2021-2022学年吉林省长春市南关区东北师大附中净月实验学校九年级（下）第一次段考数学试卷（含解析）

2021-2022学年吉林省长春市南关区东北师大附中净月实验学校九年级（下）第一次段考数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）

1. 的绝对值等于

A.  B.  C.  D.

2. 目前全球新型冠状病毒肺炎疫情防控形势依旧严峻，我们应该坚持“勤洗手，戴口罩，常通风”一双没有洗过的手，带有各种细菌约万个，将数据用科学记数法表示是

A.  B.  C.  D.

3. 下列三棱柱展开图错误的是

A.  B.  C.  D.

4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是

A.  B.
C.  D.

5. 如图要测量小河两岸相对的两点、的距离，可以在小河边取的垂线上的一点，测得米，，则小河宽为米．

A.
B.
C.
D.

6. 如图，是的直径，点，在上，交于点若，则的度数为

A.
B.
C.
D.

7. 在中，，分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于、两点，连接直线，分别交、于点、，连接，则的周长为

A.  B.  C.  D.

8. 如图，直线分别与轴，轴交于点，，点，为线段的三等分点，且，在反比例函数的图象上，，则的值为

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9. 长春市净月潭国家森林公园门票的价格为成人票每张元，儿童票每张元．若购买张成人票和张儿童票，则共需花费______元．
10. 因式分解：______．
11. 如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是______．
12. 如果一个多边形的每个外角都等于，则这个多边形的边数为______ ．
13. 已知如图：中，，，以为直径的圆交于，若，则阴影部分的面积为______．

14. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线的顶点为，与抛物线交于轴上方的点，过点作垂直于轴的直线，分别交两条抛物线于，两点两点均不与点重合，连结，，，，则四边形的面积为______．

三、解答题（本大题共10小题，共78.0分）

15. 先化简，再求值：，其中．
    
    
    
    
    
    
     
16. 年冬奥会将在中国北京举行，小明和小刚都计划去观看冬奥项目比赛．他们都喜欢的冬奥项目分别是：“短道速滑”、“冰球”、“花样滑冰”和“跳台滑雪”小明和小刚计划各自在这个冬奥项目中任意选择一个观看，每个项目被选择的可能性相同．
    小明选择项目“花样滑冰”的概率是多少？
    用画树状图或列表的方法，求小明和小刚恰好选择同一项目观看的概率．
    
    
    
    
    
    
     
17. 根据疫情防控工作需要，某社区组织甲、乙两支医疗队开展疫苗接种工作，甲队比乙队每小时多接种人，甲队接种人与乙队接种人用时相同问甲队每小时接种多少人？
    
    
    
    
    
    
     
18. 如图是由小正方形组成的网格，的三个顶点、、都在格点上．用无刻度的直尺，运用所学的知识作图保留作图痕迹．
    在图中作的高；
    在图中的边上找一点，使；
    在图中内找到一点，使．

19. 如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线分别交，于点，，与相交于点，连接，求证：四边形是菱形．

20. 今年寒假期间某校积极推进线上学习活动，该校对学生在线学习时间进行了抽样调查，过程如下．
    【收集数据】随机抽取名学生，调查平均每天在线学习时间单位：，数据如下：
    
    
    整理数据按下表分段整理样本数据．

【分析数据】样本数据的平均数、众数及中位数单位：如表：

根据以上信息，回答下列问题：
填空：______，______，______，
若该校共有名学生，请估计该校学生平均每天在线学习时间处于等级及以上的人数；
假设学生在线学习时间的三分之一是用于文章阅读，平均阅读一篇文章耗时，请你根据样本数据中的平均数估计寒假期间该校每位学生线上学习时平均阅读文章的篇数．每月按天计算






 

21. 甲、乙两辆汽车沿同一路线赶赴距出发地千米的目的地，乙车比甲车晚出发小时从甲车出发时开始计时图中折线、线段分别表示甲、乙两车所行路程千米与时间小时之间的函数关系对应的图象线段表示甲出发不足小时因故停车检修请根据图象所提供的信息，解决如下问题：
    乙车的车速为______，点的纵坐标为______；
    求线段对应的函数关系式；
    请直接写出第一次相遇后，经过多长时间两车相距千米？

