2020届湖南省衡阳市第八中学高三上学期第六次月考数学（理）试题（解析版）

2020届湖南省衡阳市第八中学高三上学期第六次月考数学（理）试题

一、单选题

1．设集合， ，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】A={x|y=log2（2﹣x）}={x|x＜2}，

B={x|x2﹣3x+2＜0}={x|1＜x＜2}，

则∁AB={x|x≤1}，

故选B．

2．设为虚数单位，若是纯虚数，则（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】A

【解析】按照复数的代数形式的乘除运算，计算复数，再根据复数是纯虚数即实部为零，得到方程解得.

【详解】

解：

又因为复数是纯虚数

解得

故选：

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算以及复数的相关概念，属于基础题.

3．已知某超市2018年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示：

根据该折线图可知，下列说法错误的是（   ）

A．该超市2018年的12个月中的7月份的收益最高

B．该超市2018年的12个月中的4月份的收益最低

C．该超市2018年1-6月份的总收益低于2018年7-12月份的总收益

D．该超市2018年7-12月份的总收益比2018年1-6月份的总收益增长了90万元

【答案】D

【解析】用收入减去支出，求得每月收益，然后对选项逐一分析，由此判断出说法错误的选项.

【详解】

用收入减去支出，求得每月收益（万元），如下表所示：

所以月收益最高，A选项说法正确；月收益最低，B选项说法正确；月总收益万元，月总收益万元，所以前个月收益低于后六个月收益，C选项说法正确，后个月收益比前个月收益增长万元，所以D选项说法错误.故选D.

【点睛】

本小题主要考查图表分析，考查收益的计算方法，属于基础题.

4．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】利用诱导公式及二倍角公式将变形为，再代入求值即可.

【详解】

解：

故选：

5．已知，满足，则（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据对数的化简公式得到,由指数的运算公式得到=，由对数的性质得到>0,，进而得到结果.

【详解】

已知,=,>0,

进而得到.

故答案为A.

【点睛】

本题考查了指对函数的运算公式和对数函数的性质；比较大小常用的方法有：两式做差和0比较，分式注意同分，进行因式分解为两式相乘的形式；或者利用不等式求得最值，判断最值和0的关系.

6．函数图象的大致形状是（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】化简函数，确定函数奇偶性，讨论函数在内正负情况，即可排除所有错误选项.

【详解】

则，是偶函数，排除B、D.

当时，即，排除A.

故选:C.

【点睛】

解复杂函数的图像问题，一般采取排除法.利用单调性，奇偶性，极值，以及函数值的正负进行判断.

7．公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米.当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他1米……，所以，阿基里斯永远追不上乌龟.根据这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为米时，乌龟爬行的总距离为（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据条件，乌龟每次爬行的距离构成等比数列，公比为

当阿基里斯和乌龟的速度恰好为米时，乌龟爬行的总距离为

故选

8．函数，，，且在上单调，则下列说法正确的是(     )

A． B．

C．函数在上单调递增 D．函数的图象关于点对称

【答案】C

【解析】由题意得函数的最小正周期为，

∵在上单调，

∴，解得．

∵，，

∴，解得，

∴．

对于选项A，显然不正确．

对于选项B，，故B不正确．

对于选项C，当时，，所以函数单调递增，故C正确．

对于选项D，，所以点不是函数图象的对称中心，故D不正确．

综上选C．

点睛：解决函数综合性问题的注意点

（1）结合条件确定参数的值，进而得到函数的解析式．

（2）解题时要将看作一个整体，利用整体代换的方法，并结合正弦函数的相关性质求解．

（3）解题时要注意函数图象的运用，使解题过程直观形象化．

9．中，，满足，则的面积的最大值为（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】A

【解析】利用数量积公式以及平方关系计算得到，利用模长公式以及基本不等式得到，结合三角形面积公式化简即可求解.

【详解】

,即

，即

所以

所以

故选：A

【点睛】

本题主要考查了平面向量的数量积公式以及模长公式的应用，属于中档题.

