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2020-2021学年云南省宣威市某校高二（下）月考数学（理）试卷
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这是一份2020-2021学年云南省宣威市某校高二（下）月考数学（理）试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知m>0，设集合M=x||x|A.12B.1C.2D.52
2. 已知平面α内的两个向量a→=(1,1,1)，b→=(0,2,−1)，且c→=ma→+nb→+(4,−4,1).若c→为平面α的法向量，则m，n的值分别为( )
A.−1，−2B.1，−2C.1，2D.−1，2
3. 函数fx=2x2−1在区间1,1+Δx上的平均变化率ΔyΔx等于( )
A.4B.4+2ΔxC.4+2Δx2D.4x
4. “游客甲在海南省”是“游客甲在三亚市”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5. 若a=lg30.3，b=lg0.30.2，c=0.20.3，则( )
A.a
6. 执行如图所示的程序框图，若输出的S=30，则判断框中可填（ ）
A.i≥5?B.i≥6？C.i>6?D.i≥7?
7. 若将函数y=2sin2x的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）
A.x=kπ2−π6(k∈Z)B.x=kπ2+π6(k∈Z)
C.x=kπ2−π12(k∈Z)D.x=kπ2+π12(k∈Z)
8. 若直线l与直线y=1，x=7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1, −1)，则直线l的斜率为（ ）
A.13B.−13C.−32D.23
9. 已知圆M:x2+y2−2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：(x−1)2+(y−1)2=1的位置关系是( )
A.内切B.相交C.外切D.相离
10. 已知抛物线x2=2pyp>0的焦点为F，直线l为准线，点E在抛物线上．若点E在直线l上的射影为Q，且Q在第四象限，|FQ|=2p，则直线FE的斜率为（ ）
A.32B.33C.3D.1
11. 函数f(x)=ln(x2−2x−8)的单调递增区间是( )
A.(−∞,−2)B.(−∞,1)C.(1,+∞)D.(4,+∞)
12. 如图，F1，F2分别是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右两支分别交于点A，B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线C的离心率为（ ）
A.4B.7C.233D.3
二、填空题
对于实数a，b，c，有下列说法：
①若a>b，则ac②若ac2>bc2，则a>b；
③若aab>b2；
④若a>b，1a>1b，则a>0，b<0．
其中正确的是________.（填序号）
在等差数列{an}中，2(a1+a4+a7)+3(a9+a11)=24，则该数列的前13项和S13等于________.
若x，y满足约束条件 2x−y−1≥0,x+y−5≤0,y≥1,则z=x2−4x+4+y2的取值范围是________．
若点O和点F分别为椭圆x24+y23=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP→⋅FP→的最大值为________.
三、解答题
已知A，B，C为△ABC的三个内角，a→=(sinB+csB, csC)，b→=(sinC, sinB−csB)．
(1)若a→⋅b→=0，求角A；
(2)若a→⋅b→=−15，求tan2A．
已知函数f(x)=2sin2(π4+x)−3cs2x.
(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)若关于x的方程f(x)−m=2在x∈[π4, π2]上有解，求实数m的取值范围．
已知各项均为正数的等差数列an和等比数列bn满足a1=b1=1，且a2⋅a3=6，b2⋅b3=a8.
(1)求数列an ，{bn}的通项公式；
(2)若cn=1a2nlg2bn+2，求c1+c2+⋯+cn.
如图所示，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形， PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，点M是PD的中点．
(1)求证： PD⊥BM．
(2)求直线CD与平面ACM所成角的正弦值．
某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如下表所示：
(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；
(2)求出y关于x的线性回归直线方程y=bx+a，并在坐标系中画出回归直线；
(3)试预测加工10个零件需要多少时间？
已知直线x+y=1过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点，且交椭圆于A，B两点，线段AB的中点是M(23,13).
(1)求椭圆的方程；
(2)过原点的直线l与线段AB相交（不含端点）且交椭圆于C，D两点，求四边形ACBD面积的最大值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年云南省宣威市某校高二（下）月考数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
并集及其运算
集合关系中的参数取值问题
【解析】
无
【解答】
解：因为M={x||x|N={x|2x2−3x<0}=x|0且M∪N={x|−1所以m=1，n=32，
所以m+n=52．
故选D．
2.
【答案】
D
【考点】
平面向量的坐标运算
平面的法向量
【解析】
根据若c为平面α的法向量，的条件，可得c→⋅a→=0，c→⋅b→=0，由此求得m，n的值．
【解答】
解：c→=ma→+nb→+4,−4,1
=m,m,m+0,2n,−n+4,−4,1
=m+4,m+2n−4,m−n+1，
由c→为平面α的法向量，得c→⋅a→=0,c→⋅b→=0,
即3m+n+1=0,m+5n−9=0,
解得m=−1,n=2.
故选D．
3.
【答案】
B
【考点】
变化的快慢与变化率
【解析】
明确△y的意义，根据函数的解析式求出△y的表达式，即可得到答案．
【解答】
解：∵ Δy=[2(1+Δx)2−1]−(2−1)=2(Δx)2+4Δx，
∴ ΔyΔx=4+2Δx.
故选B．
4.
【答案】
B
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
根据三亚与海南省的关系，结合充分条件和必要条件的关系判定．
【解答】
解：因为三亚是海南省的一个地级市，
所以如果甲在三亚市，那么甲必在海南省，反之不成立.
故选B．
5.
【答案】
C
【考点】
指数式、对数式的综合比较
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：b=lg0.30.2>，
0又a=lg30.3<0，
∴a故选C.
6.
【答案】
B
【考点】
程序框图
【解析】
无
【解答】
解：模拟执行程序框图，S=0，i=1，此时条件不成立，得到S=2×1=2，i=2；
此时条件不成立，得到S=2+2×2=6，i=3；
此时条件不成立，得到S=6+2×3=12，i=4；
此时条件不成立，得到S=12+2×4=20，i=5；
此时条件不成立，得到S=20+2×5=30，i=6；
此时条件成立，输出S=30，
结合选项可知判断框中可填“i≥6?”.
故选B．
7.
【答案】
B
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
正弦函数的对称性
【解析】
利用函数y=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0)的图象的变换及正弦函数的对称性可得答案．
【解答】
解：将函数y=2sin2x的图象向左平移π12个单位长度，
得到y=2sin2(x+π12)=2sin(2x+π6)，
由2x+π6=kπ+π2(k∈Z)得：x=kπ2+π6(k∈Z)，
即平移后的图象的对称轴方程为x=kπ2+π6(k∈Z)，
故选B.
8.
