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2020-2021学年云南省宣威市某校高二（下）3月月考数学（文）试卷
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这是一份2020-2021学年云南省宣威市某校高二（下）3月月考数学（文）试卷，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合A={x|x2+3x−4≤0}，B={x||x|<2}，则A∪B=( )
A.{x|−2C.{x|−2
2. 若z+11+i=i，则z=（ ）
A.−12+12iB.12+12iC.−12−12iD.12−12i
3. 已知sinπ+α2sinα+3cs−α=−25，则tanα=( )
A.23B.−23C.6D.−6
4. 专家对某地区新型流感爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间t（单位：天）与病情爆发系数ft之间，满足函数模型： ft=11+e−0.22(3t−40) ，当ft=0.1时，标志着疫情将要局部爆发，则此时t约为( )（参考数据： e1.1≈3)
A.10B.20C.30D.40
5. 执行如图所示的程序框图，则输出的b的值为（ ）
A.127B.63C.31D.15
6. 如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积是( )
A.43B.2C.83D.8
7. 已知实数x，y满足不等式组x+y−4≤0,x−y≥0,y≥−1,则z=2x+3y的最小值为( )
A.0B.−2C.−3D.−5
8. 已知直线x−2y+a=0与圆O：x2+y2=2相交于A，B两点（O为坐标原点），且△AOB为等腰直角三角形，则实数a的值为( )
A.6或−6B.5或−5C.6D.5
9. 已知在锐角△ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c.若bc=6，a=7，△ABC的面积为332，则b+c=( )
A.5B.6C.6D.5
10. 已知a，b是两条不重合的直线，β是一个平面，且b⊂β，则“a⊥β”是“a⊥b”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
11. 已知F1，F2是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的左、右焦点，过点F1且斜率为33的直线交y轴于点N，交双曲线右支于点M，若|MN|=|F2N|，则双曲线C的离心率为（ ）
A.2B.3C.2D.5
12. 已知定义在R上的函数f(x)满足f(1)=3，对∀x∈R恒有f′(x)<2，则f(x)≥2x+1的解集为( )
A.[1, +∞)B.(−∞, 1]C.(1, +∞)D.(−∞, 1)
二、填空题
已知向量a→=2,−1，b→=1,k，若a→⊥2a→+b→，则k=________.
若x，y满足约束条件x+y−2≥0,x−y+2≥0,x≤2,则z=x+3y的最大值为________.
某工厂有A，B，C三个车间，A车间有600人，B车间有500人．若通过比例分配的分层随机抽样方法得到一个样本量为30的样本，其中B车间10人，则样本中C车间的人数为________．
在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，若PA=2，AC=2，BC=6，则三棱锥P−ABC外接球的表面积为________.
三、解答题
在△ABC中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，满足ccsB+(2a+b)csC=0.
(1)求角C；
(2)若c=3，求△ABC面积的最大值.
已知数列an的前n项和Sn满足Sn=2an−1，数列bn满足bn=lg2an+lg2an+1．
(1)求an，bn的通项公式；
(2)若数列{cn}满足cn=anbn，求{cn}的前n项和Tn．
在四棱锥P−ABCD中， PD⊥平面ABCD，底面四边形ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA与底面成的角是45∘，M，N分别是AB，PC的中点．
(1)求证：MN//平面PAD；
(2)求三棱锥M−PBC的体积．
某数学兴趣小组为了探究参与某项老年运动是否与性别有关的问题，对城区60岁以上老人进行了随机走访调查．得到的数据如下：
从统计数据中分析得参与该项老年运动的被调查者中，女性的概率是13．
(1)求2×2列联表中p,q,x,y的值；
(2)是否有90%的把握认为参与该项老年运动与性别有关？
(3)若将参与该项老年运动的老人称为“健康达人”，现从参与调查的“健康达人”中按性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行健康状况跟踪调查，那么被跟踪调查的2人中都是男性的概率是多少？
参考公式及数据：K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d.
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32，且过点A(0, 1)．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)点P是椭圆上异于短轴端点A，B的任意一点，过点P作PQ⊥y轴于Q，线段PQ的中点为M．直线AM与直线y=−1交于点N，D为线段BN的中点，设O为坐标原点，试判断以OD为直径的圆与点M的位置关系．
已知函数fx=aex−xex−1（其中a>0，e是自然对数的底数）．
(1)当a=2时，求曲线y=fx在点0,f0处的切线方程；
(2)若函数fx恰好有两个零点，求实数a的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年云南省宣威市某校高二（下）3月月考数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
并集及其运算
【解析】
本题考查一元二次不等式和绝对值不等式的解法，并集运算等基础知识．
【解答】
解：因为A={x|(x+4)(x−1)≤0}={x|−4≤x≤1}，
B={x|−2所以A∪B={x|−4≤x<2}．
故选D．
2.
【答案】
C
【考点】
复数代数形式的混合运算
共轭复数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由z+11+i=i，得z+1=i1+i=12+i2，所以z=−12+12i，所以z=−12−12i．
故选C．
3.
【答案】
C
【考点】
运用诱导公式化简求值
同角三角函数间的基本关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：sinπ+a2sinα+3cs−α=−sinα2sinα+3csα
=−tanα2tanα+3=−25，
解得tanα=6.
故选C．
4.
【答案】
A
【考点】
函数的求值
【解析】
由f(t)=0.1，可知11+e−0.2(t−50)=0.1，
化简得1+e−0.2(t−50)=10，即e−0.2(t−50)=9，
由e1.1≈3可知−0.2(t−50)=2.2，解之得t≈40.
