2020-2021年河南省平顶山市某校高二（下）3月月考数学（文）试卷

这是一份2020-2021年河南省平顶山市某校高二（下）3月月考数学（文）试卷，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 有一个三段论推理：“等比数列中没有等于0的项，数列{an}是等比数列，所以an≠0”，这个推理( )
A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.是正确的

2. 复数z=11−i在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3. 某自动化仪表公司的组织结构图如图所示，其中第一车间直属于( )

A.生产部B.品管部C.采购部D.销售部

4. 已知变量x和y的回归直线方程为y=0.2021x+0.202，变量y与z负相关．下列结论中正确的是( )
A.x与y正相关，x与z负相关B.x与y正相关，x与z正相关
C.x与y负相关，x与z负相关D.x与y负相关，x与z正相关

5. 已知函数fx=csx−sinx，f′x为fx的导函数，定义f1x=f′x，f2x=f1x′，…，fn+1x=fnx′n∈N*，经计算f1x=−sinx−csx，f2x=−csx+sinx，f3x=sinx+csx，...，照此规律，则f2021x=( )
A.−csx+sinxB.csx−sinxC.sinx+csxD.−sinx−csx

6. 若复数z=m+2i1−im∈R是纯虚数，则|m+i|=( )
A.5B.2C.25D.4

7. 我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A2,−1，且法向量为n→=−1,2的直线（点法式）方程为−1×(x−2)+2×(y+1)=0，化简得x−2y−4=0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点B1,−1,−2，且法向量为m→=1,2,−1的平面的方程为( )
A.x+2y+z+1=0B.x−2y−z−1=0
C.x+2y+z−1=0D.x+2y−z−1=0

8. 下列推理正确的是( )
A.如果不买体育彩票，那么就不能中大奖，因为你买了体育彩票，所以你一定能中大奖
B.若命题“∃x0∈R，使得x02+mx0+2m−3<0”为假命题，则实数m的取值范围是2,6
C.在等差数列an中，若an>0，公差d>0，则有a4⋅a6>a3⋅a7，类比上述性质，在等比数列bn中，若bn>0，公比q>1，则b4+b8>b5+b7
D.如果m，n均为正实数，则lgm+lgn≥2lgm⋅lgn

9. PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）．为了探究车流量与PM2.5的浓度是否有关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM2.5的浓度的数据如下表．由最小二乘法求得回归直线方程y=0.72x+6.24．表中一个数据模糊不清，请你推断出该数据为( )

A.78B.79C.80D.81

10. 执行如图所示的程序框图，若输出k的值为5，则判断框内可填入的条件是( )

A.s>12B.s>35C.s>710D.s>45

11. 有下列四个命题：
①在回归分析中，残差的平方和越小，模型的拟合效果越好；
②在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适；
③若数据x1，x2，⋯，xn的平均数为1，则2x1，2x2，⋯，2xn的平均数为2；
④对分类变量x与y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“x与y有关系”的把握越大．
其中真命题的个数为( )
A.1B.2C.3D.4

12. 已知函数f(x)=x3+ax2+bx的图象在点(0,f(0))处的切线斜率为−4，且x=−2时，y=f(x)有极值，则f(x)在[−3,2]上的最小值为( )
A.−827B.−4027C.3D.8
二、填空题

已知a，b∈R，且a−1+ai=3+2bi，则b=________．

甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙、丙多，但没去过C城市；乙说：我去过某一个城市，但没去过B城市；丙说：我去过的城市甲和乙都没去过．由此可以判断乙去过的城市为________．

某工程由A，B，C，D四道工序组成，完成它们需用时间依次为3，7，x，4天x∈N*，四道工序的先后顺序及相互关系是：A，B可以同时开工；A完成后，C可以开工；B，C完成后，D可以开工．若完成该工程共需11天，则x的最大值为________．

某学生对其30名亲属的饮食习惯进行了一次调查，依据统计所得数据可得到如下的2×2列联表：
根据以上列联表中的数据，可得K2的观测值k=________，________（填“有”或“没有”）99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关．
参考公式：K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d．
参考数据：
三、解答题

m为何实数时，复数z=1+im2+2i+1m−2−3i是：
(1)实数；

(2)虚数；

(3)纯虚数？

已知角α的终边在第三象限，cs74∘+α=35，证明：tanα−106∘=−43.

