2022-2023学年吉林省长春市朝阳区南湖实验中学九年级（上）段考数学试卷（10月份）（含解析）

2022-2023学年吉林省长春市朝阳区南湖实验中学九年级（上）段考数学试卷（10月份）

一、选择题（本大题共8小题，共24分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    下列四个数中，最小的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    一个数用科学记数法表示为，则这个数是(    )

A.  B.  C.  D.

3.    一个机器零件如图放置，其主视图如图所示，则其俯视图是(    )

A.
B.
C.
D.

4.    下列计算结果正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.    如图，的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

6.    关于的一元二次方程的根的情况是(    )

A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定

7.    如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图已知、两点间的距离为米，，则缆车从点到达点，上升的高度的长为(    )
    

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

8.    如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别落在轴、轴的正半轴上，，若反比例函数经过，两点，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

9.    分解因式：______．
10. 不等式组的解集是______．
11. 如图，已知矩形，，，在其矩形内部有三个小矩形，则这三个小矩形的周长之和为______．

12. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，平移线段，使点落在点处，则点对应点的坐标为______．
     
13. 如图，在的方格中，两条线段的夹角锐角为，则 ______ ．

14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，过点作轴交抛物线于点若，则抛物线的解析式为______．

三、解答题（本大题共9小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15. 本小题分
    先化简，再求值：，其中，．
16. 本小题分
    春开学，为防控新冠病毒，学生进校必须戴口罩，测体温，某校开通了、、三条人工测体温的通道，在三个通道中，可随机选择其中的一个通过，求甲、乙两学生在进校园时，在同一通道过的概率．用画“树状图”或“列表格”
17. 本小题分
    图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图．不写作法，保留画图痕迹
    在图中，在上画一点，使．
    在图中，在上画一点，使：：．
    在图中，在内画一点，使：：：：．
18. 本小题分
    某文化用品商店用元购进一批学生书包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的倍，但单价贵了元，结果购进第二批用了元．购进第一批书包的单价是多少元？
19. 本小题分
    如图，抛物线经过坐标原点，并与轴交于点．
    求此抛物线的解析式及顶点坐标；
    若抛物线上有一点，且，求点的坐标．

20. 本小题分
    重庆市红色旅游景点众多，例如歌乐山烈士陵园、红岩革命纪念馆、刘伯承同志纪念馆、聂荣臻元帅陈列馆等等，某学校为了解初三学生对重庆历史文化的了解程度，随机抽取了男、女各名学生进行问卷测试，问卷共道选择题，现将得分情况统计，并绘制了如图不完整的统计图数据分组为组：，组：，组：，组：，表示问卷测试的分数，大于分为优秀，其中男生得分处于组的得分情况分别为：，，，，，，，，，，，，，．
    男生、女生得分的平均数、中位数、众数、优秀人数百分比如表所示：

填空：______，______，并补全条形统计图；
根据以上数据，你认为男生和女生对重庆历史文化了解哪个更好？请说明理由一条即可．
已知该校初三年级共有男生人，女生人，请估计该校初三年级参加问卷测试成绩处于组的总人数；

21. 本小题分
    近年，净月潭公园将环潭公路改造为东北三省最长的人车分离彩色环保公路，平坦宽敞的路面分橙、黑两色，拓宽了原有的人行步道，成为市民健身的好去处．小明和爸爸参加了此公园举办的“亲子健身赛”，两人的行程千米随时间时变化的图象全程如图所示．
    两人出发后______小时相遇，此次“亲子健身赛”的全程是______千米．
    求出所在直线的函数关系式．
    若小明想和爸爸一起到达终点，则需在两人出发小时后，将速度调整为______千米时．
     
22. 本小题分
    【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第页的部分内容：
    如图，在中，点、分别是与的中点，可以猜想：且请写出证明过程．
    【结论应用】
    如图，四边形中，，、、分别是、、的中点．若，，求的度数．
    如图，在外分别作正方形和，是的中点，，分别是正方形的中心，，
    ，则的面积最大值为______．
     

23. 本小题分
    如图，在中，，，动点从点出发以每秒个单位的速度沿向点运动，同时点从点出发以每秒个单位的速度沿向终点运动，以、为邻边作▱，当点到达点时，点也随之停止运动，设点的运动时间为秒．
    用含的代数式表示的长．
    当时．求的值．
    当点落在一边的垂直平分线上时，直接写出的值．
    以为边向左侧作正方形当▱的一边所在直线把正方形的面积分成：两部分时，直接写出的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小．
根据有理数大小比较的法则判断即可．
【解答】
解：因为，
所以所给的四个数中，最小的数是．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，表示时关键要确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：这个几何体的俯视图为：，
故选：．
根据俯视图的定义，判断即可．
本题考查作图由三视图判断几何体，简单的组合体的三视图等知识，解题的关键是理解三视图的定义，属于中考常考题型．
 