【解答】
解：由题意，当f(t)=0.1时，即11+e−0.22(3t−40)=0.1，
化简，得1+e−0.22(3t−40) =10，
即e−0.22(3t−40) =9，
又e1.1≈3，
∴ −0.22(3t−40)=2.2，
3t−40=−10，
解得t=10.
故选A.
5.
【答案】
B
【考点】
程序框图
【解析】
【解答】
解：第一次运算为b=3，a=2，
第二次运算为b=7，a=3，
第三次运算为b=15，a=4，
第四次运算为b=31，a=5，
第五次运算为b=63，a=6 .
故选B .
6.
【答案】
C
【考点】
由三视图求体积
【解析】
由三视图可知，该几何体为底面为正方形的四棱锥，底面正方形的边长为2，四棱锥的高为2，利用棱锥体积求解即可.
【解答】
解：由三视图可知，该几何体是底面为正方形的四棱锥，
底面正方形的边长为2，四棱锥的高为2，
∴ 该几何体的体积为13×2×2×2=83.
故选C.
7.
【答案】
D
【考点】
求线性目标函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：不等式组表示的可行域如图所示，
由z=2x+3y，得y=−23x+z3，
作出直线y=−23x，即直线2x+3y=0，
将此直线向下平移过点C时，直线在y轴上的截距最小，此时z取得最小值，
由y=−1,x−y=0,得x=−1,y=−1,即C−1,−1，
所以z=2x+3y的最小值为2×−1+3×−1=−5．
故选D．
8.
【答案】
B
【考点】
直线与圆的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为直线x−2y+a=0与圆O：x2+y2=2相交于A，B两点（O为坐标原点），
且△AOB为等腰直角三角形，
∴ O到直线AB的距离为1，
由点到直线距离公式可得|a|12+22=1，
∴ a=±5．
故选B．
9.
【答案】
D
【考点】
三角形的面积公式
解三角形
余弦定理
三角函数值的符号
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ △ABC的面积为332，bc=6，
∴ 12bcsinA=332，
∴ sinA=32.
又0∴ A=π3.
由余弦定理a2=b2+c2−2bccsA可得7=b2+c2−bc=(b+c)2−3bc，
∴ b+c=5.
故选D.
10.
【答案】
A
【考点】
直线与平面垂直的判定
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
因为a⊥β,b⊂β，所以a⊥b，反之不一定成立，则“a⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件．
【解答】
解：充分性：∵ a⊥β，b⊂β，
∴ a⊥b，
∴ 充分性成立.
必要性：∵ a⊥b，b⊂β，
∴ a⊥β不一定成立，
∴ 必要性不成立.
则“a⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件．
故选A .
11.
【答案】
B
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为N在y轴上，所以|NF1|=|F2N|=|MN|，
所以△MF1F2 为直角三角形，即MF2⊥F1F2 且N是MF1的中点，
所以|MF2|=b2a，又|F1F2|=2c，kMF1=33=|MF2||F1F2|，
所以有2ac=3b2，解得e=ca=3．
故选B．
12.
【答案】
B
【考点】
利用导数研究函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：令Fx=fx−2x−1，
则F′(x)=f′(x)−2.
又因为对∀x∈R恒有f′x<2，
所以F′(x)=f′(x)−2<0恒成立，
所以F(x)=f(x)−2x−1在R上单调递减.
又F(1)=f(1)−2−1=0，
所以Fx≥0的解集为−∞,1，
即f(x)≥2x+1的解集为−∞,1.
故选B.
二、填空题
【答案】
12
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ a→=(2,−1)，b→=(1,k)，
∴ 2a→+b→=(5,−2+k)，
∵ a→⊥2a→+b→，
∴ 2×5+(−1)×(−2+k)=0，
解得k=12．
故答案为：12.
【答案】
14
【考点】
简单线性规划
求线性目标函数的最值
【解析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【解答】
解：由约束条件作可行域如图所示，
联立x=2,x−y+2=0,解得A(2, 4)，
由z=x+3y，得y=−13x+z3，
由图可知，当直线y=−13x+z3过点A(2,4)时，直线在y轴上的截距最大，
z有最大值zmax=2+3×4=14．
故答案为：14.
【答案】
8
【考点】
分层抽样方法
【解析】
利用分层抽样的性质列出方程，由此能求出结果．
【解答】
解：设C车间共有x人，样本中C车间的人数为n.
由分层抽样的性质得：500600+500+x=1030，
解得x=400，
故n=30×400500+600+400=8.
故答案为：8.
【答案】
12π
【考点】
球内接多面体
球的表面积和体积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：如图，构造长方形，其中PA=2，AC=2，BC=6，
则三棱锥的外接球的直径为PB，
设球的半径为R，由题意知2R=PA2+AC2+BC2=12，
所以球的表面积为4πR2=12π．
故答案为：12π ．
三、解答题
【答案】
解：(1)由已知得：sinCcsB+(2sinA+sinB)csC=0,
可得：sinCcsB+sinBcsC+2sinAcsC=0,
可得：sin(B+C)+2sinAcsC=0,
可得：sinA+2sinAcsC=0,
因为：sinA>0,
所以：csC=−12, C=2π3.
(2)由余弦定理c2=a2+b2−2abcsC，
得：3=a2+b2+ab≥2ab+ab=3ab，
可得：ab≤1，
当a=b=1时取等号，
可得S△ABC=12absinC≤12×1×32=34.
所以△ABC面积的最大值为34.
