2020-2021学年广西壮族自治区某校高二（下）3月月考数学（理）试卷北师大版

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这是一份2020-2021学年广西壮族自治区某校高二（下）3月月考数学（理）试卷北师大版，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知集合P=x|x2<4，Q=x|−1A.x|2
2. 设y=e3，则y′=（）
A.3e2B.0C.e2D.e3

3. 已知函数f(x)=ln(2x+1)，则f′(0)=( )
A.0B.1C.2D.12

4. 如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=1，E，F分别是BC，DC中点，则异面直线AD1与EF所成角大小为( )

A.45∘B.30∘C.60∘D.90∘

5. 若直线l:ax+by+1=0始终平分圆M:x2+y2+4x+2y+1=0的周长，则(a−2)2+(b−2)2的最小值为( )
A.5B.5C.25D.10

6. 设x∈R，则“x>1”是“x2>1”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7. 已知向量a→=(1,3),|b→|=3，且a→与b→的夹角为π3，则|2a→+b→|=( )
A.5B.37C.7D.37

8. 不等式2+x−x2<0的解集为( )
A.−∞,−1∪2,+∞B.−2,1
C.−1,2D.−∞,−2∪1,+∞

9. 已知{an}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=−8，则a1+a10=( )
A.7B.5C.−5D.−7

10. 已知sinα−csα=43 ，则sin2α=( )
A.−79B.−29C.29D.79

11. 函数y=−x4+x2+2的图象大致为( )
A.B.
C.D.

12. 设函数f(x)=sin(ωx+π5)(ω>0)，已知f(x)在[0，2π]有且仅有5个零点，下述四个结论：
①f(x)在(0，2π)有且仅有3个极大值点，
②f(x)在(0，2π)有且仅有2个极小值点，
③f(x)在(0，π10)单调递增，
④ω的取值范围是[125，2910).
其中所有正确结论的编号是( )

A.①④B.②③C.①②③D.①③④
二、填空题

已知向量a→=1,2，b→=2,−2，c→=1,λ，若c→//2a→+b→，则λ=________.

已知实数x，y满足约束条件x+y−4≤0，x−2y+2≥0，y≥0，则z=x+2y的最大值为________.

已知曲线y=x2−3lnx的一条切线的斜率为−1，则该切线的方程为________．

已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点.若F1A→=AB→，F1B→⋅F2B→=0，则C的离心率为________.
三、解答题

△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，满足sin2B+sin2C−sin2A=3sinBsinC．
(1)求角A的大小；

(2)若a=1，B=π3，求△ABC的面积．

如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD， PD=DC=2，点E，F分别为AD，PC的中点．

(1)证明：DF//平面PBE；

(2)求P−EB−C的二面角的余弦值．

某刚开业的大型百货商场进行促销活动，计得刚开始的五天内的客流量如下表：

(1)求出日客流量y（千人）关于开业天数xx=1,2,3,4,5之间的线性回归方程；

(2)根据市场经验，在促销活动期间，流量增长速度遵循(1)中的线性回归方程．经过几天的调研发现，每天约有710的人进行了饮食消费，约有23的人进行了购物消费，且在购物消费的人中，约有45的人进行了饮食消费．若该商场计划将促销活动持续进行20天，试判断能否实现第20天时商场内参与消费的人数超过1.5万人？
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： a=y¯−bx¯，b=i=1nxiyi−nxy¯i=1nxi2−nx¯2.

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为32，且过点P−3,12．
(1)求椭圆的标准方程；

(2)已知斜率为1的直线l过椭圆的右焦点F交椭圆于A，B两点，求弦AB的长．

已知关于x的函数f(x)=−13x3+bx2+cx+bc，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x=1处有极值−43．
(1)求实数b，c的值；

