湖南省衡阳市第八中学2022届高三上学期第五次月考试题数学含答案

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请注意：时量：120分 分值：150分
一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则 ( C )
A．B．C．D．
2．已知复数，则( C )
A．3B．5C．D．
3．设向量，，则与夹角的余弦值为( B )
A．0B．C．D. 1
4．一个袋子中装有大小形状完全相同的个白球和个黑球，从中一次摸出个球，则摸出白球个数多于黑球个数的概率为 ( C )
A．B．C．D．
5. 已知是数列的前项和，且满足，则 ( D )
A．B．C．D．
6. 某化工厂产生的废气经过过滤后排放，以模型去拟合过滤过程中废气的污染物浓度与时间之间的一组数据，为了求出线性回归方程，设，其变换后得到线性回归方程为，则当经过后，预报废气的污染物浓度为( D )
A．B．C．D．
【详解】当时， ，所以.
7. 已知双曲线的一条渐近线与圆相交于A,B两点，若,则双曲线的离心率为( C )
A．B．C．D．
8．已知，则下列关系不可能成立的是（ D ）
A．B．C．D．
【详解】依题意，令，则，，，
令，，和，则a，b，c可分别视为函数，，的图象与直线交点的横坐标，
观察图象得：当时，，当时，，当时，，显然不可能，所以不可能成立的是.
二．多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9. 已知函数的部分图象如图所示，下列结论正确的是 ( CD)
A．
B．的图象关于直线对称
C．将的图象向右平移个单位，得到函数的图象
D．若，则
解析：由图可知，函数的最小正周期为，则，
，得，所以，，得，，得，所以，A项错误；
将的图象向右平移个单位，得到函数的图象，C项正确；
，故B项错误；
的最小正周期为，所以若，则，故D项正确，
10.下列说法中正确的是 ( BD)
A.已知随机变量X服从二项分布,则
B.已知随机变量X服从正态分布且,则
C.已知随机变量X的方差,则
D．“A与B是互斥事件”是 “A与B是对立事件”的必要不充分条件
11．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点射入，经过C上的点A反射后，再经C上另一点B反射后，沿直线射出，经过点Q．下列说法正确的是(ACD )
A．若，则
B．若，则
C．若，则平分
D．若，延长交直线于点M，则M，B，Q三点共线
【详解】如图，若，则，C的焦点为，则，选项A正确；
延长交直线于点M，则，M，B，Q三点共线，选项D正确；
若，则，C的焦点为，直线，可得，选项B不正确；
时，因为，所以．又，所以平分，选项C正确．
12.如图，正方形与正方形边长均为1，平面与平面互相垂直，是上的一个动点，则以下结论正确的是（ CD ）
A．的最小值为
B．的最小值为
C．当在直线上运动时，三棱锥的体积不变
D．三棱锥的外接球表面积为
对于A，连接，，因为
故得到平面，，
易得，故A错误；
对于B，如图，将翻折到与平面共面，则当、、三点共线时，
取得最小值，
，故B错误；
对于C，做于，在直线上运动时，
的面积等于矩形面积的一半，矩形的面积为定值，故的面积是定值，点到面的距离为 故三棱锥的体积不变，故C正确；
对于D，将该几何体补成正方体，则外接球半径为,外接球表面积故D正确．
三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．求的展开式中的系数为____14________
14．已知角的终边经过点，若，则____________
15．已知公差不为的等差数列的前项和为，若，则的最小值为___
（1）当，
，所以的最小值为.
（2）当，不合题意.
16. 已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，
则的值为__1____；若函数有唯一零点，则实数的值为_或
∵,分别是定义在R上的偶函数和奇函数，，
∴，又∵①，
∴② +②：，∴,
又∵
换元设 又∵有唯一零点，等价于有唯一解，
设，∵为偶函数，∴当且仅当时为唯一零点，
∴，解得或.
四．解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本题10分）已知数列满足，，.记.
（1）证明：是等比数列.
（2）设，求数列的前n项和.