【考点】
两角和与差的正弦公式
解三角形
基本不等式在最值问题中的应用
余弦定理
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由已知得：sinCcsB+(2sinA+sinB)csC=0,
可得：sinCcsB+sinBcsC+2sinAcsC=0,
可得：sin(B+C)+2sinAcsC=0,
可得：sinA+2sinAcsC=0,
因为：sinA>0,
所以：csC=−12, C=2π3.
(2)由余弦定理c2=a2+b2−2abcsC，
得：3=a2+b2+ab≥2ab+ab=3ab，
可得：ab≤1，
当a=b=1时取等号，
可得S△ABC=12absinC≤12×1×32=34.
所以△ABC面积的最大值为34.
【答案】
解：(1)由Sn=2an−1可得Sn+1=2an−1−1n≥2，
∴ an=Sn−Sn−1=2an−an−1，即an=2an−1，
易知a1=1，故an=2n−1．
∴ bn=lg2an+lg2an+1=n−1+n=2n−1．
(2)由(1)可知cn=2n−12n−1，
∴ Tn=c1+c2+c3+⋯+cn
=1×1+3×2+5×22+⋯+2n−1×2n−1 ①，
2Tn=1×2+3×22+5×23+⋯+
2n−3×2n−1+2n−1×2n ②，
①−②，得−Tn=1+2×2+2×22+2×23+⋯+
2×2n−1−2n−1×2n
=−1+2×1+2+22+23+⋯+2n−1−2n−1×2n
=−1+2×1−2n1−2−2n−1×2n
=−3+3−2n⋅2n
∴ Tn=3+2n−3⋅2n．
【考点】
数列递推式
等比数列的通项公式
数列的求和
【解析】
本题主要考查等比数列的通项公式及错位相减法求和．
【解答】
解：(1)由Sn=2an−1可得Sn+1=2an−1−1n≥2，
∴ an=Sn−Sn−1=2an−an−1，即an=2an−1，
易知a1=1，故an=2n−1．
∴ bn=lg2an+lg2an+1=n−1+n=2n−1．
(2)由(1)可知cn=2n−12n−1，
∴ Tn=c1+c2+c3+⋯+cn
=1×1+3×2+5×22+⋯+2n−1×2n−1 ①，
2Tn=1×2+3×22+5×23+⋯+
2n−3×2n−1+2n−1×2n ②，
①−②，得−Tn=1+2×2+2×22+2×23+⋯+
2×2n−1−2n−1×2n
=−1+2×1+2+22+23+⋯+2n−1−2n−1×2n
=−1+2×1−2n1−2−2n−1×2n
=−3+3−2n⋅2n
∴ Tn=3+2n−3⋅2n．
【答案】
(1)证明：取PD的中点Q，连结QN，AQ，如图所示，
∵ N是PC的中点，
∴ QN//CD，且QN=12CD.
∵ 底面四边形ABCD是边长为1的正方形，M是AB的中点，
∴ AM//CD，AM=12CD，
∴ QN//AM ，且QN=AM，
∴ 四边形AMNQ是平行四边形，
∴ MN//AQ，
又∵ AQ⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，
∴ MN//平面PAD．
(2)解：∵ PD⊥平面ABCD，
∴ ∠PAD是侧棱PA与底面成的角，
∴ ∠PAD=45∘，
∴ △PAD是等腰直角三角形，∴ PD=AD=1，
∴ VM−PBC=VP−MBC=13S△MBC ⋅PD
=13⋅14⋅AB⋅BC=112．
【考点】
直线与平面平行的判定
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
【解答】
(1)证明：取PD的中点Q，连结QN，AQ，如图所示，
∵ N是PC的中点，
∴ QN//CD，且QN=12CD.
∵ 底面四边形ABCD是边长为1的正方形，M是AB的中点，
∴ AM//CD，AM=12CD，
∴ QN//AM ，且QN=AM，
∴ 四边形AMNQ是平行四边形，
∴ MN//AQ，
又∵ AQ⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，
∴ MN//平面PAD．
(2)解：∵ PD⊥平面ABCD，
∴ ∠PAD是侧棱PA与底面成的角，
∴ ∠PAD=45∘，
∴ △PAD是等腰直角三角形，∴ PD=AD=1，
∴ VM−PBC=VP−MBC=13S△MBC ⋅PD
=13⋅14⋅AB⋅BC=112．
【答案】
解：(1)由题意得pp+16=13，
解得p=8，所以q=40−8=32，
所以x=16+8=24，y=44+32=76．
(2)由列联表中的数据可得K2的观测值
k=100×16×32−8×44260×40×24×76≈0.585<2.706 ，
所以没有90%的把握认为参与该项老年运动与性别有关．
(3)由(1)得“健康达人”共有24人，其中男性16人，女性8人，
所以抽样比k=624=14 ．
因此按性别分层抽样抽取的6人中有男性16×14=4人，
记为A1,A2,A3,A4，
女性8×14=2人，记为B1,B2 ，
从这6人中抽取2人的所有方式为
(A1,A2),(A1,A3),A1,A4,A1,B1,A1,B2，
A2,A3,A2,A4,A2,B1,A2,B2，
A3,A4,A3,B1,(A3,B2)，
(A4,B1),(A4,B2)，
(B1,B2)，
共15种情况，其中符合题目要求的是6种情况，
所以抽取的全是男性的概率为P=615=25 ．
【考点】
独立性检验
独立性检验的应用
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由题意得pp+16=13，
解得p=8，所以q=40−8=32，
所以x=16+8=24，y=44+32=76．
(2)由列联表中的数据可得K2的观测值
k=100×16×32−8×44260×40×24×76≈0.585<2.706 ，
所以没有90%的把握认为参与该项老年运动与性别有关．
(3)由(1)得“健康达人”共有24人，其中男性16人，女性8人，
所以抽样比k=624=14 ．
因此按性别分层抽样抽取的6人中有男性16×14=4人，
记为A1,A2,A3,A4，
女性8×14=2人，记为B1,B2 ，
从这6人中抽取2人的所有方式为
(A1,A2),(A1,A3),A1,A4,A1,B1,A1,B2，
A2,A3,A2,A4,A2,B1,A2,B2，
A3,A4,A3,B1,(A3,B2)，
(A4,B1),(A4,B2)，
(B1,B2)，
共15种情况，其中符合题目要求的是6种情况，
所以抽取的全是男性的概率为P=615=25 ．
【答案】
解：(1)由题意可知，b=1，ca=32，a2=b2+c2， 解得a=2，b=1，c=3，
∴ 椭圆C的标准方程为：x24+y2=1.