某班主任对全班50名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，得出以下2×2列联表：
如果随机抽查该班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是1225．
(1)求a，b，c，d的值．

(2)试运用独立性检验的思想方法分析：能否有99.9%的把握认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系？并说明理由．
参考公式：K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d．
参考数据：

某厂家营销人员收集了日平均气温x（单位：​∘C）与某款取暖器的日销售额y（单位：万元）的有关数据如下表：
已知日销售额y与日平均气温x之间具有线性相关关系．
(1)根据上表数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；

(2)根据(1)求出的线性回归方程，预测日平均气温为−7∘C时该取暖器的日销售额为多少万元．
参考公式：在线性回归方程y=bx+a中，b=i=1nxiyi−nxyi=1nxi2−nx2=i=1nxi−x2yi−y2i=1nxi−x2，a=y−bx．
参考数据：i=15xiyi=−524．

已知数列an的各项均为正数，执行如图所示的程序框图，若k=4，k=8时，分别有S=49和S=817．

(1)求m，p的值及数列an的通项公式；

(2)若Sn=1a1a2+1a2a3+⋯+1anan+1，求证：13≤Sn<12．

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的两焦点为F1−1,0，F21,0，点P在椭圆C上，且△PF1F2的面积最大是3．
(1)求椭圆C的标准方程；

(2)点M为椭圆C的右顶点，若不平行于坐标轴的直线l与椭圆C相交于A，B两点（A，B均不是椭圆C的右顶点），且满足AM⊥BM，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
参考答案与试题解析
2020-2021年河南省平顶山市某校高二（下）3月月考数学(文)试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
演绎推理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由等比数列的定义可知等比数列中没有等于0的项，即an≠0.
故选D.
2.
【答案】
A
【考点】
复数的代数表示法及其几何意义
复数代数形式的乘除运算
【解析】
无
【解答】
解：因为z=11−i=1+i1−i1+i=12+12i，
所以其在复平面内对应的点为(12,12)，在第一象限．
故选A．
3.
【答案】
B
【考点】
结构图应用
【解析】
无
【解答】
解：由组织结构图知，第一车间的直属机构是品管部．
故选B．
4.
【答案】
A
【考点】
变量间的相关关系
【解析】
无
【解答】
解：因为直线y=0.2021x+0.202的斜率大于0，
所以x与y正相关．
因为y与z负相关，可设z=by+a，b<0．
所以z=by+a=0.2021bx+a，
所以x与z负相关．
故选A．
5.
【答案】
D
【考点】
导数的运算
函数的周期性
【解析】

