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2020-2021年关西省河池市某校高二（下）4月月考数学（文）试卷
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这是一份2020-2021年关西省河池市某校高二（下）4月月考数学（文）试卷，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 复数z=4i1+i（i是虚数单位）的虚部是( )
A.2B.2iC.−2D.−2i
2. 用反证法证明“如果aA.3a=3bB.3a<3b
C.3a=3b或3a<3bD.3a=3b或3a>3b
3. 复数集是由实数集和虚数集构成的，而实数集又可分为有理数集和无理数集两部分；虚数集也可分为纯虚数集和非纯虚数集两部分，则可选用( )来描述．
A.结构图B.流程图
C.流程图或结构图中的任意一个D.流程图和结构图同时用
4. 已知两个变量x和y之间具有线性相关关系，5次试验的观测数据如下：
那么变量y关于x的线性回归方程只可能是( )
A.y=0.575x−12.9B.y=0.572x−13.9
C.y=0.575x−14.9D.y=0.572x−14.9
5. 点P−3,1在极坐标系中的坐标为（ ）
A.2,−5π6B.2,5π6C.4,5π6D.4,−5π6
6. 已知{bn}为等比数列，b5=2，则b1b2b3b4b5b6b7b8b9=29．若{an}为等差数列，a5=2，则{an}的类似结论为( )
A.a1a2a3⋯a9=29B.a1+a2+a3⋯+a9=29
C.a1a2a3⋯a9=2×9D.a1+a2+a3⋯+a9=2×9
7. “余弦函数是偶函数，fx=cs3x+2是余弦函数，因此fx=cs3x+2是偶函数”，以上推理( )
A.结论正确B.小前提不正确C.大前提不正确D.全部正确
8. 若t为参数，则参数方程x=tcsθ+a，y=tsinθ+b表示的点的轨迹为( )
A.直线B.椭圆C.圆D.圆或直线
9. 若由一个2×2列联表中的数据计算得K2=4.013，那么有( )把握认为两个变量有关系．
A.95%B.97.5%C.99%D.99.9%
10. 如图，若向量OZ→对应的复数为z，且|z|=5，则1z=( )
A.15+25iB.−15−25iC.15−25iD.−15+25i
11. 在一次数学测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测.
甲：我的成绩比丙高．
乙：我的成绩比丙高．
丙：甲的成绩比我和乙的都高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为( )
A.甲、乙、丙B.乙、丙、甲C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙
12. 已知变量y关于变量x的回归方程为y=ebx−0.5，其一组数据如下表所示：
若y=e9.1，则x=( )
A.5B.6C.7D.8
二、填空题
若复数m−3+m2−9i≥0，则实数m的值为________.
将曲线y=sin2x按照伸缩变换x′=2x，y′=3y后得到的曲线方程为________.
执行如图2所示程序框图，则输出的值为________．
某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：万元）之间的关系如下表，y与x的线性回归方程为y=6.5x+17.5，当广告支出5万元时，随机误差的残差为________.
三、解答题
不等式证明：
(1)当a>1时，求证：2a−a−1−a+1>0；
(2)已知a>0，b>0，a+b>2，求证：1+ba，1+ab至少有一个小于2．
在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=2csα，y=2+2sinα（α为参数）．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程ρ=21+3sin2θ．
(1)求曲线C2的普通方程；
(2)设A是曲线C1上的动点，B是曲线C2上的动点，求|AB|的最大值．
垃圾是人类日常生活和生产中产生的废弃物，由于排出量大，成分复杂多样，且具有污染性，所以需要无害化、减量化处理．某市为调查产生的垃圾数量，采用简单随机抽样的方法抽取20个县城进行了分析，得到样本数据(x1,yi)(i=1,2,⋯⋯,20)，其中xi和yi分别表示第i个县城的人口（单位：万人）和该县年垃圾产生总量（单位：吨），并计算得i=120xi=80，i=120yi=4000，i=120xi−x2=80 ，i=120yi−y2=8000，i=120xi−xyi−y=700.
(1)请用相关系数说明该组数据中y与x之间的关系可用线性回归模型进行拟合；
(2)求y关于x的线性回归方程，用所求回归方程预测该省10万人口的县城年垃圾产生总量约为多少吨？
参考公式：相关系数 r=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2i=1nyi−y2.
对于一组具有线性相关关系的数据(x1,yi)(i=1,2,3,⋯⋯,n) ，其回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为： b=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2,a=y−bx.
在一次模拟考试中，某校共有100名文科学生参加考试，其中语文考试成绩低于130的占95%，如果成绩不低于130的为特别优秀，数学成绩的频率分布直方图如图3．
(1)求数学成绩特别优秀的人数及数学成绩的平均分；
(2)如果语文和数学两科都特别优秀的共有3人．根据以上数据，完成2×2列联表，并分析是否有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．
参考数据：①K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d；
某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)， (2)， (3)， (4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f(n)个小正方形．
(1)求出f(5)；
(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n+1)与f(n)的关系式，并根据你得到的关系式求f(n)的表达式；
(3)求1f(1)+1f(2)−1+1f(3)−1+⋯+1f(n)−1的值．
已知函数fx=ex−ax2+b的图象在点x=0处的切线为y=ax．
(1)求函数fx的解析式；
(2)若fx+kx>0对任意的x∈0,+∞恒成立，求实数k的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021年关西省河池市某校高二（下）4月月考数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
复数代数形式的乘除运算
复数的基本概念
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为z=4i1+i=4i(1−i)2=2+2i，
所以虚部为2.
