2020-2021学年河北省衡水市某校高二（上）11月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年河北省衡水市某校高二（上）11月月考数学试卷人教A版，共9页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 若直线Ax+By+C=0通过第二、三、四象限，则系数A，B，C需满足条件（ ）
A.A，B，C同号B.AC<0，BC<0
C.C=0，AB<0D.A=0，BC<0

2. 过点A(4, a)和B(5, b)的直线与直线y=x+m平行，则|AB|的值为( )
A.6B.2C.2D.不确定

3. 关于x，y的方程a2−a−2x+2−ay+5=0是直线的方程，则（ ）
A.a=2B.a=−1C.a≠2D.a≠1

4. 圆x2+y2=1与圆x2+y2=4的位置关系是（ ）
A.相离B.相切C.相交D.内含

5. 如果圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与x轴切于原点，则( )
A.D=0，E=0，F≠0B.E=0，F=0，D≠0
C.D=0，F=0，E≠0D.F=0，D≠0，E≠0

6. 直线3x+4y−2=0与直线6x+8y−5=0间的距离是( )
A.3B.7C.110D.12

7. 平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是( )
A.2x+y+5=0或2x+y−5=0
B.2x+y+5=0或2x+y−5=0
C.2x−y+5=0或2x−y−5=0
D.2x−y+5=0或2x−y−5=0

8. 若方程x2+y2−x+y+m=0表示圆，则实数m的取值范围是( )
A.m<12B.m<0C.m>12D.m≤12

9. 已知圆C与直线x−y=0及x−y−4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为（ ）
A.x+12+y−12=2B.x−12+y+12=2
C.x−12+y−12=2D.x+12+y+12=2

10. 经过点A−2,2并且和两坐标轴围成的三角形面积是1的直线方程是( )
A.x+2y−2=0或x+2y+2=0
B.x+2y+2=0或2x+y+2=0
C.2x+y−2=0 或 x+2y+2=0
D.2x+y+2=0或x+2y−2=0

11. 过点P(4, 2)作圆x2+y2=4的两条切线，切点分别为A，B，O为坐标原点，则△OAB的外接圆方程是（ ）
A.(x−2)2+(y−1)2=5B.(x−4)2+(y−2)2=20
C.(x+2)2+(y+1)2=5D.(x+4)2+(y+2)2=20

12. 使得方程16−x2−x−m=0有实数解，则实数m的取值范围为（ ）
A.−42≤m≤42B.−4≤m≤42C.−4≤m≤4D.4≤m≤42
二、填空题

过点(3, 1)作圆(x−2)2+(y−2)2=4的弦，其中最短的弦长为________．

过点1,2，倾斜角是120∘的直线方程的点斜式是________.

过点A0,1与B4,0的直线l1与过点4,1,3,k+1的直线l2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k为________.

已知圆C过点(1, 0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l:y=x−1被该圆所截得的弦长为22，则圆C的标准方程为________.
三、解答题


(1)直线l的方程为(a+1)x+y+2−a=0(a∈R)．若l在两坐标轴上的截距相等，求a的值；

(2)已知A(−2, 4)，B(4, 0)，且AB是圆C的直径，求圆C的标准方程．

一光线从M−3,1发出，经x轴反射后，射到y轴上，再经y轴反射后，反射光线的斜率为−12.求光线与x轴交点的坐标．

已知圆x2+y2−4ax+2ay+20(a−1)=0．
(1)求证：对任意实数a，该圆恒过一定点；

(2)若该圆与圆x2+y2=4相切，求a的值．

直线y=−33x+1和x轴，y轴分别交于点A，B，在线段AB为边在第一象限内作等边△ABC，如果在第一象限内有一点P(m,12)使得△ABP和△ABC的面积相等，求m的值．

已知圆C:x2+y2−2x+4y−4=0，问是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点，若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．

已知点P(2, 0)及圆C:x2+y2−6x+4y+4=0．
(1)若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程；

