湖南省衡阳市第八中学2022届高三数学下学期开学考试试题（Word版附答案）

衡阳市八中2019级高三第六次月考试题

数    学

请注意：时量120分钟    满分150分

一．单选题：共8题，每题5分，共40分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1．已知集合，集合，则等于（      ）

A．      B．      C．          D．

2．若为纯虚数，则实数的值为（      ）

A．      B．      C．          D．

3．下列有关命题的说法正确的是（      ）

A．若，则

B．“”的一个必要不充分条件是“”

C． 若命题：，，则命题：，

D．，是两个平面，，是两条直线，如果，，，那么

4．定义：在数列中，若满足(，d为常数)，称为“等差比数列”，已知在“等差比数列”中，，，则等于（      ）

A．                 B．                    C．                 D．

（        ）

A.c>b>a                               B.a>c>b                          C.a>b>c                             D.c>a>b

6.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2，AB=BC=1，动点P，Q分别在线段C1D，AC上，则线段PQ长度的最小值是（     ）

A.                                  B.                            C.                                    D.

7．已知、是双曲线（，）的左、右焦点，关于双曲线的一条渐近线的对称点为，且点在抛物线上，则双曲线的离心率为（      ）

A．        B．2        C．             D．

8．已知定义在上的函数满足，当时，．若关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是（      ）

A．          B．          C．          D．

二、多选题：共4题，每小题5分，共20分. 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9．某学校为研究高三学生的考试成绩，根据高三第一次模拟考试在高三学生中随机抽取50名学生的思想政治考试成绩绘制成频率分布直方图如图所示，已知思想政治成绩在的学生人数为15，把频率看作概率，根据频率分布直方图，下列结论正确的是（    ）

A．

B．

C．本次思想政治考试平均分为80

D．从高三学生中随机抽取4人，其中3人成绩在内的概率为

10．已知函数，则下列说法正确的是（      ）

A．函数的周期为                                   B．函数图象的一条对称轴为直线

C．函数在上单调递增              D．函数的最小值为

11．已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，以线段为直径的圆交轴于两点，设线段的中点为，则下列说法正确的是（      ）

A．若抛物线上的点到点的距离为，则抛物线的方程为

B．以AB为直径的圆与准线相切                       

C．线段AB长度的最小值是

D．的取值范围为

12．如图，已知菱形中，，，E为边的中点，将△沿翻折成△（点位于平面上方），连接和，F为的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（    ）

A．平面平面                            B．与的夹角为定值

C．三棱锥体积最大值为           D．点F的轨迹的长度为                                                                                   

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

14．过抛物线C:上的一点M(非顶点)作C的切线与x轴､y轴分别交于A､B两点，则______.

15．某种游戏中，黑､黄两个“电子狗”从棱长为1的正方体的顶点出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”. 黑“电子狗”爬行的路线是，黄“电子狗”爬行的路线是，它们都遵循如下规则：所爬行的第段与第段所在直线必须是异面直线(其中是正整数).  设黑“电子狗”爬完2008段、黄“电子狗”爬完2009段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、黄“电子狗”间的距离是______.

四、解答题：本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．已知函数()

（I）求的最小正周期；

（II）求在区间上的最大值和最小值，并分别写出相应的的值.

18．已知数列为等比数列,数列满足，且.  设为数列的前项和.

（1）求数列､的通项公式及；

（2）若数列满足,求的前项和.

19．如图1，在直角梯形中，，，，，，点在上，且，将沿折起，使得平面平面(如图2)，为中点.

（1）求证：平面；

（2）求四棱锥的体积；

（3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

20.平面直角坐标系中，椭圆：（）的离心率是，抛物线E：的焦点是的一个顶点.

（I）求椭圆C的方程；

（II）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.

（i）求证：点M在定直线上;

（ii）直线与y轴交于点G，记的面积为，的面积为，求 的最大值及取得最大值时点P的坐标.