故选A.
2.
【答案】
D
【考点】
反证法与放缩法
【解析】
分析：反证法是假设命题的结论不成立，即结论的反面成立，所以只要考虑 3a>3b的反面是什么即可．
【解答】
解：∵ 3a<3b的反面是 3a≥3b，
即 3a=3b或 3a>3b．
故选D．
3.
【答案】
A
【考点】
结构图应用
【解析】
设计的这个结构图从整体上要反映数的结构，从左向右要反映的是要素之间的从属关系．在画结构图时，应根据具体需要确定复杂程度．简洁的结构图有时能更好地反映主体要素之间的关系和系统的整体特点．同时，要注意结构图，通常按照从上到下、从左到右的方向顺序表示，各要素间的从属关系较多时，常用方向箭头示意．
【解答】
解：因为要反映数的结构，所以选用结构图来描述比较合适.
故选A.
4.
【答案】
C
【考点】
求解线性回归方程
回归分析
【解析】
线性回归方程y=bx+a必过样本中心点，首先计算出横标和纵标的平均数，代入回归直线方程检验即可．
【解答】
解：由表得x=140，y=65.6，
根据线性回归方程y=bx+a必过样本中心点，
代入x=140，y=65.6，检验只有y=0.575x−14.9适合.
故选C.
5.
【答案】
B
【考点】
点的极坐标和直角坐标的互化
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：点P−3,1在极坐标系中，极径为−32+12=2，
因为点在第二象限，所以∠POx=5π6，
所以点P−3,1在极坐标系中的坐标为(2,5π6)．
故选B.
6.
【答案】
D
【考点】
类比推理
【解析】
等差和等比的类比时，在等差中为和在等比中为积，按此规律写出戒律即可．
【解答】
解：∵{bn}为等比数列，
∴b1b9=b2b8=⋯=b52，
∵{an}为等差数列，
∴类比可得a1+a9=a2+a8=⋯=2a5，
a1+a2+⋯+a9=2×9.
故选D.
7.
【答案】
B
【考点】
演绎推理
函数奇偶性的判断
【解析】
分别判断大前提、小前提、结论的正确性，选出正确的答案．
【解答】
解：因为f(x)=cs3x+2不是余弦函数，所以小前提不正确．
故选B.
8.
【答案】
A
【考点】
轨迹方程
参数方程与普通方程的互化
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为参数方程x=tcsθ+a，y=tsinθ+b，
所以x−a=tcsθ，y−b=tsinθ，
消参数t，得x−asinθ=y−bcsθ，
即sinθ⋅x−csθ⋅y+bcsθ−asinθ=0，
故轨迹为一条直线．
故选A．
9.
【答案】
A
【考点】
独立性检验
【解析】
根据所给的观测值，把观测值同临界值表中的临界值进行比较，看出所求的结果比哪一个临界值大，得到可信度．
【解答】
解：∵ 由一个2×2列联表中的数据计算得K2=4.013，
K2=4.413>3.84，
∴ 在犯错的概率不超过0.05的前提下，认为两个变量之间有关系，
即有 95% 把握认为两个变量有关系．
故选A．
10.
【答案】
D
【考点】
复数的模
复数的代数表示法及其几何意义
共轭复数
【解析】
根据题意利用z=5，可得复数z，进而利用复数的运算即可求得结果.
【解答】
解：根据题意设z−1,b，b>0，则z=−1+bi，
∵ z=5，
∴ −12+b2=5，
解得b=2或b=−2(舍去)，
∴ z=−1+2i，z=−1−2i
∴ 1z=1−1−2i=−1+2i−1+2i−1−2i
=−1+2i5=−15+25i.
故选D．
11.
【答案】
B
【考点】
进行简单的合情推理
【解析】
分别讨论甲、乙、丙预测正确时的情况，根据三人成绩互不相同且只有一个人预测正确判断，即可得到结果．
【解答】
解：①若甲预测正确，则乙预测错误，
所以有甲>丙，乙<丙，即甲>丙>乙，
此时丙预测正确，不符合题意；
②若乙预测正确，则甲预测错误，
所以甲<丙，乙>丙，即乙>丙>甲，
此时丙预测错误，符合题意，
③若丙预测正确，则甲，乙预测错误，
所以甲<丙，乙<丙，
所以甲不是最高的，与丙正确矛盾，不符合题意.
所以乙预测正确，三人按成绩由高到低的次序为乙、丙、甲.
故选B.
12.
【答案】
B
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由y=ebx−0.5，得lny=bx−0.5，
令z=lny，则z=bx−0.5，
由题意得x=1+2+3+44=2.5 ，z=1+3+4+64=3.5，
因为x,z满足z=bx−0.5，
所以3.5=b×2.5−0.5，解得b=1.6，
所以z=1.6x−0.5，
所以y=e1.6x−0.5，令e1.6x−0.5=e9.1，
解得x=6．
故选B．
二、填空题
【答案】
3
【考点】
复数的基本概念
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为复数不能比较大小，
所以m−3+m2−9i为实数，
所以m−3≥0，m2−9=0，
解得m=3，
所以实数m的值为3．
故答案为：3．
【答案】
y=3sinx
【考点】
伸缩变换
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意x′=2x，y′=3y可得x=12x′，y=13y′，
代入曲线y=sin2x，得13y′=sin2×12x′⇒y′=3sinx′，
即将曲线y=sin2x按照伸缩变换x′=2x，y′=3y后得到的曲线方程为y=3sinx．
故答案为：y=3sinx．
【答案】
4
【考点】
程序框图
循环结构的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：执行程序框图如下：
初始值x=0，i=1，0≤5，进入循环，
x=0+1=1，i=1+1=2，1≤5，进入循环；
x=1+4=5，i=2+1=3，5≤5，进入循环；
x=5+9=14，i=3+1=4，14>5，结束循环，输出i=4.
