2022年天津市红桥区中考数学一模试卷（含解析）

2022年天津市红桥区中考数学一模试卷

副标题

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 计算的结果等于

A.  B.  C.  D.

2. 的值等于

A.  B.  C.  D.

3. 下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是

A.  B.
C.  D.

4. 据年月日天津日报报道，我市首个百万千瓦光伏发电“盐光互补”项目进入建设阶段．该项目投产后，预计年可节约发电标煤约吨．讲用科学记数法表示应为

A.  B.  C.  D.

5. 如图是一个由个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是

A.
B.
C.
D.

6. 估计的值在

A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间

7. 方程组的解为

A.  B.  C.  D.

8. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是

A.  B.  C.  D.

9. 计算的结果是

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别是，，点为线段的中点，则的长等于

A.
B.
C.
D.

11. 如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在的延长线上，连接，则下列结论一定正确的是

A.  B.
C.  D.

12. 下表中列出的是二次函数为常数，的自变量与函数值的几组对应值：

有下列结论：
；
当时，的取值范围是；
；
关于的方程有两个不相等的实数根．
其中，正确结论的个数是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 计算的结果等于______．
14. 计算的结果等于______．
15. 不透明袋子中装有个球，其中有个红球、个绿球和个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出个球，则它是红球的概率是______．
16. 将直线向右平移个单位长度后，所得直线的解析式是______．
17. 如图，以的斜边为一边，在的同侧作正方形，设正方形的中心为，连接，若，，则的长为______．
    
     

18. 如图，在每个小正方形的边长为的网格中，点，，均在格点上，以为直径的半圆的圆心为．
    Ⅰ的长等于______；
    Ⅱ设是半圆上的动点，是线段的中点．当的面积最大时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的不要求证明．

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）

19. 解不等式组．
    请结合题意填空，完成本题的解答．
    Ⅰ解不等式，得______；
    Ⅱ解不等式，得______；
    Ⅲ把不等式和的解集在数轴上表示出来：
    Ⅳ原不等式组的解集为______．

20. 随着移动计算技术和无线网络的快速发展，移动学习方式越来越引起人们的关注．某校计划将这种学习方式应用到教育教学中，从各年级共名学生中随机抽取了部分学生，对其家庭中拥有的移动设备情况进行了调查，并绘制出如下的统计图和图，根据相关信息，解答下列问题：
    
    本次接受随机抽样调查的学生人数为______图中的值为______；
    求本次调查获取的样本数据的众数、中位数和平均数；
    根据样本数据，估计该校学生家庭中，拥有台移动设备的学生人数．
    
    
    
    
    
    
     
21. 在中，，以边上一点为圆心，为半径的圆与相切于点，分别交，于点，．
    如图，连接，若，求的大小；
    如图，若点为弧的中点，求的大小．

22. 热气球的探测器显示，从热气球所在位置处看一栋楼顶部处的仰角为，看这栋楼底部处的俯角为，已知这栋楼的高度为，求热气球所在位置距地面的距离结果保留整数参考数据：，
    
     

23. 在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．
    已知小明家、小刚家、体育场、图书馆依次在同一条直线上．小明从家出发，匀速骑行到达体育馆；在体育场停留一段时间后，匀速步行到达小刚家；在小刚家停留后，两人一起匀速骑行后到达图书馆；在图书馆停留后，两人一起匀速骑行返回各自的家中．给出的图象反映了这个过程中小明离开家的距离与离开家的时间之间的对应关系．
    请根据相关信息，解答下列问题：
    Ⅰ填表：

Ⅱ填空：
小明家与小刚家之间的距离为______；
小明从体育馆到小刚家的步行速度为______；
两人从小刚家到图书馆的骑行速度为______；
当小明离家的距离为时，他离开家的时间为______．
Ⅲ当时，请直接写出关于的函数解析式．

24. 在平面直角坐标系中，为原点，点，，点在轴的正半轴上，．
    Ⅰ如图，求点的坐标；
    Ⅱ将沿轴向右平移得，点，，的对应点分别为，，设，与重叠部分的面积为．
    如图，与重叠部分为四边形时，，分别与相交于点，，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围；
    当取得最大值时，求的值直接写出结果即可．

已知抛物线为常数，交轴于，，交轴于点．
求该抛物线解析式；
点为第四象限内抛物线上一点，连接，过作交轴于点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标；
在的条件下，将抛物线向右平移经过点，得到新抛物线，点是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形为矩形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．







答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：，
故选：．
根据有理数乘法法则计算即可．
本题考查有理数乘法，解题的关键是掌握有理数乘法法则．
 

2.【答案】
 

【解析】解：原式
．
故选：．
把的数值代入，进行乘法计算即可．
本题考查了特殊角的三角函数值，正确记忆特殊角的三角函数值是关键．
 

3.【答案】
 

【解析】解：既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
B.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