【答案】
B
【考点】
直线的斜率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：依题意，设点P(a,1)，Q(7,b)，则有a+7=2，b+1=−2，
解得a=−5，b=−3，
所以直线l的斜率为−3−17+5=−13．
故选B．
9.
【答案】
B
【考点】
圆与圆的位置关系及其判定
直线与圆的位置关系
【解析】
根据直线与圆相交的弦长公式，求出a的值，结合两圆的位置关系进行判断即可．
【解答】
解：圆的标准方程为M:x2+(y−a)2=a2(a>0)，
则圆心为(0, a)，半径R=a，
圆心到直线x+y=0的距离d=a2，
∵ 圆M:x2+y2−2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是22，
∴ 2R2−d2=2a2−a22=2a22=22，
即a22=2，即a2=4，a=2，
则圆心为M(0, 2)，半径R=2，
圆N：(x−1)2+(y−1)2=1的圆心为N(1, 1)，半径r=1，
则MN=12+12=2，
∵ R+r=3，R−r=1，
∴ R−r即两个圆相交．
故选B.
10.
【答案】
B
【考点】
直线的倾斜角
抛物线的定义
抛物线的性质
【解析】
无
【解答】
解：如图所示，由题意知，点E位于第一象限，连接EQ，
设准线l与y轴的交点为S，
则|FS|=p．
因为|FQ|=2p，
所以|FQ|=2|FS|，
所以∠FQS=30∘，
所以∠FQE=60∘．
由抛物线的定义可知|EF|=|EQ|，
所以△EFQ为等边三角形，
所以∠FEQ=60∘，
故直线FE的倾斜角为30∘，
故其斜率为33．
故选B．
11.
【答案】
D
【考点】
函数的单调性及单调区间
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ f(x)=ln(x2−2x−8)，
即x2−2x−8>0，
解得x<−2或x>4.
令t=x2−2x−8=(x−1)2−9(x<−2或x>4)，
则t=(x−1)2−9在(−∞,−2)单调递减，在(4,+∞)单调递增.
又∵ y=lnt在(0,+∞)单调递增，
∴ f(x)在(4,+∞)单调递增.
故选D.
12.
【答案】
B
【考点】
双曲线的特性
双曲线的离心率
余弦定理
【解析】
利用双曲线的定义可得可得|AF1|−|AF2|=2a，|BF2|−|BF1|=2a，利用等边三角形的定义可得：|AB|=|AF2|=|BF2|，∠F1AF2=60∘．在△AF1F2中使用余弦定理可得
：|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2−2|AF2|⋅|AF1|cs60∘，再利用离心率的计算公式即可得出．
【解答】
解：∵ △ABF2为等边三角形，∴ |AB|=|AF2|=|BF2|，∠F1AF2=60∘．
由双曲线的定义可得|AF1|−|AF2|=2a，∴ |BF1|=2a．
又|BF2|−|BF1|=2a，∴ |BF2|=4a，
∴ |AF2|=4a，|AF1|=6a．
在△AF1F2中，由余弦定理可得：
|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2−2|AF2|⋅|AF1|cs60∘，
∴ (2c)2=(4a)2+(6a)2−2×4a×6a×12，化为c2=7a2，
∴ e=ca=c2a2=7．
故选B．
二、填空题
【答案】
②③④
【考点】
不等式的基本性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：①中，c的正、负或是否为0未知，因而判断ac与bc 的大小缺乏依据，故①不正确；
②中，由ac2>bc2知， c≠0，故c2>0，所以a>b成立，故②正确；
③中，aab ，
ab2，
所以a2>ab>b2，故③正确；
④中，由已知条件a>b⇒a−b>0,
1a>1b⇒1a−1b>0⇒b−aab>0，
因为b−a<0，所以ab<0.
又因为a>b，所以b<0,a>0，故④正确．
综上可知，②③④是正确的．
故答案为：②③④.
【答案】
26
【考点】
等差数列的性质
等差数列的前n项和
等差数列的通项公式
【解析】
由已知，根据通项公式，能求出a7=2，S13运用求和公式能得出S13=13a7，问题解决．
【解答】
解：∵ 2(a1+a1+3d+a1+6d)+3(a1+8d+a1+10d)
=2(3a1+9d)+3(2a1+18d)
=12a1+72d=24，
∴ a1+6d=2，
即a7=2，
∴ S13=(a1+a13)×132=2a7×132=2×13=26.
故答案为：26.
【答案】
[1,9]
【考点】
简单线性规划
求线性目标函数的最值
【解析】
无
【解答】
解：画出不等式组2x−y−1≥0,x+y−5≤0,y≥1所表示的平面区域，如图中阴影部分,
由2x−y−1=0,x+y−5=0得A(2,3)．
由2x−y−1=0,y=1得B(1,1)．
由x+y−5=0,y=1得C(4,1)．
将z=x2−4x+4+y2化成z=(x−2)2+y2．
设点D(2,0)，过点D作DE⊥BC于点E，
则当以点D(2,0)为圆心的圆经过点A时，z取得最大值，zmax=(2−2)2+32=9，
经过点E(2,1)时，z取得最小值，zmin=(2−2)2+12=1．
所以z的取值范围为[1,9]．
故答案为：[1,9]．
【答案】
6
【考点】
椭圆的标准方程
平面向量数量积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解： 由椭圆x24+y23=1，得F(−1,0).
设P(x,y)(−2≤x≤2)，因为点O(0,0)，
所以OP→⋅FP→=x2+x+y2=x2+x+31−x24
=14x2+x+3=14(x+2)2+2(−2≤x≤2)，
当且仅当x=2时，OP→⋅FP→取得最大值6.
故答案为：6.
