2020-2021学年河北省衡水市某校高二（下）4月月考数学（文）试卷

这是一份2020-2021学年河北省衡水市某校高二（下）4月月考数学（文）试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 在一次投篮训练中，某队员连续投篮两次.设命题p是“第一次投中”，q是“第二次投中”，则命题“两次都没有投中目标”可表示为( )
A.p∧qB.(¬p)∨(¬q)C.¬(p∧q)D.(¬p)∧(¬q)

2. 命题“存在实数x，使x2+2x+2≤0”的否定为( )
A.存在实数x，使x2+2x+2>0
B.对任意一个实数x，都有x2+2x+2≤0
C.对任意一个实数x，都有x2+2x+2>0
D.存在实数x，使x2+2x+2≥0

3. 已知函数y=f(x)的图象在点M(1, f(x))处的切线方程是y=12x+2，那么f(1)+f′(1)=( )
A.12B.1C.52D.3

4. “m=1”是“直线x+(m+1)y+3=0与直线mx+2y+4=0平行”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分又不必要条件

5. 直线y=kx−k+1与椭圆x29+y24=1的位置关系为( )
A.相交B.相切C.相离D.不确定

6. 若函数f(x)=x3−12x在区间(k−1, k+1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是( )
A.k≤−3或−1≤k≤1或k≥3B.不存在这样的实数k
C.−2
7. 函数y=4xx2+1的图象大致为( )
A.B.
C.D.

8. 双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的一条渐近线方程为y=x ，则此双曲线的离心率为（ ）
A.2B.2C.3D.3

9. 设F1，F2是椭圆C：x216+y2m=1的两个焦点，若C上存在点P满足∠F1PF2=90∘，则m的取值范围是( )
A.0,8∪32,+∞B.0,4∪32,+∞
C.0,4∪8,+∞D.0,4∪16,+∞

10. 若直线3x−y−2=0截焦点是0,±52的椭圆所得弦的中点横坐标是12，则该椭圆的方程是( )
A.2x225+2y275=1B.x225+y275=1
C.2x275+2y225=1D.x275+y225=1

11. 已知定义在R上的函数fx的导函数为f′x，对任意x∈0,π，有f′xsinx>fxcsx，且fx+f−x=0，设a=2fπ6，b=2fπ4，c=−f−π2，则( )
A.a
12. 设函数fx=lnx+ax2+bx，若x=1是函数fx的极大值点，则a的取值范围是( )
A.−∞,12B.−∞,1C.[1,+∞)D.12,+∞
二、填空题

“a>1”是“函数f(x)=ax+csx在R上单调递增”的________（空格处请填写“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要条件”）．

椭圆x236+y29=1的焦点F1，F2，P为椭圆上的一点，当PF1⊥PF2时，△F1PF2的面积是________.

与直线2x−y+4=0平行且与抛物线y=x2相切的直线方程是________.

已知函数fx=lnxx, x>0，x+2ex, x≤0, 若函数gx=fx−a的零点有2个或3个，则实数a的取值范围为________.
三、解答题

已知a∈R，命题p:∀x∈−2,−1， a≤x2，命题q:∃x∈R，x2+2ax−a−2=0.
(1)若命题p为真命题，求实数a的取值范围；

(2)若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．

已知函数 f(x)=x2+2lnx−5x.
(1)求 f′(1)；

(2)求 f(x) 的极值点．

将棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1沿平面A1BCD1截去一半（如图1所示）得到如图2所示的几何体，点E，F分别是BC，DC的中点.

(1)证明：EF⊥平面A1AC；

(2)求三棱锥A−D1EF的体积.