(2)设过点P的直线l1与圆C交于M，N两点，当|MN|=4时，求以线段MN为直径的圆Q的方程；

(3)设直线ax−y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P(2, 0)的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河北省衡水市某校高二（上）11月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
直线的一般式方程
直线的一般式方程与直线的性质
【解析】
化直线的一般式方程为斜截式，由直线通过二、三、四象限可得直线的斜率小于0，在y轴上的截距小于0，从而得到A，B，C同号．
【解答】
解：由Ax+By+C=0，得y=−ABx−CB，
∵ 直线Ax+By+C=0通过第二、三、四象限，
∴ −AB<0,−CB<0,，则A，B，C同号．
故选C.
2.
【答案】
B
【考点】
两点间的距离公式
两条直线平行与倾斜角、斜率的关系
【解析】
过点A(4, a)和B(5, b)的直线与直线y=x+m平行，可得b−a5−4=1，即b−a=1．再利用两点之间的距离公式即可得出．
【解答】
解：∵ 过点A(4, a)和B(5, b)的直线与直线y=x+m平行，
∴ b−a5−4=1，
∴ b−a=1．
∴ |AB|=(5−4)2+(b−a)2=1+1=2．
故选B．
3.
【答案】
C
【考点】
直线的一般式方程
【解析】
无
【解答】
解：由题意知a2−a−2和2−a不同时为0，
∴ a≠2．
故选C．
4.
【答案】
D
【考点】
圆与圆的位置关系及其判定
【解析】
由题意可得两圆的圆心都为O(O, O)，半径分别为r1=1，r2=2，从而得到它们的圆心间的距离小于半径之差的绝对值，所以两圆内含．
【解答】
解：∵ 圆x2+y2=1与圆x2+y2=4的圆心都为O(0, 0)，半径分别为r1=1，r2=2，
∴ 两圆的圆心间的距离等于d=0，而半径之差的绝对值|r1−r2|=1．
因此，d<|r1−r2|，可得两圆内含．
故选D.
5.
【答案】
C
【考点】
圆的一般方程
【解析】
圆x2+y2+Dx+Ey+F=0配方为：(x+D2)2+(y+E2)2=D2+E2−4F4．可得圆心(−D2，−E2)，半径r=12D2+E2−4F．根据圆与x轴切于原点，即可得出．
【解答】
解：圆x2+y2+Dx+Ey+F=0配方为：
(x+D2)2+(y+E2)2=D2+E2−4F4．
圆心(−D2，−E2)，半径r=12D2+E2−4F．
∵ 圆与x轴切于原点，
∴ −D2=0，F=0，−E2≠0，r>0，
解得D=F=0，E≠0．
故选C．
6.
【答案】
C
【考点】
两条平行直线间的距离
【解析】
根据两直线平行的距离公式进行计算即可得到结论．
【解答】
解：直线3x+4y−2=0等价为6x+8y−4=0，
则直线6x+8y−4=0与6x+8y−5=0平行，
则根据平行直线的距离公式可得两直线的距离：
d=|−4−(−5)|62+82=110.
故选C.
7.
【答案】
A
【考点】
圆的切线方程
点到直线的距离公式
直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】
设出所求直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程中的变量，即可求出直线方程．
【解答】
解：设所求直线方程为2x+y+b=0，
所以|b|5=5，所以b=±5，
所以所求直线方程为：2x+y+5=0或2x+y−5=0.
故选A.
8.
【答案】
A
【考点】
二元二次方程表示圆的条件
圆的标准方程
圆的标准方程与一般方程的转化
【解析】
方程x2+y2−x+y+m=0即(x−12)2+(y+12)2=12−m，此方程表示圆时，应有12−m>0，由此求得实数m的取值范围．