22. 实验与探究
    操作一：如图是一张矩形纸片，点在边上，把沿直线翻折，使点落在对角线上的点处，连结，且点、、在同一直线上，
    若，则______
    当时，求的长．
    操作二：如图，矩形纸片的中，，点是的中点，点是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连结，则线段的最小值是______．

23. 在中，，，，点从点出发，以每秒个单位的速度向点运动，同时，点从点出发，以每秒个单位的速度向点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，连结，在射线上截取，以、为边作▱设运动时间为秒．
    的长为______．
    当▱为正方形时，求的值．
    当▱与的重叠部分为轴对称图形时，求的长．
    作点关于直线的对称点，当点、、不共线，且等于一个内角的倍时直接写出的值．

24. 在平面直角坐标系中，函数为常数的图象与轴交于点．
    求点的坐标．
    当此函数图象经过点时，求此函数的表达式，并写出函数值随的增大而增大时的取值范围．
    当时，若函数为常数的图象的最低点到直线的距离为，求的值．
    设，三个顶点的坐标分别为、、当函数为常数的图象与的直角边有交点时，交点记为点过点作轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为与不重合，过点作轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为若，直接写出的值．

答案和解析

1.【答案】

【解析】

解：的绝对值等于，
故选：．
根据绝对值的性质直接计算即可．
本题考查了绝对值，掌握绝对值的性质是解题的关键．
 

2.【答案】

【解析】

解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】

【解析】

解：、、中间三个长方形能围成三棱柱的侧面，上、下两个三角形围成三棱柱的上、下两底面，故均能围成三棱柱，均是三棱柱的表面展开图．围成三棱柱时，两个三角形重合为同一底面，而另一底面没有．故D不能围成三棱柱．
故选：．
根据三棱柱的两底展开是三角形，侧面展开是三个四边形，可得答案．
本题考查了几何体的展开图，注意两底面是对面，展开是两个全等的三角形，侧面展开是三个矩形．
 

4.【答案】

【解析】

解：移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为，得：，
故选：．
根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
 

5.【答案】

【解析】

解：，
，
米，，
，
小河宽米．
故选：．
在直角三角形中根据的正切函数可求小河宽的长度．
本题考查了解直角三角形的应用，解直角三角形的一般过程是：将实际问题抽象为数学问题画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．
 

6.【答案】

【解析】

解：是的直径，，
，
，
故选D．
由是的直径，，得出，进而得出，即可得出答案．
本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，掌握圆周角定理是解决问题的关键．
 

7.【答案】

【解析】

解：由作法得垂直平分，
，，，
，
，，
，
，
，
在中，，
的周长．
故选：．
利用基本作图得到垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，，，再证明，所以，然后利用勾股定理计算出，从而得到的周长．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．
 

8.【答案】

【解析】

解：作轴于，
设，，则，，
点，为线段的三等分点，
，
，
，
，
故选：．
作轴于，设，，则，由题意可知，然后利用三角形面积公式得到，求得．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积，表示出的坐标以及的长是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查代数式表示数量关系，理解和掌握单价数量总价，是列代数式的前提．
根据单价数量总价，用代数式表示结果即可．
【解答】
解：根据单价数量总价得，元，
故答案为：．  

10.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键．可以写成，符合平方差公式的特点，利用平方差公式分解即可．
【解答】
解：，
故答案为．  

11.【答案】

【解析】

解：根据题意得，
解得．
故答案为：．
利用判别式的意义得到，然后解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

12.【答案】

【解析】

解：．
故这个多边形的边数为．
故答案为：．
根据正多边形的边数等于除以每一个外角的度数列式计算即可得解．
本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角和、多边形的每一个外角的度数、多边形的边数三者之间的关系是解题的关键．
 

13.【答案】

【解析】

解：连接，
中，，，
，
以为直径的圆交于点，
，
，
，
，
图中阴影部分的面积为：

故答案为：．
连接，构建直径所对的圆周角，利用等腰直角三角形的性质得出图中阴影部分的面积为的面积，即可得出答案．
此题主要考查了等腰直角三角形的性质以及圆周角定理的推论等知识，连接是解决问题的关键．
 