设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长为4，离心率为32．
(1)直线y=x+m与椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；

(2)设点M(2, 1)是直线l被椭圆所截得的线段AB的中点，求直线l的方程．

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32，短轴长为2．
(1)求椭圆C的标准方程；

(2)已知点A，B分别为椭圆C的左、右顶点，点D为椭圆C的下顶点，点P为椭圆C上异于椭圆顶点的动点，直线AP与直线BD相交于点M，直线BP与直线AD相交于点N．证明：直线MN与x轴垂直．

已知函数fx=lnx−ax+4x.
(1)若fx有极值点为x=1，求fx的最小值；

(2)当a=−1时，证明exfx>4xex+1在0,+∞上恒成立．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河北省衡水市某校高二（下）4月月考数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
逻辑联结词“或”“且”“非”
【解析】
结合课本知识点命题的否定和“且”联结的命题表示来解答
详解：…命题？是“第一次投中”，则命题￢P是“第一次没投中“
同理可得命题￢④是“第二次没投中”
则命题“两次都没有投中目标”可表示为−p×−4
故选D
【解答】
解：命题p是“第一次投中”，则命题¬p是“第一次没投中”；
同理可得命题¬q是“第二次没投中”,
则命题“两次都没有投中目标”可表示为(¬p)∧(¬q).
故选D.
2.
【答案】
C
【考点】
命题的否定
【解析】
根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．
【解答】
解：特称命题的否定是全称命题，则原命题的否定是：
对任意一个实数x，都有x2+2x+2>0.
故选C.
3.
【答案】
D
【考点】
导数的几何意义
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
因为切点坐标一定满足切线方程，所以据此可以求出f(1)的值，又因为切线的斜率是函数在切点处的导数，就可求出f′(1)的值，把f(1)和f′(1)代入即可．
【解答】
解：∵ 点M(1, f(1))是切点，
∴ 点M在切线上，
∴ f(1)=12+2=52，
∵ 函数y=f(x)的图象在点M(1, f(1))处的切线的方程是y=12x+2，
∴ 切线斜率是12，
即f′(1)=12，
∴ f(1)+f′(1)=52+12=3．
故选D．
4.
【答案】
A
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】
根据两直线平行的充要条件求出m的值，然后根据充分条件、必要条件的定义进行判定即可．
【解答】
解：因为“直线x+(m+1)y+3=0与直线mx+2y+4=0平行”，
所以1×2−(m+1)m=0且1×4≠3m，解得m=1或m=−2，
所以“m=1”是“直线x+(m+1)y+3=0与直线mx+2y+4=0平行”的充分不必要条件．
故选A.
5.
【答案】
A
【考点】
圆锥曲线中的定点与定值问题
【解析】
直线y=kx−k+1恒过点(1, 1)，且在椭圆的内部，由此可得直线y=kx−k+1与椭圆x29+y24=1的位置关系．
【解答】
解：直线y=kx−k+1可化为y=k(x−1)+1，
∴ 直线恒过点(1, 1).
∵ 19+14=1336<1，
∴ (1, 1)在椭圆的内部，
∴ 直线y=kx−k+1与椭圆x29+y24=1的位置关系是相交.
故选A．
6.
【答案】
D
【考点】
已知函数的单调性求参数问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：f′(x)=3x2−12，
由f′(x)>0，得函数的增区间是(−∞,−2)和(2,+∞)；
由f′(x)<0，得函数的减区间为(−2,2).
由于函数在区间(k−1, k+1)上不是单调函数，
所以有k−1<−2解得−3故选D．
7.
【答案】
A
【考点】
函数奇偶性的判断
函数的图象
【解析】
根据函数的奇偶性和函数值的正负即可判断．
【解答】
解：设f(x)=y=4xx2+1，由题知定义域为实数集R，
