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2020-2021学年云南省邵通市高二（上）12月月考数学（文）试卷人教A版
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这是一份2020-2021学年云南省邵通市高二（上）12月月考数学（文）试卷人教A版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知命题p:∃x∈R,x2−x+1≥0；命题q：若a2A.p∧qB.p∧¬qC.¬p∧qD.¬p∧¬q
2. 已知双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的离心率是2，则其渐近线方程为（ ）
A.3x±y=0B.x±3y=0C.2x±y=0D.x±2y=0
3. 已知点P(6, y)在抛物线y2=2px(p>0)上，若点P到抛物线的焦点F的距离等于8，则焦点F到抛物线准线的距离等于（ ）
A.2B.1C.4D.8
4. 在同一坐标系中，方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0(a>b>0)的曲线大致是（ ）
A.B.C.D.
5. 已知斜率为k的直线l与抛物线C:y2=4x交于A，B两点，线段AB的中点为M2,1，则直线l的方程为( )
A.2x−y−3=0B.2x−y−5=0C.x−2y=0D.x−y−1=0
6. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点为A，左、右两焦点分别为F1，F2，若△AF1F2为等边三角形，则椭圆C的离心率为（ ）
A.12B.22C.13D.33
7. 若直线l:y=kx+2与双曲线C:x2−y2=4的左、右两支各有一个交点，则实数k的取值范围是（ ）
A.−2,−1B.1,2C.−2,2D.−1,1
8. 已知F是椭圆C:x24+y23=1的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点Q4,4，则|PQ|+|PF|的最大值为( )
A.213+1B.9C.41D.5
9. A是抛物线y2=2pxp>0上的一点，F为抛物线的焦点，0为坐标原点，当|AF|=4时， ∠OFA=60∘，则抛物线的准线方程是（ ）
A.x=−1B.y=−1C.x=−3D.x=3
10. 抛物线y=−x2上的点到直线4x+3y−8=0距离的最小值是（ ）
A.43B.75C.85D.3
11. 设椭圆C:x29+y24=1的左、右焦点分别为F1,F2，以F1F2为直径的圆与C在第一象限的交点为P，则直线PF1的斜率为（ ）
A.13B.12C.33D.32
12. 已知F为双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>b>0)的右焦点，A，B是双曲线C的一条渐近线上关于原点对称的两点，AF⊥BF，且AF的中点在双曲线C上，则C的离心率为（ ）
A.3+1B.3−1C.5−1D.5+1
二、填空题
“m=2”是“椭圆x26+y2m=1焦距为4”的________（用“充要、充分不必要、必要不充分、既不充分又不必要”条件填空）.
已知双曲线C:x2a2−y2b2=1 (a>0, b>0)的一条渐近线方程为y=52x，且与椭圆x212+y23=1有公共焦点，则C的方程为________.
若点O和点F分别为椭圆x24+y23=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP→⋅FP→的最大值为________.
过抛物线C:y2=2pxp>0的焦点F的直线l与抛物线交于M，N两点，若MF→=4FN→，则直线l的斜率为________.
三、解答题
已知m∈R，命题p:∀x∈0,1，x≥m2−3m恒成立；命题q：存在x∈R，使得−x2+2x−m>0.
(1)若p为真命题，求m的取值范围；
(2)若p，q有且只有一个真命题，求实数m的取值范围．
(1)求过点P1,6,Q−2,3的椭圆的标准方程；
(2)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的两个焦点为F1−2,0,F22,0，点P3,7在双曲线C上，求双曲线C的方程．
已知O为坐标原点，抛物线y2=−x与直线y=kx+1相交于A，B两点．
(1)求证：OA⊥OB；
(2)当△OAB的面积等于10时，求实数k的值．
十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划．2018年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元，每生产x（百辆），需另投入成本C(x)万元，且C(x)=10x2+100x,01求出2018年的利润L(x)（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（利润=销售额−成本）
22018年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
已知椭圆E: x2a2+y2=1a>1的离心率为22.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线l:x−y+m=0与椭圆交于E，F两点，且线段EF的中点在圆x2+y2=1上，求m的值．
已知点O(0, 0)、点P(−4, 0)及抛物线C:y2=4x．
1若直线l过点P及抛物线C上一点Q，当∠OPQ最大时，求直线l的方程；
2x轴上是否存在点M，使得过点M的任一条直线与抛物线C交于点A，B，且点M到直线AP，BP的距离相等？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
2020-2021学年云南省邵通市高二（上）12月月考数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
复合命题及其真假判断
逻辑联结词“或”“且”“非”
【解析】
分别判断出p，q的真假，从而判断复合命题的真假即可．
【解答】
解：当x=0时，x2−x+1≥0成立，
故命题p：∃x∈R， x2−x+1≥0，是真命题；
若a2故命题q：若a2故p∧¬q是真命题，
故选B．
2.
【答案】
A
【考点】
双曲线的渐近线
双曲线的离心率
【解析】
利用离心率求得ba,由此求得渐近线方程.
【解答】
解:依题意，ca=1+b2a2=2，ba=3,
所以渐近线方程为y=±3x,即3x±y=0.
故选A.
3.
【答案】
C
【考点】
抛物线的定义
抛物线的标准方程
【解析】
利用抛物线的定义可求得p，即点F到抛物线准线的距离．
【解答】
解：根据抛物线的定义得PF=6+p2=8，
∴ p=4．即点F到抛物线准线的距离等于4．
故选C．
4.
【答案】
D
【考点】
椭圆的定义
抛物线的定义
【解析】
【解答】
解：由a>b>0,
椭圆a2x2+b2y2=1，即x21a2+y21b2=1，焦点在y轴上；
抛物线ax+by2=0，即y2=−abx，焦点在x轴的负半轴上.
分析可得，D符合，
故选D．
5.
