2022届湖南省长沙市雅礼中学高三下学期月考（七）数学试题含解析

2022届湖南省长沙市雅礼中学高三下学期月考（七）

数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】首先解一元二次不等式与指数不等式得到集合、，再根据交集的定义计算可得；

【详解】解：由可得，可得，所以集合，，所以.

故选：C.

2．已知复数，则（       ）

A．5 B． C． D．2

【答案】C

【解析】先求出，再根据复数模的求法即可求得结果

【详解】由复数，得，

所以.

故选：C.

3．函数的图像可能是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先判断函数奇偶性，可排除C选项，再由特殊值验证，即可得出结果.

【详解】由可得其定义域为，

又，所以函数是偶函数；

因为偶函数关于轴对称，所以可排除C选项；

又，所以AB选项错误，D正确；

故选：D.

【点睛】本题主要考查函数图像的识别，属于基础题型.

4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于(　　)

A．6 B．7 C．8 D．9

【答案】A

【详解】分析：条件已提供了首项，故用“a1，d”法，再转化为关于n的二次函数解得．

解答：解：设该数列的公差为d，则a4+a6=2a1+8d=2×（-11）+8d=-6，解得d=2，

所以Sn=-11n+

×2=n2-12n=(n-6)2-36，所以当n=6时，Sn取最小值．

故选A

点评：本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力．

5．如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，则平面AD1E与平面ABCD的交线与直线C1D1所成角的正切值为（       ）

A． B． C． D．2

【答案】A

【分析】先找到平面AD1E与平面ABCD的交线，再利用异面直线的定义找到交线与直线C1D1所成角，求解即可.

【详解】延长与直线相交于F，连接,

则平面与平面的交线为，

又∵

∴为平面与平面的交线与直线所成角，

∵是棱的中点，且∥，

∴，∴.

故选：A.

6．现行普通高中学生在高一时面临着选科的问题，学校抽取了部分男､女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图：

根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是不正确的（       ）

A．样本中的女生数量多于男生数量

B．样本中有两理一文意愿的学生数量多于有两文一理意愿的学生数量

C．样本中的男生偏爱两理一文

D．样本中的女生偏爱两文一理

【答案】D

【解析】由等高堆积条形图逐项判断即可.

【详解】解：由条形图知女生数量多于男生数量，故A正确；

有两理一文意愿的学生数量多于有两文一理意愿的学生数量，故B正确；

男生偏爱两理一文，故C正确；

女生中有两理一文意愿的学生数量多于有两文一理意愿的学生数量，故D错误.

故选：D.

7．下图上半部分为一个油桃园.每年油桃成熟时，园主都需要雇佣人工采摘，并沿两条路径将采摘好的油桃迅速地运送到水果集散地处销售.路径1：先集中到处，再沿公路运送；路径2：先集中到处，再沿公路运送.园主在果园中画定了一条界线，使得从该界线上的点出发，按这两种路径运送油桃至处所走路程一样远.已知，，若这条界线是曲线的一部分，则曲线为（       ）

A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线

【答案】D

【分析】根据题意得到，进而得到，结合双曲线的定义，即可求解.

【详解】由题意，从界线上的点出发，经到与经到，所走的路程是一样的，

即，所以，

又由，所以，

又由，根据双曲线的定义可知曲线为双曲线的一部分.

故选：D.

8．已知函数是定义域为的偶函数，且是奇函数，当时，有，若函数的零点个数为5，则实数取值范围是（       ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】C

【分析】函数的零点个数为5等价于与的图像交点的个数为5，然后作出函数图象，数形结合即可得出结果.

【详解】∵偶函数，，是奇函数，得，即

，，得，，即与的图像交点的个数，因为，即为与的图像交点的个数，因为

的图像为半圆，故由图像可知斜率应该在与之间或为，

或，

故选：C.