三、解答题
【答案】
解：(1)由已知a→⋅b→=0得，
(sinB+csB)sinC+csC(sinB−csB)=0，
化简得sin(B+C)−cs(B+C)=0，
即sinA+csA=0，∴ tanA=−1．
∵ A∈(0, π)，∴ A=34π．
(2)∵ a→⋅b→=−15，
∴ sin(B+C)−cs(B+C)=−15，
∴ sinA+csA=−15．①
平方得2sinAcsA=−2425．
∵ −2425<0，∴ A∈(π2, π)．
∴ sinA−csA=1−2sinAcsA=75．②
联立①②得，sinA=35，csA=−45．
∴ tanA=sinAcsA=−34,
∴ tan2A=2tanA1−tan2A=−247．
【考点】
诱导公式
两角和与差的正弦公式
数量积的坐标表达式
二倍角的正切公式
同角三角函数间的基本关系
【解析】
（1）由数量积为0和三角函数公式化简可得tanA=−1，结合A的范围可得；
（2）由a→⋅b→=−15和（1）可得sinA+csA=−15，再由三角函数知识可得sinA−csA=75，联立可解sinA和csA，由同角三角函数的基本关系可得．
【解答】
解：(1)由已知a→⋅b→=0得，
(sinB+csB)sinC+csC(sinB−csB)=0，
化简得sin(B+C)−cs(B+C)=0，
即sinA+csA=0，∴ tanA=−1．
∵ A∈(0, π)，∴ A=34π．
(2)∵ a→⋅b→=−15，
∴ sin(B+C)−cs(B+C)=−15，
∴ sinA+csA=−15．①
平方得2sinAcsA=−2425．
∵ −2425<0，∴ A∈(π2, π)．
∴ sinA−csA=1−2sinAcsA=75．②
联立①②得，sinA=35，csA=−45．
∴ tanA=sinAcsA=−34,
∴ tan2A=2tanA1−tan2A=−247．
【答案】
解：(1)∵ f(x)=2sin2(π4+x)−3cs2x
=1−cs(π2+2x)−3cs2x
=1+sin2x−3cs2x
=2sin(2x−π3)+1．
∴ f(x)的最小正周期T=π.
令2kπ−π2≤2x−π3≤2kπ+π2(k∈Z)，
解得kπ−π12≤x≤kπ+5π12(k∈Z)，
∴ f(x)的单调递增区间为[kπ−π12, kπ+5π12](k∈Z)．
(2)∵ x∈[π4, π2]，
∴ 2x−π3∈[π6, 2π3]，
∴ sin(2x−π3)∈[12, 1]，
∴ f(x)的值域为[2, 3]，
又f(x)−m=2在x∈[π4, π2]上有解，
∴ m+2∈[2, 3]，
即m∈[0, 1].
【考点】
三角函数中的恒等变换应用
三角函数的周期性及其求法
函数的单调性及单调区间
由函数零点求参数取值范围问题
【解析】
（1）先根据诱导公式以及二倍角公式，辅助角公式对函数化简，再结合正弦函数的周期以及单调性的求法即可得到结论；
（2）先根据正弦函数的单调性求出f(x)的值域，再把方程有解转化为f(x)与m+2的取值范围相同即可求实数m的取值范围．
【解答】
解：(1)∵ f(x)=2sin2(π4+x)−3cs2x
=1−cs(π2+2x)−3cs2x
=1+sin2x−3cs2x
=2sin(2x−π3)+1．
∴ f(x)的最小正周期T=π.
令2kπ−π2≤2x−π3≤2kπ+π2(k∈Z)，
解得kπ−π12≤x≤kπ+5π12(k∈Z)，
∴ f(x)的单调递增区间为[kπ−π12, kπ+5π12](k∈Z)．
(2)∵ x∈[π4, π2]，
∴ 2x−π3∈[π6, 2π3]，
∴ sin(2x−π3)∈[12, 1]，
∴ f(x)的值域为[2, 3]，
又f(x)−m=2在x∈[π4, π2]上有解，
∴ m+2∈[2, 3]，
即m∈[0, 1].
【答案】
解：(1)∵{an}为等差数列，且a1=1，
∴可设公差为d，
则an=1+(n−1)d，
∴a2=1+d，a3=1+2d.
∵a2⋅a3=6，
∴(1+d)(1+2d)=6，
解得d=1或d=−52.
又等差数列{an}各项均为正数，
∴d=−52不合题意，舍去，
∴an=n(n∈N*).
∵{bn}为等比数列，且b1=1，
∴可设公比为q(q≠0)，则bn=qn−1.
∵b2⋅b3=a8=8，
∴q1⋅q2=8，
解得q=2，满足各项均为正数，
∴bn=2n−1(n∈N*)．
(2)由(1)知an=n，bn=2n−1，
∴cn=1a2nlg2bn+2=12n(n+1)=121n−1n+1(n∈N*)，
∴c1+c2+⋯+cn
=12(1−12+12−13+⋯+1n−1n+1)
=121−1n+1
=n2(n+1)(n∈N*)．
【考点】
等差数列的通项公式
等比数列的通项公式
数列的求和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)∵{an}为等差数列，且a1=1，
∴可设公差为d，
则an=1+(n−1)d，
∴a2=1+d，a3=1+2d.
∵a2⋅a3=6，
∴(1+d)(1+2d)=6，
解得d=1或d=−52.
又等差数列{an}各项均为正数，
∴d=−52不合题意，舍去，
∴an=n(n∈N*).
∵{bn}为等比数列，且b1=1，
∴可设公比为q(q≠0)，则bn=qn−1.
∵b2⋅b3=a8=8，
∴q1⋅q2=8，
解得q=2，满足各项均为正数，
∴bn=2n−1(n∈N*)．
(2)由(1)知an=n，bn=2n−1，
∴cn=1a2nlg2bn+2=12n(n+1)=121n−1n+1(n∈N*)，
∴c1+c2+⋯+cn
=12(1−12+12−13+⋯+1n−1n+1)
=121−1n+1
=n2(n+1)(n∈N*)．
【答案】
解：(1)∵ PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，
∴ PA⊥AB．
∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ AB⊥AD，AD∩PA=A，
AD⊂平面PAD，PA⊂平面PAD，
∴ AB⊥平面PAD，
∵ PD⊂平面PAD，
∴ AB⊥PD，
∵ △PAD为等腰直角三角形，M是PD的中点，
∴ AM⊥PD，AB∩AM=A，
AB⊂平面ABM，AM⊂平面ABM，
∴ PD⊥平面ABMM，
又∵ BM⊂平面ABM，
∴ PD⊥BM．
(2)如图所示，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系A−xyz，
则A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(1,0,0)，
C(1,2,0)，D(0,2,0)，M(0,1,1)，
∴ AC→=(1,2,0)，AM→=(0,1,1)，CD→=(−1,0,0)，
设平面ACM的一个法向量为n→=(x,y,z)，
由n→⋅AC→=0,n→⋅AM→=0,可得x+2y=0y+z=0，
令z=1，得x=2，y=−1，
∴ n→=(2,−1,1)．
设直线CD与平面ACM所成的角为α，
则sinα=|csCD→,n→|=|CD→⋅n→||CD→||n→|=|−2|1×6=63，
∴ 直线CD与平面ACM所成的角的余弦值为63．
【考点】
两条直线垂直的判定
用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)∵ PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，
∴ PA⊥AB．
∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ AB⊥AD，AD∩PA=A，
AD⊂平面PAD，PA⊂平面PAD，
∴ AB⊥平面PAD，
∵ PD⊂平面PAD，
∴ AB⊥PD，
∵ △PAD为等腰直角三角形，M是PD的中点，
∴ AM⊥PD，AB∩AM=A，
AB⊂平面ABM，AM⊂平面ABM，
∴ PD⊥平面ABMM，
又∵ BM⊂平面ABM，
∴ PD⊥BM．
(2)如图所示，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系A−xyz，
则A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(1,0,0)，
C(1,2,0)，D(0,2,0)，M(0,1,1)，
∴ AC→=(1,2,0)，AM→=(0,1,1)，CD→=(−1,0,0)，
设平面ACM的一个法向量为n→=(x,y,z)，
由n→⋅AC→=0,n→⋅AM→=0,可得x+2y=0y+z=0，
令z=1，得x=2，y=−1，
∴ n→=(2,−1,1)．
设直线CD与平面ACM所成的角为α，
则sinα=|csCD→,n→|=|CD→⋅n→||CD→||n→|=|−2|1×6=63，
∴ 直线CD与平面ACM所成的角的余弦值为63．
【答案】
解：(1)如图即为所求散点图.