故答案为：4．
【答案】
10
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为y与x的线性回归方程为y=6.5x+17.5，
当x=5时，y=50，
当广告支出5万元时，由表格得y=60，
故随机误差的残差为60−50=10.
故答案为：10.
三、解答题
【答案】
证明：(1)要证2a−a−1−a+1>0；
即证2a>a−1+a+1，
只要证2a2>a−1+a+12，
只要证4a>2a+2a2−1，
只要证a>a2−1，
由于a>1，只要证a2>a2−1，不等式显然成立，
所以2a−a−1−a+1>0.
(2)假设1+ba，1+ab都大于或等于2，
即1+ba≥2，1+ab≥2，
又因为a>0，b>0，
故可得1+b≥2a，1+a≥2b，
两式相加可得2+a+b≥2a+2b，
即a+b≤2，这与a+b>2矛盾，
故假设不成立，则1+ba，1+ab至少有一个小于2．
【考点】
综合法与分析法
反证法与放缩法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
证明：(1)要证2a−a−1−a+1>0；
即证2a>a−1+a+1，
只要证2a2>a−1+a+12，
只要证4a>2a+2a2−1，
只要证a>a2−1，
由于a>1，只要证a2>a2−1，不等式显然成立，
所以2a−a−1−a+1>0.
(2)假设1+ba，1+ab都大于或等于2，
即1+ba≥2，1+ab≥2，
又因为a>0，b>0，
故可得1+b≥2a，1+a≥2b，
两式相加可得2+a+b≥2a+2b，
即a+b≤2，这与a+b>2矛盾，
故假设不成立，则1+ba，1+ab至少有一个小于2．
【答案】
解：(1)曲线C2的极坐标方程ρ=21+3sin2θ，
整理得ρ2(cs2θ+4sin2θ)=4，
即x2+4y2=4，
∴ 曲线C2的普通方程为x24+y2=1.
(2)∵曲线C1的参数方程为x=2csα，y=2+2sinα（α为参数），
转换为直角坐标方程为x2+y−22=4，
该曲线是以C0,2为圆心，2为半径的圆，
A是曲线C1上的动点，B是曲线C2上的动点，
所以|AB|max=|BC|max+2，
设B2csβ,sinβ，
所以|BC|=4cs2β+sinβ−22
=−3sinβ+232+283
所以，当sinβ=−23 时，|BC|max=283=2213，
|AB|max=|BC|max+2=2213+2.
【考点】
参数方程与普通方程的互化
椭圆的参数方程
圆的极坐标方程
【解析】
(1)直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．
(2)利用三角函数关系式的变换，二次函数性质的应用求出结果．
【解答】
解：(1)曲线C2的极坐标方程ρ=21+3sin2θ，
整理得ρ2(cs2θ+4sin2θ)=4，
即x2+4y2=4，
∴ 曲线C2的普通方程为x24+y2=1.
(2)∵曲线C1的参数方程为x=2csα，y=2+2sinα（α为参数），
转换为直角坐标方程为x2+y−22=4，
该曲线是以C0,2为圆心，2为半径的圆，
A是曲线C1上的动点，B是曲线C2上的动点，
所以|AB|max=|BC|max+2，
设B2csβ,sinβ，
所以|BC|=4cs2β+sinβ−22
=−3sinβ+232+283
所以，当sinβ=−23 时，|BC|max=283=2213，
|AB|max=|BC|max+2=2213+2.
【答案】
解：(1)由题意知相关系数
r=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2i=1nyi−y2=70080×8000=78=0.875.
因为y与x的相关系数接近1，
所以y与x之间具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合．
(2)由题意可得，
b=i=120(xi−x)(yi−y)i=120(xi−x)2=70080=8.75.
a=y−bx=400020−8.75×8020=200−8.75×4=165，
所以y=8.75x+165.
当x=10时，y=8.75×10+165=252.5，
所以该省10万人口的县城年垃圾产生总量约为252.5吨．
【考点】
相关系数的求法
求解线性回归方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由题意知相关系数
r=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2i=1nyi−y2=70080×8000=78=0.875.
因为y与x的相关系数接近1，
所以y与x之间具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合．
(2)由题意可得，
b=i=120(xi−x)(yi−y)i=120(xi−x)2=70080=8.75.
a=y−bx=400020−8.75×8020=200−8.75×4=165，
所以y=8.75x+165.