【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．

二、多选题

9．设分别是双曲线的左、右焦点，且，则下列结论正确的是（       ）

A．

B．t的取值范围是

C．到渐近线的距离随着t的增大而减小

D．当时，C的实轴长是虚轴长的3倍

【答案】BC

【分析】由，得到，可判定A错误；由且，可判定B正确；由到渐近线的距离等于虚半轴长为，可判定C正确；当时，求得双曲线的实轴和虚轴承，可判定D错误.

【详解】由题意，双曲线，可得，

因为，可得，解得，所以A错误；

因为双曲线焦点在x轴上，由且，得t的取值范围是，所以B正确；

因为到渐近线的距离等于虚半轴长为，其在上单调递减，所以C正确；

当时，双曲线C的实轴长为，虚轴长为4，其中实轴长是虚轴长的倍，

所以D错误.

故选：BC.

10．如图为某省高考数学卷近三年难易程度的对比图（图中数据为分值）．根据对比图，其中正确的为（       ）

数学近三年难易程度对比

A．近三年容易题分值逐年增加

B．近三年中档题分值所占比例最高的年份是年

C．年的容易题与中档题的分值之和占总分的以上

D．近三年难题分值逐年减少

【答案】AC

【分析】根据近三年高考数学卷中容易题、中档题、难题分值的数据的变化可判断ABD选项的正误；计算出年的容易题与中档题的分值之和可判断C选项的正误.

【详解】对于A选项，由图可知，近三年容易题分值逐年增加，A选项正确；

对于B选项，由图可知，近三年中档题分值所占比例最高的年份是年，B选项错误；

对于C选项，由图可知，年的容易题与中档题的分值之和为，所占比例为，C选项正确；

对于D选项，由图可知，近三年难题分值先增后减，D选项错误.

故选：AC.

11．如图，已知长方体ABCD−A1B1C1D1中，四边形ABCD为正方形，AB=2，AA1=，E，F分别为AB，BC的中点．则（       ）

A．A1E⊥DF

B．点A1、E、F、C1四点共面

C．直线C1D与平面BB1C1C所成角的正切值为

D．三棱锥E−C1DF的体积为

【答案】BCD

【分析】对于A，假设，得到平面，再由长方体性质判断；对于B，连接，，，根据E，F分别为，的中点，证明即可； 对于C，根据平面，得到为直线与平面所成角求解判断； 对于D，连接，，利用等体积法，由求解判断.

【详解】对于A，假设，由题意知平面，平面，

，又，平面，由长方体性质知与平面不垂直，故假设不成立，故A错误；

对于B，连接，，，由于E，F分别为，的中点，，又由长方体，知，，所以点、E、F、四点共面，故B正确；

对于C，由题意可知平面，为直线与平面所成角，在直角中，，，则，故C正确；

对于D，连接，，，则，利用等体积法知：，故D正确.

故选：BCD.

12．若实数，则下列不等式中一定成立的是（       ）

A．

B．

C．

D．

【答案】ABD

【分析】构造函数，利用导数可确定的单调性，根据单调性可依次判断出ABC的正误；构造函数，利用导数可确定单调性，根据单调性可确定D正确.

【详解】对于A，设，则，

当时，恒成立，在上单调递减，

，，，即，

，A正确；

对于B，由A知，在上恒成立，在上单调递减，

，，，即，

，即，

，B正确；

对于C，若，则，即；

由A知，当时，；当时，；

在上单调递增，在上单调递减，

，若，此时与大小关系不确定，即与大小关系不确定，C错误；

对于D，设，则；

令，则，

当时，，即在上单调递增，

当时，，此时，在上单调递减，

，，，即，

，D正确.

故选：ABD.

三、填空题

13．若则_________．

【答案】

【分析】利用诱导公式、二倍角正弦公式，将目标式子化成关于的表达式，再进行求值；

【详解】原式.

故答案为.

【点睛】本题考查诱导公式、二倍角正弦公式、同角三角函数的基本关系，考查基本运算求解能力，求解时要灵活地运用1的代换，能使问题的求解更简洁.

14．在的展开式中，的系数是___________.

【答案】-15

【分析】利用二项展开式的通项公式可求的系数.

【详解】的展开式的通项公式为，

令，则，故的系数为，

故答案为：.

