2022届湖南省衡阳市第八中学高三下学期第六次月考（开学考试）数学试题含解析

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2022届湖南省衡阳市第八中学高三下学期第六次月考（开学考试）
数学试题
一、单选题
1．已知集合，集合，则等于（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由对数函数及指数函数的性质可化简集合，利用交集的定义即求.
【详解】由题意得，即，
根据对数函数的单调性得，解得，
所以集合，
解不等式得，故集合，
所以.
故选：B．
2．若为纯虚数，则实数的值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先化简复数，再利用纯虚数的定义求解.
【详解】由题得，
因为为纯虚数，
则，所以.
故选：C
【点睛】结论点睛：复数则且，不要漏掉了.
3．下列有关命题的说法正确的是(          )
A．若，则
B．“”的一个必要不充分条件是“”
C．若命题：，，则命题：，
D．、是两个平面，、是两条直线，如果，，，那么
【答案】C
【分析】A：根据向量加法的性质即可判断；
B：根据充分条件的概念即可判断；
C：根据含有一个量词的命题的否定的改写方法判断即可；
D：根据空间线面关系即可判断.
【详解】A：若，则方向相反且，故A错误；
B：若，则，故“”是“”的充分条件，故B错误；
C：命题：，，则其否定为：，，故C正确；
D：如果，，，则无法判断α、β的位置关系，故D错误.
故选：C.
4．定义：在数列中，若满足(，d为常数)，称为“等差比数列”，已知在“等差比数列”中，，，则等于（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题知是首项为1，公差为2的等差数列，则，利用即可求解．
【详解】由题意可得：，，，
根据“等差比数列”的定义可知数列是首项为1，公差为2的等差数列，
则，
所以，，
所以．
故选：C
【点睛】数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．
5．已知，且，，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】令，即可得到，，，利用导数说明在的单调性，再令，利用导数说明其单调性，即可得到，从而得到，即可得解；
【详解】解：令，，所以，，，所以，因为，所以当时，即在上单调递减，令，，则，所以当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以在处取得极大值即最大值，，因为，所以，即，所以，
故选：D
6．如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，动点P，Q分别在线段C1D，AC上，则线段PQ长度的最小值是(　　)．

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，C1(0,1,2)，设点P的坐标为(0，λ，2λ)，λ∈[0,1]，点Q的坐标为(1－μ，μ，0)，μ∈[0,1]，
∴PQ＝
＝，当且仅当λ＝，μ＝时，线段PQ的长度取得最小值.
7．已知、是双曲线（，）的左、右焦点，关于双曲线的一条渐近线的对称点为，且点在抛物线上，则双曲线的离心率为（       ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】由点关于线的对称点的性质可知，垂直平分，所以能得到，，又，从而，再结合抛物线的定义得到关于a,c的关系式，计算得到离心率.
【详解】由题意关于双曲线的一条渐近线的对称点为，且到渐近线的距离为b，
∴中，，，又，所以，
∴，∴，又点在抛物线上，
∴的长度为抛物线中抛物线的焦点到抛物线的准线的距离，
∴由抛物线的定义得到：，
∴，∴，
∴.
故选：D.

【点睛】关键点点睛：充分利用“点关于线的对称点的性质：垂直平分+抛物线的定义”.
8．已知定义在上的函数满足，当时，．若关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数的单调性和对称性画出函数图像，过定点，计算直线和曲线相切的情况计算斜率得到答案.
【详解】当时，
函数在上单调递减，在上单调递增，且
，函数关于对称，过定点
如图所示，画出函数图像：
当与相切时，设切点为
则
根据对称性考虑左边图像，根据图像验证知是方程唯一解，此时
故答案为
故选：

【点睛】本题考查了零点问题，对称问题，函数的单调性，画出函数图像是解题的关键.
二、多选题
9．某学校为研究高三学生的考试成绩，根据高三第一次模拟考试在高三学生中随机抽取50名学生的思想政治考试成绩绘制成频率分布直方图如图所示，已知思想政治成绩在的学生人数为15，把频率看作概率，根据频率分布直方图，下列结论正确的是（       ）

