2022届北京市一零一中学高三下学期入学考试数学试题题含解析

这是一份2022届北京市一零一中学高三下学期入学考试数学试题题含解析，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022届北京市一零一中学高三下学期入学考试数学试题题
一、单选题
1．已知，，复数和在复平面内对应的点分别为A、B，则线段AB长度为（       ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】根据复数的运算法则求出及，根据复数的几何意义求出A、B，根据两点间距离公式即可求出AB长度.
【详解】，
，，
所以和在复平面内对应的点分别为，,
所以.
故选：B.
2．已知，那么在下列不等式中，不成立的是
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用作差法可判断A、B选项的正误，利用正弦、余弦值的有界性可判断C、D选项的正误.综合可得出结论.
【详解】，则，，
又、，，.
可得：ABC成立，D不成立.
故选：D.
【点睛】本题考查不等式正误的判断，一般利用作差法来进行判断，同时也要注意正弦、余弦有界性的应用，考查推理能力，属于中等题.
3．在中，“”是“为钝角三角形”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】推出的等价式子，即可判断出结论.
【详解】为钝角三角形.
∴在中，“”是“为钝角三角形”的充要条件.
故选：C.
【点睛】本题考查和与差的正切公式、充分性和必要性的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
4．下列函数中，不存在极值点的是（       ）
A．y＝x+ B．y＝2 C．y＝xlnx D．y＝-2x3-x
【答案】D
【分析】利用导数分析得选项A中的函数有两个极值点，选项C中的函数有一个极值点，选项D中的函数没有极值点；由选项B的函数的单调性得函数有一个极值点. 即得解.
【详解】解：由题意函数，则，所以函数在内单调递增，在单调递减，所以函数有两个极值点和；
函数，根据指数函数的图象与性质可得，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，所以函数在处取得极小值；
函数，则，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，当时，函数取得极小值；
函数，则，所以函数在上单调递减，没有极值点.
故选：D
5．将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（       ）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
【答案】C
【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.
【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案，
故选：C.
【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.
6．将函数（）的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，且，下列说法错误的是（       ）
A．为偶函数
B．
C．当时，在上有3个零点
D．若在上单调递减，则的最大值为9
【答案】D
【解析】由平移变换和两角和的正弦公式化简得出函数的解析式，利用定义得出奇偶性，进而判断A选项；将代入函数的解析式，即可判断B选项；由余弦函数的性质判断C，D.
【详解】由题意得，由，得出
则
对A项，函数的定义域为，，则函数为偶函数
对B项，
对C项，当时，，由得：
，可以取，即当时，在上有3个零点
对D项，由，解得
则函数在区间上单调递减
因为在上单调递减，所以，解得
即的最大值为
故选：D
【点睛】本题主要考查了三角函数图象的平移变换求解析式，余弦函数性质的应用，在求余弦型函数的单调性时，利用整体法将余弦型函数的单调性化归为余弦函数的单调性来处理问题，属于中档题.
7．已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到在方向上的投影的取值范围是，利用向量数量积的定义式，求得结果.
【详解】
的模为2，根据正六边形的特征，
可以得到在方向上的投影的取值范围是，
结合向量数量积的定义式，
可知等于的模与在方向上的投影的乘积，
所以的取值范围是，
故选：A.
【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目.
8．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（       ）
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
【答案】B
【分析】根据独立事件概率关系逐一判断
【详解】 ，


故选：B
【点睛】判断事件是否独立，先计算对应概率，再判断是否成立


9．已知双曲线：的两条渐近线与圆：的4个公共点按照逆时针方向依次为，，，，且点，在第一象限，若，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设双曲线的渐近线的倾斜角为，根据圆与双曲线的渐近线的对称性得，得，得双曲线的一条渐近线的方程为，代入圆的方程，利用韦达定理和图形的对称性可得结果.
【详解】设双曲线的渐近线的倾斜角为，