【答案】
A
【考点】
与抛物线有关的中点弦及弦长问题
【解析】
本题通过交点A、B以及线段AB的中点M2,1求出直线的斜率，最后求出直线。
【解答】
解：设Ax1,y1，x2,y2，
由题意，得y1+y2=2×1=2，x1+x2=2×2=4，
联立y12=4x1,y22=4x2,
⇒y2−y1x2−x1=4y1+y2=42=2，
∴ k=2.
∵ 直线过点M2,1，
∴ 直线l的方程为y−1=2(x−2)，即2x−y−3=0.
故选A.
6.
【答案】
A
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
利用已知条件列出方程，求出a、c关系，然后求解离心率即可．
【解答】
解：由椭圆的对称性知b=3c，
即b2=3c2.
又a2=b2+c2，
可得a=2c，
所以e=12．
故选A.
7.
【答案】
D
【考点】
直线与双曲线结合的最值问题
【解析】
当直线y=kx+2与双曲线x2−y2=4的渐近线y=±x平行时，k=±1，所以直线y=kx+2与双曲线x2−y2=4的左右两支各有一个交点时得−1【解答】
解：当直线y=kx+2与双曲线x2−y2=4的渐近线y=±x平行时，k=±1，
所以直线y=kx+2与双曲线x2−y2=4的左右两支各有一个交点时得−1故选D.
8.
【答案】
B
【考点】
椭圆的定义
【解析】
设椭圆的右焦点为F′，则依据椭圆定义有
PF+PQ=4−PF′+PQ=PQ−PF′+4.
而点P在椭圆外，所以求出PQ−PF′的最大值
即可解决.
【解答】
解：设椭圆的右焦点为F′，则依据椭圆定义有
PF+PQ=4−PF′+PQ=PQ−PF′+4.
而点P在椭圆外，所以PQ−PF′≤QF′=5，
当且仅当P在线段QF′上时取最大值.
所以PQ+PF的最大值为9.
故选B.
9.
【答案】
C
【考点】
抛物线的定义
抛物线的标准方程
【解析】
利用直线与抛物线的方程联立后求得抛物线方程，即可求解.
【解答】
解：由题意可知Fp2,0，
因为∠OFA=60∘，所以A的横坐标为p2−2，
则p2+p2−2=4，
解得p=6，
所以抛物线的方程是y2=12x，准线方程是x=−3.
故选C.
10.
【答案】
A
【考点】
点到直线的距离公式
两条直线平行与倾斜角、斜率的关系
直线与抛物线结合的最值问题
【解析】
首先判断出直线和抛物线无交点，然后设出与直线平行的直线方程，可抛物线方程联立后由判别式等于0求出切线方程，然后由两条平行线间的距离求出抛物线y=−x2上的一点到直线4x+3y−8=0的距离的最小值．
【解答】
解：由y=−x2，4x+3y−8=0，得3x2−4x+8=0，
则Δ=(−4)2−4×3×8=−80<0，
所以直线4x+3y−8=0与抛物线y=−x2无交点．
设与直线4x+3y−8=0平行的直线为4x+3y+m=0，
联立y=−x2，4x+3y+m=0，得3x2−4x−m=0，
由Δ=(−4)2−4×3(−m)=16+12m=0，
得m=−43，
所以与直线4x+3y−8=0平行且与抛物线y=−x2相切的直线方程为4x+3y−43=0，
所以抛物线y=−x2上的一点到直线4x+3y−8=0的距离的最小值是|−8−(−43)|42+32=43．
故选A.
11.
【答案】
B
【考点】
椭圆的定义和性质
直线的斜率
【解析】
由椭圆方程求得a与c的值，设|PF1|=m,|PF2|=n, m>n ．则m+n=2a=6,m2+n2=4c2=20，联立求得m，n的值，则直线PF1的斜率可求．
【解答】
解：由椭圆C:x29+y24=1,得
a=3 ，2a=6,c2=a2−b2=5,
设|PF1|=m,|PF2|=nm>n，
则m+n=2a=6，m2+n2=4c2=20，
解得：m=4，n=2，
∴ 直线PF1的斜率为tan∠PF1F2=nm=12.
故选B.
12.
【答案】
C
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
求出双曲线的渐近线方程，推出A的坐标，然后求解AF的中点，代入双曲线方程求解即可．
【解答】
解：∵ AF⊥BF ，∴ △ABF是直角三角形， AO=OB=OF=c.
假设A点在渐近线bx−ay=0上，
设Ax0,bx0ax0>0， Fc,0，
AO2=x02+b2x02a2=c2 ，
解得： x0=a，
∴ Aa,b，设AF的中点为M，则 Mc+a2,b2 ，
∵ 中点M在双曲线C上，代入方程： c+a24a2−b24b2=1，
化简得c+a2=5a2，e2+2e−4=0则e=5−1.
故选C.
二、填空题
【答案】
充分不必要条件
【考点】
椭圆的定义和性质
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
利用椭圆的性质，求出m，再判断充要性即可.
【解答】
解：若椭圆x26+y2m=1焦距为4，则6−m=4或m−6=4，
解得m=2或10，
故“m=2”是“椭圆x26+y2m=1焦距为4”的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要条件.
【答案】
x24−y25=1
【考点】
双曲线的标准方程
【解析】
求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程，求出双曲线实半轴与虚半轴的长，即可得到双曲线方程．
【解答】
解：椭圆x212+y23=1的焦点坐标(±3, 0)，
则双曲线的焦点坐标为(±3, 0)，可得c=3，
双曲线C:x2a2−y2b2=1 (a>0, b>0)的一条渐近线方程为y=52x，
可得ba=52，即c2−a2a2=54，
可得ca=32，解得a=2，b=5，
所求的双曲线方程为：x24−y25=1．
故答案为：x24−y25=1．
【答案】
6
【考点】
椭圆的标准方程
平面向量数量积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解： 由椭圆x24+y23=1，得F(−1,0).