【解答】
解：因为f1x=−sinx−csx，
f2x=−csx+sinx，
f3x=sinx+csx
f4(x)=csx−sinx，
f5x=−sinx−csx，
f6x=−csx+sinx，
…，
观察知fnx呈周期性变化，周期为4，
所以f2021x=f505×4+1 x=f1x=−sinx−csx.
故选D.
6.
【答案】
A
【考点】
复数的模
复数代数形式的乘除运算
复数的基本概念
【解析】
无
【解答】
解：z=m+2i1−i=(m+2i)(1+i)(1−i)(1+i)=m−2+(m+2)i2，
∵z为纯虚数，
∴m−2=0,m+2≠0,解得m=2，
∴m+i=2+i，
∴ |m+i|=5．
故选A．
7.
【答案】
D
【考点】
类比推理
【解析】
无
【解答】
解：由类比推理得所求的平面方程为
1×x−1+2×y+1+−1×z+2=0，
化简得x+2y−z−1=0．
故选D．
8.
【答案】
C
【考点】
演绎推理
等差数列的性质
等比数列的性质
复合命题及其真假判断
对数函数的图象与性质
【解析】
类比等差数列{an}与等比数列{bn}均为各项为正数的递增数列，等差数列中的“和”运算类比等比数列中“积”运算，由此即可得到答案．
【解答】
解：即使买了体育彩票，也不一定能中大奖，故A错误；
因为命题“∃x0∈R，使得x02+mx0+2m−3<0”为假命题，
所以其否定命题“∀x∈R，使得x2+mx+2m−3≥0恒成立”为真命题，
所以Δ=m2−42m−3≤0，所以m∈2,6，故B错误；
在等差数列{an}中，若an>0，公差d>0，因为4+6=3+7，所以a4⋅a6>a3⋅a7，
所以在等比数列{bn}中，若bn>0，公比q>1，因为4+8=5+7，所以应有 b4+b8>b5+b7，故C正确；
当m，n均为正实数时，lgm，lgn不一定为正数，所以lgm+lgn≥2lgm⋅lgn不一定成立，故D错误．
故选C.
9.
【答案】
C
【考点】
回归分析的初步应用
求解线性回归方程
【解析】
无
【解答】
解：设表中模糊不清的数据为m，
由表中数据得x=5405=108，y=m+3405，
因为由最小二乘法求得回归方程为y=0.72x+6.24，
所以将x=108，y=m+3405，代入回归直线方程，得m=80．
故选C．
10.
【答案】
B
【考点】
循环结构的应用
【解析】
无
【解答】
解：第一次循环s=1×910=910，k=8，应满足条件；
第二次循环：s=910×89=810，k=7，应满足条件，排除选项D；
第三次循环：s=810×78=710，k=6，应满足条件，排除选项C；
第四次循环：s=710×67=610，k=5，这时不再满足条件，结束循环，
因此判断框中可填入的条件为s>35．
故选B．
11.
【答案】
C
【考点】
众数、中位数、平均数
相关系数
命题的真假判断与应用
独立性检验的应用
回归分析
【解析】
无
【解答】
解：根据残差的意义，可知①②是真命题；
若数据x1，x2，⋯，xn的平均数为1，那么2x1，2x2，⋯，2xn的平均数也扩大为原来的2倍，即平均数为2，所以③是真命题；
对分类变量x与y的随机变量K2的观测值k来说，应该是k越大，判断“x与y有关系”的把握越大，所以④是假命题．
故选C．
12.
【答案】
B
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由题意可得f′x=3x2+2ax+b．
由题意可得f′0=b=−4，f′−2=12−4a+b=0，
解得a=2，b=−4，
经检验得x=−2时，y=fx有极大值，
所以fx=x3+2x2−4x，
所以f′x=3x2+4x−4=x+23x−2，
令f′x=0，解得x1=−2，x2=23，
f′x，fx的值随x的变化情况如下表：
由表可知fx在−3,2上的最小值为−4027.
故选B.
二、填空题
【答案】
2
【考点】
复数相等的充要条件
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意可得a−1=3,a=2b,
解得a=4,b=2.
故答案为：2．
【答案】
A
【考点】
进行简单的合情推理
【解析】

【解答】
解： 因为甲去过的城市比乙、丙多，且甲没去过C城市，
所以甲去过A城市，B城市，丙去过C城市．
乙没去过B城市，
则乙可能去过A或C城市，再根据丙的说法可知乙去过A城市．
故答案为：A．
【答案】
4
【考点】
绘制简单实际问题的流程图
【解析】

【解答】
解：由题意可画出工序流程图如图所示，
所以3+x+4≤11，所以x≤4．
故答案为：4．
【答案】
10,有
【考点】
独立性检验的应用
【解析】

【解答】
解：由列联表可得a=20，b=10，c=12，d=4，
则K2=30×8−128212×18×20×10=10>6.635；
所以有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关．
故答案为：10；有．
三、解答题
【答案】
解：(1)z=1+im2+2i+1m−2−3i
=m2+m2i+2im+m−2−3i
=m2+m−2+m2+2m−3i
=m−1m+2+m−1m+3i．
∵复数z是实数，
∴m−1m+3=0，
解得m=1或−3,
即m=1或−3时，z为实数．
(2)∵复数z是虚数，
∴m−1m+3≠0，
解得m≠1且m≠−3，
即m≠1且m≠−3时，z为虚数．
(3)∵复数z是纯虚数，
∴(m−1)(m+2)=0，(m−1)(m+3)≠0，
解得m=−2，
即m=−2时，z为纯虚数．
【考点】
复数的基本概念
【解析】