(2)求函数f(x)在[−1, 2]上的最大值和最小值．

已知等差数列an和等比数列bn中， a1=b1=1，公差d=2，公比q=3，cn=an⋅bn．
(1)求数列cn的通项公式；

(2)求数列cn的前n项和Sn．
参考答案与试题解析
2020-2021学年广西壮族自治区某校高二（下）3月月考数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
交集及其运算
【解析】
先化简集合P，再利用集合的交集运算求解即可.
【解答】
解：集合P=x|x2<4={x|−2Q=x|−1则P∩Q= x|−1故选C.
2.
【答案】
B
【考点】
导数的运算
【解析】
利用常数的导数为零求解即可.
【解答】
解：y=e3，
则y′=0.
故选B.
3.
【答案】
C
【考点】
导数的运算
【解析】
根据函数的导数公式进行求解即可得到结论．
【解答】
解：∵ f(x)=ln(2x+1)，
∴ f′(x)=22x+1，
∴ f′(0)=2.
故选C.
4.
【答案】
C
【考点】
异面直线及其所成的角
【解析】
通过作平行线将异面直线所成角转化为相交直线所成角或其补角．
【解答】
解：取CC1的中点G，连EG，BC1，
易得EG // BC1 // AD1，
所以异面直线AD1与EF所成角是∠FEG或其补角，
在三角形EFG中，EF=EG=FG，
∴ ∠FEG=60∘．
故选C.
5.
【答案】
B
【考点】
直线和圆的方程的应用
点到直线的距离公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题知圆M的圆心坐标为(−2,−1)，
直线l平分圆M的周长，
则直线l一定过圆心，
∴ −2a−b+1=0，
∴ 2a+b=1．
∵ (a−2)2+(b−2)2是(a,b)，(2,2)两点距离的平方，
∴ (2,2)到直线2a+b−1=0的距离为(a−2)2+(b−2)2的最小值，
∴ 距离d=522+12=5，
∴ 最小值为d2=5．
故选B．
6.
【答案】
A
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
由不等式x2>1的解集，进行充分、必要性进行判断即可.
【解答】
解：x2>1即x>1或x<−1，
所以由x>1可以得出x2>1，充分性成立，
由x2>1，不一定得出x>1，必要性不成立，
所以x>1是x2>1的充分不必要条件.
故选A.
7.
【答案】
B
【考点】
向量模长的计算
数量积表示两个向量的夹角
向量的模
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ a→=(1,3)，
∴ |a→|=2，
又∵ |b→|=3，a→与b→的夹角为π3，
∴ |2a→+b→|2=4|a→|2+4a→⋅b→+|b→|2
=4×4+4×2×3×csπ3+9
=37.
则|2a→+b→|=37.
故选B.
8.
【答案】
A
【考点】
一元二次不等式的解法
【解析】
通过因式分解，利用一元二次不等式的解法即可得出．
【解答】
解：不等式2+x−x2<0化为(x−2)(x+1)>0，
解得x>2或x<−1．
∴ 不等式2+x−x2<0的解集是(−∞, −1)∪(2, +∞)．
故选A．
9.
【答案】
D
【考点】
等比数列的性质
【解析】
由a4+a7=2，及a5a6=a4a7=−8可求a4，a7，进而可求公比q，代入等比数列的通项可求a1，a10，即可．
【解答】
解：∵ a4+a7=2，由等比数列的性质可得，a5a6=a4a7=−8，
∴ a4=4，a7=−2或a4=−2，a7=4，
当a4=4，a7=−2时，q3=−12，
∴ a1=−8，a10=1，
∴ a1+a10=−7，
当a4=−2，a7=4时，q3=−2，则a10=−8，a1=1，
∴ a1+a10=−7，
综上可得，a1+a10=−7.
故选D.
10.
【答案】
A
【考点】
二倍角的正弦公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(sinα−csα)2=169,
又sin2α+cs2α=1，
所以1−2sinαcsα=169,
所以2sinαcsα=−79，
因此sin2α=−79.
故选A.
11.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究函数的单调性
函数的图象变换
【解析】
根据函数图象的特点，求函数的导数利用函数的单调性进行判断即可．
【解答】
解：函数过定点(0, 2)，排除A，B．
函数的导数f′(x)=−4x3+2x=−2x(2x2−1)，