(2)设点P(x0, y0)，则M(x02, y0)，
∴ 直线AM的斜率为y0−1x02−0=2(y0−1)x0，
∴ 直线AM的方程为：y=2(y0−1)x0x+1，
令y=−1得，x=x01−y0，
∴ 点N的坐标为(x01−y0, −1)，
∴ 点D的坐标为(x02(1−y0), −1)，
∴ OM→⋅DM→=(x02, y0)⋅(x02−x02(1−y0),y0+1)
=x024+y02−x024−4y0+y0，
又∵ 点P(x0, y0)在椭圆C上，
∴ x024+y02=1，x02=4−4y02，
∴ OM→⋅DM→=1−4(1−y02)4(1−y0)+y0=1−(1+y0)+y0=0，
∴ 点M在以OD为直径的圆上．
【考点】
椭圆的标准方程
直线与椭圆的位置关系
椭圆的应用
【解析】
（I）根据题意列出关于a，b，c的方程组，解出a，b，c的值，即可得到椭圆C的标准方程；
(Ⅱ)设点P(x0, y0)，则M(x02, y0)，求出直线AM的方程，进而求出点N的坐标，再利用中点坐标公式得到点D的坐标，下面结合点P在椭圆C上证出OM→⋅DM→=0，所以点M在以OD为直径的圆上．
【解答】
解：(1)由题意可知，b=1，ca=32，a2=b2+c2， 解得a=2，b=1，c=3，
∴ 椭圆C的标准方程为：x24+y2=1.
(2)设点P(x0, y0)，则M(x02, y0)，
∴ 直线AM的斜率为y0−1x02−0=2(y0−1)x0，
∴ 直线AM的方程为：y=2(y0−1)x0x+1，
令y=−1得，x=x01−y0，
∴ 点N的坐标为(x01−y0, −1)，
∴ 点D的坐标为(x02(1−y0), −1)，
∴ OM→⋅DM→=(x02, y0)⋅(x02−x02(1−y0),y0+1)
=x024+y02−x024−4y0+y0，
又∵ 点P(x0, y0)在椭圆C上，
∴ x024+y02=1，x02=4−4y02，
∴ OM→⋅DM→=1−4(1−y02)4(1−y0)+y0=1−(1+y0)+y0=0，
∴ 点M在以OD为直径的圆上．
【答案】
解：(1)当a=2时， fx=2ex−xex−1，
∴ f′x=2ex−1−xex，所以f′0=2−1=1．
又f0=2−1=1，
∴ 曲线y=fx在点0,f0处的切线方程为y−1=x，
即x−y+1=0．
(2)问题等价于gx=1exxex+1的图象和直线y=a恰好有2个交点，
求a的取值范围．
令gx=1exxex+1，则g′x=1−2x−exe2x．
令hx=1−2x−ex，则h′x=−2−ex<0，
∴ hx在−∞,+∞上单调递减．
又h0=0，
∴ 当x∈−∞,0时， hx>0，g′x>0，
∴ gx在−∞,0上单调递增．
当x∈0,+∞时， hx<0，g′x<0，
∴ gx在0,+∞上单调递减，
∴ gx的极大值即最大值为g0=1，
∴ 当x∈(−∞,0]时， g(x)∈(−∞,1]；
当x∈0,+∞时， gx∈0,1，
∴ 当a∈0,1时， gx=1exxex+1的图象和直线y=a恰好有2个交点，
函数fx恰好有两个零点．
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究与函数零点有关的问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)当a=2时， fx=2ex−xex−1，
∴ f′x=2ex−1−xex，所以f′0=2−1=1．
又f0=2−1=1，
∴ 曲线y=fx在点0,f0处的切线方程为y−1=x，
即x−y+1=0．
(2)问题等价于gx=1exxex+1的图象和直线y=a恰好有2个交点，
求a的取值范围．
令gx=1exxex+1，则g′x=1−2x−exe2x．
令hx=1−2x−ex，则h′x=−2−ex<0，
∴ hx在−∞,+∞上单调递减．
又h0=0，
∴ 当x∈−∞,0时， hx>0，g′x>0，
∴ gx在−∞,0上单调递增．
当x∈0,+∞时， hx<0，g′x<0，
∴ gx在0,+∞上单调递减，
∴ gx的极大值即最大值为g0=1，
∴ 当x∈(−∞,0]时， g(x)∈(−∞,1]；
当x∈0,+∞时， gx∈0,1，
∴ 当a∈0,1时， gx=1exxex+1的图象和直线y=a恰好有2个交点，
函数fx恰好有两个零点．男性
女性
总计
参与该项老年运动
16
p
x
不参与该项老年运动
44
q
y
总计
60
40
100
PK2>k0
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
1. 已知集合A={x|x2+3x−4≤0}，B={x||x|<2}，则A∪B=( )
A.{x|−2
2. 若z+11+i=i，则z=（ ）
A.−12+12iB.12+12iC.−12−12iD.12−12i
3. 已知sinπ+α2sinα+3cs−α=−25，则tanα=( )
A.23B.−23C.6D.−6
4. 专家对某地区新型流感爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间t（单位：天）与病情爆发系数ft之间，满足函数模型： ft=11+e−0.22(3t−40) ，当ft=0.1时，标志着疫情将要局部爆发，则此时t约为( )（参考数据： e1.1≈3)
A.10B.20C.30D.40
5. 执行如图所示的程序框图，则输出的b的值为（ ）
A.127B.63C.31D.15
6. 如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积是( )
A.43B.2C.83D.8
7. 已知实数x，y满足不等式组x+y−4≤0,x−y≥0,y≥−1,则z=2x+3y的最小值为( )