设P(x,y)(−2≤x≤2)，因为点O(0,0)，
所以OP→⋅FP→=x2+x+y2=x2+x+31−x24
=14x2+x+3=14(x+2)2+2(−2≤x≤2)，
当且仅当x=2时，OP→⋅FP→取得最大值6.
故答案为：6.
【答案】
±43
【考点】
直线的斜率
抛物线的性质
【解析】
作MB垂直于准线于B，作NC垂直于准线于C，
作NA垂直MB于A，根据抛物线定义可得直线的斜率.
【解答】
解：如图，若点M在第一象限，作MB垂直于准线于B，作NC垂直于准线于C.
由抛物线定义可得，MB=MF，NC=NF，
作NA垂直MB于A，设|FN|=m，
则|MF|=4m，|MN|=5m，
|AM|=|BM|−|AB|=|MF|−|NF|=3m，
在直角三角形中AMN，
AN=4m，
所以tan∠NMA=ANAM=43.
同理，若点M在第四象限可得斜率=−43，
所以直线l的斜率为±43.
故答案为:±43.
三、解答题
【答案】
解：(1)∵∀x∈0,1，x≥m2−3m，
∴m2−3m≤0，解得0≤m≤3，
故实数m的取值范围是0,3．
(2)当q为真命题时，则Δ=4−4m>0，解得m<1.
∵p，q有且只有一个真命题，
∴0≤m≤3，m≥1或m<0或m>3, m<1，
解得1≤m≤3或m<0，
故所求实数m的取值范围是m<0或1≤m≤3．
【考点】
复合命题及其真假判断
一元二次不等式的解法
【解析】
【解答】
解：(1)∵∀x∈0,1，x≥m2−3m，
∴m2−3m≤0，解得0≤m≤3，
故实数m的取值范围是0,3．
(2)当q为真命题时，则Δ=4−4m>0，解得m<1.
∵p，q有且只有一个真命题，
∴0≤m≤3，m≥1或m<0或m>3, m<1，
解得1≤m≤3或m<0，
故所求实数m的取值范围是m<0或1≤m≤3．
【答案】
解：(1)设所求椭圆方程为mx2+ny2=1（m>0，n>0，m≠0），
因为该椭圆过点P1,6，Q−2,3，
所以m+6n=1,2m+3n=1,解得m=13，n=19，
因此所求椭圆的方程为x23+y29=1．
(2)由已知c=2及点P3,7在双曲线C上得a2+b2=4,32a2−72b2=1,
解得a2=2，b2=2，
所以，双曲线C的方程为x22−y22=1．
【考点】
椭圆的标准方程
双曲线的标准方程
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)设所求椭圆方程为mx2+ny2=1（m>0，n>0，m≠0），
因为该椭圆过点P1,6，Q−2,3，
所以m+6n=1,2m+3n=1,解得m=13，n=19，
因此所求椭圆的方程为x23+y29=1．
(2)由已知c=2及点P3,7在双曲线C上得a2+b2=4,32a2−72b2=1,
解得a2=2，b2=2，
所以，双曲线C的方程为x22−y22=1．
【答案】
解：1设A(x1, y1)，B(x2, y2)．
联立y=k(x+1),y2=−x,
∵ k≠0，
∴ 可化为y2+1ky−1=0，∴ Δ>0．
∴ y1+y2=−1k，y1y2=−1．
∴ OA→⋅OB→=x1x2+y1y2
=(1ky1−1)(1ky2−1)+y1y2
=(1k2+1)y1y2−1k(y1+y2)+1
=−(1k2+1)+1k2+1=0，
∴ OA⊥OB．
2由1可得点O到直线AB的距离d=|k|1+k2．
AB=(1+1k2)[(y1+y2)2−4y1y2]
=(1+1k2)[1k2−4×(−1)]
=(1+k2)(1+4k2)k2，
∴ S△OAB=12AB⋅d
=12⋅(1+k2)(1+4k2)k2⋅|k|1+k2
=12⋅1+4k2k=10，
化为36k2=1．
解得k=±16．
【考点】
圆锥曲线的综合问题
抛物线的应用
点到直线的距离公式
【解析】
（1）设A(x1, y1)，B(x2, y2)．联立y=k(x+1)y2=−x，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系和数量积运算即可证明OA→⋅OB→=0；
（2）利用点到直线的距离公式和弦长公式及三角形的面积计算公式即可得出．
【解答】
解：1设A(x1, y1)，B(x2, y2)．
联立y=k(x+1),y2=−x,
∵ k≠0，
∴ 可化为y2+1ky−1=0，∴ Δ>0．
∴ y1+y2=−1k，y1y2=−1．
∴ OA→⋅OB→=x1x2+y1y2
=(1ky1−1)(1ky2−1)+y1y2
=(1k2+1)y1y2−1k(y1+y2)+1
=−(1k2+1)+1k2+1=0，
∴ OA⊥OB．
2由1可得点O到直线AB的距离d=|k|1+k2．
AB=(1+1k2)[(y1+y2)2−4y1y2]
=(1+1k2)[1k2−4×(−1)]
=(1+k2)(1+4k2)k2，
∴ S△OAB=12AB⋅d
=12⋅(1+k2)(1+4k2)k2⋅|k|1+k2
=12⋅1+4k2k=10，
化为36k2=1．
解得k=±16．
【答案】
解：1当0L(x)=500x−10x2−100x−2500
=−10x2+400x−2500；
当x≥40时，
L(x)=500x−501x− 10000x + 4500−2500
=2000−(x + 10000x)；
∴L(x)=−10x2+400x−2500,02当0∴ 当x=20时，L(x)max=L(20)=1500；
当x≥40时，L(x)=2000−(x + 10000x)