4.【答案】 

【解析】解：、与不是同类项，不能合并计算，故此选项不符合题意；
B、原式，故此选项不符合题意；
C、原式，故此选项不符合题意；
D、原式，故此选项符合题意；
故选：．
根据合并同类项运算法则判断，根据单项式除以单项式的运算法则判断，根据单项式乘单项式的运算法则判断，根据积的乘方与幂的乘方运算法则判断．
本题考查整式的混合运算，掌握单项式乘以单项式，单项式除以单项式，幂的乘方，积的乘方运算法则是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图．

由图得：，．
，．
．
故选：．
由图得：，，得，，进而推断出．
本题主要考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解决本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
先求出根的判别式的值，再判断出其符号即可得到结论．
本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与的关系是解答此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：由图可知，中，，
，
米．
故选：．
根据求解．
本题考查解直角三角形，解题关键是熟练掌握锐角三角函数的定义．
 

8.【答案】 

【解析】解：过点作轴于点，如图所示：

则，
矩形的顶点，分别落在轴、轴的正半轴上，
，，
，，
，
，
∽，
：：：，
设，
，，
，：：，
，，
点坐标为，
根据平移，可得点坐标为，
反比例函数经过，两点，
，
解得或舍去，
点坐标为，
将点坐标代入，
得，
故选：．
过点作轴于点，易证∽，根据相似三角形的性质可得：：：，设，根据，，表示出点坐标，再根据平移的性质可得点坐标，再根据点和点都在反比例函数上列方程，求出的值，进一步可得点坐标，即可确定的值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，待定系数法求解析式等，本题综合性较强，难度较大．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了提公因式法与平方差的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
原式提取，再利用平方差公式分解即可．
【解答】
解：原式．  

10.【答案】 

【解析】解：由，得：，
由，得：，
则不等式组的解集为，
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：由平移的性质以及矩形周长的定义可知，
这三个小矩形的周长之和为，
故答案为：．
由平移的性质将三个矩形周长之和转化为的周长即可．
本题考查生活中的平移现象，掌握平移的性质是正确解答的前提．
 

12.【答案】 

【解析】解：由点平移后可得坐标的变化规律是：横坐标减，纵坐标加，
点的对应点的坐标．
故答案为．
由点平移后可得坐标的变化规律，由此可得点的对应点的坐标．
本题考查了坐标系中点、线段的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．关键是由点平移后可得坐标的变化规律，由此可得点的对应点的坐标．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，过点作，连接，

，，，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
由勾股定理的逆定理可得，可得，由平行线的性质和锐角三角函数可求解．
本题考查了解直角三角形，勾股定理的逆定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：设，，
令，则，
由根与系数的关系得：，，
则，
令，则，
，
轴，
点纵坐标为，
当时，则，
解得：，或，
，
，
，
，
解得：，
抛物线的解析式为，
故答案为：．
先用根与系数的关系求出，再根据求出，然后由得到关于的方程，解方程求出即可．
本题考查抛物线与轴的交点以及根与系数的关系，关键是根与系数关系的应用．
 

15.【答案】解：


，
当，时，原式


． 

【解析】先去括号，再合并同类项，然后把，的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．
本题考查整式的混合运算化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

16.【答案】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中甲、乙两学生在进校园时，在同一通道过的结果有种，
甲、乙两学生在进校园时，在同一通道过的概率为． 

【解析】画树状图得出所有等可能的结果数和甲、乙两学生在进校园时，在同一通道过的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．用到的知识点为：概率．
 

17.【答案】解：在图中，点即为所求；
在图中，点即为所求；
在图中，点即为所求．
 

【解析】取的中点即可；
取格点，，连接交于点，点即为所求；
利用数形结合的思想，判断出点到的距离为，到的距离为，取格点，，连接交直线于点，点即为所求．
本题考查作图应用与设计作图，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

18.【答案】解：设购进第一批书包的单价是元，则购进第二批书包的单价是元，由题意得：
，
解得：，
经检验，是原方程的解．
答：购进第一批书包的单价是元． 

【解析】首先设购进第一批书包的单价是元，则购进第二批书包的单价是元，根据题意可得等量关系：第一批购进的数量第二批购进的数量，由等量关系可得方程，解方程即可．
此题主要考查了分式方程的应用，关键是弄清题意，设出未知数，列出方程．列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性．
 

