2020-2021学年河北省廊坊市某校高二（下）4月月考数学试卷

这是一份2020-2021学年河北省廊坊市某校高二（下）4月月考数学试卷，共9页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 复数11+i−i的共轭复数是( )
A.12−32iB.−12−32iC.12+32iD.−12+32i

2. 某运动物体的位移s（单位：米）关于时间t（单位：秒）的函数关系式为s=2t2+t，则该物体在t=2秒时的瞬时速度为( )
A.10米/秒B.9米/秒C.7米/秒D.5米/秒

3. 已知复数z满足iz=a+i2，若z在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围为( )
A.−1,0B.1,+∞
C.0,1D.−1,0∪1,+∞

4. 某学校有东、南、西、北四个校门，受新冠肺炎疫情的影响，学校对进入四个校门做出如下规定：学生只能从东门或西门进入校园，教师只能从南门或北门进入校园．现有2名教师和4名学生要进入校园（不分先后顺序），则他们进入校园的方式共有( )
A.12种B.24种C.48种D.64种

5. 若复数z=2m2−m−1−2m2−3m+1i是纯虚数，则实数m=( )
A.−12或1B.−12C.13D.13或1

6. 永定土楼，位于中国东南沿海的福建省龙岩市，是世界上独一无二的山区民居建筑，是中国古建筑的一朵奇葩．2008年7月，永定土楼成功被列入世界遗产名录．它不但历史悠久、风格独特，规模宏大、结构精巧．土楼具体有圆形、方形、五角形、八角形、日字形、回字形、吊脚楼等类型．现有某大学建筑系学生要重点对这七种主要类型的土楼进行调查研究．要求调查顺序中，圆形要排在第一个，五角形、八角形不能相邻，则不同的排法种数共有( )

A.480B.240C.384D.1440

7. 设f′x是函数fx的导函数，f′x的部分图象如图所示，若0
A.faB.fa2+b22C.fa+b2D.fa+b2
8. 设fx是定义在R上的函数，其导函数为f′x，满足fx−xf′x<0，若a=4f1，b=2f(2)，c=f4，则( )
A.a>b>cB.c>a>bC.b>c>aD.c>b>a
二、多选题

已知X∼Nμ,σ2，PX≥0+PX≥−2=1，且PX≤−2=0.3，则( )
A.μ=−1B.μ=−2
C.P−2≤X≤0=0.4D.P−2≤X≤0=0.3

已知函数fx=lnx−ax的图象在x=1处的切线方程为x+y+b=0，则( )
A.a=2B.b=1
C.fx的极小值为−ln2−1D.fx的极大值为−ln2−1

若1+x+1+x2+⋯+1+xn=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn，且a1+a2+⋯+an−1=253−n，则( )
A.n=7
B.a0=6
C.a0+a1+a2+⋯+an−1+an=254
D.a1+2a2+3a3+⋯+nan=769

已知函数fx=13x2+3x+ax+1,x<0,2lnx+x,x>0,若关于x的方程fx+f−x=0有4个不同的实数根，则实数a的取值可以为( )
A.−12B.−13C.0D.1
三、填空题

C44+C54+C64=________.

已知复数z=1+2i2+i，则|z|=________，z的虚部为________．

2020年11月15日，东盟十国及中国、日本、韩国、澳大利亚、新西兰正式签署了区域全面经济伙伴关系协定．某自媒体准备从这15个国家中选取4个国家介绍其经济贸易情况，则东盟国家及非东盟国家至少各有1个被选取的方法数为________ .

x+2x+15展开式中的常数项为________ .
四、解答题

为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，现用简单随机抽样的方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：

(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；

(2)判断是否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关．
附：K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d,n=a+b+c+d.

已知函数fx=ln2x−ax2.
(1)若fx在1,+∞内不单调，求a的取值范围；

(2)若a=2，求fx在12e,e2上的值域．

为了研究某疫苗的有效率，某地进行临床试验，对符合一定条件的10000名试验者注射了该疫苗，一段时间后发现仍然有20人感染．同期，从相同条件下选取了2000只未注射疫苗的小白鼠，分成5组，各组感染只数如下：

(1)求y关于x的线性回归方程；

(2)在人数均为10000的条件下，以(1)中回归方程估算未注射疫苗人群中的感染人数，记为N，注射疫苗后仍被感染的人数记为n，估计该疫苗的有效率．（疫苗的有效率为1−nN，结果保留3位有效数字）（参考公式：y=a+bx,b=i=1nxiyi−nxyi=1nxi2−nx2）