≤2000−2x ⋅ 10000x = 2000−200=1800，
当且仅当x = 10000x，即x=100时，L(x)max=L(100)=1800>1500，
∴ 当x=100时，即2018年生产100百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为1800万元．
【考点】
根据实际问题选择函数类型
分段函数的应用
函数的最值及其几何意义
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
（1）根据年利润＝销售额-投入的总成本-固定成本，分0（2）当0
【解答】
解：1当0L(x)=500x−10x2−100x−2500
=−10x2+400x−2500；
当x≥40时，
L(x)=500x−501x− 10000x + 4500−2500
=2000−(x + 10000x)；
∴L(x)=−10x2+400x−2500,02当0∴ 当x=20时，L(x)max=L(20)=1500；
当x≥40时，L(x)=2000−(x + 10000x)
≤2000−2x ⋅ 10000x = 2000−200=1800，
当且仅当x = 10000x，即x=100时，L(x)max=L(100)=1800>1500，
∴ 当x=100时，即2018年生产100百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为1800万元．
【答案】
解：(1)由题意，得ca=22,a2=1+c2,解得a=2,c=1,
故椭圆的标准方程为x22+y2=1．
(2)设Ex1,y1，Fx2,y2，线段EF的中点为Mx0,y0，
联立y=x+m，x22+y2=1，消去y得3x2+4mx+2m2−2=0，
x0=x1+x22=−2m3，y0=x0+m=m3，
即M−2m3,m3，
Δ=4m2−4×3×2m2−2>0⇒−3又因为点M在圆x2+y2=1上，
所以−2m32+m32=1，
解得m=±355，满足题意．
【考点】
椭圆的标准方程
椭圆的离心率
与椭圆有关的中点弦及弦长问题
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)由题意，得ca=22,a2=1+c2,解得a=2,c=1,
故椭圆的标准方程为x22+y2=1．
(2)设Ex1,y1，Fx2,y2，线段EF的中点为Mx0,y0，
联立y=x+m，x22+y2=1，消去y得3x2+4mx+2m2−2=0，
x0=x1+x22=−2m3，y0=x0+m=m3，
即M−2m3,m3，
Δ=4m2−4×3×2m2−2>0⇒−3又因为点M在圆x2+y2=1上，
所以−2m32+m32=1，
解得m=±355，满足题意．
【答案】
解：(1)当过P点与抛物线相切时,即Q为切点时，∠OPQ最大,
显然切线的斜率存在且不为0，设过P的切线方程为：x=my−4，
联立切线与抛物线的方程： x = my − 4, y2 = 4x,
整理可得：y2−4my+16=0,
则Δ=16m2−4×16=0,
解得：m=±2，
所以∠OPQ最大时求直线l的方程为：x=±2y−4，
即x+2y+4=0或x−2y+4=0.
2假设存在这样的M满足条件，设M(n, 0),
因为点M到直线AP，BP的距离相等,
所以M为∠APB的角平分线上的点，所以∠APM=∠BPM，
所以kAP+kBP=0,
设过M的直线方程为：x=ty+n，A(x1, y1)，B(x2, y2)，
联立直线与抛物线的方程： x = ty + n, y2 = 4x,
整理可得：y2−4ty−4n=0，y1+y2=4t，y1y2=−4n,
kAP+kBP = y1x1 + 4 + y2x2 + 4
= y1(x2 + 4) + y2(x1 + 4)(x1 + 4)(x2 + 4)
= y1(ty2 + n + 4) + y2(ty1 + n + 4)(x1 + 4)(x2 + 4)
= 2ty1y2 + (n + 4)(y1 + y2)(x1 + 4)(x2 + 4) = 0，
所以2ty1y2+(n+4)(y1+y2)=0，即2t⋅(−4n)+(n+4)⋅4t=0，
整理可得t(n−4)=0,
所以不论t为何值，n=4时都符合条件,
所以x轴上存在M(4, 0)使得点M到直线AP，BP的距离相等．
【考点】
抛物线的标准方程
直线与抛物线的位置关系
圆锥曲线的综合问题
【解析】
（1）要使∠OPQ最大时，则过P的直线与抛物线相切，设过P的切线方程，与抛物线联立，由判别式等于0可得直线方程；
（2）假设存在，由点M到直线AP、BP的距离相等可得M在∠APB的角平分线上，所以∠APM＝∠BPM，即kAP+kBP＝0，设直线AB的方程与抛物线联立求出两根之和及两根之积，再求kAP+kBP的表达式，使其值为0，可得t(n−4)＝0恒成立，与t值无关时，n＝4，即求出定点M的坐标．
【解答】
解：(1)当过P点与抛物线相切时,即Q为切点时，∠OPQ最大,
显然切线的斜率存在且不为0，设过P的切线方程为：x=my−4，
联立切线与抛物线的方程： x = my − 4, y2 = 4x,
整理可得：y2−4my+16=0,
则Δ=16m2−4×16=0,
解得：m=±2，
所以∠OPQ最大时求直线l的方程为：x=±2y−4，
即x+2y+4=0或x−2y+4=0.
