2020-2021学年河南省郑州市某校高二（下）4月月考数学（文）试卷

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这是一份2020-2021学年河南省郑州市某校高二（下）4月月考数学（文）试卷，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知集合A={x|2x>4}，B={x|0A.{x|21}

2. 复数21−i（i为虚数单位）的虚部是( )
A.iB.1C.−iD.−1

3. 近两年来随着5G网络的普及和智能手机的更新换代，各种方便的APP相继出世，其功能也是五花八门．某大学为了调查在校大学生使用APP的主要用途，随机抽取了56290名大学生进行调查，各主要用途与对应人数的结果统计如图所示，现有如下说法：
①可以估计使用APP主要听音乐的大学生人数多于主要看社区、新闻、资讯的大学生人数；②可以估计不足10%的大学生使用APP主要玩游戏；③可以估计使用APP主要找人聊天的大学生超过总数的14．其中正确的个数为( )

A.0B.1C.2D.3

4. 设函数fx=e−x−ex−5x，则不等式fx2+f−x−6<0的解集为( )
A.−3,2B.−∞,−3∪2,+∞
C.−2,3D.−∞,−2∪3,+∞

5. 抛物线C:y=ax2在点1,a处的切线方程为2x−y−1=0，则C的焦点坐标为( )
A.0,12B.0,14C.12,0D.14,0

6. 椭圆x216+y24=1上的点到直线x+2y−2=0的最大距离是( )
A.105B.3105C.32D.10

7. 已知某产品的销售额y与广告费用x之间的关系如表：
若根据表中的数据用最小二乘法求得y对x的回归直线方程为y=6.5x+9，则下列说法中错误的是( )
A.该回归直线过点(2, 22)
B.产品的销售额与广告费用成正相关
C.m的值是20
D.当广告费用为10万元时，销售额一定为74万元

8. 已知数列 an 满足 a1+4a2+7a3+⋯+3n−2an=4n ，则a2a3+a3a4+⋯+a21a22=( )
A.58 B.34 C.54 D.52

9. 若函数fx=x3+2x2+a2x−1有两个极值点，则a的取值范围是( )
A.−233,233B.−433,433C.−3,3D.−2,2

10. 在极坐标系中，直线ρ(3csθ−sinθ)=2与圆ρ=4sinθ的交点的极坐标为( )
A.(2, π6)B.(2, π3)C.(4, π6)D.(4, π3)

11. 为得到函数y=sin(x+π3)的图象，可将函数y=sinx的图象向左平移m个单位长度，或向右平移n个单位长度(m，n均为正数)，则|m−n|的最小值是( )
A.π3B.2π3C.4π3D.5π3

12. 已知定义在0,+∞上的函数fx，满足xf′x−fx<0，其中f′x是函数fx的导函数．若2fm−2021>m−2021f2，则实数m的取值范围为( )
A.0,2021B.2021,+∞C.2021,+∞ D.2021,2023
二、填空题

蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似的看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图，其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，第六幅图的蜂巢总数为________．

三、解答题

已知复数z=(3+bi)(1+3i)(b∈R)是纯虚数.
(1) 求b的值；

(2) 若ω=3+bi2+i，求复数ω的模|ω|.

在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=−1−22t,y=2+22t（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρcs2θ=sinθ．
(1)求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；

(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，P−1,2，求|PA|⋅|PB|．

在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC.
(1)求A的大小；

(2)求sinB+sinC的最大值.

到2020年，我国将全面建立起新的高考制度，新高考采用3+3模式，其中语文、数学、英语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣、爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门(6选3)参加考试，满分各100分．为了顺利迎接新高考改革，某学校采用分层抽样的方法从高一年级1000名(其中男生550名，女生450名)学生中抽取了n名学生进行调查．
(1)已知抽取的n名学生中有女生45名，求n的值及抽取的男生的人数．

(2)该校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目，为了解学生对这两个科目的选课情况，对在(1)的条件下抽取到的n名学生进行问卷调查(假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目，且只能选择一个科目)，得到如下2×2列联表．
(i)请将列联表补充完整，并判断是否有99%以上的把握认为选择科目与性别有关系．
(ii)在抽取的选择“地理”的学生中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名学生中抽取2名，求这2名中至少有1名男生的概率．
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为66，过点F2且斜率不为0的直线l交椭圆C于A，B两点，当点F1到直线l的距离取最大时，|AF2|=566.
(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若BF2→=2F2A→，求△F1AB的面积．