A.0B.−2C.−3D.−5
8. 已知直线x−2y+a=0与圆O：x2+y2=2相交于A，B两点（O为坐标原点），且△AOB为等腰直角三角形，则实数a的值为( )
A.6或−6B.5或−5C.6D.5
9. 已知在锐角△ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c.若bc=6，a=7，△ABC的面积为332，则b+c=( )
A.5B.6C.6D.5
10. 已知a，b是两条不重合的直线，β是一个平面，且b⊂β，则“a⊥β”是“a⊥b”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
11. 已知F1，F2是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的左、右焦点，过点F1且斜率为33的直线交y轴于点N，交双曲线右支于点M，若|MN|=|F2N|，则双曲线C的离心率为（ ）
A.2B.3C.2D.5
12. 已知定义在R上的函数f(x)满足f(1)=3，对∀x∈R恒有f′(x)<2，则f(x)≥2x+1的解集为( )
A.[1, +∞)B.(−∞, 1]C.(1, +∞)D.(−∞, 1)
二、填空题
已知向量a→=2,−1，b→=1,k，若a→⊥2a→+b→，则k=________.
若x，y满足约束条件x+y−2≥0,x−y+2≥0,x≤2,则z=x+3y的最大值为________.
某工厂有A，B，C三个车间，A车间有600人，B车间有500人．若通过比例分配的分层随机抽样方法得到一个样本量为30的样本，其中B车间10人，则样本中C车间的人数为________．
在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，若PA=2，AC=2，BC=6，则三棱锥P−ABC外接球的表面积为________.
三、解答题
在△ABC中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，满足ccsB+(2a+b)csC=0.
(1)求角C；
(2)若c=3，求△ABC面积的最大值.
已知数列an的前n项和Sn满足Sn=2an−1，数列bn满足bn=lg2an+lg2an+1．
(1)求an，bn的通项公式；
(2)若数列{cn}满足cn=anbn，求{cn}的前n项和Tn．
在四棱锥P−ABCD中， PD⊥平面ABCD，底面四边形ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA与底面成的角是45∘，M，N分别是AB，PC的中点．
(1)求证：MN//平面PAD；
(2)求三棱锥M−PBC的体积．
某数学兴趣小组为了探究参与某项老年运动是否与性别有关的问题，对城区60岁以上老人进行了随机走访调查．得到的数据如下：
从统计数据中分析得参与该项老年运动的被调查者中，女性的概率是13．
(1)求2×2列联表中p,q,x,y的值；
(2)是否有90%的把握认为参与该项老年运动与性别有关？
(3)若将参与该项老年运动的老人称为“健康达人”，现从参与调查的“健康达人”中按性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行健康状况跟踪调查，那么被跟踪调查的2人中都是男性的概率是多少？
参考公式及数据：K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d.
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32，且过点A(0, 1)．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)点P是椭圆上异于短轴端点A，B的任意一点，过点P作PQ⊥y轴于Q，线段PQ的中点为M．直线AM与直线y=−1交于点N，D为线段BN的中点，设O为坐标原点，试判断以OD为直径的圆与点M的位置关系．
已知函数fx=aex−xex−1（其中a>0，e是自然对数的底数）．
(1)当a=2时，求曲线y=fx在点0,f0处的切线方程；
(2)若函数fx恰好有两个零点，求实数a的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年云南省宣威市某校高二（下）3月月考数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
并集及其运算
【解析】
本题考查一元二次不等式和绝对值不等式的解法，并集运算等基础知识．
【解答】
解：因为A={x|(x+4)(x−1)≤0}={x|−4≤x≤1}，
B={x|−2
故选D．
2.
【答案】
C
【考点】
复数代数形式的混合运算
共轭复数
【解析】
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【解答】
解：由z+11+i=i，得z+1=i1+i=12+i2，所以z=−12+12i，所以z=−12−12i．
故选C．
3.
【答案】
C
【考点】
运用诱导公式化简求值
同角三角函数间的基本关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：sinπ+a2sinα+3cs−α=−sinα2sinα+3csα
=−tanα2tanα+3=−25，
解得tanα=6.
故选C．
4.
【答案】
A
【考点】
函数的求值
【解析】
由f(t)=0.1，可知11+e−0.2(t−50)=0.1，
化简得1+e−0.2(t−50)=10，即e−0.2(t−50)=9，
由e1.1≈3可知−0.2(t−50)=2.2，解之得t≈40.
