2021-2022学年吉林省长春市东北师大慧仁实验学校九年级（下）月考数学试卷（3月份）（Word解析版）

2021-2022学年吉林省长春市东北师大慧仁实验学校九年级（下）月考数学试卷（3月份）

一、选择题（本大题共8小题，共24分）

1. 的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 研究表明，可燃冰是一种可替代石油的新型清洁能源，在我国某海域已探明的可燃冰储存量达立方米，其中数字用科学记数法可表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如图是由个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

5. 如图所示，在边长相同的小正方形组成的网格中，两条经过格点的线段相交所成的锐角为，则夹角的正弦值为(    )

A.
B.
C.
D.

6. 如图，点是上一点，平分交于点，若，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 用直尺和圆规作斜边上的高线，以下四个作图中，作法错误的是(    )

A.  B.
C.  D.

8. 如图所示，已知为反比例函数图象上的两点，动点在轴正半轴上运动，当的值最大时，连结，的面积是(    )

1. 
   B.
   C.
   D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

9. 计算：______．
10. 分解因式：______．
11. 如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是______．
12. 一副三角板按如图方式摆放，得到和，其中，，，为的中点，过点作于点若，则的长为______．
13. 如图，是的直径，为圆周上一点，的平分线交于，连接，，若，则图中阴影部分的面积为______ ．

14. 如图，“心”形是由抛物线和它绕着原点，顺时针旋转的图形经过取舍而成的，其中顶点的对应点为，点，是两条抛物线的两个交点，点，，是抛物线与坐标轴的交点，则______．

三、解答题（本大题共8小题，共58分）

15. 先化简，再求值：，其中．
16. 甲、乙两个不透明的口袋中各装有个小球，它们除所标数字不同外其余均相同．甲口袋中小球分别标有数字，，，乙口袋中小球分别标有数字，，现从甲口袋中随机摸出个小球，记下标号；再从乙口袋中随机摸出个小球，记下标号．用树状图或列表的方法，求两次摸出小球的标号之积是偶数的概率．
17. 孙子算经是中国古代重要的数学著作，其中有一段文字的大意是：甲、乙两人各有若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱文；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱文．甲、乙两人原来各有多少钱？
18. 图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为的顶点均在格点上要求只用无刻度的直尺，分别按下列要求画图．
    在图中画的中线．
    在图中画的高线，并直接写出的长保留确定点的画图痕迹

19. 为庆祝中国共产党建党周年，某校举行了“红色华诞，党旗飘扬”党史知识竞赛为了解竞赛成绩，抽样调查了七、八年级部分学生的分数，过程如下：
    收集数据．
    从该校七、八年级学生中各随机抽取名学生的分数，其中八年级的分数如下：
    
    整理、描述数据．
    按下表分段整理描述样本数据：

分析数据．
两组样本数据的平均数中位数、众数、方差如表所示：

根据以上提供的信息，解答下列问题：
填空： ______ ， ______ ， ______ ；
样本数据中，七年级甲同学和八年级乙同学的分数都为分，______ 同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前填“甲”或“乙”；
从样本数据分析来看，分数较整齐的是______ 年级填“七”或“八”；
如果七年级共有人参赛，则该年级约有______ 人的分数不低于分．

20. 如图，四边形是平行四边形，于，于，且．
    求证：四边形是菱形．
    连接，若，，直接写出四边形的周长．

21. 某工厂安排甲、乙两个运输队各从仓库调运物资吨，两队同时开始工作，甲运输队工作天后因故停止，天后重新开始工作，由于工厂调离了部分工人，甲运输的工作效率降低到原来的甲、乙运输队调运物资的数量吨与甲工作时间天的函数图象如图所示．
    ______；______．
    求甲运输队重新开始工作后，甲运输队调运物资的数量吨与工作时间天的函数关系式；
    直接写出乙运输队比甲运输队多运吨物资时的值．

22. 感知：如图，在中，、分别是、两边的中点，延长至点，使，连结易知≌．
    
    探究：如图，是的中线，交于点，交于点，且，求证：．
    应用：如图，在中，，，，是的中位线．过点、作，分别交边于点、，过点作，分别与、的延长线交于点、，则四边形周长的取值范围是______．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据相反数的定义知，的相反数是．
故选：．
依据相反数的定义求解即可．
本题主要考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：从左边看第一层底层是两个小正方形，第二层左边是一个小正方形，
故选：．
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
 