【解答】
解：方程x2+y2−x+y+m=0，
即(x−12)2+(y+12)2=12−m，
此方程表示圆时，应有12−m>0，
解得m<12.
故选A.
9.
【答案】
B
【考点】
直线与圆的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由圆心在直线x+y=0上，不妨设为Ca,−a，
∴ r=|a−−a|2=|a−−a−4|2，
解得a=1,r=2，∴ 圆C:x−12+y+12=2.
故选B．
10.
【答案】
D
【考点】
直线的截距式方程
【解析】
设直线在x轴、y轴上的截距分别是a，b，由三角形的面积可得ab=±2，设直线方程为xa+yb=1，根据直线过点 −2,2，求出a=−1b=−2，或a=2b=1,即可得解直线方程为2x+y−2=0或 x+2y−2=0．
【解答】
解：设直线在x轴、y轴上的截距分别是a，b，
则由S=12|a⋅b|=1，得ab=±2.
设直线方程为xa+yb=1，
∵ 直线过点 −2,2，
∴ −2a+2b=1，即b=2aa+2，
∴ ab=2a2a+2=±2，
解得a=−1,b=−2,或a=2,b=1,
∴ 直线l的方程为x−1+y−2=1或x2+y1=1，
即直线l的方程为2x+y+2=0或x+2y−2=0.
故选D．
11.
【答案】
A
【考点】
直线与圆的位置关系
圆的标准方程
【解析】
由题意知OA⊥PA，BO⊥PB，四边形AOBP的四个顶点在同一个圆上，此圆的直径是OP，△AOB外接圆就是四边形AOBP的外接圆．
【解答】
解：由题意知，OA⊥PA，BO⊥PB，
∴ 四边形AOBP有一组对角都等于90∘，
∴ 四边形AOBP的四个顶点在同一个圆上，此圆的直径是OP，
∵ OP的中点为(2, 1)，OP=25，
∴ 四边形AOBP的外接圆的方程为 (x−2)2+(y−1)2=5，
∴ △AOB外接圆的方程为 (x−2)2+(y−1)2=5．
故选A.
12.
【答案】
B
【考点】
函数的零点与方程根的关系
直线与圆的位置关系
【解析】
将原式化为16−x2=x+m，转化为y=16−x2与y=x+m函数图象有公共点时，确定m的范围．
【解答】
解：16−x2−x−m=0可化为
16−x2=x+m，即问题转化为y=16−x2与y=x+m有公共点.
做出函数图象：
容易算出当直线y=x+m与半圆相切时m=42，当直线过(4, 0)点时m=−4．
故m的范围是−4≤m≤42．
故选B．
二、填空题
【答案】
22
【考点】
直线与圆的位置关系
【解析】
由圆的方程找出圆心与半径，判断得到(3, 1)在圆内，过此点最短的弦即为与过此点直径垂直的弦，利用垂径定理及勾股定理即可求出．
【解答】
解：根据题意得：圆心(2, 2)，半径r=2，
∵ (3−2)2+(1−2)2=2<2，
∴ 点(3, 1)在圆内.
∵ 圆心到此点的距离d=2，r=2，
∴ 最短的弦长为2r2−d2=22．
故答案为：22.
【答案】
y−2=−3x−1
【考点】
直线的点斜式方程
【解析】
无
【解答】
解：斜率是k=tan120∘=−3，所以直线方程是y−2=−3x−1．
故答案为：y−2=−3x−1．
【答案】
−4
【考点】
两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系
【解析】
无
【解答】
解：当围成四边形内接于一个圆时，l1⊥l2，
∴ k1⋅k2=−1，而k1=−14，∴ k2=4，
∴k+1−13−4=4，解得k=−4．
故答案为：−4.
【答案】
(x−3)2+y2=4
【考点】
直线与圆的位置关系
圆的标准方程
点到直线的距离公式
【解析】
设圆心C的坐标为(a, 0)，a>0，求得圆心到直线l:y=x−1的距离d的值，再根据半径r=|a−1|=(a−12)2+(2)2，解得a的值，可得圆心