已知函数fx=x3+ax2+bx−4在x=1处取得极值−2.
(1)求a，b的值；

(2)求经过点M2,−2且与曲线y=fx相切的切线方程．

为贯彻“不忘立德树人初心，牢记为党育人、为国育才使命”的精神，同时为尊重考生的自主选择权，教育部推出了高考新方案“3+1+2”模式. “3”是语文、外语、数学三科必考，“1”是在物理与历史两科中选择一科，“2”是在化学、生物、政治、地理四科中选择两科作为高考科目. 某学校为做好选课走班教学工作，给出三种可供选择的组合进行模拟选课，其中A组合为物理、化学、生物，B组合为历史、政治、地理，C组合为物理、化学、地理. 根据选课数据得到，选择A组合的概率为25，选择B组合的概率为25，选择C组合的概率为15. 甲、乙、丙三位同学每人选课是相互独立的.
(1)求这三位同学恰好选择的组合互不相同的概率；

(2)记η表示这三人中选择含物理的组合的人数，求η的分布列及数学期望.

已知函数fx=x+alnx(a∈R) .
(1)讨论fx的单调性．

(2)当a=1时，证明：xfx参考答案与试题解析
2020-2021学年河北省廊坊市某校高二（下）4月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
共轭复数
复数代数形式的乘除运算
【解析】
利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．
【解答】
解：11+i−i=1−i1+i1−i−i=12−32i，其共轭复数为12+32i.
故选C.
2.
【答案】
B
【考点】
变化的快慢与变化率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由 st=2t2+t，得s′(t)=4t+1，
则物体在t=2秒时的瞬时速度v=s′|t=2=9米/秒．
故选B．
3.
【答案】
A
【考点】
复数的代数表示法及其几何意义
复数的运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
因为z=a+i2i=2a−a2−1i，且z在复平面内对应的点在第二象限，
所以2a<0，−a2−1>0，解得−1故选A.
4.
【答案】
D
【考点】
分步乘法计数原理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为学生只能从东门或西门进入校园，所以4名学生进入校园的方式共24=16种．
因为教师只可以从南门或北门进入校园，所以2名教师进入校园的方式共有22=4种．
故进入校园的方式共有 16×4=64种．
故选D.
5.
【答案】
B
【考点】
复数的基本概念
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由2m2−m−1=0,2m2−3m+1≠0 得m=−12.
故选B．
6.
【答案】
A
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
运用插空，快速解题．
【解答】
解：因为圆形排在第一个，五角形、八角形不能相邻，所以采用插空法．
其他四个图形全排列有 A44=24种排法，
然后把五角形、八角形进行插空，有A52=20种不同的排法，
则共有A44A52=480种不同的排法．
故选A．
7.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究函数的单调性
基本不等式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由f′x的图象可知，fx在a,b上单调递增．
因为b>a2+b22>a+b2>ab>a，
所以fa+b2故选C．
8.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为fx满足fx−xf′x<0，
令gx=fxx，则g′x=xf′x−fxx2>0，
所以gx在0,+∞上单调递增，
所以g1即f1所以c>b>a .
故选D.
二、多选题
【答案】
A,C
【考点】
正态分布的密度曲线
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为PX≥0+PX≥−2=1，
所以PX≥0=PX≤−2，
所以μ=−1，
故P−2≤X≤0=1−0.3×2=0.4.
故选AC.
【答案】
A,B,D
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的极值
【解析】
无
【解答】
解：因为fx=lnx−ax，
所以f′x=1x−a．
又因为函数fx的图象在x=1处的切线方程为x+y+b=0，
所以f1=−a=−b−1，f′1=1−a=−1，
解得a=2，b=1．
由f′x=1x−2=1−2xx，
知fx在x=12处取得极大值，
f12=ln12−1=−ln2−1．
故选ABD．
【答案】
A,C,D
【考点】
二项式定理的应用
二项式系数的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：令x=1，可得a0+a1+a2+⋯+an−1+an
=2+22+23+⋯+2n
=2(1−2n)1−2=2n+1−2. ①
令x=0，得a0=n．②
因为1+xn的展开式中xn的系数为Cnn=1，所以an=1．③
由①−②−③得2n+1−2−n−1=2n+1−n−3．
因为a1+a2+⋯+an−1=253−n，
所以2n+1−n−3=253−n，得n=7，故A正确；
所以a0=7，故B错误；
因为所有项系数和为28−2=254，故C正确；
因为1+x+1+x2+⋯+1+x6+1+x7
=a0+a1x+a2x2+⋯+a6x6+a7x7，
所以1+21+x+31+x2+⋯+61+x5+71+x6
=a1+2a2x+3a3x2+⋯+6a6x5+7a7x6，
令x=1，则1+2×2+3×22+⋯+6×25+7×26
=a1+2a2+3a3+⋯+6a6+7a7=769，故D正确．
故选ACD．
【答案】
A,B
【考点】
函数与方程的综合运用
根的存在性及根的个数判断
分段函数的应用
奇偶性与单调性的综合
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：构造函数gx=fx+f−x，
由题可知gx的定义域为−∞,0∪0,+∞，且g(x)=g(−x)，
所以gx是偶函数，
故关于x的方程f(x)+f(−x)=0有4个不同的实数根等价于gx在0,+∞上有两个零点．
当x>0时，gx=2lnx+13x2−2x−ax+1，
则gx=0等价于a=2xlnx+13x3−2x2+x.
令hx=2xlnx−2x2+13x3+x，
则h′x=2lnx−4x+x2+3．
令φx=2lnx−4x+x2+3，
则φ′x=2x+2x−4≥0，
故φx在区间0,+∞上单调递增．
又φ1=0，
所以hx在区间0,1上单调递减，在区间1,+∞上单调递增，
即hx在x=1处取得极小值且h1=−23．
当x→0时，h(x)→0，
当x→+∞时，h(x)→+∞．
故当−23关于x的方程hx=a在区间0,+∞上有两个不同的实数根，
即关于x的方程fx+f−x=0有4个不同的实数根．
观察选项，AB符合题意.
故选AB.
三、填空题
【答案】
21
【考点】
组合及组合数公式
【解析】

