初中人教版6.2 立方根导学案

人教版七年级数学下册《第六章 实数》复习专题训练

专题训练四：   平方根与立方根

◎【典例一】◎下列有关说法正确的是（　　）

A．0.16的算术平方根是±0.4;      B．（﹣6）2的算术平方根是﹣6; 

C．的算术平方根是±9;          D．的算术平方根是.

【答案】D．

【分析】根据算术平方根的定义求出每个数的算术平方根，再判断即可．

【解答】解：A、0.16的算术平方根是0.4，故本选项错误；

B、（﹣6）2的算术平方根是6，故本选项错误；

C、9，

即的算术平方根是3，故本选项错误；

D、的算术平方根是，故本选项正确；

故选：D．

■【变式1】一个自然数的算术平方根为a，则下一个自然数的算术平方根是（　　）

A． B． C．﹣a+1 D．a2+1

【答案】B．

【分析】根据乘方运算，可得被开方数，再根据开方运算，可得答案．

【解答】解：一个自然数的算术平方根为a，则下一个自然数的算术平方根是，

故选：B．

■【变式2】已知|a|＝5，7，且|a+b|＝a+b，则a﹣b的值为（　 　）

A．2或12 B．2或﹣12 C．﹣2或12 D．﹣2或﹣12

【答案】D．

【分析】首先分别根据绝对值的和算术平方根的定义可求出a，b的值，然后把a，b的值代入|a+b|＝a+b中，最终确定a，b的值，然后求解．

【解答】解：∵|a|＝5，∴a＝±5，

∵7，

∴b＝±7，

∵|a+b|＝a+b，

∴a+b＞0，

所以当a＝5时，b＝7时，a﹣b＝5﹣7＝﹣2，

当a＝﹣5时，b＝7时，a﹣b＝﹣5﹣7＝﹣12，

所以a﹣b的值为﹣2或﹣12．

故选：D．

◎【典例二】◎（2021秋•海口期末）（﹣6）2的平方根是（　 　）

A．﹣6 B．36 C．±6 D．±

【答案】C．

【分析】首先根据平方的定义求出（﹣6）2的结果，然后利用平方根的定义即可解决问题．

【解答】解：∵（﹣6）2＝36，

∴±±6，

∴（﹣6）2的平方根是±6．

故选：C．

■【变式3】（2021秋•灌阳县期末）一个正数的两个平方根分别为a+3和4﹣2a，则这个正数为（　　）

A．7 B．10 C．﹣10 D．100

【答案】D．

【分析】利用平方根的定义得出a+3+4﹣2a＝0，求出a，进而求出答案．

【解答】解：∵一个正数的两个平方根分别为a+3和4﹣2a，

∴a+3+4﹣2a＝0，

解得：a＝7，

则a+3＝10，4﹣2a＝﹣10，

故这个正数是100．

故选：D．

■【变式4】（2022春•滑县月考）已知2a﹣1的平方根是±3，a+3b﹣1的算术平方根是4．

（1）求a、b的值；    （2）求ab+5的平方根．

【分析】（1）根据算术平方根、平方根的定义可得到2a﹣1＝9，a+3b﹣1＝16，进而求出a、b的值；

（2）将a、b的值代入ab+5求出其值，再利用平方根的定义求出结果即可．

【解答】解：（1）∵2a﹣1的平方根是±3，a+3b﹣1的算术平方根是4．

∴2a﹣1＝9，a+3b﹣1＝16，

解得a＝5，b＝4；

（2）当a＝5，b＝4时，ab+5＝25，

而25的平方根为±±5，

即ab+5的平方根是±5．

  ◎【典例三】◎（2021•铜仁市校级模拟）计算的结果是（　　）

A． B． C．±3 D．﹣3

【答案】D．

【分析】代表﹣27的立方根，根据立方根的定义求解即可．

【解答】解：∵（﹣3）3＝﹣27，

∴，

故选：D．

■【变式5】（2021秋•炎陵县期末）已知：y的立方根是2，2x﹣y是16的算术平方根，求：

（1）x、y的值；

（2）x2+y2的平方根．

【分析】（1）根据立方根、算术平方根的定义求出x、y的值；

（2）根据x、y的值求出x2+y2的值，最后求其算术平方根；

【解答】解：（1）由于y的立方根是2，2x﹣y是16的算术平方根，

所以有y＝23＝8，2x﹣y＝4，

解得x＝6，y＝8，

（2）当x＝6，y＝8，x2+y2＝100，

所以x2+y2的平方根为±±10．

■【变式6】若a2＝16，2，则a+b的值是（　　）