当x=10时，y=8.75×10+165=252.5，
所以该省10万人口的县城年垃圾产生总量约为252.5吨．
【答案】
解：(1)数学成绩特别优秀的概率为P2=0.002×20=0.04，
数学特别优秀的同学有100×0.04=4人．
数学成绩的平均分为：
x=0.14×60+0.36×80+0.4×100+0.06×120+0.04×140=90．
(2)由题意知语文成绩特别优秀的概率为P1=1−0.95=0.05，
语文特别优秀的同学有100×0.05=5人，
列联表如下：
所以K2=1003×94−1×224×96×5×95≈42.982>6.635．
所以有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．
【考点】
众数、中位数、平均数
独立性检验
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)数学成绩特别优秀的概率为P2=0.002×20=0.04，
数学特别优秀的同学有100×0.04=4人．
数学成绩的平均分为：
x=0.14×60+0.36×80+0.4×100+0.06×120+0.04×140=90．
(2)由题意知语文成绩特别优秀的概率为P1=1−0.95=0.05，
语文特别优秀的同学有100×0.05=5人，
列联表如下：
所以K2=1003×94−1×224×96×5×95≈42.982>6.635．
所以有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．
【答案】
解：(1)∵ f(1)=1，
f(2)=1+4=5，
f(3)=1+4+8=13，
f(4)=1+4+8+12=25，
∴ f(5)=1+4+8+12+16=41．
(2)∵ f(2)−f(1)=4=4×1，
f(3)−f(2)=8=4×2，
f(4)−f(3)=12=4×3，
f(5)−f(4)=16=4×4，
由上式规律得出f(n+1)−f(n)=4n．
∴ f(n)−f(n−1)=4(n−1)，
f(n−1)−f(n−2)=4(n−2)，
f(n−2)−f(n−3)=4(n−3)，
…
f(2)−f(1)=4×1，
∴ f(n)−f(1)=4[(n−1)+(n−2)+⋯+2+1]
=2n(n−1)，
∴ f(n)=2n2−2n+1．
(3)当n≥2时，
1f(n)−1=12n2−2n+1−1=12(1n−1−1n)，
∴ 1f(1)+1f(2)−1+1f(3)−1+⋯+1f(n)−1
=1+12(1−12+12−13+⋯+1n−1−1n)
=1+12(1−1n)
=32−12n.
【考点】
数列的求和
数列递推式
归纳推理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)∵ f(1)=1，
f(2)=1+4=5，
f(3)=1+4+8=13，
f(4)=1+4+8+12=25，
∴ f(5)=1+4+8+12+16=41．
(2)∵ f(2)−f(1)=4=4×1，
f(3)−f(2)=8=4×2，
f(4)−f(3)=12=4×3，
f(5)−f(4)=16=4×4，
由以上规律，得出f(n+1)−f(n)=4n．
∴ f(n)−f(n−1)=4(n−1)，
f(n−1)−f(n−2)=4(n−2)，
f(n−2)−f(n−3)=4(n−3)，
…
f(2)−f(1)=4×1，
∴ f(n)−f(1)=4[(n−1)+(n−2)+⋯+2+1]
=2n(n−1)，
∴ f(n)=2n2−2n+1．
(3)当n≥2时，
1f(n)−1=12n2−2n+1−1=12(1n−1−1n)，
∴ 1f(1)+1f(2)−1+1f(3)−1+⋯+1f(n)−1
=1+12(1−12+12−13+⋯+1n−1−1n)
=1+12(1−1n)
=32−12n.
【答案】
解：(1)f′x=ex−2ax，
由题意可得f0=0=1+b，f′0=1=a，
解得a=1，b=−1，
∴ fx=ex−x2−1 ．
(2)由题意得fx>−kx对任意的x∈0,+∞恒成立，
即fxx>−k对任意的x∈0,+∞恒成立．
令hx=fxx=ex−x2−1x，x>0，
∴ h′x=xex−2x−ex−x2−1x2
=x−1ex−x−1x2，
令gx=ex−x−1，由g′x=ex−1=0得x=0．
当x∈−∞,0时，g′x<0，gx单调递减；
当x∈0,+∞时，g′x>0，gx单调递增．
∴ gxmin=g0=0，可知当x∈0,+∞时，ex−x−1>0恒成立，
∴ 由h′x>0，得x>1，由h′x<0得0∴ hx的增区间为1,+∞，减区间为0,1，hxmin=h1=e−2 ．
∴ −k∴ 实数k的取值范围为2−e,+∞．
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)f′x=ex−2ax，
由题意可得f0=0=1+b，f′0=1=a，
解得a=1，b=−1，
∴ fx=ex−x2−1 ．
(2)由题意得fx>−kx对任意的x∈0,+∞恒成立，
即fxx>−k对任意的x∈0,+∞恒成立．
令hx=fxx=ex−x2−1x，x>0，
∴ h′x=xex−2x−ex−x2−1x2
=x−1ex−x−1x2，
令gx=ex−x−1，由g′x=ex−1=0得x=0．
当x∈−∞,0时，g′x<0，gx单调递减；
当x∈0,+∞时，g′x>0，gx单调递增．
∴ gxmin=g0=0，可知当x∈0,+∞时，ex−x−1>0恒成立，
∴ 由h′x>0，得x>1，由h′x<0得0∴ hx的增区间为1,+∞，减区间为0,1，hxmin=h1=e−2 ．
∴ −k∴ 实数k的取值范围为2−e,+∞．x
100
120
140
160
180
y
45
54
62
75
92
PK2≥k0
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
x
1
2
3
4
y
e
e3
e4
e6
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
语文特别优秀
语文不特别优秀
合计
数学特别优秀
数学不特别优秀
合计
PK2≥k0
0.010
0.005
0.001
k0
6.635
7.879
10.828
语文特别优秀
语文不特别优秀
合计
数学特别优秀
3
1
4
数学不特别优秀
2
94
96
合计
5
95
100
语文特别优秀
语文不特别优秀
合计
数学特别优秀
3
1
4
数学不特别优秀
2
94
96
合计
5
95
100
1. 复数z=4i1+i（i是虚数单位）的虚部是( )
A.2B.2iC.−2D.−2i
2. 用反证法证明“如果a
C.3a=3b或3a<3bD.3a=3b或3a>3b