∵ f(−x)=4(−x)(−x)2+1=−4xx2+1=−f(x)，
∴ 函数f(x)为奇函数，故排除CD；
当x>0时，f(x)>0，故排除B.
故选A.
8.
【答案】
B
【考点】
双曲线的渐近线
双曲线的离心率
【解析】
根据双曲线的渐近线方程建立方程关系，结合双曲线的离心率公式进行计算即可．
【解答】
解：双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的一条渐近线方程是y=bax，
即为y=x，即ba=1，
则b2=a2
则双曲线的离心率为e=ca=a2+b2a2=2.
故选B．
9.
【答案】
A
【考点】
椭圆的定义
椭圆中的平面几何问题
【解析】
对焦点分类讨论，C点为椭圆短轴的端点时，∠F1PF2取得最大角，进而得出结论．
【解答】
解：①若焦点在x轴上时，P点为椭圆短轴的端点时，∠F1PF2取得最大角，
设θ=∠F1PF2，
则csθ2=m4，
∴ m4≤22，
解得0②若焦点在y轴上时，P点为椭圆短轴的端点时，∠F1PF2取得最大角，
设θ=∠F1PF2，
则csθ2=4m，
∴ 4m≤22，
解得m≥32.
综上可得：m的取值范围是0,8∪32,+∞.
故选A．
10.
【答案】
B
【考点】
椭圆的标准方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设椭圆方程为y2a2+x2b2=1a>b>0，把y=3x−2代入，
得： a2+9b2x2−12b2x+4b2−a2b2=0 ，x1+x2=12b2a2+9b2=1，
∴ a2=3b2.①
又由焦点为0,±52知， a2−b2=50，②
由①②得a2=75，b2=25，
故椭圆方程为y275+x225=1.
故选B．
11.
【答案】
A
【考点】
利用导数研究函数的单调性
奇偶性与单调性的综合
【解析】
根据题意，令gx=fxsinx，x∈0,π，对其求导分析可得g′x>0，函数gx单调递增，再判断a、b、c的大小．
【解答】
解：根据题意，令gx=fxsinx，x∈0,π，
则其导数g′x=f′xsinx−fxcsxsin2x.
又x∈0,π，且恒有f′xsinx>fxcsx，
所以g′x>0，
所以函数gx在0,π上单调递增.
又fx+f−x=0，
所以fx为奇函数.
因为π6<π4<π2，
所以gπ6即f(π6)sinπ6所以2fπ6<2fπ4所以2fπ6<2fπ4<−f−π2，
即a故选A．
12.
【答案】
A
【考点】
利用导数研究函数的极值
【解析】
fx的定义域为0,+∞，f′x=1x+2ax−b，由f′(1)=0，得b=1−a．所以f′x=−2ax+1x−1x能求出a的取值范围．
【解答】
解：fx的定义域为0,+∞，
f′x=1x+2ax+b，
由 f′1=0，得b=−1−2a，
所以f′x=2ax−1x−1x，
①若a=0，当00，此时fx单调递增；
当x>1时，f′x<0，此时fx单调递减，
所以x=1是fx的极大值点，满足题意，所以a=0成立．
②若a>0，由f′x=0，得x=1，x=12a，
当12a>1时，即a<12，
此时当00，fx单调递增；
当12a>x>1时， f′x<0，fx单调递减，
所以x=1是fx的极大值点．成立．
如果a>12，x=1时，函数取得极小值，不成立；
③若a<0，由f′x=0，得x=1，或x=12a(舍去)，
此时x=1是fx的极大值点，成立；
综合①②③：a的取值范围是−∞,12．
故选A．
二、填空题
【答案】
充分不必要条件
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
利用导数研究函数的单调性
【解析】
根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】
解：若函数f(x)=a⋅x+csx在R上单调递增，
则f′(x)≥0恒成立，即f′(x)=a−sinx≥0，即a≥sinx.
∵ −1≤sinx≤1，
∴ a≥1，
则“a>1”是“函数f(x)=a⋅x+csx在R上单调递增”的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要条件.
【答案】
9
【考点】
椭圆的定义
椭圆的简单几何性质
【解析】
根据椭圆的定义和勾股定理建立关于m、n的方程组，平方相减即可求出|PF1|⋅|PF2|=8，结合直角三角形的面积公式，可得ΔPF1F2的面积S=12|PF1|⋅|PF2|，得到本题答案．
【解答】
解：∵ 椭圆方程为：x236+y29=1，