已知函数fx=lnx+a1−x.
(1)讨论f(x)的单调性；

(2)当fx有最大值，且最大值大于2a−2时，求实数a的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省郑州市某校高二（下）4月月考数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
无
【解答】
解：因为A={x|2x>4}={x|x>2}，
所以∁RA={x|x≤2}.
又B={x|1所以(∁RA)∩B={x|1故选C．
2.
【答案】
B
【考点】
复数的基本概念
复数代数形式的乘除运算
【解析】
考察复数基本概念，分母复数乘其共轭复数，分子也乘对应共轭复数，然后化简即可.
【解答】
解：复数21−i=2(1+i)(1−i)(1+i)=1+i，
故其虚部为1.
故选B.
3.
【答案】
C
【考点】
用样本的数字特征估计总体的数字特征
用频率估计概率
【解析】

【解答】
解：由图可知，使用APP主要听音乐的大学生人数为5380，
使用APP主要看社区、新闻、资讯的大学生人数为4450，
∵ 4450<5380，
∴①正确；
使用APP主要玩游戏的大学生人数为8130，
∵813056290≈0.14，
∴②不正确；
使用APP主要找人聊天的大学生人数为16540，
∵1654056290≈0.29>14，
∴③正确.
综上，有两项正确.
故选C.
4.
【答案】
D
【考点】
奇偶性与单调性的综合
【解析】
无
【解答】
解：∵fx为奇函数，且在R上单调递减，
∴fx2+f−x−6<0，
∴ fx2<−f−x−6=fx+6，
∴x2>x+6，
解得x<−2或x>3.
故选D.
5.
【答案】
B
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
抛物线的标准方程
【解析】
因为已知抛物线是二次函数型的形式，所以可利用导数的几何意义来求切线斜率，与已知切线方程比对，求出常数a，在将抛物线方程改写出标准形式即可求出焦点坐标.
【解答】
解：因为y=ax2，
所以y′=2ax.
当x=1时，y′=2a.
可见抛物线y=ax2在点1,a处的切线的斜率为2a.
于是由已知得2a=2，a=1，
所以抛物线方程为y=x2，
它的标准方程为x2=y，
所以焦点坐标为0,14.
故选B.
6.
【答案】
D
【考点】
点到直线的距离公式
直线与椭圆结合的最值问题
两角和与差的正弦公式
【解析】
设椭圆x216+y24=1上的点P(4csθ, 2sinθ)，由点到直线x+2y−2=0的距离公式，计算可得答案．
【解答】
解：设椭圆x216+y24=1上的点P(4csθ, 2sinθ)，
则点P到直线x+2y−2=0的距离
d=|4csθ+4sinθ−2|5=|42sin(θ+π4)−2|5,
所以dmax=|−42−2|5=10.
故选D．
7.
【答案】
D
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
由线性回归方程判断A；求出样本点的中心坐标，代入线性回归方程求得m值判断D；进一步得到样本点的中心的坐标判断B；由回归方程的意义判断C．
【解答】
解：由线性回归方程y=6.5x+9，
可知产品的销售额与广告费用成正相关，故B不符合题意；
x=0+1+2+3+45=2，
y=10+15+m+30+355=90+m5，
代入y=6.5x+9，得90+m5=6.5×2+9，解得m=20，故C不符合题意；
当x=2时，y=6.5×2+9=22，故该回归直线过点(2, 22)，故A不符合题意；
取x=10，得y=6.5×10+9=74，
说明当广告费用为10万元时，销售额预计为74万元，故D错误，符合题意．
故选D.
8.
【答案】
C
【考点】
数列的求和
数列递推式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：当 n=1时， a1=4，
当 n≥2 时， a1+4a2+7a3+⋯+3n−2an=4n，
a1+4a2+7a3+⋯+3n−5an−1=4n−1 ，
两式相减，可得 3n−2an=4，
故an=43n−2 ，
因为 a1=4 也适合上式，所以 an=43n−2,
依题意， an+1an+2=163n+13n+4=16313n+1−13n+4，
故a2a3+a3a4 +…+a21a22
=163(14−17+17−110+110−113+⋯+161−164)
=163(14−164)=54.
故选C.
9.
【答案】
A
【考点】
利用导数研究函数的极值
【解析】