【解答】
解：(1)z=1+im2+2i+1m−2−3i
=m2+m2i+2im+m−2−3i
=m2+m−2+m2+2m−3i
=m−1m+2+m−1m+3i．
∵复数z是实数，
∴m−1m+3=0，
解得m=1或−3,
即m=1或−3时，z为实数．
(2)∵复数z是虚数，
∴m−1m+3≠0，
解得m≠1且m≠−3，
即m≠1且m≠−3时，z为虚数．
(3)∵复数z是纯虚数，
∴(m−1)(m+2)=0，(m−1)(m+3)≠0，
解得m=−2，
即m=−2时，z为纯虚数．
【答案】
证明：由题可知cs(α−106∘)=cs(106∘−α)
=cs180∘−74∘+α
=−cs(74∘+α)
=−35，
所以sinα−106∘=−sin180∘−74∘+α=−sin74∘+α．
因为α为第三象限角，
所以74∘+α为第三或第四象限角，
又因为cs74∘+α=35>0，
所以74∘+α为第四象限角，
所以sin74∘+α=−1−cs274∘+α
=−1−352
=−45，
所以sinα−106∘=−sin74∘+α=45，
所以tanα−106∘=−43.
【考点】
同角三角函数间的基本关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
证明：由题可知cs(α−106∘)=cs(106∘−α)
=cs180∘−74∘+α
=−cs(74∘+α)
=−35，
所以sinα−106∘=−sin180∘−74∘+α=−sin74∘+α．
因为α为第三象限角，
所以74∘+α为第三或第四象限角，
又因为cs74∘+α=35>0，
所以74∘+α为第四象限角，
所以sin74∘+α=−1−cs274∘+α
=−1−352
=−45，
所以sinα−106∘=−sin74∘+α=45，
所以tanα−106∘=−43.
【答案】
解：(1)积极参加班级工作的学生有c人，总人数为50人，
由抽到积极参加班级工作的学生的概率P1=c50=1225，
解得c=24，
所以a=6．
所以b=25−a=19，d=50−c=26．
(2)由列联表知，K2的观测值k=50×(18×19−6×7)225×25×24×26≈11.538．
∵11.538>10.828，
∴有99.9%的把握认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系．
【考点】
独立性检验
独立性检验的应用
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)积极参加班级工作的学生有c人，总人数为50人，
由抽到积极参加班级工作的学生的概率P1=c50=1225，
解得c=24，所以a=6．
所以b=25−a=19，d=50−c=26．
(2)由列联表知，K2的观测值k=50×(18×19−6×7)225×25×24×26≈11.538．
∵11.538>10.828，
∴有99.9%的把握认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系．
【答案】
解：(1)由题意得x=−2−3−4−5−65=−4，
y=20+23+25+27+305=25，
因为i=15xiyi=−524，i=15xi2=90，
所以b=i=15xiyi−5xyi=15xi2−5x2=−2.4，
所以a=25−−2.4×−4=15.4，
所以回归直线方程为y=−2.4x+15.4．
(2)将x=−7代入回归直线方程为y=−2.4x+15.4可得，
y=−2.4×(−7)+15.4=32.2，
所以预测日平均气温为−7∘C时，该取暖器的日销售额为32.2万元．
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由题意得x=−2−3−4−5−65=−4，
y=20+23+25+27+305=25，
因为i=15xiyi=−524，i=15xi2=90，
所以b=i=15xiyi−5xyi=15xi2−5x2=−2.4，
所以a=25−−2.4×−4=15.4，
所以回归直线方程为y=−2.4x+15.4．
(2)将x=−7代入回归直线方程为y=−2.4x+15.4可得，
y=−2.4×(−7)+15.4=32.2，
所以预测日平均气温为−7∘C时，该取暖器的日销售额为32.2万元．
【答案】
(1)解：由程序框图可知，数列{an}是等差数列，首项为a1a1>0，公差为dd>0．
S=1a1a2+1a2a3+⋯+1akak+1
=1d(1a1−1a2+1a2−1a3+⋯+1ak−1ak+1)
=1d1a1−1ak+1 ，
当k=4时，S=1a1−1a51d=4a1a5=49，
所以a1a5=9，即a1a1+4d=9①；
当k=8时，S=1a1−1a91d=8a1a9=817，
所以a1a9=17，即a1a1+8d=17②，
由①②联立，得a1=m=1，d=p=2，
因此an=a1+n−1d=2n−1 ．
(2)证明：由(1)可得Sn=12×1−12n+1，