证明：因为，所以，整理得，
因为，所以是首项为2，公比为2的等比数列.
（2）解：由（1）易知，因为，
所以.
18.（本题12分）在中，角的对边分别是，已知且
求证：
求的面积
19．（本题12分）某学校为了了解全校学生的体重情况，从全校学生中随机抽取了100人的体重数据，结果这100人的体重全部介于45公斤到75公斤之间，现将结果按如下方式分为6组：第一组[45，50)，第二组[50，55)，…，第六组[70，75)，得到如下图(1)所示的频率分布直方图，并发现这100人中，其体重低于55公斤的有15人，这15人体重数据的茎叶图如图(2)所示，以样本的频率作为总体的概率．
(I)求频率分布直方图中的值；
(II)从全校学生中随机抽取3名学生，记X为体重在[55，65)的人数，求X的概率分布列和数学期望；
(III)由频率分布直方图可以认为，该校学生的体重近似服从正态分布，其中若，则认为该校学生体重是正常的．试判断该校学生的体重是否正常?并说明理由．
解：(Ⅰ)由图（2）知，100名样本中体重低于50公斤的有2人，
用样本的频率估计总体的概率，可得体重低于50公斤的概率为，则，
在上有13人，该组的频率为0.13，则，所以，即c=0.07.
(Ⅱ)用样本的频率估计总体的概率，可知从全体学生中随机抽取一人，体重在的概率为0.07×10=0.7，随机抽取3人，相当于三次独立重复试验，随机变量X服从二项分布，E(X)=2.1
则，，，
，所以，X的概率分布列为：
(Ⅲ)由N(60,25)得由图（2）知.
所以可以认为该校学生的体重是正常的.
20．（本题12分）如图，为圆的直径，点在圆上，且为等腰梯形，矩形和圆所在的平面互相垂直，已知．
（1）求证：平面平面；
（2）当的长为何值时，二面角的大小为．
（1）证明：平面平面，且，平面平面，所以平面，
因为平面，所以，又因为为圆的直径，所以，所以平面，又由平面，所以平面平面.
（2）解：设的中点分别为，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，
设，则点D的坐标为，
则，设平面的法向量为)，则，即，取，可得，则，
由（1）可知平面，平面的一个法向量为，
则，
因为二面角的大小为，可得 解得，所以线段的长为.
21．（本题12分）已知平面内动点与点和点的连线的斜率之积为.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点的直线与曲线交于，两点，且（），求直线斜率的取值范围.
（1）设，则，整理可得：，即，
所以动点的轨迹的方程为，
（2）由题意可知直线的斜率存在且不为，
设，，直线的方程为：，由可得：，
所以，，
因为， 所以，，
所以，即，
因为在上单调递减，所以，
所以，因为，由可得：，
所以直线的斜率或.所以直线斜率的取值范围为.
22．（本题12分）已知，函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）过原点分别作曲线和的切线和，求证：存在，使得切线和的斜率互为倒数；
（3）若函数的图象与轴交于两点，，且．设，其中常数、满足条件，，试判断函数在点处的切线斜率的正负，并说明理由．
（1）的定义域是，，时，恒成立，在递增，
时，时，，时，，
的增区间是，减区间是．
（2），，
设的切线方程是，则，显然，，切点为，
于是，解得，所以的斜率为，于是的斜率为
设的切点坐标为，由，，
又，所以，整理得，
设，，
当时，，递增，而，所以 ，
时，，递减，又，
所以存在，使得，因此关于的方程有正数解．
所以存在，使得切线和的斜率互为倒数；
（3），，
因为函数的图象与轴交于两2点，，且．
所以，两式相减得：，
，
因为，，所以，又，，所以，
下面考虑即的符号，
令，，设，，
，
因为，所以，，所以在上恒成立，
所以在上是增函数，所以，即，
又，所以，
所以，即，
所以函数在点处的切线斜率为正．
X
0
1
2
3
P
0.027
0.189
0.441
0.343