21.2021年6月17日9时22分，我国酒泉卫星发射中心用长征遥十二运载火箭，成功将神舟十二号载人飞船送入预定轨道，顺利将聂海胜、刘伯明、汤洪波3名航天员送入太空，发射取得圆满成功，这标志着中国人首次进入自己的空间站．某公司负责生产的A型材料是神舟十二号的重要零件，该材料应用前景十分广泛．该公司为了将A型材料更好地投入商用，拟对A型材料进行应用改造、根据市场调研与模拟，得到应用改造投入x（亿元）与产品的直接收益y（亿元）的数据统计如下：

当时，建立了y与x的两个回归模型：模型①：，模型②：；当时，确定y与x满足的线性回归方程为．

（1）根据下列表格中的数据，比较当时,模型①，②的相关指数的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对A型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益；

（2）为鼓励科技创新，当应用改造的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴5亿元，以回归方程为预测依据，根据（1）中选择的拟合精度更高更可靠的模型，比较投入17亿元与20亿元时公司收益（直接收益+国家补贴）的大小．

附：刻画回归效果的相关指数，且当越大时，回归方程的拟合效果越好．．用最小二乘法求线性回归方程的截距：．

22.设函数f(x)=ax2-a-lnx，其中a ∈R.

（I）讨论f(x)的单调性；

（II）确定a的所有可能取值，使得在区间（1，+∞）内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数)。

衡阳市八中2019级高三第六次月考试题

数    学

请注意：时量120分钟    满分150分

参考答案

4.由题意可得：，，，

根据“等差比数列”的定义可知数列是首项为1，公差为2的等差数列，

则，

所以，，

所以．

7．由题意关于双曲线的一条渐近线的对称点为，且到渐近线的距离为b，

∴中，，，又，所以，

∴，∴，又点在抛物线上，

∴的长度为抛物线中抛物线的焦点到抛物线的准线的距离，

∴由抛物线的定义得到：，

∴，∴，

∴.   故选：D.  

8．当时，

函数在上单调递减，在上单调递增，且

，函数关于对称，过定点

如图所示，画出函数图像：

当与相切时，设切点为

则

根据对称性考虑左边图像，根据图像验证知是方程唯一解，此时

故答案为

故选：

9．ABD

由题知，，选项A正确；

，选项B正确；

本次思想政治考试平均分估计值为，选项C错误；

可知在内的概率为0.16，从高三学生中随机抽取4人，其中3人成绩在内的概率为，选项D正确，

故选：ABD．

10．ABD

解：函数

.所以函数的周期为，故A选项正确；

当时，，所以直线是函数图象的一条对称轴，故B选项正确；

当，则，由正弦函数性质可知，此时单调递减，故C选项错误；由可知，当时，取得最小值为，故D选项正确.

故选：ABD.

11．BCD

由题意，抛物线的焦点为，准线方程为，

对于A中，由抛物线上的点到点的距离为，抛物线的定义，可得，

解得，所以抛物线的方程为，所以A不正确；

对于B中，分别过点，作准线的垂线，垂足分别为，如图所示，

则线段的中点为到准线的距离为

根据抛物线的定义，可得，所以，

所以，即圆心到准线的距离等于圆的半径，

即以AB为直径的圆与准线相切，所以B正确；

设，由抛物线的定义，可得，

当直线的斜率不存在时，可设直线的方程为，

联立方程组，解得，此时

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

联立方程组，整理得，

可得，所以，

综上可得，线段AB长度的最小值是，所以C正确；

设直线的方程为，联立方程组，整理得，

可得，

则，则

则点到的距离为，

所以，

所以，所以D正确.

故选：BCD.

12．ABD

A：由，，E为边的中点知：且，易知，，而，故面，又面，所以面面，正确；

B：若是的中点，又F为的中点，则且，而且，所以且，即为平行四边形，故，所以与的夹角为或其补角，若为中点，即，由A分析易知：，故与的夹角为，正确；

C：由上分析知：翻折过程中当面时，最大，此时，错误；

D：由B分析知：且，故F的轨迹与到的轨迹相同，由A知：到的轨迹为以为圆心，为半径的半圆，而为中点，故到的轨迹为以中点为圆心，为半径的半圆，所以F的轨迹长度为，正确.