因为fn=12×1−12n+1是以正整数n为自变量的增函数，
所以f1≤Sn<12，即13≤Sn<12.
【考点】
等差数列的通项公式
数列的求和
程序框图
数列的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)解：由程序框图可知，数列{an}是等差数列，首项为a1a1>0，公差为dd>0．
S=1a1a2+1a2a3+⋯+1akak+1
=1d(1a1−1a2+1a2−1a3+⋯+1ak−1ak+1)
=1d1a1−1ak+1 ，
当k=4时，S=1a1−1a51d=4a1a5=49，
所以a1a5=9，即a1a1+4d=9①；
当k=8时，S=1a1−1a91d=8a1a9=817，
所以a1a9=17，即a1a1+8d=17②，
由①②联立，得a1=m=1，d=p=2，
因此an=a1+n−1d=2n−1 ．
(2)证明：由(1)可得Sn=12×1−12n+1，
因为fn=12×1−12n+1是以正整数n为自变量的增函数，
所以f1≤Sn<12，即13≤Sn<12.
【答案】
(1)解：由椭圆的对称性可知，当点P落在椭圆的短轴的两个端点时△PF1F2的面积最大，
此时12×2b=3，所以b=3 .
因为a2=b2+c2，即a2=3+1=4 ．
所以椭圆C的标准方程为x24+y23=1．
(2)证明：设Ax1,y1，Bx2,y2，直线l的方程为y=kx+m，
联立y=kx+m，x24+y23=1，
整理可得3+4k2x2+8mkx+4m2−3=0，
则Δ=64m2k2−163+4k2m2−3>0，
即3+4k2−m2>0，
x1+x2=−8mk3+4k2，x1x2=4m2−33+4k2，
所以y1y2=kx1+mkx2+m，
=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2
=3(m2−4k2)3+4k2．
因为椭圆的右顶点为M2,0，AM⊥BM，
所以x1−2x2−2+y1y2=0，
所以y1y2+x1x2−2x1+x2+4=0，
所以3m2−4k23+4k2+4m2−33+4k2+16mk3+4k2+4=0 ．
所以7m2+16km+4k2=0．
解得m1=−2k，m2=−2k7，
m1，m2均满足3+4k2−m2>0，
当m1=−2k时，方程为y=kx−2，
直线l过右顶点2,0，与已知矛盾．
当m2=−2k7时，方程为y=kx−27，
直线l过定点27,0．
所以直线l过定点，定点坐标为27,0．
【考点】
椭圆的标准方程
圆锥曲线中的定点与定值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)解：由椭圆的对称性可知，当点P落在椭圆的短轴的两个端点时△PF1F2的面积最大，
此时12×2b=3，所以b=3 .
因为a2=b2+c2，即a2=3+1=4 ．
所以椭圆C的标准方程为x24+y23=1．
(2)证明：设Ax1,y1，Bx2,y2，直线l的方程为y=kx+m，
联立y=kx+m，x24+y23=1，
整理可得3+4k2x2+8mkx+4m2−3=0，
则Δ=64m2k2−163+4k2m2−3>0，
即3+4k2−m2>0，
x1+x2=−8mk3+4k2，x1x2=4m2−33+4k2，
所以y1y2=kx1+mkx2+m，
=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2
=3(m2−4k2)3+4k2．
因为椭圆的右顶点为M2,0，AM⊥BM，
所以x1−2x2−2+y1y2=0，
所以y1y2+x1x2−2x1+x2+4=0，
所以3m2−4k23+4k2+4m2−33+4k2+16mk3+4k2+4=0 ．
所以7m2+16km+4k2=0．
解得m1=−2k，m2=−2k7，
m1，m2均满足3+4k2−m2>0，
当m1=−2k时，方程为y=kx−2，
直线l过右顶点2,0，与已知矛盾．
当m2=−2k7时，方程为y=kx−27，
直线l过定点27,0．
所以直线l过定点，定点坐标为27,0．喜欢吃蔬菜
喜欢吃肉类
总计
50岁以下
d
8
c
50岁以上
16
2
18
总计
a
b
30
PK2≥k0
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
积极参加班级工作
不太主动参加班级工作
总计
学习积极性高
18
7
25
学习积极性一般
a
b
25
总计
c
d
50
PK2≥k0
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
日平均气温（​∘C）
−2
−3
−4
−5
−6
日销售额（万元）
20
23
25
27
30
x
−3
(−3,−2)
−2
(−2,23)
23
(23,2)
2
f′(x)
+
0
−
0
+
f(x)
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
函数值
3
8
−4027
8