【解答】
解：由题意，当f(t)=0.1时，即11+e−0.22(3t−40)=0.1，
化简，得1+e−0.22(3t−40) =10，
即e−0.22(3t−40) =9，
又e1.1≈3，
∴ −0.22(3t−40)=2.2，
3t−40=−10，
解得t=10.
故选A.
5.
【答案】
B
【考点】
程序框图
【解析】
【解答】
解：第一次运算为b=3，a=2，
第二次运算为b=7，a=3，
第三次运算为b=15，a=4，
第四次运算为b=31，a=5，
第五次运算为b=63，a=6 .
故选B .
6.
【答案】
C
【考点】
由三视图求体积
【解析】
由三视图可知，该几何体为底面为正方形的四棱锥，底面正方形的边长为2，四棱锥的高为2，利用棱锥体积求解即可.
【解答】
解：由三视图可知，该几何体是底面为正方形的四棱锥，
底面正方形的边长为2，四棱锥的高为2，
∴ 该几何体的体积为13×2×2×2=83.
故选C.
7.
【答案】
D
【考点】
求线性目标函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：不等式组表示的可行域如图所示，
由z=2x+3y，得y=−23x+z3，
作出直线y=−23x，即直线2x+3y=0，
将此直线向下平移过点C时，直线在y轴上的截距最小，此时z取得最小值，
由y=−1,x−y=0,得x=−1,y=−1,即C−1,−1，
所以z=2x+3y的最小值为2×−1+3×−1=−5．
故选D．
8.
【答案】
B
【考点】
直线与圆的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为直线x−2y+a=0与圆O：x2+y2=2相交于A，B两点（O为坐标原点），
且△AOB为等腰直角三角形，
∴ O到直线AB的距离为1，
由点到直线距离公式可得|a|12+22=1，
∴ a=±5．
故选B．
9.
【答案】
D
【考点】
三角形的面积公式
解三角形
余弦定理
三角函数值的符号
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ △ABC的面积为332，bc=6，
∴ 12bcsinA=332，
∴ sinA=32.
又0
由余弦定理a2=b2+c2−2bccsA可得7=b2+c2−bc=(b+c)2−3bc，
∴ b+c=5.
故选D.
10.
【答案】
A
【考点】
直线与平面垂直的判定
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
因为a⊥β,b⊂β，所以a⊥b，反之不一定成立，则“a⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件．
【解答】
解：充分性：∵ a⊥β，b⊂β，
∴ a⊥b，
∴ 充分性成立.
必要性：∵ a⊥b，b⊂β，
∴ a⊥β不一定成立，
∴ 必要性不成立.
则“a⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件．
故选A .
11.
【答案】
B
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为N在y轴上，所以|NF1|=|F2N|=|MN|，
所以△MF1F2 为直角三角形，即MF2⊥F1F2 且N是MF1的中点，
所以|MF2|=b2a，又|F1F2|=2c，kMF1=33=|MF2||F1F2|，
所以有2ac=3b2，解得e=ca=3．
故选B．
12.
【答案】
B
【考点】
利用导数研究函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：令Fx=fx−2x−1，
则F′(x)=f′(x)−2.
又因为对∀x∈R恒有f′x<2，
所以F′(x)=f′(x)−2<0恒成立，
所以F(x)=f(x)−2x−1在R上单调递减.
又F(1)=f(1)−2−1=0，
所以Fx≥0的解集为−∞,1，
即f(x)≥2x+1的解集为−∞,1.
故选B.
二、填空题
【答案】
12
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ a→=(2,−1)，b→=(1,k)，
∴ 2a→+b→=(5,−2+k)，
∵ a→⊥2a→+b→，
∴ 2×5+(−1)×(−2+k)=0，
解得k=12．
故答案为：12.
【答案】
14
【考点】
简单线性规划
求线性目标函数的最值
【解析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【解答】
解：由约束条件作可行域如图所示，
联立x=2,x−y+2=0,解得A(2, 4)，
由z=x+3y，得y=−13x+z3，
由图可知，当直线y=−13x+z3过点A(2,4)时，直线在y轴上的截距最大，
z有最大值zmax=2+3×4=14．
故答案为：14.
【答案】
8
【考点】
分层抽样方法
【解析】
利用分层抽样的性质列出方程，由此能求出结果．
【解答】
解：设C车间共有x人，样本中C车间的人数为n.
由分层抽样的性质得：500600+500+x=1030，
解得x=400，
故n=30×400500+600+400=8.
故答案为：8.
【答案】
12π
【考点】
球内接多面体
球的表面积和体积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：如图，构造长方形，其中PA=2，AC=2，BC=6，
则三棱锥的外接球的直径为PB，
设球的半径为R，由题意知2R=PA2+AC2+BC2=12，
所以球的表面积为4πR2=12π．
故答案为：12π ．
三、解答题
【答案】
解：(1)由已知得：sinCcsB+(2sinA+sinB)csC=0,
可得：sinCcsB+sinBcsC+2sinAcsC=0,
可得：sin(B+C)+2sinAcsC=0,
可得：sinA+2sinAcsC=0,
因为：sinA>0,
所以：csC=−12, C=2π3.
(2)由余弦定理c2=a2+b2−2abcsC，
得：3=a2+b2+ab≥2ab+ab=3ab，
可得：ab≤1，
当a=b=1时取等号，
可得S△ABC=12absinC≤12×1×32=34.
所以△ABC面积的最大值为34.