10．已知双曲线：（，），，分别为其左、右焦点，为坐标原点，若点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心，为半径的圆上，则双曲线的离心率是（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

由题意，，，设一条渐近线方程为，则到渐近线的距离为，设关于渐近线的对称点为，与渐近线交于，则，，为的中点，又是的中点，，为直角，为直角三角形，由勾股定理得，，，，则.

故选：C

点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.

11．在正方体中，，分别为，上的动点，且满足，则下列4个命题中，所有正确命题的序号是（    ）．

①存在，的某一位置，使       

②的面积为定值

③当时，直线与直线一定异面       

④无论，运动到何位置，均有

A．①②④ B．①③ C．②④ D．①③④

【答案】D

【解析】依次判断，每个选项：①当，分别为棱，的中点时满足，正确；取特殊位置的面积为变化，故错误；③假设不成立推出矛盾，正确；④平面，正确.得到答案.

【详解】

①当，分别为棱，的中点时满足，正确；

②当与重合时：；当与重合时：（为正方体边长），错误；

③当时，假设直线与直线是共面直线，则与共面，矛盾，正确；

④如图所示：分别为在平面内的投影，易证平面，正确.

故选：

【点睛】

本题考查了空间几何中直线的平行，垂直，异面，意在考查学生的空间想象能力.

12．若函数在区间内有两个不同的零点，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】分离常数，构造函数，利用导数求出函数的最值，即可求出实数的取值.

【详解】

解：

在内有两解，

令

则

在为减函数，在上为增函数，

当时，取得最小值

且当时，，

故选：

【点睛】

本题考查函数的零点问题，参变分离是解答的关键，属于中档题.

二、填空题

13．若ax2+的展开式中x5的系数是—80，则实数a=_______.

【答案】-2

【解析】试题分析：因为，所以由，因此

【考点】二项式定理

【名师点睛】本题是二项式定理问题中的常见题型，二项展开式的通项往往是考查的重点.本题难度不大，易于得分.能较好地考查考生的基本运算能力等.

14．在菱形中，，将这个菱形沿对角线折起，使得平面平面，若此时三棱锥的外接球的表面积为，则的长为_________．

【答案】.

【解析】建立空间直角坐标系，列出等式求解即可．

【详解】

解：取中点，如图，以为原点建立空间直角坐标系，设，

等边三角形中心为，等边三角形中心为，外接球球心为，

则，，，，，，，

则半径为，

因为外接球表面积为，

则，所以，所以，

故选：．

【点睛】

本题考查三棱锥外接球的体积计算方法，属于中档题．

15．已知数列满足，，，则(1)________，

(2)_____________.

【答案】.    .   

【解析】（1）将已知等式中的换为，作差即求得；

（2）将所求式子，整理后，运用等差数列的定义和求和公式，计算可得所求和．

【详解】

解：（1），①，

当时，

可得，②，

①②得，；

为以为首项，的等差数列，

（2）

 由（1）得为公差为3的等差数列，又由可得，

则．

故答案为：；

【点睛】

本题考查等差数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．

16．如图，哈尔滨市有相交于点的一条东西走向的公路与一条南北走向的公路，有一商城的部分边界是椭圆的四分之一，这两条公路为椭圆的对称轴，椭圆的长半轴长为2，短半轴长为1(单位:千米). 根据市民建议，欲新建一条公路，点分别在公路上，且要求与椭圆形商城相切，当公路长最短时，的长为________千米.

【答案】

【解析】设为,联立可得,利用可得,则,利用均值不等式求最值,再由取等条件求得即可

【详解】

由题,设为,由图易得,联立可得,则,

即,

因为为,为,

则

,当且仅当,即时取等,即

故答案为：

【点睛】

本题考查圆锥曲线的实际应用,考查利用均值不等式求最值,考查运算能力

三、解答题

17．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

（1）求角B的值；

（2）若△ABC的面积为，设D为边AC的中点，求线段BD长的最小值．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）根据，化简可得，进一步得到，然后求出的值；

（2）由（1）的角及三角形面积公式可得的值，因为D为边AC的中点，所以，利用向量的模和基本不等式可求的取值范围，即可得到的最小值.