14.【答案】

【解析】

解：，
抛物线对称轴为直线，顶点坐标为，
，
抛物线对称轴为轴，
令，
解得，
把代入得，
点坐标为，点坐标为，点坐标为，
，
四边形的面积，
故答案为：．
令，求出点坐标，由抛物线的对称性求出长度，进而求解．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系，掌握坐标系内三角形面积的求法．
 

15.【答案】

解：原式
，
当时，
原式．
 

【解析】

直接利用乘法公式、单项式乘多项式化简，合并同类项，再把已知数据代入得出答案．
此题主要考查了整式的混合运算化简求值，正确运用乘法公式计算是解题关键．
 

16.【答案】

解：小明选择项目“花样滑冰”的概率是；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，小明和小刚恰好选择同一项目观看的结果有种，
小明和小刚恰好选择同一项目观看的概率为．
 

【解析】

直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，小明和小刚恰好选择同一项目观看的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比．
 

17.【答案】

解：设甲队每小时接种人，则乙队每小时接种人，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：甲队每小时接种人．
 

【解析】

设甲队每小时接种人，则乙队每小时接种人，利用工作时间工作总量工作效率，结合甲队接种人与乙队接种人用时相同，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

18.【答案】

解：如图所示，即为所求；

如图，点即为所求，使；
如图，点即为所求，使．
 

【解析】

根据垂线的画法，找出格点，连接即可；
图中找到的三等分点，进而可以解决问题；
图中找到三角形的重心即可．
本题主要考查了作图应用与设计作图，垂线的画法，平分线分线段成比例，三角形重心的性质等知识，熟练掌握三角形的中线将三角形的面积平分是解题的关键．
 

19.【答案】

证明：四边形是平行四边形，
，
，
又垂直平分，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形．
 

【解析】

由线段垂直平分线的性质得，再证≌，得，则四边形是平行四边形，然后由，即可得出结论．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

20.【答案】

【解析】

解：由数据可得：，，．
故答案为：，，；
处于等级及以上的人数为人．
故该校学生平均每天在线学习时间处于等级及以上的人数为人；
每位学生线上学习时平均阅读文章的篇数为篇．
故每位学生线上学习时平均阅读文章的篇数为篇．
根据数据和众数和中位数得出即可；
根据样本估计总体解答即可；
根据样本估计总体解答即可．
本题考查了平均数、中位数、众数的意义和求法，理解各个统计量的意义，掌握平均数、众数、中位数的求法是解决问题的前提．
 

21.【答案】

【解析】

解：由题意可知，乙车行驶的速度为：千米小时；
设乙车所行使路程与时间的函数关系式为，
把和代入，得，
解得：，
与的函数关系式为，
由图可得，交点表示第二次相遇，点的横坐标为，
此时，
故答案为：；．
设线段对应的函数关系式为，
把、代入，
得，
解得：，
故与的函数关系式为．
与的函数关系式为，
则当时，，
可得：点的纵坐标为，
表示因故停车检修，
交点的纵坐标为，
令，则，
解得．
或或，
解得或或．
；
；
；
第一次相遇后，经过小时或小时或小时两车相距千米．
根据“速度路程时间”，计算乙车的车速即可；由图可看出，乙车所行路程与时间的成一次函数，使用待定系数法可求得一次函数关系式，再把代入即可求出点的纵坐标．
使用待定系数法，把、代入，可求得线段对应的函数关系式．
与的交点表示第一次相遇，即甲车故障停车检修时相遇，交点的横坐标表示时间，纵坐标表示离出发地的距离，要求时间，需要分三种情况讨论，修完车前，第二次相遇前和第二次相遇后，分别求解．
本题意在考查学生利用待定系数法求解一次函数关系式，并利用关系式求值的运算技能和从坐标系中提取信息的能力，是道综合性较强的代数应用题，对学生能力要求比较高．
 