坐标和半径，从而求得圆C的标准方程．
【解答】
解：设圆心C的坐标为(a, 0)，a>0，
则圆心到直线l:y=x−1的距离为
d=|a−0−1|2=|a−1|2．
由于半径r=|a−1|=(a−12)2+(2)2，
解得a=3，或a=−1（舍去），
故圆C的圆心为(3, 0)，半径为3−1=2，
故圆C的标准方程为(x−3)2+y2=4.
故答案为：(x−3)2+y2=4.
三、解答题
【答案】
解：(1)当a=−1时，直线化为y+3=0，不符合条件，应舍去；
当a≠−1时，分别令x=0，y=0，解得与坐标轴的交点(0, a−2)，(a−2a+1, 0)．
∵ 直线l在两坐标轴上的截距相等，
∴ a−2=a−2a+1，解得a=2或a=0.
(2)∵ A(−2, 4)，B(4, 0)，
∴ 线段AB的中点C坐标为(1, 2)．
又∵ |AB|=(4+2)2+(0−4)2=213，
∴ 所求圆的半径r=12|AB|=13．
因此，以线段AB为直径的圆C的标准方程为(x−1)2+(y−2)2=13．
【考点】
直线的一般式方程
圆的标准方程
圆的一般方程
【解析】
（1）a=−1时，直接验证；当a≠−1时，分别令x=0，y=0，解得与坐标轴的交点(0, a−2)，(a−2a+1, 0)，根据直线l在两坐标轴上的截距相等即可得出a的值；
（2）根据中点坐标公式算出圆的圆心坐标，再由两点距离公式算出半径，即可得到所求圆的标准方程．
【解答】
解：(1)当a=−1时，直线化为y+3=0，不符合条件，应舍去；
当a≠−1时，分别令x=0，y=0，解得与坐标轴的交点(0, a−2)，(a−2a+1, 0)．
∵ 直线l在两坐标轴上的截距相等，
∴ a−2=a−2a+1，解得a=2或a=0.
(2)∵ A(−2, 4)，B(4, 0)，
∴ 线段AB的中点C坐标为(1, 2)．
又∵ |AB|=(4+2)2+(0−4)2=213，
∴ 所求圆的半径r=12|AB|=13．
因此，以线段AB为直径的圆C的标准方程为(x−1)2+(y−2)2=13．
【答案】
解：设光线与x轴交点Aa,0，M点关于x轴对称点为M′(−3,−1)，
则kM′A=1a+3．
又经y轴反射前后光线与y轴夹角相等，
∴ kM′A=12，即1a+3=12，∴ a=−1．
即光线与x轴的交点坐标为−1,0．
【考点】
直线的斜率
与直线关于点、直线对称的直线方程
直线的倾斜角
【解析】
无
【解答】
解：设光线与x轴交点Aa,0，M点关于x轴对称点为M′(−3,−1)，
则kM′A=1a+3．
又经y轴反射前后光线与y轴夹角相等，
∴ kM′A=12，即1a+3=12，∴ a=−1．
即光线与x轴的交点坐标为−1,0．
【答案】
(1)证明：将圆的方程整理为：
(x2+y2−20)+a(−4x+2y+20)=0，
令x2+y2=20，−4x+2y+20=0，可得x=4，y=−2，
所以该圆恒过定点(4, −2)．
(2)解：圆的方程可化为：
(x−2a)2+(y+a)2=5a2−20a+20=5(a−2)2，
所以圆心为(2a, −a)，半径为5|a−2|．
若两圆外切，则5|a|=2+5|a−2|，
由此解得a=1+55．
若两圆内切，则5|a|=|2−5|a−2||，
由此解得a=1−55或a=1+55（舍去）．
综上所述，两圆相切时，a=1−55或a=1+55．
【考点】
圆的综合应用
圆与圆的位置关系及其判定
【解析】
（1）将a分离，可得(x2+y2−20)+a(−4x+2y+20)=0，对任意实数a成立，则x2+y2=20−4x+2y+20=0，由此可得结论；
（2）利用两圆外切，内切，分别求出a的值，即可得到结论．
【解答】
(1)证明：将圆的方程整理为：
(x2+y2−20)+a(−4x+2y+20)=0，
令x2+y2=20，−4x+2y+20=0，可得x=4，y=−2，
所以该圆恒过定点(4, −2)．
(2)解：圆的方程可化为：