由f′(x)>0得2x(2x2−1)<0，
得x<−22或0由f′(x)<0得2x(2x2−1)>0，
得x>22或−22故选D．
12.
【答案】
D
【考点】
正弦函数的周期性
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
正弦函数的单调性
正弦函数的定义域和值域
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：作出f(x)的大致图像，
由图知f(x)在(0，2π)上有3个极大值点，①对；
f(x)在(0，2π)上有2个或3个极小值点，②错；
5π−π5≤2πω<6π−π5，解得125≤ω<2910，④对；
24π100≤π10ω<29100π，
∵π2−π5=310π.
∴f(x)在(0，π10)单调递增，③对.
故选D.
二、填空题
【答案】
12
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
平面向量的坐标运算
【解析】
首先根据向量的运算法则，求得向量2a→+b→的坐标，之后应用向量平行时坐标所满足的条件，得到相应的等量关系式，求得结果．
【解答】
解：∵ a→=(1,2)，b→=(2,−2)，
∴ 2a→+b→=(2,4)+2,−2=4,2.
∵ c→//2a→+b→，
∴ 2−4λ=0，
∴ λ=12.
故答案为：12.
【答案】
6
【考点】
简单线性规划
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：依题意组，不等式组表示的可行域如图所示，
由z=x+2y得y=−12x+12z，
目标函数在过点A(2,2)时取得最大值6.
故答案为：6.
【答案】
x+y−2=0
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
求出原函数的导函数，设出切点坐标，利用曲线在切点处的导数值为−1求得切点坐标，再由直线方程的点斜式得答案．
【解答】
解：由y=x2−3lnx，得y′=2x−3x，
设切点为(x0, y0)，则y′|x=x0=2x0−3x0=−1，
即2x02+x0−3=0，
解得x0=−32（舍）或x0=1．
∴ 切点为(1, 1)，
则切线方程为y−1=−1×(x−1)，即x+y−2=0．
故答案为：x+y−2=0.
【答案】
2
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
双曲线的离心率
双曲线的渐近线
【解析】
由题意画出图形，结合已知可得F1B⊥OA，写出F1B的方程，与y=bax联立求得B点坐标，再由斜边的中线等于斜边的一半求解．
【解答】
解：如图，F1A→=AB→，F1B→⋅F2B→=0，
∴ OA⊥F1B，
则F1B：y=abx+c ,
联立y=abx+c,y=bax,
解得Ba2cb2−a2,abcb2−a2，
则OB2=a4c2(b2−a2)2+a2b2c2(b2−a2)2=c2，
整理得：b2=3a2 ,
又c2−a2=3a2,
即4a2=c2，
故c2a2=4，
则e=ca=2.
故答案为：2．
三、解答题
【答案】
解：(1)因为sin2B+sin2C−sin2A=3sinBsinC，
由正弦定理可得： b2+c2−a2=3bc，
所以csA=b2+c2−a22bc=32，
所以A=π6．
(2)因为A=π6，B=π3，所以C=π2，
所以b=3，可得S△ABC=32．
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)因为sin2B+sin2C−sin2A=3sinBsinC，
由正弦定理可得： b2+c2−a2=3bc，
所以csA=b2+c2−a22bc=32，
所以A=π6．
(2)因为A=π6，B=π3，所以C=π2，
所以b=3，可得S△ABC=32．
【答案】
(1)证明：取点G是PB的中点，连接EG，FG，
则FG//BC，且FG=12BC，
∵ DE//BC且DE=12BC，
∴ DE//FG且DE=FG，
∴ 四边形DEGF为平行四边形，
∴ DF//EG .
∵ DF⊄平面PBE，EG⊂平面PBE，
∴ DF//平面PBE．
(2)∵ PD=DC=2．E，F分别为AD，PC中点，
∴ ED=1.
∵ PD⊥面ABCD，ABCD为正方形，
∴ 如图建立空间直角坐标系，
则P0,0,2，D0,0,0，E1,0,0，B2,2,0，C0,2,0，
∴ 面EBC的法向量为DP→=(0,0,2).
PE→=1,0,−2，EB→=1,2,0，
设面PEB的法向量为n→=x,y,z，
∴ n→⋅PE→=0，n→⋅EB→=0，