∴ a2=36，b2=9，
可得c2=a2−b2=27，
即a=6，c=33，设|PF1|=m，|PF2|=n，
由PF1⊥PF2，得∠F1PF2=90∘，
则有m+n=2a=12，
m2+n2=4c2=108，
又m+n2=m2+n2+2mn，
则144=108+2mn，
得2mn=36，
则mn=18，即|PF1|⋅|PF2|=18，
△PF1F2的面积S=12|PF1|⋅|PF2|=12×18=9.
故答案为：9.
【答案】
2x−y−1=0
【考点】
两条直线平行与倾斜角、斜率的关系
直线与抛物线的位置关系
【解析】
因为要求的直线与直线2x−y+4=0平行得到斜率相等，设出直线方程与抛物线解析式联立，消去y得到一个一元二次方程，由直线与抛物线x2=y相切得到直线与抛物线有且只有一个交点，即方程有两个相等的实数根，令根的判别式为0确定出直线解析式即可．
【解答】
解：由直线与直线2x−y+4=0平行得到斜率相等，可设直线方程为y=2x+m，
又因为由直线与抛物线y=x2相切得到直线与抛物线有且只有一个交点，
联立y=2x+m,y=x2, 消去y得x2−2x−m=0，
可知方程有两个相等的实数根，
即Δ=4+4m=0，
解得m=−1，
所以此直线方程为y=2x−1，
即2x−y−1=0.
故答案为：2x−y−1=0.
【答案】
[−1e3,1e]
【考点】
由函数零点求参数取值范围问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：令f(x)=lnxx(x>0)，则f′(x)=1−lnxx2，
所以当x∈(0, e)时，f′(x)>0；当x∈(e, +∞)时，f′(x)<0，
即函数f(x)在区间(0, e)上单调递增，在区间(e, +∞)上单调递减，
当x→0时，f(x)→−∞，f(e)=1e，当x→+∞时，f(x)→0．
令f(x)=(x+2)ex(x≤0)，则f′(x)=(x+3)ex，
所以当x∈(−∞, −3)时，f′(x)<0；当x∈(−3, 0)时，f′(x)>0，
即函数f(x)在区间(−∞, −3)上单调递减，在区间(−3, 0)上单调递增，
当x→−∞时，f(x)→0，f(−3)=−e−3，f(0)=2．
函数g(x)=f(x)−a的零点有2个或3个，
等价于函数f(x)的图象与直线y=a的交点有2个或3个，
画出函数f(x)的图象与直线y=a的图象如下图所示
数形结合可知，实数a的取值范围为[−1e3,1e]．
故答案为：[−1e3,1e]．
三、解答题
【答案】
解：(1)若命题p: ∀x∈−2,−1， a≤x2为真，
∴ 则令fx=x2， a≤fxmin.
又∵ fxmin=f−1=1，
∴ a≤1，∴ a的取值范围为(−∞,1].
(2)因为命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，
所以命题p与q一真—假，
当命题q为真命题时， Δ=4a2+4a−2≥0，解得a≤−2或a≥1，
当命题p为真，命题q为假时，有a≤1,−2当命题p为假，命题q为真时，有a>1,a≤−2或a≥1, ∴ a>1 .
综上：a的取值范围为−2,1∪1,+∞.
【考点】
复合命题及其真假判断
逻辑联结词“或”“且”“非”
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)若命题p: ∀x∈−2,−1， a≤x2为真，
∴ 则令fx=x2， a≤fxmin.
又∵ fxmin=f−1=1，
∴ a≤1，∴ a的取值范围为(−∞,1].
(2)因为命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，
所以命题p与q一真—假，
当命题q为真命题时， Δ=4a2+4a−2≥0，解得a≤−2或a≥1，
当命题p为真，命题q为假时，有a≤1,−2当命题p为假，命题q为真时，有a>1,a≤−2或a≥1, ∴ a>1 .
综上：a的取值范围为−2,1∪1,+∞.
【答案】
解：(1)由函数 f(x)=x2+2lnx−5x可得，
f′(x)=2x+2x−5=2x2−5x+2x=0(x>0)，
∴f′(1)=2−5+21=−1.
(2)令f′(x)=0，可得导函数的零点为x=2或12.
又f(x)=x2+2lnx−5x的定义域为(0，+∞)，
当x∈(12, 2)时，f′(x)<0，所以f(x)在(12, 2)上单调递减；
当x∈(0, 12)∪(2, +∞)时，f′(x)>0，