3. 复数集是由实数集和虚数集构成的，而实数集又可分为有理数集和无理数集两部分；虚数集也可分为纯虚数集和非纯虚数集两部分，则可选用( )来描述．
A.结构图B.流程图
C.流程图或结构图中的任意一个D.流程图和结构图同时用
4. 已知两个变量x和y之间具有线性相关关系，5次试验的观测数据如下：
那么变量y关于x的线性回归方程只可能是( )
A.y=0.575x−12.9B.y=0.572x−13.9
C.y=0.575x−14.9D.y=0.572x−14.9
5. 点P−3,1在极坐标系中的坐标为（ ）
A.2,−5π6B.2,5π6C.4,5π6D.4,−5π6
6. 已知{bn}为等比数列，b5=2，则b1b2b3b4b5b6b7b8b9=29．若{an}为等差数列，a5=2，则{an}的类似结论为( )
A.a1a2a3⋯a9=29B.a1+a2+a3⋯+a9=29
C.a1a2a3⋯a9=2×9D.a1+a2+a3⋯+a9=2×9
7. “余弦函数是偶函数，fx=cs3x+2是余弦函数，因此fx=cs3x+2是偶函数”，以上推理( )
A.结论正确B.小前提不正确C.大前提不正确D.全部正确
8. 若t为参数，则参数方程x=tcsθ+a，y=tsinθ+b表示的点的轨迹为( )
A.直线B.椭圆C.圆D.圆或直线
9. 若由一个2×2列联表中的数据计算得K2=4.013，那么有( )把握认为两个变量有关系．
A.95%B.97.5%C.99%D.99.9%
10. 如图，若向量OZ→对应的复数为z，且|z|=5，则1z=( )
A.15+25iB.−15−25iC.15−25iD.−15+25i
11. 在一次数学测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测.
甲：我的成绩比丙高．
乙：我的成绩比丙高．
丙：甲的成绩比我和乙的都高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为( )
A.甲、乙、丙B.乙、丙、甲C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙
12. 已知变量y关于变量x的回归方程为y=ebx−0.5，其一组数据如下表所示：
若y=e9.1，则x=( )
A.5B.6C.7D.8
二、填空题
若复数m−3+m2−9i≥0，则实数m的值为________.
将曲线y=sin2x按照伸缩变换x′=2x，y′=3y后得到的曲线方程为________.
执行如图2所示程序框图，则输出的值为________．
某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：万元）之间的关系如下表，y与x的线性回归方程为y=6.5x+17.5，当广告支出5万元时，随机误差的残差为________.
三、解答题
不等式证明：
(1)当a>1时，求证：2a−a−1−a+1>0；
(2)已知a>0，b>0，a+b>2，求证：1+ba，1+ab至少有一个小于2．
在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=2csα，y=2+2sinα（α为参数）．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程ρ=21+3sin2θ．
(1)求曲线C2的普通方程；
(2)设A是曲线C1上的动点，B是曲线C2上的动点，求|AB|的最大值．
垃圾是人类日常生活和生产中产生的废弃物，由于排出量大，成分复杂多样，且具有污染性，所以需要无害化、减量化处理．某市为调查产生的垃圾数量，采用简单随机抽样的方法抽取20个县城进行了分析，得到样本数据(x1,yi)(i=1,2,⋯⋯,20)，其中xi和yi分别表示第i个县城的人口（单位：万人）和该县年垃圾产生总量（单位：吨），并计算得i=120xi=80，i=120yi=4000，i=120xi−x2=80 ，i=120yi−y2=8000，i=120xi−xyi−y=700.
(1)请用相关系数说明该组数据中y与x之间的关系可用线性回归模型进行拟合；
(2)求y关于x的线性回归方程，用所求回归方程预测该省10万人口的县城年垃圾产生总量约为多少吨？
参考公式：相关系数 r=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2i=1nyi−y2.
对于一组具有线性相关关系的数据(x1,yi)(i=1,2,3,⋯⋯,n) ，其回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为： b=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2,a=y−bx.
在一次模拟考试中，某校共有100名文科学生参加考试，其中语文考试成绩低于130的占95%，如果成绩不低于130的为特别优秀，数学成绩的频率分布直方图如图3．
(1)求数学成绩特别优秀的人数及数学成绩的平均分；
(2)如果语文和数学两科都特别优秀的共有3人．根据以上数据，完成2×2列联表，并分析是否有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．
参考数据：①K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d；
某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)， (2)， (3)， (4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f(n)个小正方形．
(1)求出f(5)；
(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n+1)与f(n)的关系式，并根据你得到的关系式求f(n)的表达式；
(3)求1f(1)+1f(2)−1+1f(3)−1+⋯+1f(n)−1的值．
已知函数fx=ex−ax2+b的图象在点x=0处的切线为y=ax．
(1)求函数fx的解析式；
(2)若fx+kx>0对任意的x∈0,+∞恒成立，求实数k的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021年关西省河池市某校高二（下）4月月考数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
复数代数形式的乘除运算
复数的基本概念
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为z=4i1+i=4i(1−i)2=2+2i，
所以虚部为2.