15．某盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次摸出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为_______．

【答案】

【分析】直接利用条件概率公式计算得到答案.

【详解】记第一次摸出新球为事件A，第二次取到新球为事件B，

则.

故答案为：.

【点睛】本题考查了条件概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.

四、双空题

16．如图，酒杯的形状为倒立的圆锥.杯深，上口宽，水以的流量倒入杯中，则当水深为时，时刻________，水升高的瞬时变化率_________.

【答案】         

【解析】计算出当水深为时，水的体积，然后除以流速可得出时刻的值，设水的深度为，求出关于的函数表达式，利用导数可求得当水深为时，水升高的瞬时变化率.

【详解】当水深为时，酒杯中水面的半径为，此时水的体积为，

由题意可得，可得；

设水的深度为，水面半径为，则，则，

由题意可得，，

，当时，.

故答案为：；.

【点睛】本题考查变化的快慢与变化率，正确解答本题关键是得出高度关于时间的函数关系，然后利用导数求出高度为时刻的导数值，即得出此时的变化率，本题是一个应用题求解此类题，正确理解题意很关键．由于所得的解析式复杂，解题时运算量较大，要认真解题避免因为运算出错导致解题失败．

五、解答题

17．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.

（1）求角A的大小；

（2）求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）利用正弦定理求出，又，即可求出A；

（2）由余弦定理及三角形内角和定理把原文太转化为求在上的范围，利用三角函数即可求解.

【详解】（1）由，

结合正弦定理可得：

整理得：，即

又，所以，又，故.

（2）由余弦定理知：，再结合内角和定理：

从而

又因为，故，从而

即的取值范围为.

【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求最值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.

18．已知正项数列，其前项和为．

（1）求数列的通项公式：

（2）设，求数列的前项和．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）Sn前后两项作差消去，求得an的前后两项关系，从而求得an的通项公式；

（2）由（1）求得bn，对n分奇数，偶数两种情况讨论，分组求和求得数列前n项和.

【详解】解：（1）由已知，①

所以有，②

②-①，得，即，∴，

所以数列是公比为的等比数列．

又，∴．所以

（2）由（1）得，

当n为奇数时，

当n为偶数时，

综上所述，

【点睛】方法点睛：（1）通过an+1=Sn+1-Sn得到an前后两项的关系，从而求得通项公式；

（2）对于含有(-1)n的问题可以讨论n的奇偶性，即可去掉该项，然后按照分组求和的方法求得数列前n项和.

19．如图，在多面体中，是正方形，，M为棱的中点．

（1）求证：平面平面；

（2）若平面，，求二面角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【分析】（1）连接，交于点N，连接，由三角形中位线定理可得，再由线面平行的判定定理可得平面，由已知条件可得四边形为平行四边形，则有，再由线面平行的判定定理可得平面，从而由线面平行的判定定理可证得结论；

（2）由已知条件可得两两垂直，所以分别以为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可

【详解】解析：（1）证明：如图，连接，交于点N，

∴N为的中点，

连接，由M为棱的中点，则．

∵面，面，∴平面．

∵，∴四边形为平行四边形，

∴．又平面，平面，

∴平面，又，

∴平面平面．

（2）∵平面是正方形

∴分别以为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设，

则

设平面的法向量为，则

∵平面平面，又

∴平面，∴平面的法向量为．

，

由图可知二面角为钝角，

∴二面角的余弦值为．

【点睛】关键点点睛：此题考查面面平行的判定，考查二面角的求法，解题的关键是建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可，考查推理能力和计算能力，属于中档题

20．第24届冬奥会将于2022年2月在中国北京市和张家口巿联合举行．某城市为传播冬奥文化，举行冬奥知识讲解员选技大赛．选手需关注活动平台微信公众号后，进行在线答题，满分为200分．经统计，有40名选手在线答题总分都在内．将得分区间平均分成5组，得到了如图所示的频率分布折线图．