2假设存在这样的M满足条件，设M(n, 0),
因为点M到直线AP，BP的距离相等,
所以M为∠APB的角平分线上的点，所以∠APM=∠BPM，
所以kAP+kBP=0,
设过M的直线方程为：x=ty+n，A(x1, y1)，B(x2, y2)，
联立直线与抛物线的方程： x = ty + n, y2 = 4x,
整理可得：y2−4ty−4n=0，y1+y2=4t，y1y2=−4n,
kAP+kBP = y1x1 + 4 + y2x2 + 4
= y1(x2 + 4) + y2(x1 + 4)(x1 + 4)(x2 + 4)
= y1(ty2 + n + 4) + y2(ty1 + n + 4)(x1 + 4)(x2 + 4)
= 2ty1y2 + (n + 4)(y1 + y2)(x1 + 4)(x2 + 4) = 0，
所以2ty1y2+(n+4)(y1+y2)=0，即2t⋅(−4n)+(n+4)⋅4t=0，
整理可得t(n−4)=0,
所以不论t为何值，n=4时都符合条件,
所以x轴上存在M(4, 0)使得点M到直线AP，BP的距离相等．
1. 已知命题p:∃x∈R,x2−x+1≥0；命题q：若a2
2. 已知双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的离心率是2，则其渐近线方程为（ ）
A.3x±y=0B.x±3y=0C.2x±y=0D.x±2y=0
3. 已知点P(6, y)在抛物线y2=2px(p>0)上，若点P到抛物线的焦点F的距离等于8，则焦点F到抛物线准线的距离等于（ ）
A.2B.1C.4D.8
4. 在同一坐标系中，方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0(a>b>0)的曲线大致是（ ）
A.B.C.D.
5. 已知斜率为k的直线l与抛物线C:y2=4x交于A，B两点，线段AB的中点为M2,1，则直线l的方程为( )
A.2x−y−3=0B.2x−y−5=0C.x−2y=0D.x−y−1=0
6. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点为A，左、右两焦点分别为F1，F2，若△AF1F2为等边三角形，则椭圆C的离心率为（ ）
A.12B.22C.13D.33
7. 若直线l:y=kx+2与双曲线C:x2−y2=4的左、右两支各有一个交点，则实数k的取值范围是（ ）
A.−2,−1B.1,2C.−2,2D.−1,1
8. 已知F是椭圆C:x24+y23=1的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点Q4,4，则|PQ|+|PF|的最大值为( )
A.213+1B.9C.41D.5
9. A是抛物线y2=2pxp>0上的一点，F为抛物线的焦点，0为坐标原点，当|AF|=4时， ∠OFA=60∘，则抛物线的准线方程是（ ）
A.x=−1B.y=−1C.x=−3D.x=3
10. 抛物线y=−x2上的点到直线4x+3y−8=0距离的最小值是（ ）
A.43B.75C.85D.3
11. 设椭圆C:x29+y24=1的左、右焦点分别为F1,F2，以F1F2为直径的圆与C在第一象限的交点为P，则直线PF1的斜率为（ ）
A.13B.12C.33D.32
12. 已知F为双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>b>0)的右焦点，A，B是双曲线C的一条渐近线上关于原点对称的两点，AF⊥BF，且AF的中点在双曲线C上，则C的离心率为（ ）
A.3+1B.3−1C.5−1D.5+1
二、填空题
“m=2”是“椭圆x26+y2m=1焦距为4”的________（用“充要、充分不必要、必要不充分、既不充分又不必要”条件填空）.
已知双曲线C:x2a2−y2b2=1 (a>0, b>0)的一条渐近线方程为y=52x，且与椭圆x212+y23=1有公共焦点，则C的方程为________.
若点O和点F分别为椭圆x24+y23=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP→⋅FP→的最大值为________.
过抛物线C:y2=2pxp>0的焦点F的直线l与抛物线交于M，N两点，若MF→=4FN→，则直线l的斜率为________.
三、解答题
已知m∈R，命题p:∀x∈0,1，x≥m2−3m恒成立；命题q：存在x∈R，使得−x2+2x−m>0.
(1)若p为真命题，求m的取值范围；
(2)若p，q有且只有一个真命题，求实数m的取值范围．
(1)求过点P1,6,Q−2,3的椭圆的标准方程；
(2)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的两个焦点为F1−2,0,F22,0，点P3,7在双曲线C上，求双曲线C的方程．
已知O为坐标原点，抛物线y2=−x与直线y=kx+1相交于A，B两点．
(1)求证：OA⊥OB；
(2)当△OAB的面积等于10时，求实数k的值．
十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划．2018年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元，每生产x（百辆），需另投入成本C(x)万元，且C(x)=10x2+100x,0
22018年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
已知椭圆E: x2a2+y2=1a>1的离心率为22.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线l:x−y+m=0与椭圆交于E，F两点，且线段EF的中点在圆x2+y2=1上，求m的值．
已知点O(0, 0)、点P(−4, 0)及抛物线C:y2=4x．
1若直线l过点P及抛物线C上一点Q，当∠OPQ最大时，求直线l的方程；
2x轴上是否存在点M，使得过点M的任一条直线与抛物线C交于点A，B，且点M到直线AP，BP的距离相等？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
2020-2021学年云南省邵通市高二（上）12月月考数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
复合命题及其真假判断
逻辑联结词“或”“且”“非”
【解析】
分别判断出p，q的真假，从而判断复合命题的真假即可．
【解答】
解：当x=0时，x2−x+1≥0成立，
故命题p：∃x∈R， x2−x+1≥0，是真命题；
若a2
故选B．
2.
【答案】
A
【考点】
双曲线的渐近线
双曲线的离心率
【解析】
利用离心率求得ba,由此求得渐近线方程.
【解答】
解:依题意，ca=1+b2a2=2，ba=3,
所以渐近线方程为y=±3x,即3x±y=0.
故选A.
3.
【答案】
C
【考点】
抛物线的定义
抛物线的标准方程
【解析】
利用抛物线的定义可求得p，即点F到抛物线准线的距离．
【解答】
解：根据抛物线的定义得PF=6+p2=8，
∴ p=4．即点F到抛物线准线的距离等于4．
故选C．
4.
【答案】
D
【考点】
椭圆的定义
抛物线的定义
【解析】
【解答】
解：由a>b>0,
椭圆a2x2+b2y2=1，即x21a2+y21b2=1，焦点在y轴上；
抛物线ax+by2=0，即y2=−abx，焦点在x轴的负半轴上.
分析可得，D符合，
故选D．
5.