A．
B．
C．本次思想政治考试平均分为80
D．从高三学生中随机抽取4人，其中3人成绩在内的概率为
【答案】ABD
【分析】对于A，直接利用已知的数据可求出的值；对于B，利用所有频率和为1求解；对于C，利用平均数的定义求解即可；对于D，由频率分布直方图可得内的概率为0.16，从而可得结论
【详解】由题知，，选项A正确；
，选项B正确；
本次思想政治考试平均分估计值为，选项C错误；
可知在内的概率为0.16，从高三学生中随机抽取4人，其中3人成绩在内的概率为，选项D正确，
故选：ABD．
10．已知函数，则下列说法正确的是（       ）
A．函数的周期为 B．函数图象的一条对称轴为直线
C．函数在上单调递增 D．函数的最小值为
【答案】ABD
【分析】对函数进行化简，转化为正弦型函数，进而利用性质判断出结果即可.
【详解】解：函数



.
所以函数的周期为，故A选项正确；
当时，，所以直线是函数图象的一条对称轴，故B选项正确；
当，则，由正弦函数性质可知，此时单调递减，故C选项错误；
由可知，当时，取得最小值为，故D选项正确.
故选：ABD.
11．已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，以线段为直径的圆交轴于两点，设线段的中点为，则下列说法正确的是（       ）
A．若抛物线上的点到点的距离为，则抛物线的方程为
B．以AB为直径的圆与准线相切
C．线段AB长度的最小值是
D．的取值范围为
【答案】BCD
【分析】由抛物线的定义和焦半径公式，列出方程求得，可判定A不正确；分别过点，作准线的垂线，由抛物线的定义和梯形的中位线，得到圆心到准线的距离等于半径，可判定B正确；根据焦点弦和焦半径公式和弦长公式，可判定C正确；设直线的方程为，联立方程组，求得，结合，可判定D正确.
【详解】由题意，抛物线的焦点为，准线方程为，
对于A中，由抛物线上的点到点的距离为，抛物线的定义，可得，
解得，所以抛物线的方程为，所以A不正确；
对于B中，分别过点，作准线的垂线，垂足分别为，如图所示，
则线段的中点为到准线的距离为
根据抛物线的定义，可得，所以，
所以，即圆心到准线的距离等于圆的半径，
即以AB为直径的圆与准线相切，所以B正确；
设，由抛物线的定义，可得，
当直线的斜率不存在时，可设直线的方程为，
联立方程组，解得，此时
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立方程组，整理得，
可得，所以，
综上可得，线段AB长度的最小值是，所以C正确；
设直线的方程为，联立方程组，整理得，
可得，
则，则
则点到的距离为，
所以，
所以，所以D正确.
故选：BCD.

【点睛】解决直线与抛物线的弦及弦长问题的常用方法：
1、有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用抛物线的焦点弦公式，若不过焦点，则用圆锥曲线的一般弦长公式求解；
2、涉及到抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代换”等解法.
12．如图，已知菱形中，，，E为边的中点，将△沿翻折成△（点位于平面上方），连接和，F为的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（       ）

A．平面平面
B．与的夹角为定值
C．三棱锥体积最大值为
D．点F的轨迹的长度为
【答案】ABD
【分析】A由题设结合线面垂直的判定证面，再由面面垂直的判定即可判断正误；B若是的中点，应用平行四边形的性质有，可知与的夹角为或其补角，进而求其大小；C根据A、B的分析，当面时最大，求其最大值；D确定F的轨迹与到的轨迹相同，且到的轨迹为以中点为圆心，为半径的半圆，即可求轨迹长度.
【详解】A：由，，E为边的中点知：且，易知，，而，故面，又面，所以面面，正确；
B：若是的中点，又F为的中点，则且，而且，所以且，即为平行四边形，故，所以与的夹角为或其补角，若为中点，即，由A分析易知：，故与的夹角为，正确；

C：由上分析知：翻折过程中当面时，最大，此时，错误；
D：由B分析知：且，故F的轨迹与到的轨迹相同，由A知：到的轨迹为以为圆心，为半径的半圆，而为中点，故到的轨迹为以中点为圆心，为半径的半圆，所以F的轨迹长度为，正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：应用线面、面面垂直的判定判断面面垂直；根据线线角的定义，结合平行四边形的性质找到线线角的平面角并求大小；判断动点的轨迹，由圆的性质及棱锥的体积公式求的最大体积以及F的轨迹的长度.
三、填空题
13．已知 ，则__________．
【答案】24
【详解】分析：由题意根据，利用二项展开式的通项公式，求得a2的值．
详解：由题意根据，.
即答案为24 .
点睛：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．
14．过抛物线C:上的一点M(非顶点)作C的切线与x轴､y轴分别交于A､B两点，则______.
【答案】
【解析】利用导数求出切线方程，分别得到两点的坐标，即可得到结果.
【详解】由，则.
设点,则曲线C在M处的切线的斜率为.
所以曲线C在M处的切线方程为：.
即.
所以
由三点的坐标可得，点为的中点.
所以.
故答案为：
【点睛】本题考查利用导数求切线方程和根据点的坐标求线段的长度之比，属于中档题.
15．某种游戏中，黑､黄两个“电子狗”从棱长为1的正方体的顶点出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”.黑“电子狗”爬行的路线是，黄“电子狗”爬行的路线是，它们都遵循如下规则：所爬行的第段与第段所在直线必须是异面直线(其中是正整数).设黑“电子狗”爬完2008段､黄“电子狗”爬完2009段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑､黄“电子狗”间的距离是___________.
【答案】1
【分析】根据题意写出两个电子狗爬行的路线，结合周期性可求结果.
【详解】由题意，黑"电子狗"爬行路线为
，即过6段后又回到起点，可以看作以6为周期，所以黑"电子狗"爬完2008段后实质是到达点;
同理，黄"电子狗"也是过6段后又回到起点.