因为圆：的圆心为，所以圆关于轴对称，
又双曲线的两条渐近线也关于轴对称，所以与关于轴对称，
由题意知，，所以，
所以，即，，
所以．将代入，得，设，，则，
所以，
故选：A．
【点睛】关键点点睛：求解本题有两个关键点：一是数形结合得到；二是利用图形的对称性得到的值等于点，的纵坐标之和的二倍．
二、多选题
10．在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（       ）
A．当时，的周长为定值
B．当时，三棱锥的体积为定值
C．当时，有且仅有一个点，使得
D．当时，有且仅有一个点，使得平面
【答案】BD
【分析】对于A，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标；
对于B，将点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；
对于C，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数；
对于D，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数．
【详解】
易知，点在矩形内部（含边界）．
对于A，当时，，即此时线段，周长不是定值，故A错误；
对于B，当时，，故此时点轨迹为线段，而，平面，则有到平面的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确．
对于C，当时，，取，中点分别为，，则，所以点轨迹为线段，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，，，，则，，，所以或．故均满足，故C错误；
对于D，当时，，取，中点为．，所以点轨迹为线段．设，因为，所以，，所以，此时与重合，故D正确．
故选：BD．
【点睛】本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内．


三、填空题
11．已知函数，若对任意都有（c为常数），则常数m的一个取值为_________．
【答案】（答案不唯一，只要是即可）
【分析】先根据函数的对称性得到，再根据诱导公式求出都可满足条件.
【详解】函数中心对称点都在x轴上，所以，
所以对任意恒成立，
，
所以，故利用诱导公式得都可满足条件.
故答案为：（答案不唯一，只要是即可）
【点睛】正弦函数的奇偶性，对称性，周期性，单调性及诱导公式等等是我们必备的基础知识，做题时经常用到.
12．如图，在等边三角形ABC中， AB=6.动点P从点A出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A点，记P运动的路程为x，点P到此三角形中心O距离的平方为f(x)，给出下列三个结论：


①函数f(x)的最大值为12；
②函数f(x)的图象的对称轴方程为x=9；
③关于x的方程最多有5个实数根.
其中，所有正确结论的序号是____.
【答案】①②
【解析】写出分别在上运动时的函数解析式，利用分段函数图象可解.
【详解】
分别在上运动时的函数解析式，
分别在上运动时的函数解析式，
分别在上运动时的函数解析式，
，

由图象可得，方程最多有个实数根
故正确的是①②.
故答案为：①②
【点睛】利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等.解决上述问题的关键是根据题意画出相应函数的图象，利用数形结合思想求解.
四、双空题
13．设等比数列｛an｝满足a1+a2＝48，a4+a5＝6，则公比q＝______，
log2（a1a2a3…an）的最大值为__________.
【答案】          15
【分析】根据等比数列的通项公式，结合指数幂的运算法则、等差数列的前项和公式、配方法进行求解即可.
【详解】因为a1+a2＝48，所以由a4+a5＝6，
可得：，
由a1+a2＝48，可得，所以，
，
因为，,
所以时，有最大值，最大值为15，
故答案为：；15 .
14．已知椭圆，双曲线．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为__________；双曲线N的离心率为__________．
【答案】          2
【详解】分析：由正六边形性质得渐近线的倾斜角，解得双曲线中关系，即得双曲线N的离心率；由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为，再根据椭圆定义得，解得椭圆M的离心率.
详解：由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为，再根据椭圆定义得，所以椭圆M的离心率为
双曲线N的渐近线方程为，由题意得双曲线N的一条渐近线的倾斜角为，
点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
15．如图，直三棱柱ABC-A'B'C'的棱长均为2，O是BC中点，P是侧面BB'C'C内一点，且PA＝2，则点P的轨迹长度为_________；当PC'的长取最小值时，三棱锥O-PAA'的体积为___________.