(2)由表中数据得x=2+3+4+54=3.5，
y=2.5+3+4+4.54=3.5，i=14xi2=54，i=14xiyi=52.5，
∴ b=52.5−4×3.5×3.554−4×3.52=0.7，a=3.5−0.7×3.5=1.05，
∴ 所求线性回归方程为y=0.7x+1.05.
∴ 所求回归直线如图所示.
(3)把x=10代入回归直线方程，
得y=0.7×10+1.05=8.05（小时），
∴ 加工10个零件大约需要8.05个小时．
【考点】
散点图
求解线性回归方程
回归分析的初步应用
【解析】
（1）根据表中所给的数据，可得散点图；
（2）求出出横标和纵标的平均数，得到样本中心点，求出对应的横标和纵标的积的和，求出横标的平方和，做出系数和a的值，写出线性回归方程．
（3）将x=10代入回归直线方程，可得结论．
【解答】
解：(1)如图即为所求散点图.
(2)由表中数据得x=2+3+4+54=3.5，
y=2.5+3+4+4.54=3.5，i=14xi2=54，i=14xiyi=52.5，
∴ b=52.5−4×3.5×3.554−4×3.52=0.7，a=3.5−0.7×3.5=1.05，
∴ 所求线性回归方程为y=0.7x+1.05.
∴ 所求回归直线如图所示.
(3)把x=10代入回归直线方程，
得y=0.7×10+1.05=8.05（小时），
∴ 加工10个零件大约需要8.05个小时．
【答案】
解：(1)直线x+y=1与x轴交于点(1, 0)，所以椭圆右焦点的坐标为(1, 0)，故c=1．
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则x1+x2=43,y1+y2=23，y2−y1x2−x1=−1，
又x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1，所以x22−x12a2+y22−y12b2=0，
则(x2−x1)(x2+x1)a2+(y2−y1)(y2+y1)b2=0，得a2=2b2，
又a2=b2+c2，c=1，
所以a2=2，b2=1，
因此椭圆的方程为x22+y2=1．
(2)联立方程，得x22+y2=1,x+y=1, 解得x=0,y=1, 或x=43,y=−13.
不妨令A(0,1),B(43,−13)，易知直线l的斜率存在，
设直线l:y=kx，代入x22+y2=1，得(2k2+1)x2=2，
则x=22k2+1或−22k2+1，
设C(x3, y3)，D(x4, y4)，则
|x3−x4|=22k2+1+22k2+1=222k2+1．
则|CD|=1+k2|x3−x4|=1+k2⋅222k2+1，
A(0,1),B(43,−13)到直线y=kx的距离分别是d1=11+k2,d2=|43k+13|1+k2，
由于直线l与线段AB（不含端点）相交，
所以(k×0−1)(43k+13)<0，即k>−14，
所以d1+d2=43k+431+k2=43(k+1)1+k2，
四边形ACBD的面积
S=12|CD|⋅d1+12|CD|⋅d2
=12|CD|(d1+d2)=423⋅k+12k2+1，
令k+1=t，则t>34，2k2+1=2t2−4t+3，
S=423⋅t2t2−4t+3
=423⋅t22t2−4t+3
=423⋅12−4t+3(1t)2，
当1t=23，即k=12时，Smax=423×124−1612=433，
符合题意，因此四边形ACBD面积的最大值为433．
【考点】
椭圆的标准方程
直线与椭圆结合的最值问题
【解析】
（1）令y＝0解出x值可得椭圆的右焦点的坐标，再由直线与椭圆联立可得两根之和，进而求出中点坐标，由题意可得a，b的关系，再由a，b，c之间的关系求出椭圆的方程；
（2）由（1）可得直线与椭圆联立求出A，B的坐标，设直线l的方程与椭圆联立可得C，D的坐标，进而求出弦长CD，再由A，B到直线CD 的距离公式可得A，B到直线l的距离，四边形的面积转化为两个三角形△ACD，△BCD的面积，再由均值不等式求出面积的最大值．
1
【解答】
解：(1)直线x+y=1与x轴交于点(1, 0)，所以椭圆右焦点的坐标为(1, 0)，故c=1．
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则x1+x2=43,y1+y2=23，y2−y1x2−x1=−1，
又x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1，所以x22−x12a2+y22−y12b2=0，
则(x2−x1)(x2+x1)a2+(y2−y1)(y2+y1)b2=0，得a2=2b2，
又a2=b2+c2，c=1，
所以a2=2，b2=1，
因此椭圆的方程为x22+y2=1．
(2)联立方程，得x22+y2=1,x+y=1, 解得x=0,y=1, 或x=43,y=−13.
不妨令A(0,1),B(43,−13)，易知直线l的斜率存在，
设直线l:y=kx，代入x22+y2=1，得(2k2+1)x2=2，
则x=22k2+1或−22k2+1，
设C(x3, y3)，D(x4, y4)，则
|x3−x4|=22k2+1+22k2+1=222k2+1．
则|CD|=1+k2|x3−x4|=1+k2⋅222k2+1，
A(0,1),B(43,−13)到直线y=kx的距离分别是d1=11+k2,d2=|43k+13|1+k2，
由于直线l与线段AB（不含端点）相交，
所以(k×0−1)(43k+13)<0，即k>−14，
所以d1+d2=43k+431+k2=43(k+1)1+k2，
四边形ACBD的面积
S=12|CD|⋅d1+12|CD|⋅d2
=12|CD|(d1+d2)=423⋅k+12k2+1，
令k+1=t，则t>34，2k2+1=2t2−4t+3，
S=423⋅t2t2−4t+3
=423⋅t22t2−4t+3
=423⋅12−4t+3(1t)2，
当1t=23，即k=12时，Smax=423×124−1612=433，
符合题意，因此四边形ACBD面积的最大值为433．零件的个数x/∘C（个）
2
3
4
5
加工的时间y/h
2.5
3
4
4.5
1. 已知m>0，设集合M=x||x|
2. 已知平面α内的两个向量a→=(1,1,1)，b→=(0,2,−1)，且c→=ma→+nb→+(4,−4,1).若c→为平面α的法向量，则m，n的值分别为( )
A.−1，−2B.1，−2C.1，2D.−1，2
3. 函数fx=2x2−1在区间1,1+Δx上的平均变化率ΔyΔx等于( )
A.4B.4+2ΔxC.4+2Δx2D.4x
4. “游客甲在海南省”是“游客甲在三亚市”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5. 若a=lg30.3，b=lg0.30.2，c=0.20.3，则( )
A.a
6. 执行如图所示的程序框图，若输出的S=30，则判断框中可填（ ）
A.i≥5?B.i≥6？C.i>6?D.i≥7?