【答案】
A
【考点】
与抛物线有关的中点弦及弦长问题
【解析】
本题通过交点A、B以及线段AB的中点M2,1求出直线的斜率，最后求出直线。
【解答】
解：设Ax1,y1，x2,y2，
由题意，得y1+y2=2×1=2，x1+x2=2×2=4，
联立y12=4x1,y22=4x2,
⇒y2−y1x2−x1=4y1+y2=42=2，
∴ k=2.
∵ 直线过点M2,1，
∴ 直线l的方程为y−1=2(x−2)，即2x−y−3=0.
故选A.
6.
【答案】
A
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
利用已知条件列出方程，求出a、c关系，然后求解离心率即可．
【解答】
解：由椭圆的对称性知b=3c，
即b2=3c2.
又a2=b2+c2，
可得a=2c，
所以e=12．
故选A.
7.
【答案】
D
【考点】
直线与双曲线结合的最值问题
【解析】
当直线y=kx+2与双曲线x2−y2=4的渐近线y=±x平行时，k=±1，所以直线y=kx+2与双曲线x2−y2=4的左右两支各有一个交点时得−1
解：当直线y=kx+2与双曲线x2−y2=4的渐近线y=±x平行时，k=±1，
所以直线y=kx+2与双曲线x2−y2=4的左右两支各有一个交点时得−1
8.
【答案】
B
【考点】
椭圆的定义
【解析】
设椭圆的右焦点为F′，则依据椭圆定义有
PF+PQ=4−PF′+PQ=PQ−PF′+4.
而点P在椭圆外，所以求出PQ−PF′的最大值
即可解决.
【解答】
解：设椭圆的右焦点为F′，则依据椭圆定义有
PF+PQ=4−PF′+PQ=PQ−PF′+4.
而点P在椭圆外，所以PQ−PF′≤QF′=5，
当且仅当P在线段QF′上时取最大值.
所以PQ+PF的最大值为9.
故选B.
9.
【答案】
C
【考点】
抛物线的定义
抛物线的标准方程
【解析】
利用直线与抛物线的方程联立后求得抛物线方程，即可求解.
【解答】
解：由题意可知Fp2,0，
因为∠OFA=60∘，所以A的横坐标为p2−2，
则p2+p2−2=4，
解得p=6，
所以抛物线的方程是y2=12x，准线方程是x=−3.
故选C.
10.
【答案】
A
【考点】
点到直线的距离公式
两条直线平行与倾斜角、斜率的关系
直线与抛物线结合的最值问题
【解析】
首先判断出直线和抛物线无交点，然后设出与直线平行的直线方程，可抛物线方程联立后由判别式等于0求出切线方程，然后由两条平行线间的距离求出抛物线y=−x2上的一点到直线4x+3y−8=0的距离的最小值．
【解答】
解：由y=−x2，4x+3y−8=0，得3x2−4x+8=0，
则Δ=(−4)2−4×3×8=−80<0，
所以直线4x+3y−8=0与抛物线y=−x2无交点．
设与直线4x+3y−8=0平行的直线为4x+3y+m=0，
联立y=−x2，4x+3y+m=0，得3x2−4x−m=0，
由Δ=(−4)2−4×3(−m)=16+12m=0，
得m=−43，
所以与直线4x+3y−8=0平行且与抛物线y=−x2相切的直线方程为4x+3y−43=0，
所以抛物线y=−x2上的一点到直线4x+3y−8=0的距离的最小值是|−8−(−43)|42+32=43．
故选A.
11.
【答案】
B
【考点】
椭圆的定义和性质
直线的斜率
【解析】
由椭圆方程求得a与c的值，设|PF1|=m,|PF2|=n, m>n ．则m+n=2a=6,m2+n2=4c2=20，联立求得m，n的值，则直线PF1的斜率可求．
【解答】
解：由椭圆C:x29+y24=1,得
a=3 ，2a=6,c2=a2−b2=5,
设|PF1|=m,|PF2|=nm>n，
则m+n=2a=6，m2+n2=4c2=20，
解得：m=4，n=2，
∴ 直线PF1的斜率为tan∠PF1F2=nm=12.
故选B.
12.
【答案】
C
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
求出双曲线的渐近线方程，推出A的坐标，然后求解AF的中点，代入双曲线方程求解即可．
【解答】
解：∵ AF⊥BF ，∴ △ABF是直角三角形， AO=OB=OF=c.
假设A点在渐近线bx−ay=0上，
设Ax0,bx0ax0>0， Fc,0，
AO2=x02+b2x02a2=c2 ，
解得： x0=a，
∴ Aa,b，设AF的中点为M，则 Mc+a2,b2 ，
∵ 中点M在双曲线C上，代入方程： c+a24a2−b24b2=1，
化简得c+a2=5a2，e2+2e−4=0则e=5−1.
故选C.
二、填空题
【答案】
充分不必要条件
【考点】
椭圆的定义和性质
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
利用椭圆的性质，求出m，再判断充要性即可.
【解答】
解：若椭圆x26+y2m=1焦距为4，则6−m=4或m−6=4，
解得m=2或10，
故“m=2”是“椭圆x26+y2m=1焦距为4”的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要条件.
【答案】
x24−y25=1
【考点】
双曲线的标准方程
【解析】
求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程，求出双曲线实半轴与虚半轴的长，即可得到双曲线方程．
【解答】
解：椭圆x212+y23=1的焦点坐标(±3, 0)，
则双曲线的焦点坐标为(±3, 0)，可得c=3，
双曲线C:x2a2−y2b2=1 (a>0, b>0)的一条渐近线方程为y=52x，
可得ba=52，即c2−a2a2=54，
可得ca=32，解得a=2，b=5，
所求的双曲线方程为：x24−y25=1．
故答案为：x24−y25=1．
【答案】
6
【考点】
椭圆的标准方程
平面向量数量积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解： 由椭圆x24+y23=1，得F(−1,0).