4.【答案】 

【解析】解：
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为，
在数轴上表示为：，
故选：．
先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图，设与交于点，过点作，连接，

，
，
设小正方形的边长为，
根据勾股定理可得，
，
，
，，
为等腰直角三角形，
，
，
夹角的正弦值为．
故选：．
如图，设与交于点，过点作，连接，可得，设小正方形的边长为，然后根据勾股定理及逆定理可得为等腰直角三角形，从而得到，即可求解．
本题主要考查了勾股定理及其逆定理，锐角三角函数，根据题意作适当辅助线构造出直角三角形是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
平分，
，
又，
．
故选：．
由平角求出的度数，由角平分线得出的度数，再由平行线的性质即可求出的度数．
本题考查的是平行线的性质以及角平分线的定义．熟练掌握平行线的性质，求出的度数是解决问题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
考查了作图复杂作图，关键是熟练掌握作过直线外一点作已知直线的垂线的方法．
根据过直线外一点作已知直线的垂线作图即可求解．
【解答】

解：、根据垂径定理作图的方法可知，是斜边上的高线，不符合题意；
B、根据直径所对的圆周角是直角的方法可知，是斜边上的高线，不符合题意；
C、根据相交两圆的公共弦的性质可知，是斜边上的高线，不符合题意；
D、无法证明是斜边上的高线，符合题意．
故选D．
 

8.【答案】 

【解析】解：把，代入反比例函数得：，，
，，
在中，由三角形的三边关系定理得：，
延长交轴于，当在点时，，
即此时线段与线段之差达到最大，
设直线的解析式是，
把、的坐标代入得：，
解得：，，
直线的解析式是，
当时，，
即，
，
，
故选：．
求出、的坐标，设直线的解析式是，把、的坐标代入求出直线的解析式，根据三角形的三边关系定理得出在中，，延长交轴于，当在点时，，此时线段与线段之差达到最大，求出直线于轴的交点坐标即可根据三角形面积公式求得的面积．
本题考查了三角形的三边关系定理和用待定系数法求一次函数的解析式的应用，解此题的关键是确定点的位置，题目比较好，但有一定的难度．
 

9.【答案】 

【解析】解：；
故答案为：．
根据二次根式的乘法法则进行计算即可．
此题考查了二次根式的乘法，掌握二次根式的运算法则：乘法法则是本题的关键，是一道基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
首先提取公因式，再利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
解得．
故答案为：．
利用判别式的意义得到，然后解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

12.【答案】 

【解析】解：过点作于．

，，
．
．
，
．
，
．
，，，
．
又是的中点，
为的中点，
．
故答案为：
过作于，得到，进而得到的值，在的直角三角形和直角三角形中，计算出，的值．再由，是的中点，得到为的中点，最后由梯形中位线定理得到的长．
本题主要考查的是梯形的中位线定理、特殊锐角三角函数值的应用，证得为梯形的中位线是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：连接，
是直径，
，
是的平分线，
，
，，
，
，
阴影部分的面积是：，
故答案为：．
根据题意，可以而得到的度数和的长，然后根据图形可知，阴影部分的面积是扇形的面积与的面积之和，然后代入数据计算即可．
本题考查扇形面积的计算，解答本题的关键是明确扇形面积的计算公式，利用数形结合的思想解答．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，连接，过点作于点，
抛物线和它绕着原点，顺时针旋转的图形交于、两点，
，、关于直线对称，
，
，
，设，则，
，
，
抛物线经过点，
，
解得：或，
，，
．
故答案为：．
如图，连接，过点作于点，设，则，可得，根据抛物线经过点，建立方程可求得．
本题考查了二次函数的图象和性质，旋转的性质，两点之间距离公式，直角三角形性质，解题关键是理解题意，运用数形结合思想和方程思想．
 

15.【答案】解：

，
当时，原式． 

【解析】根据平方差公式和多项式乘多项式可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查整式的混合运算化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的计算方法．
 