【解答】
解：因为Cnm+Cnm+1=Cn+1m+1，
所以C44+C54+C64=C55+C54+C64=C65+C64=C75=21.
故答案为：21.
【答案】
1,35
【考点】
复数的模
复数代数形式的乘除运算
复数的基本概念
【解析】

【解答】
解：因为z=1+2i2+i=(1+2i)(2−i)(2+i)(2−i)=45+35i，
所以|z|=(45)2+(35)2=1，z的虚部为35.
故答案为：1；35.
【答案】
1150
【考点】
排列、组合的应用
【解析】

【解答】
解：从15个国家中选取4个国家，选取的4个国家中，东盟国家及非东盟国家至少各有1个被选取的方法数为C101C53+C102C52+C103C51
=10×10+45×10+120×5=1150．
故答案为：1150．
【答案】
161
【考点】
二项展开式的特定项与特定系数
【解析】

【解答】
解：可视为5个(x+2x+1)相乘，求其常数项，按照分类加法和分步乘法原理进行求解．
情形一：该5个代数式都提供1，则此时常数项为C55=1；
情形二：该5个代数式中1个提供x，1个提供2x，3个提供1，此时常数项为C51x1C412x1C33⋅13=40；
情形三：该5个代数式中2个提供x，2个提供2x，1个提供1，此时常数项为C52x2C322x2C11⋅11=120；
综合三种情形可知，其常数项为1+40+120=161 .
故答案为：161.
四、解答题
【答案】
解：(1)调查的500名老年人中有80位需要志愿者提供帮助，
因此该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例的估计值为：
80500×100%=16%.
(2)K2=500×45×265−35×155280×300×200×420≈10.479，
因为10.479>6.635，
所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关.
【考点】
用样本的数字特征估计总体的数字特征
独立性检验的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)调查的500名老年人中有80位需要志愿者提供帮助，
因此该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例的估计值为：
80500×100%=16%.
(2)K2=500×45×265−35×155280×300×200×420≈10.479，
因为10.479>6.635，
所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关.
【答案】
解：(1)f′(x)=1−2ax2x，
因为f(x)在(1,+∞)内不单调，
所以关于x的方程1−2ax2=0在(1,+∞)内有根，
所以1−2a>0,a>0,故a的取值范围为(0,12).
(2)因为a=2，
所以f′(x)=(1−2x)(1+2x)x，
令f′(x)>0，得12e≤x<12，
令f′(x)<0，得12所以f(x)在[12e,12)上单调递增，在(12,e2]上单调递减，
所以f(x)max=f(12)=−12，
因为f(12e)=−1−12e2，f(e2)=1−e22，
且f(12e)−f(e2)=e22−2−12e2>0，
所以f(x)在[12e,e2]上的值域为[1−e22,−12].
【考点】
已知函数的单调性求参数问题
利用导数研究函数的单调性
函数的值域及其求法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)f′(x)=1−2ax2x，
因为f(x)在(1,+∞)内不单调，
所以关于x的方程1−2ax2=0在(1,+∞)内有根，
所以1−2a>0,a>0,故a的取值范围为(0,12).
(2)因为a=2，
所以f′(x)=(1−2x)(1+2x)x，
令f′(x)>0，得12e≤x<12，
令f′(x)<0，得12所以f(x)在[12e,12)上单调递增，在(12,e2]上单调递减，
所以f(x)max=f(12)=−12，
因为f(12e)=−1−12e2，f(e2)=1−e22，
且f(12e)−f(e2)=e22−2−12e2>0，
所以f(x)在[12e,e2]上的值域为[1−e22,−12].
【答案】
解：(1)由表格数据知x=400，y=4.4，