A．12 B．12或4 C．12或±4 D．﹣12或4

【答案】B．

【分析】根据a2＝16，2，可得：a＝±，﹣b＝（﹣2）3，据此分别求出a、b的值各是多少，再把它们相加，求出a+b的值是多少即可．

【解答】解：∵a2＝16，2，

∴a＝±±4，﹣b＝（﹣2）3＝﹣8，

∴a＝±4，b＝8，

∴a+b＝4+8＝12或a+b＝﹣4+8＝4．

故选：B．

◎【典例四】◎若（b﹣3）2+|c﹣2|＝0，求（a﹣b+c）3的值．

【分析】根据非负数的性质列方程求出a、b、c的值，然后代入代数式进行计算即可得解．

【解答】解：由题意得，a2﹣1＝0，b﹣3＝0，c﹣2＝0，

解得a＝±1，b＝3，c＝2，

当a＝﹣1，b＝3，c＝2时，原式＝（﹣1﹣3+2）3＝﹣8；

当a＝1，b＝3，c＝2时，原式＝（1﹣3+2）3＝0．

■【变式7】已知与互为相反数，求（x﹣y）2的平方根．

【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列出方程，再根据非负数的性质列方程求出x、y的值，然后求出（x﹣y）2的值，再根据平方根的定义解答．

【解答】解：∵与互为相反数，

∴0，

∴x+1＝0，y﹣2＝0，

解得x＝﹣1，y＝2，

所以，（x﹣y）2＝（﹣1﹣2）2＝9，

所以，（x﹣y）2的平方根是±3．

■【变式8】已知a，b为实数，且，求a2020﹣b2021的值．

【分析】由已知条件得到（1﹣b）0，利用二次根式有意义的条件得到1﹣b≥0，再根据几个非负数和的性质得到1+a＝0，1﹣b＝0，解得a＝﹣1，b＝1，然后根据乘方的意义计算a2020﹣b2021的值．

【解答】解：∵，

∴（1﹣b）0，

∵1﹣b≥0，1+a≥0，

∴1+a＝0，1﹣b＝0，

解得a＝﹣1，b＝1，

∴a2020﹣b2021＝（﹣1）2020﹣12021＝1﹣1＝0．

1．（2021秋•滨江区期末）已知某数的一个平方根为，则该数是 　　，它的另一个平方根是 　　．

【答案】6，．

【分析】根据平方根的平方等于被开方数，可得答案，根据一个正数的平方根互为相反数，可得答案．

【解答】解：某数的一个平方根是，那么这个数是6，它的另一个平方根是，

故答案为：6，．

2．（2021•威海模拟）的算术平方根是（　　）

A．±3 B．3 C．﹣3 D．9

【答案】B．

【分析】首先根据算术平方根的含义和求法，求出的值是9；然后求出9的算术平方根即可．

【解答】解：∵9，

∴的算术平方根是：3．

故选：B．

3．下列各式中，计算正确的是（　　）

A．±4 B．±4 C．4 D．±±8

【答案】C．

【分析】依据平方根和算术平方根的定义和性质求解即可．

【解答】解：A、±±4，原计算错误，故此选项不符合题意；

B、4，原计算错误，故此选项不符合题意；

C、4，原计算正确，故此选项符合题意；

D、±±4，原计算错误，故此选项不符合题意．

故选：C．

4．（2022春•滑县月考）下列说法不正确的是（　　）

A．4是16的算术平方根 B．是的一个平方根 

C．（﹣6）2的平方根﹣6 D．（﹣3）2的平方根是±3

【答案】C．

【分析】根据平方根、算术平方根的定义逐项进行判断即可．

【解答】解：A．4是16的算术平方根，是正确的，因此选项A不符合题意；

B．由于的平方根是±，因此是的一个平方根是正确的，所以选项B不符合题意；

C．（﹣6）2＝36，而36的平方根是±6，因此选项C是错误的，所以选项C符合题意；

D．（﹣3）2＝9，而9的平方根是±3，因此选项D是正确的，所以选项D不符合题意；

故选：C．

5．已知，1.414，4.472，则以下式子正确的是（　　）

A．0.1414     B．14.14 C．0.04472       D．44.72

【答案】B．

【分析】由2变为200，小数点向右边移动了2位，得到结果向左移动1位，即可得到近似结果．

【解答】解：∵1.414，

∴14.14．

故选：B．

6．（2021秋•海阳市期末）若x+3是9的一个平方根，则x的值为        .