7. 若将函数y=2sin2x的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）
A.x=kπ2−π6(k∈Z)B.x=kπ2+π6(k∈Z)
C.x=kπ2−π12(k∈Z)D.x=kπ2+π12(k∈Z)
8. 若直线l与直线y=1，x=7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1, −1)，则直线l的斜率为（ ）
A.13B.−13C.−32D.23
9. 已知圆M:x2+y2−2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：(x−1)2+(y−1)2=1的位置关系是( )
A.内切B.相交C.外切D.相离
10. 已知抛物线x2=2pyp>0的焦点为F，直线l为准线，点E在抛物线上．若点E在直线l上的射影为Q，且Q在第四象限，|FQ|=2p，则直线FE的斜率为（ ）
A.32B.33C.3D.1
11. 函数f(x)=ln(x2−2x−8)的单调递增区间是( )
A.(−∞,−2)B.(−∞,1)C.(1,+∞)D.(4,+∞)
12. 如图，F1，F2分别是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右两支分别交于点A，B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线C的离心率为（ ）
A.4B.7C.233D.3
二、填空题
对于实数a，b，c，有下列说法：
①若a>b，则ac
③若a
④若a>b，1a>1b，则a>0，b<0．
其中正确的是________.（填序号）
在等差数列{an}中，2(a1+a4+a7)+3(a9+a11)=24，则该数列的前13项和S13等于________.
若x，y满足约束条件 2x−y−1≥0,x+y−5≤0,y≥1,则z=x2−4x+4+y2的取值范围是________．
若点O和点F分别为椭圆x24+y23=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP→⋅FP→的最大值为________.
三、解答题
已知A，B，C为△ABC的三个内角，a→=(sinB+csB, csC)，b→=(sinC, sinB−csB)．
(1)若a→⋅b→=0，求角A；
(2)若a→⋅b→=−15，求tan2A．
已知函数f(x)=2sin2(π4+x)−3cs2x.
(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)若关于x的方程f(x)−m=2在x∈[π4, π2]上有解，求实数m的取值范围．
已知各项均为正数的等差数列an和等比数列bn满足a1=b1=1，且a2⋅a3=6，b2⋅b3=a8.
(1)求数列an ，{bn}的通项公式；
(2)若cn=1a2nlg2bn+2，求c1+c2+⋯+cn.
如图所示，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形， PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，点M是PD的中点．
(1)求证： PD⊥BM．
(2)求直线CD与平面ACM所成角的正弦值．
某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如下表所示：
(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；
(2)求出y关于x的线性回归直线方程y=bx+a，并在坐标系中画出回归直线；
(3)试预测加工10个零件需要多少时间？
已知直线x+y=1过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点，且交椭圆于A，B两点，线段AB的中点是M(23,13).
(1)求椭圆的方程；
(2)过原点的直线l与线段AB相交（不含端点）且交椭圆于C，D两点，求四边形ACBD面积的最大值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年云南省宣威市某校高二（下）月考数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
并集及其运算
集合关系中的参数取值问题
【解析】
无
【解答】
解：因为M={x||x|
所以m+n=52．
故选D．
2.
【答案】
D
【考点】
平面向量的坐标运算
平面的法向量
【解析】
根据若c为平面α的法向量，的条件，可得c→⋅a→=0，c→⋅b→=0，由此求得m，n的值．
【解答】
解：c→=ma→+nb→+4,−4,1
=m,m,m+0,2n,−n+4,−4,1
=m+4,m+2n−4,m−n+1，
由c→为平面α的法向量，得c→⋅a→=0,c→⋅b→=0,
即3m+n+1=0,m+5n−9=0,
解得m=−1,n=2.
故选D．
3.
【答案】
B
【考点】
变化的快慢与变化率
【解析】
明确△y的意义，根据函数的解析式求出△y的表达式，即可得到答案．
【解答】
解：∵ Δy=[2(1+Δx)2−1]−(2−1)=2(Δx)2+4Δx，
∴ ΔyΔx=4+2Δx.
故选B．
4.
【答案】
B
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
根据三亚与海南省的关系，结合充分条件和必要条件的关系判定．
【解答】
解：因为三亚是海南省的一个地级市，
所以如果甲在三亚市，那么甲必在海南省，反之不成立.
故选B．
5.
【答案】
C
【考点】
指数式、对数式的综合比较
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：b=lg0.30.2>，
0
∴a
6.
【答案】
B
【考点】
程序框图
【解析】
无
【解答】
解：模拟执行程序框图，S=0，i=1，此时条件不成立，得到S=2×1=2，i=2；
此时条件不成立，得到S=2+2×2=6，i=3；
此时条件不成立，得到S=6+2×3=12，i=4；
此时条件不成立，得到S=12+2×4=20，i=5；
此时条件不成立，得到S=20+2×5=30，i=6；
此时条件成立，输出S=30，
结合选项可知判断框中可填“i≥6?”.
故选B．
7.
【答案】
B
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
正弦函数的对称性
【解析】
利用函数y=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0)的图象的变换及正弦函数的对称性可得答案．
【解答】
解：将函数y=2sin2x的图象向左平移π12个单位长度，
得到y=2sin2(x+π12)=2sin(2x+π6)，
由2x+π6=kπ+π2(k∈Z)得：x=kπ2+π6(k∈Z)，
即平移后的图象的对称轴方程为x=kπ2+π6(k∈Z)，
故选B.
8.
【答案】
B
【考点】
直线的斜率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：依题意，设点P(a,1)，Q(7,b)，则有a+7=2，b+1=−2，
解得a=−5，b=−3，
所以直线l的斜率为−3−17+5=−13．
故选B．
9.