【详解】

解：（1）由，得，

即，即.

由正弦定理得，因，

所以，则，

所以， 所以，即.

（2）由△ABC的面积为，即，得.

因为D为边AC的中点，所以，所以，

即，

当且仅当时取“=”，所以，即线段BD长的最小值为.

【点睛】

本题考查了三角恒等变换，面积公式和基本不等式，考查了转化思想和方程思想，属于中档题．

18．已知正方形ABCD，E，F分别为AB，CD的中点，将△ADE沿DE折起，使△ACD为等边三角形，如图所示，记二面角A-DE-C的大小为.

（1）证明：点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上；

（2）求角的正弦值.

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】（1）过点作平面，垂足为，连接，．证明在的垂直平分线上，则点在平面内的射影在直线上，

（2）以点为坐标原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，过点作平行于的向量为轴建立空间直角坐标系．设正方形的边长为，分别求出平面与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得角的正弦值．

【详解】

（1）证明：过点A作AG⊥平面BCDE，垂足为G，连接GC，GD.

因为△ACD为等边三角形，所以AC=AD，所以点G在CD的垂直平分线上.

又因为EF是CD的垂直平线，所以点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上.

另证：过点A作AG⊥EF，再证AG⊥CD，从而证得AG⊥平面BCDE，

即点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上

（2）解：以G为坐标原点，GA所在直线为z轴，GF所在直线为y轴，过点G作平行于DC的直线为x轴建立空间直角坐标系.

设正方形ABCD的边长为2a，连接AF，

则 ，， 

所以

设平面的一个法向量为，则，

令，得，又平面的一个法向量

所以，

.

【点睛】

本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了二面角的平面角的求法，属于中档题．

19．如图，已知椭圆的长轴，长为4，过椭圆的右焦点作斜率为（）的直线交椭圆于、两点，直线，的斜率之积为.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知直线，直线，分别与相交于、两点，设为线段的中点，求证：.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】（1）由长轴长为4可得a，设出点B，C的坐标，利用斜率之积为，可得，即可得到b2，可得椭圆方程；

（2）设直线BC的方程为：y＝k（x﹣1）与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，直线的方程为：y（x+2）与x=4联立，可得点M，N的坐标，可得线段MN的中点E．利用根与系数的关系及其斜率计算公式可得，只要证明1即可．

【详解】

（1）设，，因点在椭圆上，所以，

故.又，，

所以，即，又，所以

故椭圆的方程为.

（2）设直线的方程为：，，，

联立方程组，消去并整理得，

，则，.

直线的方程为，令得，

同理，；

所以，

代入化简得，即点，又，

所以，所以.

【点睛】

本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、斜率计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

20．已知函数.

（1）当时，求函数在区间上的值域.

（2）对于任意，都有，求实数的取值范围.

【答案】(1) (2)

【解析】试题分析：（1）先求导数，再求导数，得从而确定，再根据单调性得值域（2）先整理不等式得，转化为函数在区间为增函数，再转化为对应函数导数恒非负，分离变量得最小值，最后利用导数求函数单调性，得最值，即得实数的取值范围.

试题解析：（1）当时，，

，

令，有，

当时，，

当时，

得，解得：，

故当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，

所以当时，，可得，

函数在区间上单调递减，

，

，

故函数在区间上的值域为.

（2）由，有，

故可化为，

整理为：，

即函数在区间为增函数，

，

，故当时，，

即，

①当时，；

②当时，整理为：，

令，有 ，

当，，，有，

当时，由，有 ，可得，

由上知时，函数单调递减，

故，

故有：，可得.