【考点】
两角和与差的正弦公式
解三角形
基本不等式在最值问题中的应用
余弦定理
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由已知得：sinCcsB+(2sinA+sinB)csC=0,
可得：sinCcsB+sinBcsC+2sinAcsC=0,
可得：sin(B+C)+2sinAcsC=0,
可得：sinA+2sinAcsC=0,
因为：sinA>0,
所以：csC=−12, C=2π3.
(2)由余弦定理c2=a2+b2−2abcsC，
得：3=a2+b2+ab≥2ab+ab=3ab，
可得：ab≤1，
当a=b=1时取等号，
可得S△ABC=12absinC≤12×1×32=34.
所以△ABC面积的最大值为34.
【答案】
解：(1)由Sn=2an−1可得Sn+1=2an−1−1n≥2，
∴ an=Sn−Sn−1=2an−an−1，即an=2an−1，
易知a1=1，故an=2n−1．
∴ bn=lg2an+lg2an+1=n−1+n=2n−1．
(2)由(1)可知cn=2n−12n−1，
∴ Tn=c1+c2+c3+⋯+cn
=1×1+3×2+5×22+⋯+2n−1×2n−1 ①，
2Tn=1×2+3×22+5×23+⋯+
2n−3×2n−1+2n−1×2n ②，
①−②，得−Tn=1+2×2+2×22+2×23+⋯+
2×2n−1−2n−1×2n
=−1+2×1+2+22+23+⋯+2n−1−2n−1×2n
=−1+2×1−2n1−2−2n−1×2n
=−3+3−2n⋅2n
∴ Tn=3+2n−3⋅2n．
【考点】
数列递推式
等比数列的通项公式
数列的求和
【解析】
本题主要考查等比数列的通项公式及错位相减法求和．
【解答】
解：(1)由Sn=2an−1可得Sn+1=2an−1−1n≥2，
∴ an=Sn−Sn−1=2an−an−1，即an=2an−1，
易知a1=1，故an=2n−1．
∴ bn=lg2an+lg2an+1=n−1+n=2n−1．
(2)由(1)可知cn=2n−12n−1，
∴ Tn=c1+c2+c3+⋯+cn
=1×1+3×2+5×22+⋯+2n−1×2n−1 ①，
2Tn=1×2+3×22+5×23+⋯+
2n−3×2n−1+2n−1×2n ②，
①−②，得−Tn=1+2×2+2×22+2×23+⋯+
2×2n−1−2n−1×2n
=−1+2×1+2+22+23+⋯+2n−1−2n−1×2n
=−1+2×1−2n1−2−2n−1×2n
=−3+3−2n⋅2n
∴ Tn=3+2n−3⋅2n．
【答案】
(1)证明：取PD的中点Q，连结QN，AQ，如图所示，
∵ N是PC的中点，
∴ QN//CD，且QN=12CD.
∵ 底面四边形ABCD是边长为1的正方形，M是AB的中点，
∴ AM//CD，AM=12CD，
∴ QN//AM ，且QN=AM，
∴ 四边形AMNQ是平行四边形，
∴ MN//AQ，
又∵ AQ⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，
∴ MN//平面PAD．
(2)解：∵ PD⊥平面ABCD，
∴ ∠PAD是侧棱PA与底面成的角，
∴ ∠PAD=45∘，
∴ △PAD是等腰直角三角形，∴ PD=AD=1，
∴ VM−PBC=VP−MBC=13S△MBC ⋅PD
=13⋅14⋅AB⋅BC=112．
【考点】
直线与平面平行的判定
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
【解答】
(1)证明：取PD的中点Q，连结QN，AQ，如图所示，
∵ N是PC的中点，
∴ QN//CD，且QN=12CD.
∵ 底面四边形ABCD是边长为1的正方形，M是AB的中点，
∴ AM//CD，AM=12CD，
∴ QN//AM ，且QN=AM，
∴ 四边形AMNQ是平行四边形，
∴ MN//AQ，
又∵ AQ⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，
∴ MN//平面PAD．
(2)解：∵ PD⊥平面ABCD，
∴ ∠PAD是侧棱PA与底面成的角，
∴ ∠PAD=45∘，
∴ △PAD是等腰直角三角形，∴ PD=AD=1，
∴ VM−PBC=VP−MBC=13S△MBC ⋅PD
=13⋅14⋅AB⋅BC=112．
【答案】
解：(1)由题意得pp+16=13，
解得p=8，所以q=40−8=32，
所以x=16+8=24，y=44+32=76．
(2)由列联表中的数据可得K2的观测值
k=100×16×32−8×44260×40×24×76≈0.585<2.706 ，
所以没有90%的把握认为参与该项老年运动与性别有关．
(3)由(1)得“健康达人”共有24人，其中男性16人，女性8人，
所以抽样比k=624=14 ．
因此按性别分层抽样抽取的6人中有男性16×14=4人，
记为A1,A2,A3,A4，
女性8×14=2人，记为B1,B2 ，
从这6人中抽取2人的所有方式为
(A1,A2),(A1,A3),A1,A4,A1,B1,A1,B2，
A2,A3,A2,A4,A2,B1,A2,B2，
A3,A4,A3,B1,(A3,B2)，
(A4,B1),(A4,B2)，
(B1,B2)，
共15种情况，其中符合题目要求的是6种情况，
所以抽取的全是男性的概率为P=615=25 ．
【考点】
独立性检验
独立性检验的应用
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由题意得pp+16=13，
解得p=8，所以q=40−8=32，
所以x=16+8=24，y=44+32=76．
(2)由列联表中的数据可得K2的观测值
k=100×16×32−8×44260×40×24×76≈0.585<2.706 ，
所以没有90%的把握认为参与该项老年运动与性别有关．
(3)由(1)得“健康达人”共有24人，其中男性16人，女性8人，
所以抽样比k=624=14 ．
因此按性别分层抽样抽取的6人中有男性16×14=4人，
记为A1,A2,A3,A4，
女性8×14=2人，记为B1,B2 ，
从这6人中抽取2人的所有方式为
(A1,A2),(A1,A3),A1,A4,A1,B1,A1,B2，
A2,A3,A2,A4,A2,B1,A2,B2，
A3,A4,A3,B1,(A3,B2)，
(A4,B1),(A4,B2)，
(B1,B2)，
共15种情况，其中符合题目要求的是6种情况，
所以抽取的全是男性的概率为P=615=25 ．
【答案】
解：(1)由题意可知，b=1，ca=32，a2=b2+c2， 解得a=2，b=1，c=3，
∴ 椭圆C的标准方程为：x24+y2=1.