【答案】
B
【考点】
圆与圆的位置关系及其判定
直线与圆的位置关系
【解析】
根据直线与圆相交的弦长公式，求出a的值，结合两圆的位置关系进行判断即可．
【解答】
解：圆的标准方程为M:x2+(y−a)2=a2(a>0)，
则圆心为(0, a)，半径R=a，
圆心到直线x+y=0的距离d=a2，
∵ 圆M:x2+y2−2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是22，
∴ 2R2−d2=2a2−a22=2a22=22，
即a22=2，即a2=4，a=2，
则圆心为M(0, 2)，半径R=2，
圆N：(x−1)2+(y−1)2=1的圆心为N(1, 1)，半径r=1，
则MN=12+12=2，
∵ R+r=3，R−r=1，
∴ R−r
故选B.
10.
【答案】
B
【考点】
直线的倾斜角
抛物线的定义
抛物线的性质
【解析】
无
【解答】
解：如图所示，由题意知，点E位于第一象限，连接EQ，
设准线l与y轴的交点为S，
则|FS|=p．
因为|FQ|=2p，
所以|FQ|=2|FS|，
所以∠FQS=30∘，
所以∠FQE=60∘．
由抛物线的定义可知|EF|=|EQ|，
所以△EFQ为等边三角形，
所以∠FEQ=60∘，
故直线FE的倾斜角为30∘，
故其斜率为33．
故选B．
11.
【答案】
D
【考点】
函数的单调性及单调区间
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ f(x)=ln(x2−2x−8)，
即x2−2x−8>0，
解得x<−2或x>4.
令t=x2−2x−8=(x−1)2−9(x<−2或x>4)，
则t=(x−1)2−9在(−∞,−2)单调递减，在(4,+∞)单调递增.
又∵ y=lnt在(0,+∞)单调递增，
∴ f(x)在(4,+∞)单调递增.
故选D.
12.
【答案】
B
【考点】
双曲线的特性
双曲线的离心率
余弦定理
【解析】
利用双曲线的定义可得可得|AF1|−|AF2|=2a，|BF2|−|BF1|=2a，利用等边三角形的定义可得：|AB|=|AF2|=|BF2|，∠F1AF2=60∘．在△AF1F2中使用余弦定理可得
：|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2−2|AF2|⋅|AF1|cs60∘，再利用离心率的计算公式即可得出．
【解答】
解：∵ △ABF2为等边三角形，∴ |AB|=|AF2|=|BF2|，∠F1AF2=60∘．
由双曲线的定义可得|AF1|−|AF2|=2a，∴ |BF1|=2a．
又|BF2|−|BF1|=2a，∴ |BF2|=4a，
∴ |AF2|=4a，|AF1|=6a．
在△AF1F2中，由余弦定理可得：
|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2−2|AF2|⋅|AF1|cs60∘，
∴ (2c)2=(4a)2+(6a)2−2×4a×6a×12，化为c2=7a2，
∴ e=ca=c2a2=7．
故选B．
二、填空题
【答案】
②③④
【考点】
不等式的基本性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：①中，c的正、负或是否为0未知，因而判断ac与bc 的大小缺乏依据，故①不正确；
②中，由ac2>bc2知， c≠0，故c2>0，所以a>b成立，故②正确；
③中，a
a
所以a2>ab>b2，故③正确；
④中，由已知条件a>b⇒a−b>0,
1a>1b⇒1a−1b>0⇒b−aab>0，
因为b−a<0，所以ab<0.
又因为a>b，所以b<0,a>0，故④正确．
综上可知，②③④是正确的．
故答案为：②③④.
【答案】
26
【考点】
等差数列的性质
等差数列的前n项和
等差数列的通项公式
【解析】
由已知，根据通项公式，能求出a7=2，S13运用求和公式能得出S13=13a7，问题解决．
【解答】
解：∵ 2(a1+a1+3d+a1+6d)+3(a1+8d+a1+10d)
=2(3a1+9d)+3(2a1+18d)
=12a1+72d=24，
∴ a1+6d=2，
即a7=2，
∴ S13=(a1+a13)×132=2a7×132=2×13=26.
故答案为：26.
【答案】
[1,9]
【考点】
简单线性规划
求线性目标函数的最值
【解析】
无
【解答】
解：画出不等式组2x−y−1≥0,x+y−5≤0,y≥1所表示的平面区域，如图中阴影部分,
由2x−y−1=0,x+y−5=0得A(2,3)．
由2x−y−1=0,y=1得B(1,1)．
由x+y−5=0,y=1得C(4,1)．
将z=x2−4x+4+y2化成z=(x−2)2+y2．
设点D(2,0)，过点D作DE⊥BC于点E，
则当以点D(2,0)为圆心的圆经过点A时，z取得最大值，zmax=(2−2)2+32=9，
经过点E(2,1)时，z取得最小值，zmin=(2−2)2+12=1．
所以z的取值范围为[1,9]．
故答案为：[1,9]．
【答案】
6
【考点】
椭圆的标准方程
平面向量数量积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解： 由椭圆x24+y23=1，得F(−1,0).
设P(x,y)(−2≤x≤2)，因为点O(0,0)，
所以OP→⋅FP→=x2+x+y2=x2+x+31−x24
=14x2+x+3=14(x+2)2+2(−2≤x≤2)，
当且仅当x=2时，OP→⋅FP→取得最大值6.
故答案为：6.
三、解答题
【答案】
解：(1)由已知a→⋅b→=0得，
(sinB+csB)sinC+csC(sinB−csB)=0，
化简得sin(B+C)−cs(B+C)=0，
即sinA+csA=0，∴ tanA=−1．
∵ A∈(0, π)，∴ A=34π．
(2)∵ a→⋅b→=−15，
∴ sin(B+C)−cs(B+C)=−15，
∴ sinA+csA=−15．①
平方得2sinAcsA=−2425．
∵ −2425<0，∴ A∈(π2, π)．
∴ sinA−csA=1−2sinAcsA=75．②
联立①②得，sinA=35，csA=−45．
∴ tanA=sinAcsA=−34,
∴ tan2A=2tanA1−tan2A=−247．
【考点】
诱导公式
两角和与差的正弦公式
数量积的坐标表达式
二倍角的正切公式
同角三角函数间的基本关系
【解析】
（1）由数量积为0和三角函数公式化简可得tanA=−1，结合A的范围可得；
（2）由a→⋅b→=−15和（1）可得sinA+csA=−15，再由三角函数知识可得sinA−csA=75，联立可解sinA和csA，由同角三角函数的基本关系可得．
【解答】
解：(1)由已知a→⋅b→=0得，
(sinB+csB)sinC+csC(sinB−csB)=0，
化简得sin(B+C)−cs(B+C)=0，
即sinA+csA=0，∴ tanA=−1．
∵ A∈(0, π)，∴ A=34π．
(2)∵ a→⋅b→=−15，
∴ sin(B+C)−cs(B+C)=−15，
∴ sinA+csA=−15．①
平方得2sinAcsA=−2425．
∵ −2425<0，∴ A∈(π2, π)．
∴ sinA−csA=1−2sinAcsA=75．②
联立①②得，sinA=35，csA=−45．
∴ tanA=sinAcsA=−34,
∴ tan2A=2tanA1−tan2A=−247．
【答案】
解：(1)∵ f(x)=2sin2(π4+x)−3cs2x
=1−cs(π2+2x)−3cs2x
=1+sin2x−3cs2x
=2sin(2x−π3)+1．
∴ f(x)的最小正周期T=π.