点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

21．随着科学技术的飞速发展，网络也已经逐渐融入了人们的日常生活，网购作为一种新的消费方式，因其具有快捷、商品种类齐全、性价比高等优势而深受广大消费者认可.某网购公司统计了近五年在本公司网购的人数，得到如下的相关数据(其中“x=1”表示2015年，“x=2”表示2016年，依次类推；y表示人数)：

（1）试根据表中的数据，求出y关于x的线性回归方程，并预测到哪一年该公司的网购人数能超过300万人；

（2）该公司为了吸引网购者，特别推出“玩网络游戏，送免费购物券”活动，网购者可根据抛掷骰子的结果，操控微型遥控车在方格图上行进. 若遥控车最终停在“胜利大本营”，则网购者可获得免费购物券500元；若遥控车最终停在“失败大本营”，则网购者可获得免费购物券200元. 已知骰子出现奇数与偶数的概率都是，方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第20格。遥控车开始在第0格，网购者每抛掷一次骰子，遥控车向前移动一次.若掷出奇数，遥控车向前移动一格（从到）若掷出偶数遥控车向前移动两格（从到），直到遥控车移到第19格胜利大本营）或第20格（失败大本营）时，游戏结束。设遥控车移到第格的概率为，试证明是等比数列，并求网购者参与游戏一次获得免费购物券金额的期望值.

附：在线性回归方程中，.

【答案】（1），预计到2022年该公司的网购人数能超过300万人；

（2）约400元.

【解析】（1）依题意，先求出，代入公式即可得到，，可得回归方程为，令，．所以预计到2022年该公司的网购人数能超过300万；

（2）遥控车移到第（）格的情况是下列两种，而且也只有两种.

①遥控车先到第格，又掷出偶数，其概率为

②遥控车先到第格，又掷出奇数，其概率为

所以，即可证得是等比数列，

利用累加法求出数列的通项公式，即可求得失败和获胜的概率，从而计算出期望.

【详解】

解：（1）

故  从而

所以所求线性回归方程为，

令，解得.

故预计到2022年该公司的网购人数能超过300万人

（2）遥控车开始在第0格为必然事件，，第一次掷骰子出现奇数，遥控车移到第一格，其概率为,即.遥控车移到第（）格的情况是下列两种，而且也只有两种.

①遥控车先到第格，又掷出奇数，其概率为

②遥控车先到第格，又掷出偶数，其概率为

所以，

当时，数列是公比为的等比数列

以上各式相加，得

 （），

 获胜的概率

失败的概率

设参与游戏一次的顾客获得优惠券金额为元，或

X的期望

参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值为，约400元.

【点睛】

本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，等比数列的证明，等比数列求和公式，累加法求数列的通项公式以及数学期望的计算，属于难题．

22．己知直线的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为，直线与曲线C交于A、B两点，点．

（1）求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）求的值．

【答案】（1） ， ；（2） .

【解析】（1）直线的参数方程消去t可求得普通方程。由直角坐标与极坐标互换公式，求得曲线C普通方程。（2）直线的参数方程改写为（t为参数），由t的几何意义求值。

【详解】

直线l的参数方程为为参数，消去参数，可得直线l的普通方程，

曲线C的极坐标方程为，即，曲线C的直角坐标方程为，

直线的参数方程改写为（t为参数），

代入，，，，

．

【点睛】

由直角坐标与极坐标互换公式，利用这个公式可以实现直角坐标与极坐标的相互转化。

23．已知函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）证明：．

【答案】（1）；（2）见解析.

【解析】（1）分3段去绝对值解不等式组，再取并集；

（Ⅱ）由题，，，所以，当且仅当时等号成立，再利用基本不等式可证．

【详解】

解：（1）当时，；

①当时，原不等式等价于，解得；

②当时，原不等式等价于，不等式无解；

③当时，原不等式等价于，解得，

综上，不等式的解集为；

（2）证明：因为，所以，当且仅当时取“”

所以

当且仅当且时取“”，故得证.

【点睛】

本题考查了绝对值不等式的解法，属于中档题．