4.【答案】
 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

5.【答案】
 

【解析】解：从正面看，底层是四个小正方形，上层左起第个位置是一个小正方形，
故选：．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图．解题的关键是理解简单组合体的三视图的定义，明确从正面看得到的图形是主视图．
 

6.【答案】
 

【解析】解：，即，
的值在和之间．
故选：．
直接利用接近的有理数进而分析得出答案．
此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出接近无理数的整数是解题关键．
 

7.【答案】
 

【解析】解：，
，得，
解得：，
把代入，得，
解得：，
所以原方程组的解是，
故选：．
得出，求出，再把代入求出即可．
本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：反比例函数中，，
函数图象的两个分支分别位于一三象限，且在每一象限内，随的增大而减小．
，，
点，在第三象限，点在第一象限，
．
故选：．
先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再由各点横坐标的值即可得出结论．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：



，
故选：．
利用分式的减法法则进行运算即可．
本题考查的是分式的加减法，解题的关键就是要找到最简公分母，进行通分．
 

10.【答案】
 

【解析】解：，两点的坐标分别是，，
，，
，
，
点为线段的中点，
，
故选：．
根据，两点的坐标分别是，，可以得到和的长，然后根据勾股定理可以得到的长，再根据点为线段的中点，即可得到是的一半，从而可以求得的长．
本题考查坐标与图形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线与斜边的关系，解答本题的关键是求出的长．
 

11.【答案】
 

【解析】解：将绕点顺时针旋转得到，
，，
，
，故选项C正确，
其它选项的结论不能证明，
故选：．
根据旋转性质可得，，即有，从而，可得到答案．
本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解决问题的关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：将表格中的三对对应值代入得：
，
解得：．
抛物线的解析式为．
．
的结论正确；
，
抛物线的对称轴为直线．
当时，有最小值．
当时，的取值范围是．
的结论不正确；
，
．
的结论正确；
关于的方程就是，
，
关于的方程有两个不相等的实数根．
的结论正确．
综上，正确的结论有：，
故选：．
利用待定系数法求得抛物线的解析式，再利用二次函数的性质对每个结论进行逐一判断即可得出结论．
本题主要考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数的性质，配方法求抛物线的顶点坐标，二次函数的极值，一元二次方程根的判别式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

13.【答案】
 

【解析】解：．
故答案为：．
根据幂的乘方与积的乘方运算法则，进行计算即可解答．
本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握幂的乘方与积的乘方运算法则是解题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】解：原式

．
故答案为：．
根据平方差公式以及二次根式的乘法运算法则即可求出答案．
本题考查平方差公式以及二次根式的混合运算法则，解题的关键是熟练运用二次根式的乘法运算法则以及平方差公式，本题属于基础题型．
 

15.【答案】
 

【解析】解：不透明袋子中装有个球，其中有个红球、个绿球和个蓝球，
从袋子中随机取出个球，则它是红球的概率是，
故答案为：．
用红球的个数除以球的总数即可．
此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

16.【答案】
 

【解析】解：由“左加右减”的原则可知，把直线向右平移个单位长度，可得直线的解析式为：，即．
故答案是：．
直接根据“左加右减”的原则进行解答即可．
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象“上加下减，左加右减”的平移法则是解答此题的关键．
 

17.【答案】
 

【解析】解：过作，与交于点，

四边形是正方形，
，，
，
，
，，
，
≌，
，，
，
，
．
故答案为：．
过作，与交于点，证明≌，求得，由勾股定理求得，进而求得，便可求得．
本题主要考查勾股定理，正方形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，能熟练地运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．
 

18.【答案】
 

【解析】解：Ⅰ，
故答案为：；

Ⅱ如图点即可所求．

作法：取格点，连接延长交于点．
连接，利用平行线等分线段定理，作出的中点，即可．
点即为所求．
Ⅰ利用勾股定理求解；
Ⅱ当时，的面积最大．
本题考查作图复杂作图，勾股定理，平行线等分线段定理等知识，解题关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

19.【答案】   
 

【解析】解：Ⅰ解不等式，得；
Ⅱ解不等式，得；
Ⅲ把不等式和的解集在数轴上表示出来：

Ⅳ原不等式组的解集为．
故答案为：，，．
分别求出每一个不等式的解集，将不等式的解集表示在数轴上，继而确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

20.【答案】  ；  ；
这组样本数据中，出现了次，出现次数最多，
这组数据的众数为；
将这组数据从小到大排列，其中处于中间的两个数均为，有，
这组数据的中位数是；
由条形统计图可得，
这组数据的平均数是．
名．
答：估计该校学生家庭中；拥有台移动设备的学生人数约为名．
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了平均数、众数、中位数的统计意义以及利用样本估计总体等知识．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
根据家庭中拥有台移动设备的人数及所占百分比可得查的学生人数，将拥有台移动设备的人数除以总人数可得的值；
根据众数、中位数、加权平均数的定义计算即可；
将样本中拥有台移动设备的学生人数所占比例乘以总人数即可．
【解答】
解：本次接受随机抽样调查的学生人数为：名，
图中的值为；
故答案为：；；
见答案；
见答案．  