【解答】
解：∵fx有两个极值点，
∴f′x=3x2+4x+a2=0有两个不等的实数根，
∴Δ=16−12a2>0，
解得−233故选A.
10.
【答案】
A
【考点】
点的极坐标和直角坐标的互化
圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化
直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化
直线与圆的位置关系
【解析】
把极坐标方程化为直角坐标方程，把直线和圆的直角坐标方程联立方程组，求得它们的交点的直角坐标，再化为极坐标．
【解答】
解：直线ρ(3csθ−sinθ)=2，即 3x−y−2=0，
圆ρ=4sinθ ，即 x2+(y−2)2=4，
表示以(0, 2)为圆心、半径等于2的圆．
由 3x−y−2=0x2+(y−2)2=4，求得x=3y=1，
故直线和圆的交点坐标为(3, 1)，故它的极坐标为(2, π6)，
故选A．
11.
【答案】
B
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
依题意得m=2k1π+π3，n=2k2π+5π3(k1、k2∈N)，于是有|m−n|=|2(k1−k2)π−4π3|，从而可求得|m−n|的最小值．
【解答】
解：由条件可得m=2k1π+π3，
n=2k2π+5π3(k1，k2∈N)，
则|m−n|=|2(k1−k2)π−4π3|，
易知(k1−k2)=1时，
|m−n|min=2π3．
故选B．
12.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究函数的单调性
【解析】

【解答】
解：设g(x)=f(x)x(x>0)，
∴ g′(x)=xf′(x)−f(x)x2.
∵ xf′(x)−f(x)<0，
∴ g(x)在(0,+∞)上单调递减.
∵ 2f(m−2021)>(m−2021)f(2)：
①m−2021>0时，f(m−2021)m−2021>f(2)2，
即g(m−2021)>g(2)⇒m−2021<2，
∴ 2021②m−2021<0时，f(m−2021)m−2021即g(m−2021)2，
∴ m不存在，
故m的取值范围为(2021,2023)．
故选D.
二、填空题
【答案】
91
【考点】
归纳推理
数列的应用
【解析】

【解答】
解：∵ f(2)−f(1)=7−1=6，
f(3)−f(2)=19−7=2×6，
f(4)−f(3)=37−19=3×6，
f(5)−f(4)=61−37=4×6，
...
∴ 当n≥2时，有f(n)−f(n−1)=6(n−1)，
所以f(n)=[f(n)−f(n−1)]+[f(n−1)−f(n−2)]+⋯+[f(2)−f(1)]+f(1)
=6[(n−1)+(n−2)+⋯+2+1]+1=3n2−3n+1．
又f(1)=1=3×12−3×1+1，
∴ f(n)=3n2−3n+1，
n=6时，f(6)=3×62−3×6+1=91．
故答案为：91．
三、解答题
【答案】
解：(1) z=(3+bi)(1+3i)=(3−3b)+(9+b)i，
∵ z是纯虚数，
∴ 3−3b=0，且9+b≠0，
∴ b=1.
(2) ∵ ω=3+i2+i=(3+i)(2−i)(2+i)(2−i)=7−i5=75−15i，
∴ |ω|=752+−152=2.
【考点】
复数的模
复数代数形式的混合运算
复数的基本概念
【解析】

【解答】
解：(1) z=(3+bi)(1+3i)=(3−3b)+(9+b)i，
∵ z是纯虚数，
∴ 3−3b=0，且9+b≠0，
∴ b=1.
(2) ∵ ω=3+i2+i=(3+i)(2−i)(2+i)(2−i)=7−i5=75−15i，
∴ |ω|=752+−152=2.
【答案】
解：(1)直线l的参数方程为x=−1−22t,y=2+22t（t为参数），
转换为直角坐标方程为：x+y−1=0．
曲线C的极坐标方程为ρcs2θ=sinθ，
转化为直角坐标方程为：y=x2．
(2)把直线l的参数方程为x=−1−22t,y=2+22t（t为参数），代入到y=x2，
得到：t2+2t−2=0（t1与t2为A，B对应的参数），
∴ t1⋅t2=−2，
∵ P(−1,2)在直线l上，
∴ |PA|⋅|PB|=|t1⋅t2|=|−2|=2．
【考点】
参数方程与普通方程的互化
抛物线的极坐标方程与直角坐标方程的互化
参数方程的优越性
【解析】
（1）直线l的参数方程为x=−1−22ty=2+22t（t为参数），
转换为直角坐标方程为：x+y−1=0．
曲线C的极坐标方程为ρcs2θ=sinθ．转化为内角坐标方程为：y=x2．