故选A.
2.
【答案】
D
【考点】
反证法与放缩法
【解析】
分析：反证法是假设命题的结论不成立，即结论的反面成立，所以只要考虑 3a>3b的反面是什么即可．
【解答】
解：∵ 3a<3b的反面是 3a≥3b，
即 3a=3b或 3a>3b．
故选D．
3.
【答案】
A
【考点】
结构图应用
【解析】
设计的这个结构图从整体上要反映数的结构，从左向右要反映的是要素之间的从属关系．在画结构图时，应根据具体需要确定复杂程度．简洁的结构图有时能更好地反映主体要素之间的关系和系统的整体特点．同时，要注意结构图，通常按照从上到下、从左到右的方向顺序表示，各要素间的从属关系较多时，常用方向箭头示意．
【解答】
解：因为要反映数的结构，所以选用结构图来描述比较合适.
故选A.
4.
【答案】
C
【考点】
求解线性回归方程
回归分析
【解析】
线性回归方程y=bx+a必过样本中心点，首先计算出横标和纵标的平均数，代入回归直线方程检验即可．
【解答】
解：由表得x=140，y=65.6，
根据线性回归方程y=bx+a必过样本中心点，
代入x=140，y=65.6，检验只有y=0.575x−14.9适合.
故选C.
5.
【答案】
B
【考点】
点的极坐标和直角坐标的互化
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：点P−3,1在极坐标系中，极径为−32+12=2，
因为点在第二象限，所以∠POx=5π6，
所以点P−3,1在极坐标系中的坐标为(2,5π6)．
故选B.
6.
【答案】
D
【考点】
类比推理
【解析】
等差和等比的类比时，在等差中为和在等比中为积，按此规律写出戒律即可．
【解答】
解：∵{bn}为等比数列，
∴b1b9=b2b8=⋯=b52，
∵{an}为等差数列，
∴类比可得a1+a9=a2+a8=⋯=2a5，
a1+a2+⋯+a9=2×9.
故选D.
7.
【答案】
B
【考点】
演绎推理
函数奇偶性的判断
【解析】
分别判断大前提、小前提、结论的正确性，选出正确的答案．
【解答】
解：因为f(x)=cs3x+2不是余弦函数，所以小前提不正确．
故选B.
8.
【答案】
A
【考点】
轨迹方程
参数方程与普通方程的互化
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为参数方程x=tcsθ+a，y=tsinθ+b，
所以x−a=tcsθ，y−b=tsinθ，
消参数t，得x−asinθ=y−bcsθ，
即sinθ⋅x−csθ⋅y+bcsθ−asinθ=0，
故轨迹为一条直线．
故选A．
9.
【答案】
A
【考点】
独立性检验
【解析】
根据所给的观测值，把观测值同临界值表中的临界值进行比较，看出所求的结果比哪一个临界值大，得到可信度．
【解答】
解：∵ 由一个2×2列联表中的数据计算得K2=4.013，
K2=4.413>3.84，
∴ 在犯错的概率不超过0.05的前提下，认为两个变量之间有关系，
即有 95% 把握认为两个变量有关系．
故选A．
10.
【答案】
D
【考点】
复数的模
复数的代数表示法及其几何意义
共轭复数
【解析】
根据题意利用z=5，可得复数z，进而利用复数的运算即可求得结果.
【解答】
解：根据题意设z−1,b，b>0，则z=−1+bi，
∵ z=5，
∴ −12+b2=5，
解得b=2或b=−2(舍去)，
∴ z=−1+2i，z=−1−2i
∴ 1z=1−1−2i=−1+2i−1+2i−1−2i
=−1+2i5=−15+25i.
故选D．
11.
【答案】
B
【考点】
进行简单的合情推理
【解析】
分别讨论甲、乙、丙预测正确时的情况，根据三人成绩互不相同且只有一个人预测正确判断，即可得到结果．
【解答】
解：①若甲预测正确，则乙预测错误，
所以有甲>丙，乙<丙，即甲>丙>乙，
此时丙预测正确，不符合题意；
②若乙预测正确，则甲预测错误，
所以甲<丙，乙>丙，即乙>丙>甲，
此时丙预测错误，符合题意，
③若丙预测正确，则甲，乙预测错误，
所以甲<丙，乙<丙，
所以甲不是最高的，与丙正确矛盾，不符合题意.
所以乙预测正确，三人按成绩由高到低的次序为乙、丙、甲.
故选B.
12.
【答案】
B
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由y=ebx−0.5，得lny=bx−0.5，
令z=lny，则z=bx−0.5，
由题意得x=1+2+3+44=2.5 ，z=1+3+4+64=3.5，
因为x,z满足z=bx−0.5，
所以3.5=b×2.5−0.5，解得b=1.6，
所以z=1.6x−0.5，
所以y=e1.6x−0.5，令e1.6x−0.5=e9.1，
解得x=6．
故选B．
二、填空题
【答案】
3
【考点】
复数的基本概念
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为复数不能比较大小，
所以m−3+m2−9i为实数，
所以m−3≥0，m2−9=0，
解得m=3，
所以实数m的值为3．
故答案为：3．
【答案】
y=3sinx
【考点】
伸缩变换
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意x′=2x，y′=3y可得x=12x′，y=13y′，
代入曲线y=sin2x，得13y′=sin2×12x′⇒y′=3sinx′，
即将曲线y=sin2x按照伸缩变换x′=2x，y′=3y后得到的曲线方程为y=3sinx．
故答案为：y=3sinx．
【答案】
4
【考点】
程序框图
循环结构的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：执行程序框图如下：
初始值x=0，i=1，0≤5，进入循环，
x=0+1=1，i=1+1=2，1≤5，进入循环；
x=1+4=5，i=2+1=3，5≤5，进入循环；
x=5+9=14，i=3+1=4，14>5，结束循环，输出i=4.