f(x)在(0, 12)，(2, +∞)上单调递增.
故f(x) 的极大值点为x=12，极小值点为x=2.
【考点】
利用导数研究函数的极值
简单复合函数的导数
【解析】
（1）由题意知f′(x)=3x2−2ax+3=0的一个根为x=3，把这个根代入得到字母系数的值，求出a=5，再求出函数的极值，把极值同两个端点的值进行比较得到最值．
（2）对函数求导，要f(x)在R上是增函数，则有3x2−2ax+3≥0在R内恒成立，问题转化成恒成立问题，根据基本不等式得到结果．
【解答】
解：(1)由函数 f(x)=x2+2lnx−5x可得，
f′(x)=2x+2x−5=2x2−5x+2x=0(x>0)，
∴f′(1)=2−5+21=−1.
(2)令f′(x)=0，可得导函数的零点为x=2或12.
又f(x)=x2+2lnx−5x的定义域为(0，+∞)，
当x∈(12, 2)时，f′(x)<0，所以f(x)在(12, 2)上单调递减；
当x∈(0, 12)∪(2, +∞)时，f′(x)>0，
f(x)在(0, 12)，(2, +∞)上单调递增.
故f(x) 的极大值点为x=12，极小值点为x=2.
【答案】
(1)证明：连接BD，如图所示，
易知BD⊥AC，
因为AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
所以AA1⊥BD，又AA1∩AC=A，
所以BD⊥平面A1AC．
在△CBD中，点E，F分别是BC，DC的中点，
所以BD//EF，
所以EF⊥平面A1AC.
(2)解：∵ D1D⊥平面ABCD，
∴ D1D是三棱锥D1−AEF在平面AEF上的高，且D1D=2，
∵ 点E，F分别是BC，DC的中点，
∴ DF=CF=CE=BE=1，
∴ S△AEF=22−12AD⋅DF−12CF⋅CE
−12AB⋅BE=32，
∴ VA−D1EF=VD1−AEF=13S△AEF ⋅D1D
=13×32×2=1.
【考点】
直线与平面垂直的判定
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
（1）由BD⊥AC和A1A1ABD，利用线面垂直的判定定理证得BD⊥平面A1AC，然后再由BD/EF证明．
（2）由D1D⊥平面ABCD，则D1D是三棱锥D1−AEF在平面AEF上的高，然后利用等体积法VA−D1EF=VB−AEF求解．
【解答】
(1)证明：连接BD，如图所示，
易知BD⊥AC，
因为AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
所以AA1⊥BD，又AA1∩AC=A，
所以BD⊥平面A1AC．
在△CBD中，点E，F分别是BC，DC的中点，
所以BD//EF，
所以EF⊥平面A1AC.
(2)解：∵ D1D⊥平面ABCD，
∴ D1D是三棱锥D1−AEF在平面AEF上的高，且D1D=2，
∵ 点E，F分别是BC，DC的中点，
∴ DF=CF=CE=BE=1，
∴ S△AEF=22−12AD⋅DF−12CF⋅CE
−12AB⋅BE=32，
∴ VA−D1EF=VD1−AEF=13S△AEF ⋅D1D
=13×32×2=1.
【答案】
解：(1)由题意可知b=2，ca=32，c2=34a2，
又a2=b2+c2，
所以a2=16，b2=4，
即椭圆方程为x216+y24=1，
x216+y24=1，y=x+m， ⇒5x2+8mx+4m2−16=0，
因为直线y=x+m与椭圆有公共点，
所以Δ=64m2−4×5(4m2−16)≥0，
即m2≤20，解得−25≤m≤25．
(2)设A(x1, y1)，B(x2, y2)，
当斜率不存在时，不符合题意；
当斜率存在时，设直线方程为y−1=k(x−2)，
则y−1=k(x−2)，x216+y24=1，
整理得(4k2+1)x2+8k(1−2k)x+16k2−16k−12=0，
因为点M(2,1)是线段AB的中点，
所以x1+x22=12×8k(2k−1)4k2+1=2，解得k=−12，
所以直线l的方程为x+2y−4=0.
【考点】
直线与椭圆的位置关系
椭圆的标准方程
【解析】
（1）利用椭圆的短轴长以及离心率，求解a，b，然后得到椭圆方程．联立直线与椭圆方程，通过韦达定理转化求解即可．
（2）设A(x1, y1)，B(x2, y2)法一：当斜率不存在时不符合题意，当斜率存在时，设直线方程为y−1＝k(x−2)，联立直线与椭圆方程，利用中点坐标，求出直线的斜率，然后推出直线方程．法二：通过平方差法求解直线的斜率，得到直线方程．