【答案】     π    
【分析】由结合勾股定理以及圆的性质得出点的轨迹长度，由三点共线，此时PC'的长取最小值，结合等体积法得出三棱锥O-PAA'的体积.
【详解】由题意易知平面，所以，因为，所以，故点的轨迹是平面内以为圆心，为半径的半圆弧，如下图所示，故点的轨迹长度为，由图可知，当三点共线，此时PC'的长取最小值，过点作于点，连接，易知四点共面，连接交于点，过作于点，因为平面，所以，又则平面，故是三棱锥的高，因为，所以，又，所以，所以.
故答案为：π；

五、解答题
16．在中，，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
(1)的值；
(2)角的大小和的面积.
条件①：；条件②：.
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）若选①，则直接利用余弦定理可求得，若选②，先由同角三角函数的关系求出，然后由正弦定理可求出，
（2）若选①，先求出，再利用正弦定理可求出角，利用面积公式可求出其面积，若选②，由于，利用两角和的余弦公式展开计算可求出角，利用面积公式可求出其面积，
【详解】(1)选择条件①
因为，，，
由余弦定理，得，
化简得，
解得或（舍）.
所以；
选择条件②
因为，，
所以，
因为，，
所以，
由正弦定理得，得，
解得；
(2)选择条件①
因为，，
所以.
由正弦定理，得，
所以，
因为，所以，
所以为锐角，
所以，
所以，
选择条件②
由（1）知，，
又因为，，
在中，，
所以

因为
所以，
所以
17．在如图所示的多面体中，，四边形为矩形，，.

（1）求证：平面平面；
（2）设平面平面，再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择若干个作为已知，使二面角的大小确定，并求此二面角的余弦值.
条件①：；条件②：平面；条件③：平面平面.
【答案】（1）详见解析；（2）.
【分析】（1）根据四边形为矩形，得到，利用线面平行的判定定理得到平面，同理平面，然后利用面面平行的判定定理证明；
（2）选条件①：；条件②：平面，则以A为原点，以AB，AD，AE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求得平面CDF的一个法向量和平面EBF的一个法向量，利用求解.
【详解】（1）因为四边形为矩形，所以，
又平面；平面；
所以平面；
又，平面；平面；
所以平面；
又，
所以平面平面；
（2）选条件①：；条件②：平面；
以A为原点，以AB，AD，AE分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系；

则，
所以，
设平面CDF的一个法向量为 ，即，
设平面EBF的一个法向量为，
则，即，
令，则，则，
设二面角为 ，
所以
选条件①：；条件③：平面平面.
因为，平面平面.
所以平面
因为，
所以平面，
所以
因为，
所以，即，
所以，
因为平面平面.
所以平面，
以A为原点，以AB，AD，AE分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系；

则，
所以，
设平面CDF的一个法向量为 ，即，
设平面EBF的一个法向量为，
则，即，
令，则，则，
设二面角为 ，
所以
【点睛】方法点睛：向量法求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．
18．某公司在2013～2021年生产经营某种产品的相关数据如下表所示：
年份
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
年生产台数（单位：万台）
3
4
5
6
6
9
10
10

年返修台数（单位：台）
32
38
54
58
52
71
80
75

年利润（单位：百万元）










注：年返修率（表示年返修台数，表示年生产台数）
（1）从2013～2020年中随机抽取一年，求该年生产的产品的平均利润不小于100元/台的概率；
（2）公司规定：若年返修率不超过千分之一，则该公司生产部门当年考核优秀.现从2013～2020年中随机选出3年，记表示这3年中生产部门获得考核优秀的次数.求的分布列和数学期望；
（3）记公司在2013～2015年，2016～2018年，2019～2021年的年生产台数的方差分别为，，.若，其中表示，，这两个数中最大的数.请写出的最大值和最小值.（只需写出结论）
（注：，其中为数据，，，的平均数）
【答案】（1）；（2）分布列见解析，；（3）最大值为13，最小值为7.
【解析】（1）根据古典概型找出产品的平均利润小于100元/台的年份计算其个数，除以总的个数；
（2）返修率超过千分之一的年份只有2013，2015年，故的所有可能取值为1,2,3，且满足超几何分布，根据公式计算其概率，列出分布列；
（3）根据条件写出的最大值和最小值.
【详解】解：（1）由图表知，2013～2020年中，产品的平均利润小于100元/台的年份只有2015年，2016年.
所以从2013～2020年中随机抽取一年，
该年生产的产品的平均利润不小于100元/台的概率为.
（2）由图表知，2013～2020年中，返修率超过千分之一的年份只有2013，2015年，
所以的所有可能取值为1，2，3.
，，.
所以的分布列为