16.【答案】解：列表得：

两次摸出的小球标号之积是偶数． 

【解析】首先列表将所有等可能的结果全部列举出来，利用概率公式求解即可求出两次摸出小球的标号之积是偶数的概率．．
本题考查了列表法与树状图法求概率，解题的关键是通过列表或树形图能够将所有等可能的结果全部列举出来，难度不大．
 

17.【答案】解：设甲原有文钱，乙原有文钱，
由题意可得，，
解得：，
答：甲原有文钱，乙原有文钱． 

【解析】根据甲、乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱文；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱文，可以列出方程组，从而可以解答本题．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
 

18.【答案】解：如图，线段即为所求作．

如图，线段即为所求作．
，
． 

【解析】与网格线的交点为，线段即为所求作．
取格点，连接交于点，线段即为所求作，利用面积法求出即可．
本题考查作图应用与设计作图，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

19.【答案】；  ； 
甲 
八 
 

【解析】解：七、八年级学生中各随机抽取名学生的分数，
，
八年级学生的成绩从低到高排列，第，名学生的成绩为分，分，
分，
八年级成绩的分出现了次，次数最多，
，
故答案为：，，；
甲同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前，理由如下：
八年级的中位数是分，七年级的中位数是分，
分大于七年级成绩的中位数，而小于八年级成绩的中位数，
七年级甲同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前；
故答案为：甲；
八年级成绩的方差小于七年级成绩的方差，
分数较整齐的是八年级，
故答案为：八；
因为七年级不低于分的有人，
所以人，
故答案为：．

根据七、八年级学生中各随机抽取名学生的分数可得，第，名学生的成绩为分，分，即可求出的值，分出现了次，次数最多，可得的值；
根据八年级的中位数是分，七年级的中位数是分，可得分大于七年级成绩的中位数，而小于八年级成绩的中位数，进而可得结论；
根据方差进行评价即可作出判断；
用七年级不低于分的比例乘以总人数即可．
本题考查频数分布表、用样本估计总体、方差、中位数、众数的意义及求法，理解各个统计量的意义，明确各个统计量的特点是解决问题的前提和关键．
 

20.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形是菱形；
解：，，
，
由知，≌，
，，
是等边三角形，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
由知，四边形是菱形，
四边形的周长． 

【解析】利用全等三角形的性质证明即可证得结论；
首先证得．是等边三角形，得到，由平行线的性质求出，即，得到，根据勾股定理求出，得到，即可求得菱形的周长．
本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，根据全等三角形的判定证得≌是本题的关键．
 

21.【答案】；；
设函数关系式为，
图象过，

解得：
解析式

由题意得：乙运输队调运物资的数量吨与工作时间天的函数关系式：
若乙运输队调运物资没有完成．
乙运输队比甲运输队多运吨物资

当乙运输队运输完物资后，
乙运输队比甲运输队多运吨物资

或 

【解析】

解：甲运输队工作天后因故停止，天后重新开始工作

甲运输的工作效率降低到原来的
原来天调运吨，现在需天调运吨．
；
故答案为：；；
见答案；

见答案．
【分析】
根据题意可以求，的值．
设解析式为且过，，用待定系数法可求解析式．
由乙运输队比甲运输队多运吨物资，可得，代入可得的值．
本题考查一次函数的图象性质，本题关键是用待定系数法求一次函数解析式．  

22.【答案】 

【解析】探究：证明：如图，延长至点，使，连接，
在和中，，
≌．
，．
，
，
，
，
，
；

应用：解：如图，
，，
四边形是平行四边形，
，，
是的中位线，
，，
，
四边形周长，
时，最短，
即：四边形的周长最小，
过点作于，

在中，，，
，，
，

四边形的周长最小为，
四边形的周长最大为，如图
故答案为：．
探究：先判断出≌进而得出，再判断出得出即可得出结论；
应用：先判断出四边形是平行四边形，再判断出，进而判断出时，四边形的周长最小和点和重合时最大，最后构造出直角三角形求出即可得出结论．
此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中位线，平行四边形的判定和性质，平行线间的距离，解探究关键是≌，解应用的关键是判断出时，四边形的周长最小和点和重合时最大．