i=15xiyi=(2×2+3×3+4×4+5×6+6×7)×100=10100，
i=15xi2=(22+32+42+52+62)×10000=900000，
所以b=i=15xiyi−5xyi=15xi2−5x2
=10100−5×400×4.4900000−5×4002=1300100000=0.013，
所以a=y−bx=4.4−0.013×400=−0.8，
故回归方程为y=0.013x−0.8.
(2)同期条件下，依据回归方程估算未注射疫苗人群中的感染人数N，
当人数为10000时，N约为0.013×10000−0.8=129.2，
当人数为10000时，注射疫苗的人群中感染人数n=20，
所以疫苗的有效率为1−20129.2≈0.845.
【考点】
求解线性回归方程
【解析】


【解答】
解：(1)由表格数据知x=400，y=4.4，
i=15xiyi=(2×2+3×3+4×4+5×6+6×7)×100=10100，
i=15xi2=(22+32+42+52+62)×10000=900000，
所以b=i=15xiyi−5xyi=15xi2−5x2
=10100−5×400×4.4900000−5×4002=1300100000=0.013，
所以a=y−bx=4.4−0.013×400=−0.8，
故回归方程为y=0.013x−0.8.
(2)同期条件下，依据回归方程估算未注射疫苗人群中的感染人数N，
当人数为10000时，N约为0.013×10000−0.8=129.2，
当人数为10000时，注射疫苗的人群中感染人数n=20，
所以疫苗的有效率为1−20129.2≈0.845.
【答案】
解：(1)因为fx=x3+ax2+bx−4，
所以f′x=3x2+2ax+b.
因为函数fx在x=1处取得极值−2，
所以f1=1+a+b−4=−2,f′1=3+2a+b=0,解得a=−4,b=5.
验证：当a=−4，b=5时，
f′x=3x2−8x+5=3x−5x−1．
由f′x>0，得x>53或x<1；
由f′x<0，得1所以fx在x=1处取得极大值，满足题意．
(2)设切点坐标为x0,x03−4x02+5x0−4．
因为f′x0=3x02−8x0+5，
所以切线方程为y+2=3x02−8x0+5x−2 ．
又切线过点x0,x03−4x02+5x0−4，
所以x03−4x02+5x0−4+2=3x02−8x0+5x0−2，
即x03−5x02+8x0−4
=x03−x02−4x02+8x0−4=x0−22x0−1=0，
解得x0=2或x0=1，
所以经过点M2,−2且与曲线y=fx相切的切线方程为
x−y−4=0或y+2=0．
【考点】
利用导数研究函数的极值
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)因为fx=x3+ax2+bx−4，
所以f′x=3x2+2ax+b.
因为函数fx在x=1处取得极值−2，
所以f1=1+a+b−4=−2,f′1=3+2a+b=0,解得a=−4,b=5.
验证：当a=−4，b=5时，
f′x=3x2−8x+5=3x−5x−1．
由f′x>0，得x>53或x<1；
由f′x<0，得1所以fx在x=1处取得极大值，满足题意．
(2)设切点坐标为x0,x03−4x02+5x0−4．
因为f′x0=3x02−8x0+5，
所以切线方程为y+2=3x02−8x0+5x−2 ．
又切线过点x0,x03−4x02+5x0−4，
所以x03−4x02+5x0−4+2=3x02−8x0+5x0−2，
即x03−5x02+8x0−4
=x03−x02−4x02+8x0−4=x0−22x0−1=0，
解得x0=2或x0=1，
所以经过点M2,−2且与曲线y=fx相切的切线方程为
x−y−4=0或y+2=0．
【答案】
解：(1)三位同学恰好选择不同的组合共有A33=6种情况，每种情况的概率相同，
故三位同学恰好选择不同组合的概率P=6×25×25×15=24125.
(2)由题意可知，η的所有可能取值为0，1，2，3，且η∼B3,35 ，
则Pη=0=C30350253=8125，
P(η=1)=C31351252=36125，
Pη=2=C32352251=54125，
Pη=3=C33353250=27125，
则η的分布列为：
所以Eη=0×8125+1×36125+2×54125+3×27125=95.
【考点】
相互独立事件的概率乘法公式
离散型随机变量及其分布列
离散型随机变量的期望与方差
【解析】


