连接即可．
为等腰三角形，为的高，
点与点关于对称，
如图，取格点，连接，交于点，交于点，使，
连接，
此时取得最小值，最小值即为的长．
即点，为所求．
 

【解析】取格点，，使：：，连接交于点，则点即为所求．
由题意得，为等腰三角形，则取的中点，连接即可．
取格点，连接，交于点，交于点，使，连接，此时取得最小值．
本题考查作图应用与设计作图、等腰三角形的性质、轴对称最短路线问题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

19.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，，
平分，
，
，
，
平行四边形是菱形；
解：由可知，四边形是菱形，
，，，，
的周长为，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
菱形的面积． 

【解析】证四边形是平行四边形，，再证，则，然后由菱形的判定即可得出结论；
由菱形的性质得，，，，再求出，则，然后由勾股定理得，则，即可解决问题．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
 

20.【答案】     

【解析】解：由统计表收集数据可知，，．
故答案为：；；；
人．
答：估计达标的学生有人；
本．
答：估计该校学生每人一年按周计算平均阅读本课外书．
根据统计表收集数据可求，再根据中位数、众数的定义可求，；
达标的学生人数总人数达标率，依此即可求解；
本题需先求出阅读课外书的总时间，再除以平均阅读一本课外书的时间即可得出结果．
此题主要考查数据的统计和分析的知识．准确把握三数平均数、中位数、众数和理解样本和总体的关系是关键．
 

21.【答案】解：由图可得，
小王的骑车速度是：千米小时，
点的横坐标为：；
设线段对应的函数表达式为，
，，
，
解得：，
线段对应的函数表达式为；
当时，，
此时小李距离乙地的距离为：千米，
答：当小王到达乙地时，小李距乙地还有千米． 

【解析】根据函数图象中的数据先求出小王的骑车速度，再求出点的坐标；
用待定系数法可以求得线段对应的函数表达式；
将代入中的函数解析式求出相应的的值，再用减去此时的值即可求得当小王到达乙地时，小李距乙地的距离．
本题考查了从函数图象获取信息，以及一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
 

22.【答案】  

【解析】操作一
证明：四边形是矩形，
，，
，，
由折叠得：，，
，，
，，
≌；
操作二
解：如图，

，
点在以为圆心，为半径的圆上运动，连接，交圆于，当运动时，最小，
，，
，
，
故答案为：；
解：由折叠得：，，，
设，则，
，
在中，由勾股定理得，
，
，
，
，
故答案为：．
操作一：可证得，，进而得出结论；
操作二：可推出点在以为圆心，为半径的圆上运动，连接，交圆于，当运动时，最小，进一步得出结果；
设，则，，在中，由勾股定理得：，即：，从而得出的值，进一步得出结果．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键熟练掌握有关基础知识．
 

23.【答案】 

【解析】解：如图中，过点作于点．

，，
，，
，
，
．
故答案为：．

当时，
当时，．
综上所述，；

如图中，当时，
，
，
，
此时．

如图中，当时，，

，
此时，
观察图形可知满足条件的的值为：或．
如图中，当时，过点作于点．

设，则，
，
，
，
．
如图中，当时，过点作于点．

设，则，
，
，
，
．
综上所述，满足条件的的值为或．
如图中，过点作于点解直角三角形求出，，再利用勾股定理求出即可；
分两种情形：当时．当时，分别根据路程，速度，时间的关系求解；
求出两种特殊情形：如图中，当时，如图中，当时，的值，可得结论；
分两种情形：如图中，当时，过点作于点解直角三角形求出如图中，当时，过点作于点记住解阿三角形求出，可得结论．
本题属于几何变换综合题，考查了解直角三角形，三角形的面积轴对称变换，等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
 

24.【答案】将代入解析式得：，解得．
解析式为：．
依题意设，
轴，轴，
，，
，
，
解得：．
由题意得：，，．
当时，平行轴，
令，解得，
即当时，平行轴．
如图，当时，在点左下方，不符合题意．

如图，当时，在的左上方符合题意．

如图，当时，在的右上方，矩形内无图象．

如图，当时，在的右下方，符合题意．

如图，当时，矩形内部有两段图象，不符合题意．

综上：的取值范围为：或．
由可知，矩形与抛物线必有一个交点，另一个交点出现在的邻边上满足题意．
令，解得舍，．
令，解得，舍，舍，舍．
综上值为：或． 

【解析】待定系数法求解析式，配方得顶点．
点坐标设好，依题意列方程求值．
按值，分，，，，几种情况画出图形分别研判，确定的范围或特定值．
本题考查了二次函数的性质，通过图形的动态变化，考查运算，绘图、推理等能力，且做题需认真细致．