∴ x−2z=0，x+2y=0，
∴ n→=2,−1,1，
cs⟨DP→，n→⟩=DP→⋅n→|DP→||n→|=66，
由图可知P−EB−C的二面角为锐角，故其余弦值为66．
【考点】
直线与平面平行的判定
点、线、面间的距离计算
用空间向量求平面间的夹角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：取点G是PB的中点，连接EG，FG，
则FG//BC，且FG=12BC，
∵ DE//BC且DE=12BC，
∴ DE//FG且DE=FG，
∴ 四边形DEGF为平行四边形，
∴ DF//EG .
∵ DF⊄平面PBE，EG⊂平面PBE，
∴ DF//平面PBE．
(2)∵ PD=DC=2．E，F分别为AD，PC中点，
∴ ED=1.
∵ PD⊥面ABCD，ABCD为正方形，
∴ 如图建立空间直角坐标系，
则P0,0,2，D0,0,0，E1,0,0，B2,2,0，C0,2,0，
∴ 面EBC的法向量为DP→=(0,0,2).
PE→=1,0,−2，EB→=1,2,0，
设面PEB的法向量为n→=x,y,z，
∴ n→⋅PE→=0，n→⋅EB→=0，
∴ x−2z=0，x+2y=0，
∴ n→=2,−1,1，
cs⟨DP→，n→⟩=DP→⋅n→|DP→||n→|=66，
由图可知P−EB−C的二面角为锐角，故其余弦值为66．
【答案】
解：(1)由表中数据可知，
x¯=1+2+3+4+55=3，
y¯=6.7+7.4+7.9+8.6+9.45=8．
i=1xxiyi=6.7+14.8+23.7+34.4+47=126.6，
i=15xi2=1+4+9+16+25=55，
所以 b=i=15xiyi−5x¯y¯i=15xi2−5x¯2=126.6−5×3×855−5×32=0.66 ，
则a=8−0.66×3=6.02，
所以回归方程为y=0.66x+6.02．
(2)由题意可知，进行消费的人所占总人数的比例为710+23−23×45=56，
在促销活动第20天时，客流量y=0.66×20+6.02=19.22，
因为19.22×56>18×56=15，故可以实现目标．
【考点】
求解线性回归方程
生活中概率应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由表中数据可知，
x¯=1+2+3+4+55=3，
y¯=6.7+7.4+7.9+8.6+9.45=8．
i=1xxiyi=6.7+14.8+23.7+34.4+47=126.6，
i=15xi2=1+4+9+16+25=55，
所以 b=i=15xiyi−5x¯y¯i=15xi2−5x¯2=126.6−5×3×855−5×32=0.66 ，
则a=8−0.66×3=6.02，
所以回归方程为y=0.66x+6.02．
(2)由题意可知，进行消费的人所占总人数的比例为710+23−23×45=56，
在促销活动第20天时，客流量y=0.66×20+6.02=19.22，
因为19.22×56>18×56=15，故可以实现目标．
【答案】
解：(1)设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，椭圆的半焦距为c，
由椭圆C的离心率为32，可得ca=32，
∴a2−b2a2=34.①
∵椭圆过点−3,12，
∴3a2+14b2=1，②
由①②解得：b2=1，a2=4，
故椭圆C的方程为x24+y2=1.
(2)设A，B的坐标分别为Ax1,y1，Bx2,y2，
由椭圆的方程知a2=4，b2=1，c2=3，F3,0.
则直线l的方程为y=x−3.
联立y=x−3，x24+y2=1，
得5x2−83x+8=0.
故Δ=192−160=32>0，x1+x2=835，x1x2=85，
|AB|=2|x1−x2|=2⋅x1+x22−4x1x2
=28352−325=85.
【考点】
椭圆的标准方程
椭圆的离心率
与椭圆有关的中点弦及弦长问题
【解析】
（1）先设椭圆的方程，再利用的椭圆C的离心率为32，且过点−3,12，即可求得椭圆C的方程；
（2）设出A、B的坐标，由椭圆方程求出椭圆右焦点坐标，得到A、B所在直线方程，与椭圆方程联立，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系可得A、B横坐标的和与积，代入弦长公式求弦AB的长．
【解答】
解：(1)设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，椭圆的半焦距为c，
由椭圆C的离心率为32，可得ca=32，
∴a2−b2a2=34.①
∵椭圆过点−3,12，
∴3a2+14b2=1，②