1
2
3





故的数学期望.
（3）的最大值为13，最小值为7.
【点睛】(1)超几何分布的两个特点:
①超几何分布是不放回抽样问题；
②随机变量为抽到的某类个体的个数.
(2)超几何分布的应用条件：
①两类不同的物品(或人、事)；
②已知各类对象的个数；
③从中抽取若干个个体.
19．已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）若直线与曲线相切，求证：．
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）求得，对实数的取值进行分类讨论，分别解不等式、，可得出函数的减区间和增区间；
（2）设切点坐标为，可得出，利用零点存在定理得出，构造函数，利用函数的单调性求得的取值范围，即为的取值范围，由此可求得的取值范围.
【详解】（1），.
当时，，此时函数在上单调递减；
当时，由可得，由可得.
此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，由可得，由可得.
此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
综上所述，当时，函数在上单调递减；
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
（2）考虑直线与曲线相切，设切点坐标为，
，所以，，整理可得，
，，
令，则函数为上的增函数，
，，，
令，则，
当时，，所以，函数在区间上单调递减.
因为，则，即，
，因此，.
【点睛】方法点睛：利用导数求解函数单调区间的基本步骤：
（1）求函数的定义域；
（2）求导数；
（3）解不等式，并与定义域取交集得到的区间为函数的单调增区间；解不等式，并与定义域取交集得到的区间为函数的单调减区间.
20．已知椭圆C的方程为，右焦点为，且离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线与曲线相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）由离心率公式可得，进而可得，即可得解；
（2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证；
充分性：设直线，由直线与圆相切得，联立直线与椭圆方程结合弦长公式可得，进而可得，即可得解.
【详解】（1）由题意，椭圆半焦距且，所以，
又，所以椭圆方程为；
（2）由（1）得，曲线为，
当直线的斜率不存在时，直线，不合题意；
当直线的斜率存在时，设，
必要性：
若M，N，F三点共线，可设直线即，
由直线与曲线相切可得，解得，
联立可得，所以，
所以,
所以必要性成立；
充分性：设直线即，
由直线与曲线相切可得，所以，
联立可得，
所以，
所以
，
化简得，所以，
所以或，所以直线或，
所以直线过点，M，N，F三点共线，充分性成立；
所以M，N，F三点共线的充要条件是．
【点睛】关键点点睛：
解决本题的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的重中之重.
21．设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记s(m，n)为所有这样的数表构成的集合．
对于A∈S(m,n),记ri(A)为A的第ⅰ行各数之和（1≤ⅰ≤m），Cj(A)为A的第j列各数之和（1≤j≤n）：
记K(A)为∣r1(A)∣,∣R2(A)∣,…,∣Rm(A)∣,∣C1(A)∣,∣C2(A)∣,…,∣Cn(A)∣中的最小值．
对如下数表A，求K（A）的值；
1

1

-0.8

0.1

-0.3

-1



（2）设数表A∈S（2,3）形如
1

1

c

a

b

-1



求K（A）的最大值；
（3）给定正整数t，对于所有的A∈S（2,2t+1），求K（A）的最大值．
【答案】（1）0.7 （2）1 （3）
【考点定位】此题作为压轴题难度较大，考查学生分析问题解决问题的能力，考查学生严谨的逻辑思维能力
【详解】（1）因为，
所以
不妨设.由题意得.又因为，所以，
于是，，

所以，当，且时，取得最大值1．
（3）对于给定的正整数t，任给数表如下，




…







…




任意改变A的行次序或列次序，或把A中的每一个数换成它的相反数，所得数表
，并且，因此，不妨设，
且．
由得定义知，，
又因为
所以


所以，
对数表：
1

1

…

1



…







…



-1

…

-1



则且，
综上，对于所有的，的最大值为