故答案为：4．
【答案】
10
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为y与x的线性回归方程为y=6.5x+17.5，
当x=5时，y=50，
当广告支出5万元时，由表格得y=60，
故随机误差的残差为60−50=10.
故答案为：10.
三、解答题
【答案】
证明：(1)要证2a−a−1−a+1>0；
即证2a>a−1+a+1，
只要证2a2>a−1+a+12，
只要证4a>2a+2a2−1，
只要证a>a2−1，
由于a>1，只要证a2>a2−1，不等式显然成立，
所以2a−a−1−a+1>0.
(2)假设1+ba，1+ab都大于或等于2，
即1+ba≥2，1+ab≥2，
又因为a>0，b>0，
故可得1+b≥2a，1+a≥2b，
两式相加可得2+a+b≥2a+2b，
即a+b≤2，这与a+b>2矛盾，
故假设不成立，则1+ba，1+ab至少有一个小于2．
【考点】
综合法与分析法
反证法与放缩法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
证明：(1)要证2a−a−1−a+1>0；
即证2a>a−1+a+1，
只要证2a2>a−1+a+12，
只要证4a>2a+2a2−1，
只要证a>a2−1，
由于a>1，只要证a2>a2−1，不等式显然成立，
所以2a−a−1−a+1>0.
(2)假设1+ba，1+ab都大于或等于2，
即1+ba≥2，1+ab≥2，
又因为a>0，b>0，
故可得1+b≥2a，1+a≥2b，
两式相加可得2+a+b≥2a+2b，
即a+b≤2，这与a+b>2矛盾，
故假设不成立，则1+ba，1+ab至少有一个小于2．
【答案】
解：(1)曲线C2的极坐标方程ρ=21+3sin2θ，
整理得ρ2(cs2θ+4sin2θ)=4，
即x2+4y2=4，
∴ 曲线C2的普通方程为x24+y2=1.
(2)∵曲线C1的参数方程为x=2csα，y=2+2sinα（α为参数），
转换为直角坐标方程为x2+y−22=4，
该曲线是以C0,2为圆心，2为半径的圆，
A是曲线C1上的动点，B是曲线C2上的动点，
所以|AB|max=|BC|max+2，
设B2csβ,sinβ，
所以|BC|=4cs2β+sinβ−22
=−3sinβ+232+283
所以，当sinβ=−23 时，|BC|max=283=2213，
|AB|max=|BC|max+2=2213+2.
【考点】
参数方程与普通方程的互化
椭圆的参数方程
圆的极坐标方程
【解析】
(1)直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．
(2)利用三角函数关系式的变换，二次函数性质的应用求出结果．
【解答】
解：(1)曲线C2的极坐标方程ρ=21+3sin2θ，
整理得ρ2(cs2θ+4sin2θ)=4，
即x2+4y2=4，
∴ 曲线C2的普通方程为x24+y2=1.
(2)∵曲线C1的参数方程为x=2csα，y=2+2sinα（α为参数），
转换为直角坐标方程为x2+y−22=4，
该曲线是以C0,2为圆心，2为半径的圆，
A是曲线C1上的动点，B是曲线C2上的动点，
所以|AB|max=|BC|max+2，
设B2csβ,sinβ，
所以|BC|=4cs2β+sinβ−22
=−3sinβ+232+283
所以，当sinβ=−23 时，|BC|max=283=2213，
|AB|max=|BC|max+2=2213+2.
【答案】
解：(1)由题意知相关系数
r=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2i=1nyi−y2=70080×8000=78=0.875.
因为y与x的相关系数接近1，
所以y与x之间具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合．
(2)由题意可得，
b=i=120(xi−x)(yi−y)i=120(xi−x)2=70080=8.75.
a=y−bx=400020−8.75×8020=200−8.75×4=165，
所以y=8.75x+165.
当x=10时，y=8.75×10+165=252.5，
所以该省10万人口的县城年垃圾产生总量约为252.5吨．
【考点】
相关系数的求法
求解线性回归方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由题意知相关系数
r=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2i=1nyi−y2=70080×8000=78=0.875.
因为y与x的相关系数接近1，
所以y与x之间具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合．
(2)由题意可得，
b=i=120(xi−x)(yi−y)i=120(xi−x)2=70080=8.75.
a=y−bx=400020−8.75×8020=200−8.75×4=165，
所以y=8.75x+165.