设P(x,y)(−2≤x≤2)，因为点O(0,0)，
所以OP→⋅FP→=x2+x+y2=x2+x+31−x24
=14x2+x+3=14(x+2)2+2(−2≤x≤2)，
当且仅当x=2时，OP→⋅FP→取得最大值6.
故答案为：6.
【答案】
±43
【考点】
直线的斜率
抛物线的性质
【解析】
作MB垂直于准线于B，作NC垂直于准线于C，
作NA垂直MB于A，根据抛物线定义可得直线的斜率.
【解答】
解：如图，若点M在第一象限，作MB垂直于准线于B，作NC垂直于准线于C.
由抛物线定义可得，MB=MF，NC=NF，
作NA垂直MB于A，设|FN|=m，
则|MF|=4m，|MN|=5m，
|AM|=|BM|−|AB|=|MF|−|NF|=3m，
在直角三角形中AMN，
AN=4m，
所以tan∠NMA=ANAM=43.
同理，若点M在第四象限可得斜率=−43，
所以直线l的斜率为±43.
故答案为:±43.
三、解答题
【答案】
解：(1)∵∀x∈0,1，x≥m2−3m，
∴m2−3m≤0，解得0≤m≤3，
故实数m的取值范围是0,3．
(2)当q为真命题时，则Δ=4−4m>0，解得m<1.
∵p，q有且只有一个真命题，
∴0≤m≤3，m≥1或m<0或m>3, m<1，
解得1≤m≤3或m<0，
故所求实数m的取值范围是m<0或1≤m≤3．
【考点】
复合命题及其真假判断
一元二次不等式的解法
【解析】
【解答】
解：(1)∵∀x∈0,1，x≥m2−3m，
∴m2−3m≤0，解得0≤m≤3，
故实数m的取值范围是0,3．
(2)当q为真命题时，则Δ=4−4m>0，解得m<1.
∵p，q有且只有一个真命题，
∴0≤m≤3，m≥1或m<0或m>3, m<1，
解得1≤m≤3或m<0，
故所求实数m的取值范围是m<0或1≤m≤3．
【答案】
解：(1)设所求椭圆方程为mx2+ny2=1（m>0，n>0，m≠0），
因为该椭圆过点P1,6，Q−2,3，
所以m+6n=1,2m+3n=1,解得m=13，n=19，
因此所求椭圆的方程为x23+y29=1．
(2)由已知c=2及点P3,7在双曲线C上得a2+b2=4,32a2−72b2=1,
解得a2=2，b2=2，
所以，双曲线C的方程为x22−y22=1．
【考点】
椭圆的标准方程
双曲线的标准方程
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)设所求椭圆方程为mx2+ny2=1（m>0，n>0，m≠0），
因为该椭圆过点P1,6，Q−2,3，
所以m+6n=1,2m+3n=1,解得m=13，n=19，
因此所求椭圆的方程为x23+y29=1．
(2)由已知c=2及点P3,7在双曲线C上得a2+b2=4,32a2−72b2=1,
解得a2=2，b2=2，
所以，双曲线C的方程为x22−y22=1．
【答案】
解：1设A(x1, y1)，B(x2, y2)．
联立y=k(x+1),y2=−x,
∵ k≠0，
∴ 可化为y2+1ky−1=0，∴ Δ>0．
∴ y1+y2=−1k，y1y2=−1．
∴ OA→⋅OB→=x1x2+y1y2
=(1ky1−1)(1ky2−1)+y1y2
=(1k2+1)y1y2−1k(y1+y2)+1
=−(1k2+1)+1k2+1=0，
∴ OA⊥OB．
2由1可得点O到直线AB的距离d=|k|1+k2．
AB=(1+1k2)[(y1+y2)2−4y1y2]
=(1+1k2)[1k2−4×(−1)]
=(1+k2)(1+4k2)k2，
∴ S△OAB=12AB⋅d
=12⋅(1+k2)(1+4k2)k2⋅|k|1+k2
=12⋅1+4k2k=10，
化为36k2=1．
解得k=±16．
【考点】
圆锥曲线的综合问题
抛物线的应用
点到直线的距离公式
【解析】
（1）设A(x1, y1)，B(x2, y2)．联立y=k(x+1)y2=−x，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系和数量积运算即可证明OA→⋅OB→=0；
（2）利用点到直线的距离公式和弦长公式及三角形的面积计算公式即可得出．
【解答】
解：1设A(x1, y1)，B(x2, y2)．
联立y=k(x+1),y2=−x,
∵ k≠0，
∴ 可化为y2+1ky−1=0，∴ Δ>0．
∴ y1+y2=−1k，y1y2=−1．
∴ OA→⋅OB→=x1x2+y1y2
=(1ky1−1)(1ky2−1)+y1y2
=(1k2+1)y1y2−1k(y1+y2)+1
=−(1k2+1)+1k2+1=0，
∴ OA⊥OB．
2由1可得点O到直线AB的距离d=|k|1+k2．
AB=(1+1k2)[(y1+y2)2−4y1y2]
=(1+1k2)[1k2−4×(−1)]
=(1+k2)(1+4k2)k2，
∴ S△OAB=12AB⋅d
=12⋅(1+k2)(1+4k2)k2⋅|k|1+k2
=12⋅1+4k2k=10，
化为36k2=1．
解得k=±16．
【答案】
解：1当0
=−10x2+400x−2500；
当x≥40时，
L(x)=500x−501x− 10000x + 4500−2500
=2000−(x + 10000x)；
∴L(x)=−10x2+400x−2500,0
当x≥40时，L(x)=2000−(x + 10000x)
≤2000−2x ⋅ 10000x = 2000−200=1800，
当且仅当x = 10000x，即x=100时，L(x)max=L(100)=1800>1500，
∴ 当x=100时，即2018年生产100百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为1800万元．
【考点】
根据实际问题选择函数类型
分段函数的应用
函数的最值及其几何意义
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