【解答】
解：(1)由题意可知b=2，ca=32，c2=34a2，
又a2=b2+c2，
所以a2=16，b2=4，
即椭圆方程为x216+y24=1，
x216+y24=1，y=x+m， ⇒5x2+8mx+4m2−16=0，
因为直线y=x+m与椭圆有公共点，
所以Δ=64m2−4×5(4m2−16)≥0，
即m2≤20，解得−25≤m≤25．
(2)设A(x1, y1)，B(x2, y2)，
当斜率不存在时，不符合题意；
当斜率存在时，设直线方程为y−1=k(x−2)，
则y−1=k(x−2)，x216+y24=1，
整理得(4k2+1)x2+8k(1−2k)x+16k2−16k−12=0，
因为点M(2,1)是线段AB的中点，
所以x1+x22=12×8k(2k−1)4k2+1=2，解得k=−12，
所以直线l的方程为x+2y−4=0.
【答案】
(1)解：设椭圆的焦距为2c，
由题意，得e=ca=1−b2a2=32，即b=12a，
又短轴长为2，
∴ b=1，a=2，c=3，
∴ 椭圆的方程为x24+y2=1.
(2)证明：由题意，得A(−2, 0)，B(2, 0)，D(0, −1)，
由(1)知，椭圆的参数方程为x=2csθ,y=sinθ（θ为参数），
设点P(2csθ,sinθ)，
∴ 直线AD的方程为x+2y+2=0 ，
直线BD的方程为x−2y−2=0，
直线BP的方程为y=sinθ2csθ−2x−2 ，
直线AP的方程为y=sinθ2csθ+2x+2，
联立直线BD与直线AP的方程，
得x−2y−2=0,y=sinθ2csθ+2(x+2),
解得x=2sinθ+2csθ+2csθ+1−sinθ,y=2sinθcsθ+1−sinθ,
∴ M点的坐标为2sinθ+2csθ+2csθ+1−sinθ,2sinθcsθ+1−sinθ，
联立直线BP与直线AD的方程，
得x+2y+2=0,y=sinθ2csθ−2x−2,
解得x=2sinθ+2csθ+2csθ+1−sinθ,y=2sinθcsθ+1−sinθ⋅sinθcsθ−1,
∴ 点N的坐标为2sinθ+2csθ+2csθ+1−sinθ,2sinθcsθ+1−sinθ⋅sinθcsθ−1，
∴ NM→=0,2sinθ1−sinθcsθ−1csθ+1−sinθ，
又AB→=4,0，
∴ AB→⋅NM→=0，且AB在x轴上，
∴ 直线MN与x轴垂直．
【考点】
椭圆的标准方程
椭圆的离心率
椭圆的应用
【解析】
（1）设椭圆的半焦距为c，运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，解得a，b，可得椭圆方程；
（2）分别求得A，B，D的坐标，设P(s, t)，则s2+4t2＝4，求得直线AP，BD的方程，解得M的横坐标，求得直线BP，AD的方程，求得N的横坐标，由作差法，结合P满足椭圆方程，化简可得M，N的横坐标相等，即可得证．
【解答】
(1)解：设椭圆的焦距为2c，
由题意，得e=ca=1−b2a2=32，即b=12a，
又短轴长为2，
∴ b=1，a=2，c=3，
∴ 椭圆的方程为x24+y2=1.
(2)证明：由题意，得A(−2, 0)，B(2, 0)，D(0, −1)，
由(1)知，椭圆的参数方程为x=2csθ,y=sinθ（θ为参数），
设点P(2csθ,sinθ)，
∴ 直线AD的方程为x+2y+2=0 ，
直线BD的方程为x−2y−2=0，
直线BP的方程为y=sinθ2csθ−2x−2 ，
直线AP的方程为y=sinθ2csθ+2x+2，
联立直线BD与直线AP的方程，
得x−2y−2=0,y=sinθ2csθ+2(x+2),
解得x=2sinθ+2csθ+2csθ+1−sinθ,y=2sinθcsθ+1−sinθ,
∴ M点的坐标为2sinθ+2csθ+2csθ+1−sinθ,2sinθcsθ+1−sinθ，
联立直线BP与直线AD的方程，
得x+2y+2=0,y=sinθ2csθ−2x−2,
解得x=2sinθ+2csθ+2csθ+1−sinθ,y=2sinθcsθ+1−sinθ⋅sinθcsθ−1,
∴ 点N的坐标为2sinθ+2csθ+2csθ+1−sinθ,2sinθcsθ+1−sinθ⋅sinθcsθ−1，
∴ NM→=0,2sinθ1−sinθcsθ−1csθ+1−sinθ，
又AB→=4,0，
∴ AB→⋅NM→=0，且AB在x轴上，
∴ 直线MN与x轴垂直．
【答案】
(1) 解：因为fx=lnx−ax+4x，x∈0,+∞，
所以f′x=1x+ax2+4=4x2+x+ax2，
因为fx有极值点x=1，
所以f′1=4×12+1+a=0，
解得a=−5，
所以f′x=4x2+x−5x2=x−14x+5x2，x∈0,+∞，
令f′x=0得x=1，
当f′x>0，则x>1，
当f′x<0，则0所以fx的单调递减区间为0,1，单调递增区间为1,+∞，
所以fx的最小值为f1=ln1−−5+4×1=9.
(2)证明：因为fx=lnx−ax+4x，a=−1，
所以fx=lnx+1x+4x，
又ex>0，要证exfx>4xex+1在0,+∞上恒成立，
只需证fx−4x−1ex>0在0,+∞上恒成立，
即证lnx+1x>1ex在0,+∞上恒成立．
要证lnx+1x>1ex，需证xlnx+1>xex，
设gx=xlnx+1，
则g′x=1+lnx，
当x∈0,1e时，g′x<0，gx是减函数，
当x∈1e,+∞时，g′x>0，gx是增函数，
所以gx≥g1e=1−1e.
设hx=xex，则h′x=1−xex，
当x∈0,1时，h′x>0，hx是增函数；
当x∈1,+∞时，h′x<0，hx是减函数，
所以hx≤h1=1e<1−1e，
所以hx所以exgx>4xex+1在0,+∞上恒成立．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的最值
利用导数研究函数的极值
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】