【解答】
解：(1)直线l的参数方程为x=−1−22t,y=2+22t（t为参数），
转换为直角坐标方程为：x+y−1=0．
曲线C的极坐标方程为ρcs2θ=sinθ，
转化为直角坐标方程为：y=x2．
(2)把直线l的参数方程为x=−1−22t,y=2+22t（t为参数），代入到y=x2，
得到：t2+2t−2=0（t1与t2为A，B对应的参数），
∴ t1⋅t2=−2，
∵ P(−1,2)在直线l上，
∴ |PA|⋅|PB|=|t1⋅t2|=|−2|=2．
【答案】
解：(1)据题意，得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c，
即a2=b2+c2+bc，
由余弦定理，得a2=b2+c2−2bccsA，
∴csA=−12，
又∵ A∈(0∘,180∘)，
∴ A=120∘.
(2)由(1)求解知A=120∘，
∴B+C=180∘−120∘=60∘，
sinB+sinC=sinB+sin(60∘−B)
=32csB+12sinB
=sin(60∘+B).
∴当B=30∘时，sinB+sinC取得最大值1.
【考点】
三角函数的最值
余弦定理
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)据题意，得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c，
即a2=b2+c2+bc，
由余弦定理，得a2=b2+c2−2bccsA，
∴csA=−12，
又∵ A∈(0∘,180∘)，
∴ A=120∘.
(2)由(1)求解知A=120∘，
∴B+C=180∘−120∘=60∘，
sinB+sinC=sinB+sin(60∘−B)
=32csB+12sinB
=sin(60∘+B).
∴当B=30∘时，sinB+sinC取得最大值1.
【答案】
解：(1)由题意得n1000=45450，
解得n=100，
则抽取的男生的人数为550×1001000=55（人）．
(2)(i)补充列联表如下，
则K2=100×(45×20−25×10)270×30×45×55≈8.129>6.635．
所以有99%以上的把握认为选送科目与性别有关．
(ii)由题意易知抽取的选择“地理”的6名学生中，有2名男生，分别记为A，B，4名女生，分别记为a，b，c，d.
从6名学生中抽取2名，有AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd，ab，ac，ad，bc，bd，cd共15种情况，
其中至少有1名男生的有AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd共9种情况，
故所求概率为915=35．
【考点】
系统抽样方法
独立性检验
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
(1)根据题意得n1000=45450，求解可得n的值，进而可得抽到的男生的人数；
(2)(i)根据题中的数据线完善列联表，再求K2结合临界值表即可得结果．
(ii)先由题易知抽取的选择“地理”的6名学生中，有2名男生，分别记为A，B，4名女生，分别记为a，b，c，d；用列举法分别列举出“6名学生中抽取2名”和“这2名中至少有1名男生”所包含的基本事件，基本事件个数比即为所求概率．
(2)(i)根据题中的数据线完善列联表，再求K2结合临界值表即可得结果．
(ii)先由题易知抽取的选择“地理”的6名学生中，有2名男生，分别记为A，B，4名女生，分别记为a，b，c，d；用列举法分别列举出“6名学生中抽取2名”和“这2名中至少有1名男生”所包含的基本事件，基本事件个数比即为所求概率．
【解答】
解：(1)由题意得n1000=45450，
解得n=100，
则抽取的男生的人数为550×1001000=55（人）．
(2)(i)
则K2=100×(45×20−25×10)270×30×45×55≈8.1289>6.635．
所以有99%以上的把握认为选送科目与性别有关．
(ii)由题意易知抽取的选择“地理”的6名学生中，有2名男生，分别记为A，B，4名女生，分别记为a，b，c，d；
从6名学生中抽取2名，有AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd，ab，ac，ad，bc，bd，cd共15种情况，
其中至少有1名男生的有AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd共9种情况，
故所求概率为915=35．
【答案】
解：(1)设椭圆C的半焦距为c，当点F1到直线l的距离取最大值时，l⊥x轴，
此时|AF2|=b2a=566.
又椭圆C的离心率e=66，
所以e2=c2a2=1−b2a2=662，
解得a2=6，b2=5，
所以椭圆C的标准方程为x26+y25=1.