黄“电子狗"爬完2009段后到达点;
此时的距离为.
故答案为: 1.
16．设方程的两根分别为，，方程的两根分别为，，若，则的取值范围为____________.
【答案】
【分析】由条件求得，令，则原式，利用二次函数的性质求得的范围，可得的范围，从而求得的范围，即为所求.
【详解】由方程的两根为，，可得，，
求得，，
由方程的两根为，，可得，，
求得，，
∴，
令，则原式，且 ，
由，可得，，
∴，，
故原式，故答案为．
【点睛】本题主要考查指数函数的综合应用，不等式的基本性质，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于难题．
四、解答题
17．已知函数()
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上的最大值和最小值，并分别写出相应的的值.
【答案】（1）；（2）当时，；当时，.
【解析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式，将函数转化为求解..
（2）根据，得到，再利用正弦函数的性质求解.
【详解】（1），
，
，
所以的最小正周期为.
（2）∵，
∴，
当，即，，
当，时，.
【点睛】方法点睛：1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式．
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.
3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t＝ωx＋φ，将其转化为研究y＝sin t的性质．
18．已知数列为等比数列,数列满足,且.设为数列的前项和.
（1）求数列､的通项公式及;
（2）若数列满足,求的前项和.
【答案】（1）,,,；（2）
【分析】(1)由已知得,可得出数列为等差数列，求得其公差，可得数列的通项公式，及，再由对数的运算可得数列的通项公式;
(2)由（1）得,根据错位相减法求得数列的前项和，再分当时和当时分别求得.
【详解】(1)对,则,因为为等比数列,则为定值.则为定值,则数列为等差数列.
,
则,,,;
(2),
设,为数列的前项和,则有:


()式()式,得:
,.
当时,;
当时,,
即
【点睛】本题考查等差数列，等比数列的通项公式，前n项和的求解方法，以及运用错位相减法求数列的和，属于中档题.
19．如图，在直角梯形中，，，，，，点在上，且，将沿折起，使得平面平面(如图)，为中点.

（1）求证：平面；
（2）求四棱锥的体积；
（3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，
【分析】（1）证明，再根据面面垂直的性质得出平面；
（2）分别计算和梯形的面积，即可得出棱锥的体积；
（3）过点作交于点，过点作交于点，连接，可证明平面，故平面，根据计算的值.
【详解】（1）因为为中点，，
所以，
因为平面平面，
平面平面，
平面，
所以平面；
（2）在直角三角形中，，
，
，
所以四棱锥的体积为
；
(3)
如图，过点作交于点，过点作交于点，连接，
因为，平面，平面，
所以平面，
同理平面，
又因为，
所以平面平面，
因为平面，
所以平面，
所以上存在点，使得平面，
，
四边形是平行四边形，
，
，
又，
.
20．平面直角坐标系中，椭圆C：的离心率是，抛物线E：的焦点F是C的一个顶点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．
（i）求证：点M在定直线上;
（ii）直线与y轴交于点G，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点P的坐标．