（1）根据年利润＝销售额-投入的总成本-固定成本，分0
【解答】
解：1当0
=−10x2+400x−2500；
当x≥40时，
L(x)=500x−501x− 10000x + 4500−2500
=2000−(x + 10000x)；
∴L(x)=−10x2+400x−2500,0
当x≥40时，L(x)=2000−(x + 10000x)
≤2000−2x ⋅ 10000x = 2000−200=1800，
当且仅当x = 10000x，即x=100时，L(x)max=L(100)=1800>1500，
∴ 当x=100时，即2018年生产100百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为1800万元．
【答案】
解：(1)由题意，得ca=22,a2=1+c2,解得a=2,c=1,
故椭圆的标准方程为x22+y2=1．
(2)设Ex1,y1，Fx2,y2，线段EF的中点为Mx0,y0，
联立y=x+m，x22+y2=1，消去y得3x2+4mx+2m2−2=0，
x0=x1+x22=−2m3，y0=x0+m=m3，
即M−2m3,m3，
Δ=4m2−4×3×2m2−2>0⇒−3
所以−2m32+m32=1，
解得m=±355，满足题意．
【考点】
椭圆的标准方程
椭圆的离心率
与椭圆有关的中点弦及弦长问题
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)由题意，得ca=22,a2=1+c2,解得a=2,c=1,
故椭圆的标准方程为x22+y2=1．
(2)设Ex1,y1，Fx2,y2，线段EF的中点为Mx0,y0，
联立y=x+m，x22+y2=1，消去y得3x2+4mx+2m2−2=0，
x0=x1+x22=−2m3，y0=x0+m=m3，
即M−2m3,m3，
Δ=4m2−4×3×2m2−2>0⇒−3
所以−2m32+m32=1，
解得m=±355，满足题意．
【答案】
解：(1)当过P点与抛物线相切时,即Q为切点时，∠OPQ最大,
显然切线的斜率存在且不为0，设过P的切线方程为：x=my−4，
联立切线与抛物线的方程： x = my − 4, y2 = 4x,
整理可得：y2−4my+16=0,
则Δ=16m2−4×16=0,
解得：m=±2，
所以∠OPQ最大时求直线l的方程为：x=±2y−4，
即x+2y+4=0或x−2y+4=0.
2假设存在这样的M满足条件，设M(n, 0),
因为点M到直线AP，BP的距离相等,
所以M为∠APB的角平分线上的点，所以∠APM=∠BPM，
所以kAP+kBP=0,
设过M的直线方程为：x=ty+n，A(x1, y1)，B(x2, y2)，
联立直线与抛物线的方程： x = ty + n, y2 = 4x,
整理可得：y2−4ty−4n=0，y1+y2=4t，y1y2=−4n,
kAP+kBP = y1x1 + 4 + y2x2 + 4
= y1(x2 + 4) + y2(x1 + 4)(x1 + 4)(x2 + 4)
= y1(ty2 + n + 4) + y2(ty1 + n + 4)(x1 + 4)(x2 + 4)
= 2ty1y2 + (n + 4)(y1 + y2)(x1 + 4)(x2 + 4) = 0，
所以2ty1y2+(n+4)(y1+y2)=0，即2t⋅(−4n)+(n+4)⋅4t=0，
整理可得t(n−4)=0,
所以不论t为何值，n=4时都符合条件,
所以x轴上存在M(4, 0)使得点M到直线AP，BP的距离相等．
【考点】
抛物线的标准方程
直线与抛物线的位置关系
圆锥曲线的综合问题
【解析】
（1）要使∠OPQ最大时，则过P的直线与抛物线相切，设过P的切线方程，与抛物线联立，由判别式等于0可得直线方程；
（2）假设存在，由点M到直线AP、BP的距离相等可得M在∠APB的角平分线上，所以∠APM＝∠BPM，即kAP+kBP＝0，设直线AB的方程与抛物线联立求出两根之和及两根之积，再求kAP+kBP的表达式，使其值为0，可得t(n−4)＝0恒成立，与t值无关时，n＝4，即求出定点M的坐标．
【解答】
解：(1)当过P点与抛物线相切时,即Q为切点时，∠OPQ最大,
显然切线的斜率存在且不为0，设过P的切线方程为：x=my−4，
联立切线与抛物线的方程： x = my − 4, y2 = 4x,
整理可得：y2−4my+16=0,
则Δ=16m2−4×16=0,
解得：m=±2，
所以∠OPQ最大时求直线l的方程为：x=±2y−4，
即x+2y+4=0或x−2y+4=0.
2假设存在这样的M满足条件，设M(n, 0),
因为点M到直线AP，BP的距离相等,
所以M为∠APB的角平分线上的点，所以∠APM=∠BPM，
所以kAP+kBP=0,
设过M的直线方程为：x=ty+n，A(x1, y1)，B(x2, y2)，
联立直线与抛物线的方程： x = ty + n, y2 = 4x,
整理可得：y2−4ty−4n=0，y1+y2=4t，y1y2=−4n,
kAP+kBP = y1x1 + 4 + y2x2 + 4
= y1(x2 + 4) + y2(x1 + 4)(x1 + 4)(x2 + 4)
= y1(ty2 + n + 4) + y2(ty1 + n + 4)(x1 + 4)(x2 + 4)
= 2ty1y2 + (n + 4)(y1 + y2)(x1 + 4)(x2 + 4) = 0，
所以2ty1y2+(n+4)(y1+y2)=0，即2t⋅(−4n)+(n+4)⋅4t=0，
整理可得t(n−4)=0,
所以不论t为何值，n=4时都符合条件,
所以x轴上存在M(4, 0)使得点M到直线AP，BP的距离相等．
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