故选：ABD.

13．24     14．   15．1     16．(-∞,ln )

14.由，则.

设点,则曲线C在M处的切线的斜率为.

所以曲线C在M处的切线方程为：.

即.所以

由三点的坐标可得，点为的中点.

所以.故答案为：

15．1

由题意，黑"电子狗"爬行路线为

，即过6段后又回到起点，可以看作以6为周期，所以黑"电子狗"爬完2008段后实质是到达点;同理，黄"电子狗"也是过6段后又回到起点.

黄“电子狗"爬完2009段后到达点;此时的距离为.

故答案为: 1.

17．【详解】（1），

，，

所以的最小正周期为.

（2）∵，

∴，

当，即，，

当，时，.

18．（1）,,,；（2）

(1)对,则,因为为等比数列,则为定值.则为定值,则数列为等差数列.

,

则,,,;

(2),

设,为数列的前项和,则有:

(*)式(**)式,得:

,.

当时,;

当时,,

即

19.（1）因为为中点，，

所以，因为平面平面，

平面平面，平面，

所以平面；

（2）在直角三角形中，，

，

，

所以四棱锥的体积为

；

（3）

如图，过点作交于点，过点作交于点，连接，

因为，平面，平面，

所以平面，

同理平面，

又因为，

所以平面平面，

因为平面，所以平面，

所以上存在点，使得平面，

，    四边形是平行四边 形，

，，又，.

20.（1）模型②拟合精度更高、更可靠，亿；

（2）投入17亿元比投入20亿元时收益小.

（1）对于模型①，

对应的，

故对应的，

故对应的相关指数，

对于模型②，同理对应的相关指数，

故模型②拟合精度更高、更可靠.

故对A型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益为.

（2）当时，

后五组的，，

由最小二乘法可得，

故当投入20亿元时公司收益（直接收益+国家补贴）的大小为：

，

故投入17亿元比投入20亿元时收益小.

21. （I）由题意可得e==，抛物线E：x2=2y的焦点F为（0，），

即有b=，a2﹣c2=，解得a=1，c=，

可得椭圆的方程为x2+4y2=1；

（Ⅱ）（i）证明：设P（x0，y0），可得x02=2y0，

由y=x2的导数为y′=x，即有切线的斜率为x0，

则切线的方程为y﹣y0=x0（x﹣x0），可化为y=x0x﹣y0，代入椭圆方程，

可得（1+4x02）x2﹣8x0y0x+4y02﹣1=0，

△=64x02y02﹣4（1+4x02）（4y02﹣1）＞0，可得1+4x02＞4y02．

设A（x1，y1），B（x2，y2），

可得x1+x2=，即有中点D（，﹣），

直线OD的方程为y=﹣x，可令x=x0，可得y=﹣．

即有点M在定直线y=﹣上；

（ii）直线l的方程为y=x0x﹣y0，令x=0，可得G（0，﹣y0），

则S1=|FG|•|x0|=x0•（+y0）=x0（1+x02）；

S2=|PM|•|x0﹣|=（y0+）•=x0•，

则=，

令1+2x02=t（t≥1），则==

==2+﹣=﹣（﹣）2+，

则当t=2，即x0=时，取得最大值，

此时点P的坐标为（，）．

22.（I）

<0，在内单调递减.

由=0，有.

此时，当时，<0，单调递减；

当时，>0，单调递增.

（II）令=，=.

则=.

而当时，>0，

所以在区间内单调递增.

又由=0，有>0，

从而当时，>0.

当，时，=.

故当>在区间内恒成立时，必有.

当时，>1.

由（I）有,从而，

所以此时>在区间内不恒成立.

当时，令，

当时，，

因此，在区间单调递增.

又因为，所以当时， ，即 恒成立.

综上，