22.【答案】

【解析】

操作一：
解：如图，四边形是矩形，
，，
由翻折得，
，
点、、在同一直线上，
，
故答案为：．
如图，，
，
，
，，
，
，
≌，
，
，，
∽，
，
，
，
或不符合题意，舍去，
，
的长为．
操作二：
解：如图，连结，
四边形是矩形，，，
，，
点是的中点，
，
，
由翻折得，
，
，
，
的最小值为．
故答案为：．
操作一：由四边形是矩形得，，由翻折得，则，所以；
先证明≌，则，再证明∽，得，整理得，所以，求得符合题的的值，再由求得的长；
操作二：连结，四边形是矩形，，，得，，则，根据勾股定理求得的长为，根据“两点之间，线段最短”得，即可求得的最小值为．
此题考查矩形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、“两点之间，线段最短”等知识，此题难度较大，属于考试压轴题．
 

23.【答案】

【解析】

解：在中
，，，
，
故答案为：；

如图，四边形是正方形，
，
，
，
，，
，
；

如图，，
▱与的重叠部分是等腰三角形，
▱与的重叠部分为轴对称图形，
作于点，则，
，
，
，
，
，
；
如图，交于点，，
，
，，
，
，，
，
，
▱与的重叠部分为轴对称图形，
，
，

作于点，则，
，，
，，
，
，
综上所述，的长为或；

延长到点，
如图，，且点在直线的上方，则，
与关于直线对称
，
，
，
，
由得；
如图，，则，
，

，
由得；
如图，，且点在直线的下方，
作，交的延长线于点，则，
，
，
，
在上取点，连结，使，
，
，
，且，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述，或或．
在中，由勾股定理可直接求得结果；
由四边形是正方形得，在中利用的三角函数关系列方程即可求出此时的值；
▱与的重叠部分为轴对称图形分两种情况，一是▱与的重叠部分是等腰三角形，过点作于点；二是▱与的重叠部分的等腰梯形，过点作于点，构造直角三角形，利用勾股定理列方程求出相应的值及的长；
点、、不共线，则不能等于的二倍，当，且点在直线的上方，可证明，由即可得到此时的值；当，则可证明，由即可得到此时的值；当，且点在直线的下方，则，先求出，再列方程求出的值即可．
本题属于四边形综合题，考查了直角三角形的性质、菱形的性质、等腰三角形的性质、轴对称的性质、勾股定理、锐角三角函数、解直角三角形等知识与方法，解题过程中应注意分讨论，求出所有符合条件的结果．
 

24.【答案】

解：令，则，
．
此函数图象经过点，
．
解得：．
此函数的表达式为．
，
该抛物线的对称轴为直线．
，
抛物线的开口方向向上，在对称轴的右侧函数值随的增大而增大．
函数值随的增大而增大的的取值范围为；
，
函数的图象的顶点为．
当时，对称轴为直线，在轴的右侧，
，
顶点就是最低点．
最低点到直线的距离为，
．
解得：或负数不合题意，舍去．
．
当时，对称轴为直线，在轴的左侧或与轴重合．
，
点就是最低点．
或．
不合题意，舍去或．
．
综上，的值为或；
的值为或理由：
，三个顶点的坐标分别为、、，
，为直角边．
，
抛物线的对称轴为直线．
，
．
当点在边上时，如图，

点的横坐标为，此时对称轴在的右侧，
．
，
．
解得：．
当点在边上时，如图，

点的纵坐标为．
令，则．
解得：，．
．
，
．
解得：．
，
．
综上，的值为或．
 

【解析】

令，利用解析式求得值即可得出结论；
利用待定系数法解答即可求得函数解析式，再利用二次函数的性质解答即可；
利用分类讨论的思想方法分两种情况解答：当时，对称轴为直线，在轴的右侧，根据，得到顶点就是最低点，利用已知条件列出关于的方程即可；当时，对称轴为直线，在轴的左侧或与轴重合，根据，得到点就是最低点，利用已知条件列出关于的方程即可；
利用分类讨论的思想方法分两种情况解答：当点在边上时，点的横坐标为，此时对称轴在的右侧，利用抛物线的对称性求得线段，的长度，利用列出关于的方程即可；当点在边上时，点的纵坐标为，令，则，进而得到的长度，利用列出关于的方程即可．
本题主要考查了待定系数法求得函数的解析式，二次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，配方法，函数的极值，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．