(2)设点P(x0, y0)，则M(x02, y0)，
∴ 直线AM的斜率为y0−1x02−0=2(y0−1)x0，
∴ 直线AM的方程为：y=2(y0−1)x0x+1，
令y=−1得，x=x01−y0，
∴ 点N的坐标为(x01−y0, −1)，
∴ 点D的坐标为(x02(1−y0), −1)，
∴ OM→⋅DM→=(x02, y0)⋅(x02−x02(1−y0),y0+1)
=x024+y02−x024−4y0+y0，
又∵ 点P(x0, y0)在椭圆C上，
∴ x024+y02=1，x02=4−4y02，
∴ OM→⋅DM→=1−4(1−y02)4(1−y0)+y0=1−(1+y0)+y0=0，
∴ 点M在以OD为直径的圆上．
【考点】
椭圆的标准方程
直线与椭圆的位置关系
椭圆的应用
【解析】
（I）根据题意列出关于a，b，c的方程组，解出a，b，c的值，即可得到椭圆C的标准方程；
(Ⅱ)设点P(x0, y0)，则M(x02, y0)，求出直线AM的方程，进而求出点N的坐标，再利用中点坐标公式得到点D的坐标，下面结合点P在椭圆C上证出OM→⋅DM→=0，所以点M在以OD为直径的圆上．
【解答】
解：(1)由题意可知，b=1，ca=32，a2=b2+c2， 解得a=2，b=1，c=3，
∴ 椭圆C的标准方程为：x24+y2=1.
(2)设点P(x0, y0)，则M(x02, y0)，
∴ 直线AM的斜率为y0−1x02−0=2(y0−1)x0，
∴ 直线AM的方程为：y=2(y0−1)x0x+1，
令y=−1得，x=x01−y0，
∴ 点N的坐标为(x01−y0, −1)，
∴ 点D的坐标为(x02(1−y0), −1)，
∴ OM→⋅DM→=(x02, y0)⋅(x02−x02(1−y0),y0+1)
=x024+y02−x024−4y0+y0，
又∵ 点P(x0, y0)在椭圆C上，
∴ x024+y02=1，x02=4−4y02，
∴ OM→⋅DM→=1−4(1−y02)4(1−y0)+y0=1−(1+y0)+y0=0，
∴ 点M在以OD为直径的圆上．
【答案】
解：(1)当a=2时， fx=2ex−xex−1，
∴ f′x=2ex−1−xex，所以f′0=2−1=1．
又f0=2−1=1，
∴ 曲线y=fx在点0,f0处的切线方程为y−1=x，
即x−y+1=0．
(2)问题等价于gx=1exxex+1的图象和直线y=a恰好有2个交点，
求a的取值范围．
令gx=1exxex+1，则g′x=1−2x−exe2x．
令hx=1−2x−ex，则h′x=−2−ex<0，
∴ hx在−∞,+∞上单调递减．
又h0=0，
∴ 当x∈−∞,0时， hx>0，g′x>0，
∴ gx在−∞,0上单调递增．
当x∈0,+∞时， hx<0，g′x<0，
∴ gx在0,+∞上单调递减，
∴ gx的极大值即最大值为g0=1，
∴ 当x∈(−∞,0]时， g(x)∈(−∞,1]；
当x∈0,+∞时， gx∈0,1，
∴ 当a∈0,1时， gx=1exxex+1的图象和直线y=a恰好有2个交点，
函数fx恰好有两个零点．
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究与函数零点有关的问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)当a=2时， fx=2ex−xex−1，
∴ f′x=2ex−1−xex，所以f′0=2−1=1．
又f0=2−1=1，
∴ 曲线y=fx在点0,f0处的切线方程为y−1=x，
即x−y+1=0．
(2)问题等价于gx=1exxex+1的图象和直线y=a恰好有2个交点，
求a的取值范围．
令gx=1exxex+1，则g′x=1−2x−exe2x．
令hx=1−2x−ex，则h′x=−2−ex<0，
∴ hx在−∞,+∞上单调递减．
又h0=0，
∴ 当x∈−∞,0时， hx>0，g′x>0，
∴ gx在−∞,0上单调递增．
当x∈0,+∞时， hx<0，g′x<0，
∴ gx在0,+∞上单调递减，
∴ gx的极大值即最大值为g0=1，
∴ 当x∈(−∞,0]时， g(x)∈(−∞,1]；
当x∈0,+∞时， gx∈0,1，
∴ 当a∈0,1时， gx=1exxex+1的图象和直线y=a恰好有2个交点，
函数fx恰好有两个零点．男性
女性
总计
参与该项老年运动
16
p
x
不参与该项老年运动
44
q
y
总计
60
40
100
PK2>k0
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
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