令2kπ−π2≤2x−π3≤2kπ+π2(k∈Z)，
解得kπ−π12≤x≤kπ+5π12(k∈Z)，
∴ f(x)的单调递增区间为[kπ−π12, kπ+5π12](k∈Z)．
(2)∵ x∈[π4, π2]，
∴ 2x−π3∈[π6, 2π3]，
∴ sin(2x−π3)∈[12, 1]，
∴ f(x)的值域为[2, 3]，
又f(x)−m=2在x∈[π4, π2]上有解，
∴ m+2∈[2, 3]，
即m∈[0, 1].
【考点】
三角函数中的恒等变换应用
三角函数的周期性及其求法
函数的单调性及单调区间
由函数零点求参数取值范围问题
【解析】
（1）先根据诱导公式以及二倍角公式，辅助角公式对函数化简，再结合正弦函数的周期以及单调性的求法即可得到结论；
（2）先根据正弦函数的单调性求出f(x)的值域，再把方程有解转化为f(x)与m+2的取值范围相同即可求实数m的取值范围．
【解答】
解：(1)∵ f(x)=2sin2(π4+x)−3cs2x
=1−cs(π2+2x)−3cs2x
=1+sin2x−3cs2x
=2sin(2x−π3)+1．
∴ f(x)的最小正周期T=π.
令2kπ−π2≤2x−π3≤2kπ+π2(k∈Z)，
解得kπ−π12≤x≤kπ+5π12(k∈Z)，
∴ f(x)的单调递增区间为[kπ−π12, kπ+5π12](k∈Z)．
(2)∵ x∈[π4, π2]，
∴ 2x−π3∈[π6, 2π3]，
∴ sin(2x−π3)∈[12, 1]，
∴ f(x)的值域为[2, 3]，
又f(x)−m=2在x∈[π4, π2]上有解，
∴ m+2∈[2, 3]，
即m∈[0, 1].
【答案】
解：(1)∵{an}为等差数列，且a1=1，
∴可设公差为d，
则an=1+(n−1)d，
∴a2=1+d，a3=1+2d.
∵a2⋅a3=6，
∴(1+d)(1+2d)=6，
解得d=1或d=−52.
又等差数列{an}各项均为正数，
∴d=−52不合题意，舍去，
∴an=n(n∈N*).
∵{bn}为等比数列，且b1=1，
∴可设公比为q(q≠0)，则bn=qn−1.
∵b2⋅b3=a8=8，
∴q1⋅q2=8，
解得q=2，满足各项均为正数，
∴bn=2n−1(n∈N*)．
(2)由(1)知an=n，bn=2n−1，
∴cn=1a2nlg2bn+2=12n(n+1)=121n−1n+1(n∈N*)，
∴c1+c2+⋯+cn
=12(1−12+12−13+⋯+1n−1n+1)
=121−1n+1
=n2(n+1)(n∈N*)．
【考点】
等差数列的通项公式
等比数列的通项公式
数列的求和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)∵{an}为等差数列，且a1=1，
∴可设公差为d，
则an=1+(n−1)d，
∴a2=1+d，a3=1+2d.
∵a2⋅a3=6，
∴(1+d)(1+2d)=6，
解得d=1或d=−52.
又等差数列{an}各项均为正数，
∴d=−52不合题意，舍去，
∴an=n(n∈N*).
∵{bn}为等比数列，且b1=1，
∴可设公比为q(q≠0)，则bn=qn−1.
∵b2⋅b3=a8=8，
∴q1⋅q2=8，
解得q=2，满足各项均为正数，
∴bn=2n−1(n∈N*)．
(2)由(1)知an=n，bn=2n−1，
∴cn=1a2nlg2bn+2=12n(n+1)=121n−1n+1(n∈N*)，
∴c1+c2+⋯+cn
=12(1−12+12−13+⋯+1n−1n+1)
=121−1n+1
=n2(n+1)(n∈N*)．
【答案】
解：(1)∵ PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，
∴ PA⊥AB．
∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ AB⊥AD，AD∩PA=A，
AD⊂平面PAD，PA⊂平面PAD，
∴ AB⊥平面PAD，
∵ PD⊂平面PAD，
∴ AB⊥PD，
∵ △PAD为等腰直角三角形，M是PD的中点，
∴ AM⊥PD，AB∩AM=A，
AB⊂平面ABM，AM⊂平面ABM，
∴ PD⊥平面ABMM，
又∵ BM⊂平面ABM，
∴ PD⊥BM．
(2)如图所示，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系A−xyz，
则A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(1,0,0)，
C(1,2,0)，D(0,2,0)，M(0,1,1)，
∴ AC→=(1,2,0)，AM→=(0,1,1)，CD→=(−1,0,0)，
设平面ACM的一个法向量为n→=(x,y,z)，
由n→⋅AC→=0,n→⋅AM→=0,可得x+2y=0y+z=0，
令z=1，得x=2，y=−1，
∴ n→=(2,−1,1)．
设直线CD与平面ACM所成的角为α，
则sinα=|csCD→,n→|=|CD→⋅n→||CD→||n→|=|−2|1×6=63，
∴ 直线CD与平面ACM所成的角的余弦值为63．
【考点】
两条直线垂直的判定
用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)∵ PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，
∴ PA⊥AB．
∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ AB⊥AD，AD∩PA=A，
AD⊂平面PAD，PA⊂平面PAD，
∴ AB⊥平面PAD，
∵ PD⊂平面PAD，
∴ AB⊥PD，
∵ △PAD为等腰直角三角形，M是PD的中点，
∴ AM⊥PD，AB∩AM=A，
AB⊂平面ABM，AM⊂平面ABM，
∴ PD⊥平面ABMM，
又∵ BM⊂平面ABM，
∴ PD⊥BM．
(2)如图所示，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系A−xyz，
则A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(1,0,0)，
C(1,2,0)，D(0,2,0)，M(0,1,1)，
∴ AC→=(1,2,0)，AM→=(0,1,1)，CD→=(−1,0,0)，
设平面ACM的一个法向量为n→=(x,y,z)，
由n→⋅AC→=0,n→⋅AM→=0,可得x+2y=0y+z=0，
令z=1，得x=2，y=−1，
∴ n→=(2,−1,1)．
设直线CD与平面ACM所成的角为α，
则sinα=|csCD→,n→|=|CD→⋅n→||CD→||n→|=|−2|1×6=63，
∴ 直线CD与平面ACM所成的角的余弦值为63．
【答案】
解：(1)如图即为所求散点图.