19.【答案】解：抛物线解析式为，即．
因为，
所以抛物线的顶点坐标为；
设，
因为，
所以，
所以或，
解方程得，，则点坐标为或；
解方程得，则点坐标为，
所以点坐标为或或． 

【解析】利用交点式求抛物线解析式；解析式配成顶点式即可得到抛物线顶点坐标；
设，根据三角形面积公式得到，则或，然后分别解两个方程求出，从而可得到点坐标．
本题考查了抛物线与轴的交点，运用待定系数法求一次函数的解析式的运用，二次函数的顶点式的运用，三角形的面积公式的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
 

20.【答案】   

【解析】解：男生组的百分比为，
所以，
女生组的人数为人，
所以，
故答案为：，．
我认为男生了解更好，理由如下：
从中位数来看，男生得分的中位数，大于女生得分的中位数，所以男生对历史文化了解更好；
，
答：估计该校参加问卷测试成绩处于组的人数约为人．
根据男生组的百分比，再根据中位数的定义求，先求女生组的人数，再求即可；
根据中位数或众数的大小判断即可；
利用样本估计总体的思想解决问题即可．
本题考查扇形统计图，条形统计图，样本估计总体等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

21.【答案】     

【解析】解：由图象可得，两人出发后小时相遇，
“亲子健身赛”的全程是千米，
故答案为：，；
设所在直线的函数关系式是，
函数的图象过点和，
，解得，
所在直线的函数关系式是；
在中，令得，
出发小时，小明距终点还有千米，
若小明想和爸爸一起到达终点，则需在两人出发小时后，将速度调整为千米时，
故答案为：．
由图象可得，两人出发后小时相遇，全程是千米；
设所在直线的函数关系式是，由图象过点和，即得所在直线的函数关系式是；
在中，令得，可得出发小时，小明距终点还有千米，即可得到答案．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

22.【答案】 

【解析】【教材呈现】：证明：，分别是，的中点，
，
，
∽，
，，
，；
【结论应用】
、、分别是、、的中点，
，，，，
，，
，
，
，
，
；
如图，连接，交于点，与与点，连接，，

在正方形和中，，，，
，
≌，
，，
，
，
，即，
，分别是正方形的中心，
点在上，点在上，
，，
又，
，，，，
，，
是等腰直角三角形，
的面积，
当有最大值时，的面积有最大值，
，
当有最大值时，有最大值，
，
，
，
的面积的最大值为，
故答案为：．
【教材呈现】：利用相似三角形的性质证明即可；
【结论应用】：由三角形的中位线定理可得，，，，由平行线的性质和等腰三角形的性质可求解；
由“”可证≌，可得，，由三角形中位线定理可证是等腰直角三角形，可得的面积，则当有最大值时，的面积有最大值，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题．
 

23.【答案】解：，，，
，
，
．
，，
，
，
∽，
，
，
解得：．
四边形是平行四边形，
，，
当点在边的垂直平分线上时，
如图，延长交于点，

，
，
，
，
，
解得：，
当点在边的垂直平分线上时，
如图，设边的垂直平分线交，于点，，

，
，
，
，，
，
，
，
∽，
，
，
解得：，
如图，点在边的垂直平分线上时，设边的垂直平分线交于点，

，，
，
，
，
∽，
，
，
解得：，
综上所述，当点落在一边的垂直平分线上时，的值为或或．
如图，延长交于点，设交于点，

所在直线把正方形的面积分成：两部分，
，
，
，
，
，
，
，
设，则：
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
如图，设交于点，设交于点，

所在直线把正方形的面积分成：两部分，
，
同理，，，
，
，
，
，
，
，
设，则：
，，
，
，
解得：，
，
，
，
解得：，
如图，过点作于点，交于点，

，
∽，
，
，，，，
，，
，
，
四边形是正方形，
，
∽，
，
此时将正方形面积分为：两部分，
，
，
解得：，
综上所述，当平行四边形的一边所在直线把正方形的面积分为：两部分时，的值为或或． 

【解析】根据勾股定理可得，根据题意可得，即可求解；
根据，可得∽，从而可得，即可求解；
根据平行四边形的性质可得，，然后分三种情况：当在的垂直平分线上时，当在的垂直平分线上时，当在的垂直平分线上时，即可求解；
分两种情况：当所在直线把正方形的面积分成：时，当所在直线把正方形的面积分成：时，即可求解．
本题是三角形综合题，主要考查勾股定理，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，锐角三角函数，熟练掌握相关知识点，并利用分类讨论思想解答是解题的关键．