(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，直线l的方程为x=my+1，
代入椭圆C的方程消去x：5m2+6y2+10my−25=0，Δ>0⇒m∈R.
由韦达定理得y1+y2=−10m5m2+6①，y1y2=−255m2+6②.
若BF2→=2F2A→，
则1−x2,−y2=2x1−1,y1，
∴ y2=−2y1，
代入①②得y1=10m5m2+6，2y12=255m2+6，
消去y1得210m5m2+62=255m2+6，
解得m=±2，
∴ |y1−y2|=3|y1|=3×1025×2+6=1528，
∴ △F1AB的面积为S=12|F1F2|⋅|y1−y2|=12×2×1528=1528.
【考点】
椭圆的标准方程
圆锥曲线的综合问题
【解析】
(1)由题意利用椭圆的定义和离心率的定义求得a，b的值即可确定椭圆方程；
(2)设出直线方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理和向量关系求得直线中的参数和|y1−y2|的值即可求得三角形的面积．
【解答】
解：(1)设椭圆C的半焦距为c，当点F1到直线l的距离取最大值时，l⊥x轴，
此时|AF2|=b2a=566.
又椭圆C的离心率e=66，
所以e2=c2a2=1−b2a2=662，
解得a2=6，b2=5，
所以椭圆C的标准方程为x26+y25=1.
(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，直线l的方程为x=my+1，
代入椭圆C的方程消去x：5m2+6y2+10my−25=0，Δ>0⇒m∈R.
由韦达定理得y1+y2=−10m5m2+6①，y1y2=−255m2+6②.
若BF2→=2F2A→，
则1−x2,−y2=2x1−1,y1，
∴ y2=−2y1，
代入①②得y1=10m5m2+6，2y12=255m2+6，
消去y1得210m5m2+62=255m2+6，
解得m=±2，
∴ |y1−y2|=3|y1|=3×1025×2+6=1528，
∴ △F1AB的面积为S=12|F1F2|⋅|y1−y2|=12×2×1528=1528.
【答案】
解：(1)f′(x)=1x−a(x>0)．
若a≤0，则f′(x)>0，
∴ 函数f(x)在(0, +∞)上单调递增.
若a>0，则当x∈(0,1a)时，f′(x)>0；
当x∈(1a,+∞)时，f′(x)<0，
所以f(x)在(0,1a)上单调递增，在(1a,+∞)单调递减．
(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0, +∞)无最大值．
当a>0时，f(x)在x=1a处取得最大值，
最大值为f(1a)=ln1a+a(1−1a)=−lna+a−1．
因此f(1a)>2a−2等价于lna+a−1<0．
令g(a)=lna+a−1，
则g(a)在(0, +∞)上单调递增，g(1)=0．
于是，当0当a>1时，g(a)>0，
因此，a的取值范围是(0, 1)．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的最值
函数恒成立问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)f′(x)=1x−a(x>0)．
若a≤0，则f′(x)>0，
∴ 函数f(x)在(0, +∞)上单调递增.
若a>0，则当x∈(0,1a)时，f′(x)>0；
当x∈(1a,+∞)时，f′(x)<0，
所以f(x)在(0,1a)上单调递增，在(1a,+∞)单调递减．
(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0, +∞)无最大值．
当a>0时，f(x)在x=1a取得最大值，
最大值为f(1a)=ln1a+a(1−1a)=−lna+a−1．
因此f(1a)>2a−2等价于lna+a−1<0．
令g(a)=lna+a−1，
则g(a)在(0, +∞)上单调递增，g(1)=0．
于是，当0当a>1时，g(a)>0，
因此，a的取值范围是(0, 1)．x（单位：万元）
0
1
2
3
4
y（单位：万元）
10
15
m
30
35
选择“物理”
选择“地理”
总计
男生
10
女生
25
总计
P(K2≥k0)
0.01
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
选择“物理”
选择“地理”
总计
男生
45
10
55
女生
25
20
45
总计
70
30
100
选择“物理”
选择“地理”
总计
男生
45
10
55
女生
25
20
45
总计
70
30
100

2020-2021学年河南省郑州市某校高二（下）4月月考数学（文）试卷

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