(2)由表中数据得x=2+3+4+54=3.5，
y=2.5+3+4+4.54=3.5，i=14xi2=54，i=14xiyi=52.5，
∴ b=52.5−4×3.5×3.554−4×3.52=0.7，a=3.5−0.7×3.5=1.05，
∴ 所求线性回归方程为y=0.7x+1.05.
∴ 所求回归直线如图所示.
(3)把x=10代入回归直线方程，
得y=0.7×10+1.05=8.05（小时），
∴ 加工10个零件大约需要8.05个小时．
【考点】
散点图
求解线性回归方程
回归分析的初步应用
【解析】
（1）根据表中所给的数据，可得散点图；
（2）求出出横标和纵标的平均数，得到样本中心点，求出对应的横标和纵标的积的和，求出横标的平方和，做出系数和a的值，写出线性回归方程．
（3）将x=10代入回归直线方程，可得结论．
【解答】
解：(1)如图即为所求散点图.
(2)由表中数据得x=2+3+4+54=3.5，
y=2.5+3+4+4.54=3.5，i=14xi2=54，i=14xiyi=52.5，
∴ b=52.5−4×3.5×3.554−4×3.52=0.7，a=3.5−0.7×3.5=1.05，
∴ 所求线性回归方程为y=0.7x+1.05.
∴ 所求回归直线如图所示.
(3)把x=10代入回归直线方程，
得y=0.7×10+1.05=8.05（小时），
∴ 加工10个零件大约需要8.05个小时．
【答案】
解：(1)直线x+y=1与x轴交于点(1, 0)，所以椭圆右焦点的坐标为(1, 0)，故c=1．
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则x1+x2=43,y1+y2=23，y2−y1x2−x1=−1，
又x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1，所以x22−x12a2+y22−y12b2=0，
则(x2−x1)(x2+x1)a2+(y2−y1)(y2+y1)b2=0，得a2=2b2，
又a2=b2+c2，c=1，
所以a2=2，b2=1，
因此椭圆的方程为x22+y2=1．
(2)联立方程，得x22+y2=1,x+y=1, 解得x=0,y=1, 或x=43,y=−13.
不妨令A(0,1),B(43,−13)，易知直线l的斜率存在，
设直线l:y=kx，代入x22+y2=1，得(2k2+1)x2=2，
则x=22k2+1或−22k2+1，
设C(x3, y3)，D(x4, y4)，则
|x3−x4|=22k2+1+22k2+1=222k2+1．
则|CD|=1+k2|x3−x4|=1+k2⋅222k2+1，
A(0,1),B(43,−13)到直线y=kx的距离分别是d1=11+k2,d2=|43k+13|1+k2，
由于直线l与线段AB（不含端点）相交，
所以(k×0−1)(43k+13)<0，即k>−14，
所以d1+d2=43k+431+k2=43(k+1)1+k2，
四边形ACBD的面积
S=12|CD|⋅d1+12|CD|⋅d2
=12|CD|(d1+d2)=423⋅k+12k2+1，
令k+1=t，则t>34，2k2+1=2t2−4t+3，
S=423⋅t2t2−4t+3
=423⋅t22t2−4t+3
=423⋅12−4t+3(1t)2，
当1t=23，即k=12时，Smax=423×124−1612=433，
符合题意，因此四边形ACBD面积的最大值为433．
【考点】
椭圆的标准方程
直线与椭圆结合的最值问题
【解析】
（1）令y＝0解出x值可得椭圆的右焦点的坐标，再由直线与椭圆联立可得两根之和，进而求出中点坐标，由题意可得a，b的关系，再由a，b，c之间的关系求出椭圆的方程；
（2）由（1）可得直线与椭圆联立求出A，B的坐标，设直线l的方程与椭圆联立可得C，D的坐标，进而求出弦长CD，再由A，B到直线CD 的距离公式可得A，B到直线l的距离，四边形的面积转化为两个三角形△ACD，△BCD的面积，再由均值不等式求出面积的最大值．
1
【解答】
解：(1)直线x+y=1与x轴交于点(1, 0)，所以椭圆右焦点的坐标为(1, 0)，故c=1．
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则x1+x2=43,y1+y2=23，y2−y1x2−x1=−1，
又x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1，所以x22−x12a2+y22−y12b2=0，
则(x2−x1)(x2+x1)a2+(y2−y1)(y2+y1)b2=0，得a2=2b2，
又a2=b2+c2，c=1，
所以a2=2，b2=1，
因此椭圆的方程为x22+y2=1．
(2)联立方程，得x22+y2=1,x+y=1, 解得x=0,y=1, 或x=43,y=−13.
不妨令A(0,1),B(43,−13)，易知直线l的斜率存在，
设直线l:y=kx，代入x22+y2=1，得(2k2+1)x2=2，
则x=22k2+1或−22k2+1，
设C(x3, y3)，D(x4, y4)，则
|x3−x4|=22k2+1+22k2+1=222k2+1．
则|CD|=1+k2|x3−x4|=1+k2⋅222k2+1，
A(0,1),B(43,−13)到直线y=kx的距离分别是d1=11+k2,d2=|43k+13|1+k2，
由于直线l与线段AB（不含端点）相交，
所以(k×0−1)(43k+13)<0，即k>−14，
所以d1+d2=43k+431+k2=43(k+1)1+k2，
四边形ACBD的面积
S=12|CD|⋅d1+12|CD|⋅d2
=12|CD|(d1+d2)=423⋅k+12k2+1，
令k+1=t，则t>34，2k2+1=2t2−4t+3，
S=423⋅t2t2−4t+3
=423⋅t22t2−4t+3
=423⋅12−4t+3(1t)2，
当1t=23，即k=12时，Smax=423×124−1612=433，
符合题意，因此四边形ACBD面积的最大值为433．零件的个数x/∘C（个）
2
3
4
5
加工的时间y/h
2.5
3
4
4.5
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