(x−2a)2+(y+a)2=5a2−20a+20=5(a−2)2，
所以圆心为(2a, −a)，半径为5|a−2|．
若两圆外切，则5|a|=2+5|a−2|，
由此解得a=1+55．
若两圆内切，则5|a|=|2−5|a−2||，
由此解得a=1−55或a=1+55（舍去）．
综上所述，两圆相切时，a=1−55或a=1+55．
【答案】
解：由已知可得直线CP // AB，
设CP的方程为y=−33x+c(c>1)，
∵ A(3,0)，B(0, 1)，
∴ AB的中点D(32,12)，
∵ △ABC是等边三角形，∴ CD=3，
点D到直线CP的距离：
d=c−11+13=AB×32=3，c=3，
则CP的方程为y=−33x+3.
∵ CP过P(m,12)，
∴ 12=−33m+3，
解得m=532.
【考点】
两条直线平行的判定
点到直线的距离公式
【解析】
先由已知条件得到CP // AB，设CP的方程为y=−33x+c，(c>1)，先求出AB的中点D的坐标，由点到直线的距离公式求出点D到直线CP的距离，从而得到c的值，再把P(m,12)代入直线CP的方程，求出m的值．
【解答】
解：由已知可得直线CP // AB，
设CP的方程为y=−33x+c(c>1)，
∵ A(3,0)，B(0, 1)，
∴ AB的中点D(32,12)，
∵ △ABC是等边三角形，∴ CD=3，
点D到直线CP的距离：
d=c−11+13=AB×32=3，c=3，
则CP的方程为y=−33x+3.
∵ CP过P(m,12)，
∴ 12=−33m+3，
解得m=532.
【答案】
解：圆C化成标准方程为(x−1)2+(y+2)2=9，
假设存在以AB为直径的圆M，圆心M的坐标为(a, b)．
∵ CM⊥l，即kCM⋅kl=b+2a−1×1=−1，
∴ b=−a−1，
∴ 直线l的方程为y−b=x−a，即x−y−2a−1=0，
∴ |CM|2=(|1+2−2a−1|2)2=2(1−a)2，
∴ |MB|2=|CB|2−|CM|2=−2a2+4a+7.
∵ |MB|=|OM|，
∴ −2a2+4a+7=a2+b2，得a=−1或32，
当a=32时，b=−52，此时直线l的方程为x−y−4=0，
当a=−1时，b=0，此时直线l的方程为x−y+1=0，
故这样的直线l是存在的，方程为x−y−4=0或x−y+1=0．
【考点】
点到直线的距离公式
圆的一般方程
两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系
【解析】
将圆C化成标准方程，假设存在以AB为直径的圆M，圆心M的坐标为(a, b)．因为CM⊥l，则有kCM⋅kl=−1，表示出直线l的方程，从而求得圆心到直线的距离，再由：d2+(l2)2=r2求解．
【解答】
解：圆C化成标准方程为(x−1)2+(y+2)2=9，
假设存在以AB为直径的圆M，圆心M的坐标为(a, b)．
∵ CM⊥l，即kCM⋅kl=b+2a−1×1=−1，
∴ b=−a−1，
∴ 直线l的方程为y−b=x−a，即x−y−2a−1=0，
∴ |CM|2=(|1+2−2a−1|2)2=2(1−a)2，
∴ |MB|2=|CB|2−|CM|2=−2a2+4a+7.
∵ |MB|=|OM|，
∴ −2a2+4a+7=a2+b2，得a=−1或32，
当a=32时，b=−52，此时直线l的方程为x−y−4=0，
当a=−1时，b=0，此时直线l的方程为x−y+1=0，
故这样的直线l是存在的，方程为x−y−4=0或x−y+1=0．
【答案】
解：(1)设直线l的斜率为k（k存在）则方程为y−0=k(x−2)，即kx−y−2k=0．
圆C：x2+y2−6x+4y+4=0可化为(x−3)2+(y+2)2=9，
∴ 圆C的圆心为(3, −2)，半径r=3，
由|3k+2−2k|k2+1=1，解得k=−34．
所以直线方程为y=−34(x−2)，即3x+4y−6=0；