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）（ⅰ）见解析；（ⅱ）的最大值为，此时点的坐标为
【详解】试题分析：（Ⅰ）根据椭圆的离心率和焦点求方程；
（Ⅱ）（ⅰ）由点P的坐标和斜率设出直线l的方程和抛物线联立，进而判断点M在定直线上；
（ⅱ）分别列出，面积的表达式，根据二次函数求最值和此时点P的坐标．
试题解析：（Ⅰ）由题意知：，解得．
因为抛物线的焦点为，所以，
所以椭圆的方程为．
（Ⅱ）（1）设，由可得，
所以直线的斜率为，其直线方程为，即．
设，联立方程组
消去并整理可得，
故由其判别式可得且，
故,
代入可得，
因为，所以直线的方程为．
联立可得点的纵坐标为，即点在定直线上．
（2）由（1）知直线的方程为，
令得，所以，
又，
所以，，
所以，令，则，
因此当，即时，最大，其最大值为，此时满足，
所以点的坐标为，因此的最大值为，此时点的坐标为．
【解析】椭圆方程；直线和抛物线的关系；二次函数求最值；运算求解能力．
21．2021年6月17日9时22分，我国酒泉卫星发射中心用长征遥十二运载火箭，成功将神舟十二号载人飞船送入预定轨道，顺利将聂海胜、刘伯明、汤洪波3名航天员送入太空，发射取得圆满成功，这标志着中国人首次进入自己的空间站．某公司负责生产的A型材料是神舟十二号的重要零件，该材料应用前景十分广泛．该公司为了将A型材料更好地投入商用，拟对A型材料进行应用改造、根据市场调研与模拟，得到应用改造投入x(亿元)与产品的直接收益y(亿元)的数据统计如下：
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
x
2
3
4
6
8
10
13
21
22
23
24
25
y
15
22
27
40
48
54
60
68.5
68
67.5
66
65

当时，建立了y与x的两个回归模型：模型①：，模型②：；当时，确定y与x满足的线性回归方程为．
(1)根据下列表格中的数据，比较当时模型①，②的相关指数的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对A型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益；
回归模型
模型①
模型②
回归方程



79.13
20.2

(2)为鼓励科技创新，当应用改造的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴5亿元，以回归方程为预测依据，根据(1)中选择的拟合精度更高更可靠的模型，比较投入17亿元与20亿元时公司收益(直接收益＋国家补贴)的大小．
附： 刻画回归效果的相关指数，且当越大时，回归方程的拟合效果越好．用最小二乘法求线性回归方程的截距：．
【答案】(1)对A型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益为(亿元)；
(2)投入17亿元比投入20亿元时收益小.
【分析】(1)根据模型和相关系数公式计算比较即可，然后将x＝17代入较好的模型即可预测直接收益；
(2)根据回归方程过样本中心点()求出，再令x＝20算出预测的直接收益，即可算出投入20亿元时的总收益，与(1)中的投入17亿元的直接收益比较即可.
【详解】(1)对于模型①，对应的，
故对应的，
故对应的相关指数，
对于模型②，同理对应的相关指数，
故模型②拟合精度更高、更可靠.
故对A型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益为(亿元).
另解：本题也可以根据相关系数的公式，直接比较79.13和20.2的大小，从而说明模型②拟合精度更高、更可靠.
(2)当时，
后五组的，，
由最小二乘法可得，
故当投入20亿元时公司收益(直接收益＋国家补贴)的大小为：
，
故投入17亿元比投入20亿元时收益小.
22．设函数f(x)=ax2-a-lnx，其中a ∈R.
（I）讨论f(x)的单调性；
（II）确定a的所有可能取值，使得在区间（1，+∞）内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数)．
【答案】（I） 见解析（II） .
【详解】试题分析：本题考查导数的计算、利用导数求函数的单调性，解决恒成立问题，考查学生的分析问题、解决问题的能力和计算能力.第（Ⅰ）问，对求导，再对a进行讨论，从而判断函数的单调性；第（Ⅱ）问，利用导数判断函数的单调性，从而证明结论.
试题解析：（Ⅰ）
<0，在内单调递减.
由=0，有.
此时，当时，<0，单调递减；
当时，>0，单调递增.
（Ⅱ）令=，=.
则=.
而当时，>0，
所以在区间内单调递增.
又由=0，有>0，
从而当时，>0.
当，时，=.
故当>在区间内恒成立时，必有.
当时，>1.
由（Ⅰ）有,从而，
所以此时>在区间内不恒成立.
当时，令，
当时，，
因此，在区间单调递增.
又因为，所以当时，，即恒成立.
综上，.
【解析】
导数的计算，利用导数求函数的单调性，解决恒成立问题
【名师点睛】
本题考查导数的计算，利用导数求函数的单调性，解决恒成立问题，考查学生的分析问题、解决问题的能力和计算能力．求函数的单调性，基本方法是求，解方程，再通过的正负确定的单调性；要证明不等式，一般证明的最小值大于0，为此要研究函数的单调性．本题中注意由于函数的极小值没法确定，因此要利用已经求得的结论缩小参数取值范围．比较新颖，学生不易想到，有一定的难度．