当x=10时，y=8.75×10+165=252.5，
所以该省10万人口的县城年垃圾产生总量约为252.5吨．
【答案】
解：(1)数学成绩特别优秀的概率为P2=0.002×20=0.04，
数学特别优秀的同学有100×0.04=4人．
数学成绩的平均分为：
x=0.14×60+0.36×80+0.4×100+0.06×120+0.04×140=90．
(2)由题意知语文成绩特别优秀的概率为P1=1−0.95=0.05，
语文特别优秀的同学有100×0.05=5人，
列联表如下：
所以K2=1003×94−1×224×96×5×95≈42.982>6.635．
所以有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．
【考点】
众数、中位数、平均数
独立性检验
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)数学成绩特别优秀的概率为P2=0.002×20=0.04，
数学特别优秀的同学有100×0.04=4人．
数学成绩的平均分为：
x=0.14×60+0.36×80+0.4×100+0.06×120+0.04×140=90．
(2)由题意知语文成绩特别优秀的概率为P1=1−0.95=0.05，
语文特别优秀的同学有100×0.05=5人，
列联表如下：
所以K2=1003×94−1×224×96×5×95≈42.982>6.635．
所以有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．
【答案】
解：(1)∵ f(1)=1，
f(2)=1+4=5，
f(3)=1+4+8=13，
f(4)=1+4+8+12=25，
∴ f(5)=1+4+8+12+16=41．
(2)∵ f(2)−f(1)=4=4×1，
f(3)−f(2)=8=4×2，
f(4)−f(3)=12=4×3，
f(5)−f(4)=16=4×4，
由上式规律得出f(n+1)−f(n)=4n．
∴ f(n)−f(n−1)=4(n−1)，
f(n−1)−f(n−2)=4(n−2)，
f(n−2)−f(n−3)=4(n−3)，
…
f(2)−f(1)=4×1，
∴ f(n)−f(1)=4[(n−1)+(n−2)+⋯+2+1]
=2n(n−1)，
∴ f(n)=2n2−2n+1．
(3)当n≥2时，
1f(n)−1=12n2−2n+1−1=12(1n−1−1n)，
∴ 1f(1)+1f(2)−1+1f(3)−1+⋯+1f(n)−1
=1+12(1−12+12−13+⋯+1n−1−1n)
=1+12(1−1n)
=32−12n.
【考点】
数列的求和
数列递推式
归纳推理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)∵ f(1)=1，
f(2)=1+4=5，
f(3)=1+4+8=13，
f(4)=1+4+8+12=25，
∴ f(5)=1+4+8+12+16=41．
(2)∵ f(2)−f(1)=4=4×1，
f(3)−f(2)=8=4×2，
f(4)−f(3)=12=4×3，
f(5)−f(4)=16=4×4，
由以上规律，得出f(n+1)−f(n)=4n．
∴ f(n)−f(n−1)=4(n−1)，
f(n−1)−f(n−2)=4(n−2)，
f(n−2)−f(n−3)=4(n−3)，
…
f(2)−f(1)=4×1，
∴ f(n)−f(1)=4[(n−1)+(n−2)+⋯+2+1]
=2n(n−1)，
∴ f(n)=2n2−2n+1．
(3)当n≥2时，
1f(n)−1=12n2−2n+1−1=12(1n−1−1n)，
∴ 1f(1)+1f(2)−1+1f(3)−1+⋯+1f(n)−1
=1+12(1−12+12−13+⋯+1n−1−1n)
=1+12(1−1n)
=32−12n.
【答案】
解：(1)f′x=ex−2ax，
由题意可得f0=0=1+b，f′0=1=a，
解得a=1，b=−1，
∴ fx=ex−x2−1 ．
(2)由题意得fx>−kx对任意的x∈0,+∞恒成立，
即fxx>−k对任意的x∈0,+∞恒成立．
令hx=fxx=ex−x2−1x，x>0，
∴ h′x=xex−2x−ex−x2−1x2
=x−1ex−x−1x2，
令gx=ex−x−1，由g′x=ex−1=0得x=0．
当x∈−∞,0时，g′x<0，gx单调递减；
当x∈0,+∞时，g′x>0，gx单调递增．
∴ gxmin=g0=0，可知当x∈0,+∞时，ex−x−1>0恒成立，
∴ 由h′x>0，得x>1，由h′x<0得0
∴ −k
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)f′x=ex−2ax，
由题意可得f0=0=1+b，f′0=1=a，
解得a=1，b=−1，
∴ fx=ex−x2−1 ．
(2)由题意得fx>−kx对任意的x∈0,+∞恒成立，
即fxx>−k对任意的x∈0,+∞恒成立．
令hx=fxx=ex−x2−1x，x>0，
∴ h′x=xex−2x−ex−x2−1x2
=x−1ex−x−1x2，
令gx=ex−x−1，由g′x=ex−1=0得x=0．
当x∈−∞,0时，g′x<0，gx单调递减；
当x∈0,+∞时，g′x>0，gx单调递增．
∴ gxmin=g0=0，可知当x∈0,+∞时，ex−x−1>0恒成立，
∴ 由h′x>0，得x>1，由h′x<0得0
∴ −k
100
120
140
160
180
y
45
54
62
75
92
PK2≥k0
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
x
1
2
3
4
y
e
e3
e4
e6
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
语文特别优秀
语文不特别优秀
合计
数学特别优秀
数学不特别优秀
合计
PK2≥k0
0.010
0.005
0.001
k0
6.635
7.879
10.828
语文特别优秀
语文不特别优秀
合计
数学特别优秀
3
1
4
数学不特别优秀
2
94
96
合计
5
95
100
语文特别优秀
语文不特别优秀
合计
数学特别优秀
3
1
4
数学不特别优秀
2
94
96
合计
5
95
100
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