当l的斜率不存在时，l的方程为x=2，经验证x=2也满足条件.
(2)由P(2,0)，C(3,−2)，
可得|CP|=5，而弦心距d=5，
所以d=|CP|=5，所以P为MN的中点，
所以所求圆的圆心坐标为(2, 0)，半径为12|MN|=2，
故以MN为直径的圆Q的方程为(x−2)2+y2=4.
(3)把直线ax−y+1=0即y=ax+1，代入圆C的方程，
消去y，整理得(a2+1)x2+6(a−1)x+9=0．
由于直线ax−y+1=0交圆C于A，B两点，
故Δ=36(a−1)2−36(a2+1)>0，即−2a>0，解得a<0，
则实数a的取值范围是(−∞, 0)．
设符合条件的实数a存在，
由于l2垂直平分弦AB，故圆心C(3, −2)必在l2上，
所以l2的斜率kPC=−2，
而kAB=a=−1kPC，
所以a=12．
由于12∉(−∞, 0)，
故不存在实数a，使得过点P(2, 0)的直线l2垂直平分弦AB．
【考点】
直线与圆的位置关系
直线的点斜式方程
点到直线的距离公式
两点间的距离公式
圆的标准方程
两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系
【解析】
（1）分两种情况：当直线l的斜率存在时，设出直线l的斜率为k，由P的坐标和设出的k写出直线l的方程，利用点到直线的距离公式表示出P到直线l的距离d，让d等于1列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，利用求出的k和P写出直线l的方程即可；当直线l的斜率不存在时，得到在线l的方程，经过验证符合题意；
（2）由利用两点间的距离公式求出圆心C到P的距离，再根据弦长|MN|的一半及半径，利用勾股定理求出弦心距d，发现|CP|与d相等，所以得到P为MN的中点，所以以MN为直径的圆的圆心坐标即为P的坐标，半径为|MN|的一半，根据圆心和半径写出圆的方程即可；
（3）把已知直线的方程代入到圆的方程中消去y得到关于x的一元二次方程，因为直线与圆有两个交点，所以得到△>0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围，利用反证法证明：假设符合条件的a存在，由直线l2垂直平分弦AB得到圆心必在直线l2上，根据P与C的坐标即可求出l2的斜率，然后根据两直线垂直时斜率的乘积为−1，即可求出直线ax−y+1＝0的斜率，进而求出a的值，经过判断求出a的值不在求出的范围中，所以假设错误，故这样的a不存在．
【解答】
解：(1)设直线l的斜率为k（k存在）则方程为y−0=k(x−2)，即kx−y−2k=0．
圆C：x2+y2−6x+4y+4=0可化为(x−3)2+(y+2)2=9，
∴ 圆C的圆心为(3, −2)，半径r=3，
由|3k+2−2k|k2+1=1，解得k=−34．
所以直线方程为y=−34(x−2)，即3x+4y−6=0；
当l的斜率不存在时，l的方程为x=2，经验证x=2也满足条件.
(2)由P(2,0)，C(3,−2)，
可得|CP|=5，而弦心距d=5，
所以d=|CP|=5，所以P为MN的中点，
所以所求圆的圆心坐标为(2, 0)，半径为12|MN|=2，
故以MN为直径的圆Q的方程为(x−2)2+y2=4.
(3)把直线ax−y+1=0即y=ax+1，代入圆C的方程，
消去y，整理得(a2+1)x2+6(a−1)x+9=0．
由于直线ax−y+1=0交圆C于A，B两点，
故Δ=36(a−1)2−36(a2+1)>0，即−2a>0，解得a<0，
则实数a的取值范围是(−∞, 0)．
设符合条件的实数a存在，
由于l2垂直平分弦AB，故圆心C(3, −2)必在l2上，
所以l2的斜率kPC=−2，
而kAB=a=−1kPC，
所以a=12．
由于12∉(−∞, 0)，
故不存在实数a，使得过点P(2, 0)的直线l2垂直平分弦AB．