【答案】0或﹣6．

【分析】依据平方根的定义得到x+3＝3或x+3＝﹣3，从而可求得x的值．

【解答】解：∵x+3是9的一个平方根，

∴x+3＝3或x+3＝﹣3，

解得：x＝0或x＝﹣6．

故选：0或﹣6．

7．（2021春•天心区期中）已知，则a2的值为（　　）

A．0 B．1 C．4 D．﹣4

【答案】C．

【分析】直接利用非负数的性质得出a，b的值，进而得出答案．

【解答】解：∵，

∴，

解得：

∴a2的值为：22＝4．

故选：C．

8．（2021秋•淮安期末）求下列各式中的x．

（1）4x2﹣25＝0；           （2）（x+3）2＝16；

（3）（x﹣1）3＝27．        （4）；

【分析】（1）利用平方根的概念解方程；

（2）利用平方根的概念解方程；

（3）利用立方根的概念解方程．

【解答】解：（1）（1）4x2﹣25＝0，∴x2，∴x，

（2）（x+3）2＝16，x+3＝±4，x＝﹣3±4，x＝1或x＝﹣7；

（3）（x﹣1）3＝27，x﹣1＝3，x＝4．

（4）等式两边都除以2得：（x﹣1）3，∴x﹣1，∴x；

9．（2021•翔安区模拟）如图，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别是x2（x＞0）和4，那么阴影部分的面积为（　　）

A．2x+4 B．2x﹣4 C．x2﹣4 D．2x﹣2

【答案】B．

【分析】根据两正方形面积，利用算术平方根定义求出各自的边长，表示出阴影部分面积即可．

【解答】∵两个相邻的正方形，面积分别是x2（x＞0）和4，

∴它们的边长分别为x和2，

∴阴影部分是一个长为2，宽为（x﹣2）的矩形，

∴阴影部分的面积为2（x﹣2）＝2x﹣4，

故选：B．

10．（2021春•饶平县校级月考）若2m﹣4与3m﹣11是同一个数的平方根，则m的值是（　 　）

A．﹣3 B．1 C．﹣3或﹣1   D．3或7

【答案】D．

【分析】依据平方根的性质列方程求解即可．

【解答】解：由题意知，2m﹣4+3m﹣11＝0或2m﹣4＝3m﹣11，

解得m＝3或m＝7．

故选：D．

11．有一个数值转换器，原理如图，当输入的x为64时，输出的y是（　　）

A．2 B．8 C． D．

【答案】C．

【分析】利用数值转换器中的程序，算术平方根的意义和无理数的意义解答即可．

【解答】解：∵64的算术平方根为8，8为有理数，

∴依据程序，8要再次输入运算．

∵8的算术平方根为，为无理数，

∴依据程序，输出．

∴输出的y．

故选：C．

12．（2021秋•文山市期末）已知：2a+1的算术平方根是3，3a﹣b﹣1的立方根是2，求的值．

【分析】根据算术平方根和立方根的定义求出a，b的值，代入求值即可．

【解答】解：∵2a+1的算术平方根是3，3a﹣b﹣1的立方根是2，

∴2a+1＝32＝9，3a﹣b﹣1＝23＝8，

∴a＝4，b＝3，

∴原式4．

13．（2021春•越秀区校级期中）如图，有一个面积为400cm2的正方形．

（1）正方形的边长是多少？

（2）若沿此正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为5：4，且面积为360cm2？若能，试求出剪出的长方形纸片的长与宽；若不能，试说明．

【分析】（1）根据正方形的面积等于边长乘以边长．利用算术平方根的意义进行计算．

（2）先求出长方形的边长，再判断即可．

【解答】解：（1）∵正方形的面积为400cm2，

∴正方形的边长是20（cm）；

（2）设长方形纸片的长为5xcm，宽为4xcm，

则5x•4x＝360，

解得：x＝3，

则5x＝1520，

所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，不能使剪出的长方形纸片的长宽之比为5：4，且面积为360cm2．

14．观察例题：∵即

∴的整数部分为2，小数部分为．

请你观察上述规律后解决下面的问题：

（1）规定用符号[m]表示实数m的整数部分例如：，[3.14]＝3，按此规定[1]＝　4　

（2）如果的小数部分为a，的小数部分为b，求|a|﹣|b|的值．

【分析】（1）估算出的取值范围可以得到答案；

（2）由例题看出，知道了一个数的取值范围可以求出它的整数部分和小数部分，的小数部分为1，的小数部分为2，据此可以得到答案．

【解答】解：（1）因为34，

所以[1]＝4．

（2）因为12，23

所以的小数部分为a1，的小数部分为b2，

所以|a|﹣|b|1﹣（2）1．

15．已知：非负数a、b满足．求的值．

【分析】首先利用非负数的性质求得a，b的值，然后根据即可对所求的式子进行化简求值．

【解答】解：根据题意得：，解得：．

原式

＝1

＝1

．