（1）请根据频率分布折线图，画出频率分布直方图，并估计这40名选手的平均分；

（2）根据大赛要求，在线答题总分不低于190分的选手进入线下集训，线下集训结束后，进行两轮考核．第一轮为笔试，考试科目为外语和冰雪运动知识，每科的笔试成绩从高到低依次有，，，四个等级．两科均不低于，且至少有一科为，才能进入第二轮面试，第二轮得到“通过”的选手将获得“冬奥知识讲解员”资格．已知总分高于195分的选手在每科笔试中取得，，，的概率分别为，，，；总分不超过195分的选手在每科笔试中取得，，，的概率分别为，，，；若两科笔试成绩均为，则无需参加“面试”，直接获得“冬奥知识讲解员”资格；若两科笔试成绩只有一个，则要参加面试，总分高于195分的选手面试“通过”的概率为，总分不超过195分的选手面试“通过”的概率为．若参加线下集训的选手中有2人总分高于195分，求恰有两名选手获得“冬奥知识讲解员”资格的概率．

【答案】（1）频率分布直方图见解析；平均分为；（2）．

【分析】（1）根据频率分布直方图画法和中位数的计算公式，即可求解；

（2）求得总分不低于190分的选手有人，其中有2人总分高于195分，2人总分不高于195分，结合独立事件的概率计算公式，即可求解.

【详解】（1）根据频率分布直方图的中位数的计算公式，可得数据的平均分为：

．

频率分布直方图如图所示：

（2）由题意，可得总分不低于190分的选手有人，

其中有2人总分高于195分，2人总分不高于195分，

设高于195分的选手获得“冬奥知识讲解员”资格为事件，不超过195分的选手获得“冬奥知识讲解员”资格为事件，

则，

，

故．

21．已知椭圆的焦距为，经过点．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设O为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M，N满足，直线分别交椭圆于A，B．，Q为垂足．是否存在定点R，使得为定值，说明理由．

【答案】（1）；（2）存在；答案见解析．

【分析】（1）利用，椭圆经过点列出方程，解出a,b,c即可.

（2）设出直线方程为，联立椭圆方程解出点M，N的坐标，题中可得l与m关系式，求出直线AB过定点，结合图形特点得中点R满足为定值，即可求出定值及点R坐标.

【详解】（1）由题意可知，又椭圆经过点知

解得，所以；

（2）设直线方程, 与椭圆C交于

，得

,

直线，即

因此M坐标为，同理可知

由知：

化简整理得

则

整理：

若则直线，过点P不符合题意

若则直线符合题意

直线过点

于是为定值且为直角三角形且为斜边

所以中点R满足为定值

此时点R的坐标为.

【点睛】（1）注意题目条件的利用，解方程的准确性;

（2）根据直线AB的特点来确定PD为定值，以及PD的中点R满足题目要求，要注意应用图形的几何特征.

22．已知函数．

(1)判断的单调性，并比较20202021与20212020的大小；

(2)若函数，其中，判断的零点的个数，并说明理由．

【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减，

(2)1个零点，理由详见解析

【分析】（1）求出，由，求出的单调区间，由函数在单调递减，可得，进而得到.

（2）由题意得，，当时，求出的单调性，根据零点存在定理可得出结论；当时，先求出的单调性，得出的极值，分析其极值符号，再根据零点存在定理可得出结论.

【详解】(1)已知的定义域为，，

当时，，所以函数在上单调递增；

当时，，所以函数在上单调递减.

因为函数在上单调递减，所以，即，

所以，即，所以.

(2)，

所以：.

当时，，，

所以在上单调递增，由，，

可知当时，存在，，即函数有且仅有1个零点.

当时，，注意到，

所以：时，，在上单调递增；

时，，在上单调递减；

时，，在上单调递增.

所以在上有极小值，有极大值.

一方面，注意到，所以存在唯一的，.

另一方面，设，，则：，

故在上单调递增，所以：，

所以在上恒小于0，在上恒小于0，即在上不存在零点.

综上所述：当时，有且仅有1个零点.

【点睛】本题考查导数的应用问题，属于难题．导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．