【解答】
解：(1)三位同学恰好选择不同的组合共有A33=6种情况，每种情况的概率相同，
故三位同学恰好选择不同组合的概率P=6×25×25×15=24125.
(2)由题意可知，η的所有可能取值为0，1，2，3，且η∼B3,35 ，
则Pη=0=C30350253=8125，
P(η=1)=C31351252=36125，
Pη=2=C32352251=54125，
Pη=3=C33353250=27125，
则η的分布列为：
所以Eη=0×8125+1×36125+2×54125+3×27125=95.
【答案】
(1)解：fx的定义域为0,+∞，
f′x=ax+1=x+ax .
当a≥0时，f′x>0，
所以fx在(0,+∞)上单调递增．
当a<0时，若x∈−a,+∞，则f′x>0；
若x∈0,−a，则f′x<0 .
所以fx在−a,+∞上单调递增，在0,−a上单调递减．
综上，当a≥0时，fx在(0,+∞)上单调递增；
当a<0时，fx在−a,+∞上单调递增，在0,−a上单调递减．
(2)证明：当a=1时，要证xfx即证lnxx+1令函数gx=lnxx+1，则g′x=1−lnxx2 .
令g′x>0，得x∈0,e，
令g′x<0，得x∈e,+∞．
所以gx在0,e上单调递增，在e,+∞上单调递减，
所以gxmax=ge=1e+1 ．
令函数h(x)=exx2，则h′x=x−2exx3.
当x∈0,2时，h′x<0；
当x∈2,+∞时，h′x>0 .
所以h(x)在0,2单调递减，在(2,+∞)上单调递增，
所以h(x)min=h(2)=e24 .
因为e24−1e+1=e24−1e−1>0，
所以gxmax从而xf(x)【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】


【解答】
(1)解：fx的定义域为0,+∞，
f′x=ax+1=x+ax .
当a≥0时，f′x>0，
所以fx在(0,+∞)上单调递增．
当a<0时，若x∈−a,+∞，则f′x>0；
若x∈0,−a，则f′x<0 .
所以fx在−a,+∞上单调递增，在0,−a上单调递减．
综上，当a≥0时，fx在(0,+∞)上单调递增；
当a<0时，fx在−a,+∞上单调递增，在0,−a上单调递减．
(2)证明：当a=1时，要证xfx即证lnxx+1令函数gx=lnxx+1，则g′x=1−lnxx2 .
令g′x>0，得x∈0,e，
令g′x<0，得x∈e,+∞．
所以gx在0,e上单调递增，在e,+∞上单调递减，
所以gxmax=ge=1e+1 ．
令函数h(x)=exx2，则h′x=x−2exx3.
当x∈0,2时，h′x<0；
当x∈2,+∞时，h′x>0 .
所以h(x)在0,2单调递减，在(2,+∞)上单调递增，
所以h(x)min=h(2)=e24 .
因为e24−1e+1=e24−1e−1>0，
所以gxmax从而xf(x)女
需要
45
35
不需要
155
265
PK2≥K0
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
调查只数x
200
300
400
500
600
感染只数y
2
3
4
6
7