21.【答案】解：连接，如图，

为半径的圆与相切于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
连接，，

由得，
，
，点为的中点，
，，
，
．
 

【解析】连接，由在中，，是切线，易得，即可求得，继而求得答案；
首先连接，，由得：，由点为的中点，易得是等边三角形，继而求得答案．
此题考查了切线的性质、等边三角形的判定与性质以及平行线的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
 

22.【答案】解：如图，过点作，垂足为，
根据题意，，，，
在中，，
，
在中，，
，
又，
，
，
答：热气球所在位置距地面的距离约为．
 

【解析】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解．
如图，过点作，垂足为，根据题意，，，，在中，根据三角函数的定义得到，在中，根据三角函数的定义得到，于是得到结论．
 

23.【答案】            或
 

【解析】解：Ⅰ由图象可得，
在前的速度为，
故当时，小明离开家的距离为，
在时，距离不变，都是，故当时，小明离开家的距离为，
在时，距离不变，都是，故当时，小明离开家的距离为，
故答案为：，，；
Ⅱ由图象可得，
小明家与小刚家之间的距离为，
故答案为：；
小明从体育馆到小刚家的步行速度为：，
故答案为：；
两人从小刚家到图书馆的骑行速度为：，
故答案为：；
当时，
小明离家的距离为时，小明离开家的时间为，
当时，
小明离家的距离为时，小明离开家的时间为，
故答案为：或；
Ⅲ由图象可得，
当时，设，
，解得，
即当时，；
当时，，
当时，设，
，解得，
即当时，；
由上可得，当时，关于的函数解析式是．
Ⅰ根据题意和函数图象，可以将表格补充完整；
Ⅱ根据函数图象中的数据，可以得到食堂到图书馆的距离为，然后计算即可；
由图象可知，从食堂到图书馆的路程为，所用时间为，然后根据速度路程时间计算即可；
根据图书馆到宿舍的路程是，返回用的时间为，然后根据速度路程时间计算即可；
根据图象可知，分两种情况，然后计算即可；
Ⅲ根据Ⅱ中的结果和函数图象中的数据，可以写出当时，关于的函数解析式．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

24.【答案】解：Ⅰ如图，，，
，，
，
，，
，
∽，
，
，
，
，
；

Ⅱ如图中，

在中，，
，
，
，
，
，
，
，，
；

如图中，当时，重叠部分是五边形，

，
，
时，有最大值，最大值为，
当时，时，的最大值为，
，
时，有最大值．最大值为．
 

【解析】Ⅰ证明∽，推出，可得结论；
Ⅱ根据，求解，可得结论；
求出时，的最大值，时，的最大值，可得结论．
本题属于四边形综合题，考查了四边形的面积，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质等知识，解题关键是学会构建二次函数，解决最值问题，属于中考压轴题．
 

25.【答案】解：将，代入抛物线，
，解得．
抛物线的解析式为：．
如图，连接，则的面积面积，过点作轴交于点，

令，则，
；
，直线的解析式为：，
设点的横坐标为，则，，
，
，
，
当时，的最大值为；此时．
综上，面积的最大值为，此时．
将抛物线向右平移经过点，
点向右平移个单位，
平移后的抛物线为：．
点在平移后抛物线的对称轴上，
设点，该对称轴与轴交于点，
当点为直角顶点时，过点作轴的平行线，交于点，过点作轴的平行线交于点，

，，，，
，
，
∽，
：：，解得，
；
由矩形的性质可知，，，
，，
，，
；
当点为直角顶点时，过点作轴的平行线交于点，

同理可得∽，
：：，解得，
，
由矩形的性质可知，，，
，，
，，
；
当点为直角顶点，如图，

同理可得∽，
：：，
：：，
解得或，
当时，
由矩形的性质可知，，，
，，
；
同理可得，当时，；
综上可得，符合题意的点的坐标为：或或或
 

【解析】将，代入抛物线，解方程组即可；
如图，连接，则的面积面积，过点作轴交于点，设点的横坐标为，则可得点和点的坐标，进而表达的面积，利用二次函数的性质可求出最值；
先求出平移后的二次函数的抛物线，设点的坐标，若以，，，为顶点的四边形为矩形，则一定是直角三角形，根据题意进行分类讨论：当点是直角顶点；当点是直角顶点；当点是直角顶点，分别求出点的坐标，再利用矩形的性质可求出点的坐标．
本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，矩形的判定与性质，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题．