由①②解得：b2=1，a2=4，
故椭圆C的方程为x24+y2=1.
(2)设A，B的坐标分别为Ax1,y1，Bx2,y2，
由椭圆的方程知a2=4，b2=1，c2=3，F3,0.
则直线l的方程为y=x−3.
联立y=x−3，x24+y2=1，
得5x2−83x+8=0.
故Δ=192−160=32>0，x1+x2=835，x1x2=85，
|AB|=2|x1−x2|=2⋅x1+x22−4x1x2
=28352−325=85.
【答案】
解：(1)因为fx=−13x3+bx2+cx+bc，
所以f′x=−x2+2bx+c.
因为函数fx在x=1处有极值−43，
所以f′1=−1+2b+c=0,f1=−13+b+c+bc=−43,
解得b=1,c=−1或b=−1,c=3.
(i)当b=1，c=−1时，f′x=−x−12≤0，
所以f(x)在R上单调递减，不存在极值；
(ii)当b=−1，c=3时，f′x=−x+3x−1，
当x∈(−3, 1)时，f(x)单调递增；
当x∈(1, +∞)时，f(x)单调递减．
所以f(x)在x=1处存在极大值，符合题意．
综上所述，满足条件的值为b=−1，c=3．
(2)由(1)知fx=−13x3−x2+3x−3，
则f′x=−x2−2x+3.
令f′x=−x+3x−1=0，得x1=−3，x2=1，
所以fx，f′x的变化如下表：
所以fxmin=f−1=−203，fxmax=f1=−43.
【考点】
利用导数研究函数的极值
利用导数研究函数的最值
【解析】
（1）求出函数的导数，结合函数的极值得到关于a，b的方程组，解出验证即可；
（2）求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的最值即可．
【解答】
解：(1)因为fx=−13x3+bx2+cx+bc，
所以f′x=−x2+2bx+c.
因为函数fx在x=1处有极值−43，
所以f′1=−1+2b+c=0,f1=−13+b+c+bc=−43,
解得b=1,c=−1或b=−1,c=3.
(i)当b=1，c=−1时，f′x=−x−12≤0，
所以f(x)在R上单调递减，不存在极值；
(ii)当b=−1，c=3时，f′x=−x+3x−1，
当x∈(−3, 1)时，f(x)单调递增；
当x∈(1, +∞)时，f(x)单调递减．
所以f(x)在x=1处存在极大值，符合题意．
综上所述，满足条件的值为b=−1，c=3．
(2)由(1)知fx=−13x3−x2+3x−3，
则f′x=−x2−2x+3.
令f′x=−x+3x−1=0，得x1=−3，x2=1，
所以fx，f′x的变化如下表：
所以fxmin=f−1=−203，fxmax=f1=−43.
【答案】
解：(1)由等差数列通项公式知：
an=a1+n−1d=1+2n−1=2n−1，
由等比数列通项公式知：bn=b1qn−1=3n−1，
∴ cn=2n−1⋅3n−1.
(2)由(1)知：Sn=1×30+3×31+5×32+⋯+
(2n−3)×3n−2+(2n−1)×3n−1，
∴ 3Sn=1×31+3×32+5×33+⋯+
2n−3×3n−1+2n−1×3n，
两式作差得：−2Sn=1−2n−1×3n+2×3+32+⋯+3n−1，
∴ −2Sn=1−2n−1×3n+2×3−3n1−3
=1−2n−1×3n+3n−3
=−2+2−2n⋅3n，
∴ Sn=n−1⋅3n+1．
【考点】
等差数列的通项公式
等比数列的通项公式
数列的求和
【解析】
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【解答】
解：(1)由等差数列通项公式知：
an=a1+n−1d=1+2n−1=2n−1，
由等比数列通项公式知：bn=b1qn−1=3n−1，
∴ cn=2n−1⋅3n−1.
(2)由(1)知：Sn=1×30+3×31+5×32+⋯+
(2n−3)×3n−2+(2n−1)×3n−1，
∴ 3Sn=1×31+3×32+5×33+⋯+
2n−3×3n−1+2n−1×3n，
两式作差得：−2Sn=1−2n−1×3n+2×3+32+⋯+3n−1，
∴ −2Sn=1−2n−1×3n+2×3−3n1−3
=1−2n−1×3n+3n−3
=−2+2−2n⋅3n，
∴ Sn=n−1⋅3n+1．天数
第一天
第二天
第三天
第四天
第五天
客流量/千人
6.7
7.4
7.9
8.6
9.4
x
−1
(−1, 1)
1
(1, 2)
2
f′(x)
+
0
−
f(x)
−203
单调递增
−43
单调递减
−113
x
−1
(−1, 1)
1
(1, 2)
2
f′(x)
+
0
−
f(x)
−203
单调递增
−43
单调递减
−113