【解答】
(1) 解：因为fx=lnx−ax+4x，x∈0,+∞，
所以f′x=1x+ax2+4=4x2+x+ax2，
因为fx有极值点x=1，
所以f′1=4×12+1+a=0，
解得a=−5，
所以f′x=4x2+x−5x2=x−14x+5x2，x∈0,+∞，
令f′x=0得x=1，
当f′x>0，则x>1，
当f′x<0，则0所以fx的单调递减区间为0,1，单调递增区间为1,+∞，
所以fx的最小值为f1=ln1−−5+4×1=9.
(2)证明：因为fx=lnx−ax+4x，a=−1，
所以fx=lnx+1x+4x，
又ex>0，要证exfx>4xex+1在0,+∞上恒成立，
只需证fx−4x−1ex>0在0,+∞上恒成立，
即证lnx+1x>1ex在0,+∞上恒成立．
要证lnx+1x>1ex，需证xlnx+1>xex，
设gx=xlnx+1，
则g′x=1+lnx，
当x∈0,1e时，g′x<0，gx是减函数，
当x∈1e,+∞时，g′x>0，gx是增函数，
所以gx≥g1e=1−1e.
设hx=xex，则h′x=1−xex，
当x∈0,1时，h′x>0，hx是增函数；
当x∈1,+∞时，h′x<0，hx是减函数，
所以hx≤h1=1e<1−1e，
所以hx所以exgx>4xex+1在0,+∞上恒成立．