北师大版 (2019)选择性必修 第一册4.3 用向量方法研究立体几何中的度量关系第2课时复习练习题

3.4.3　用向量方法研究立体几何中的度量关系

第2课时　空间中的距离问题

1.在空间直角坐标系O-xyz中，平面OAB的一个法向量为n=(2，-2，1)，已知点P(-1，3，2)，则点P到平面OAB的距离d等于(　　)

A.4 B.2 C.3 D.1

【答案】B

【解析】点P到平面OAB的距离为d==2.

2.已知直线l过点A(1，-1，2)，和l垂直的一个向量为n=(-3，0，4)，则点P(3，5，0)到l的距离为(　　)

A. B.2 C.3 D.

【答案】A

3.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，CC1=2，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为              (　　)

A.2 B. C. D.1

【答案】D

【解析】如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，E(0，2，)，=(2，2，0)，=(0，2，)，易知AC1∥平面BED.

设n=(x，y，z)是平面BED的法向量.

则

取y=1，则n=(-1，1，-)为平面BED的一个法向量.

又=(2，0，0)，

所以点A到平面BDE的距离是d==1.

故直线AC1到平面BED的距离为1.

4.

如图，点C在圆锥PO的底面圆O上，AB是直径，AB=8，∠BAC=30°，圆锥的母线与底面成的角为60°，则点A到平面PBC的距离为              (　　)

A. B.2 

C. D.

【答案】C

【解析】如图，过点O作AB的垂线Ox，以Ox，OB，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

由题意可得A(0，-4，0)，B(0，4，0)，C(-2，2，0)，P(0，0，4)，=(2，2，0)，=(0，-4，4).

设平面PBC的法向量为m=(x，y，z)，

则所以

取y=，所以m=(-1，，1).

因为=(0，4，4)，

所以d=，

所以点A到平面PBC的距离为.

5.若O为坐标原点，=(1，1，-2)，=(3，2，8)，=(0，1，0)，则线段AB的中点P到点C的距离为(　　)

A. B.2 C. D.

【答案】D

【解析】∵)=(4，3，6)==(0，1，0)，

∴，

∴||=.

6.如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD.若已知AB=3，AD=4，PA=1，则点P到直线BD的距离为　　　　　. 

【答案】

【解析】如图，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

则P(0，0，1)，B(3，0，0)，D(0，4，0)，

∴=(3，0，-1)，

=(-3，4，0)，

∴点P到直线BD的距离

d=，

∴点P到直线BD的距离为.

7.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1=，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，则点B1到平面A1BC的距离为　　　　　. 

【答案】

【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，

则A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，0)，A1(1，0，)，B1(0，1，)，C1(0，0，)，

∴=(-1，1，-)，=(-1，0，-)，=(-1，1，0).

设平面A1BC的法向量为n=(x，y，z)，

则

令z=1，得x=-，y=0，

∴n=(-，0，1).

∴点B1到平面A1BC的距离d=.

8.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，求平面A1BD与平面B1CD1间的距离.

解以点D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，

=(0，1，-1)，=(-1，0，-1)，=(-1，0，0).

设平面A1BD的法向量为n=(x，y，z)，

则

则

令z=1，得y=1，x=-1，∴n=(-1，1，1)，

∴点D1到平面A1BD的距离

d=.

易证平面A1BD∥平面B1CD1，

∴平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离，

∴平面A1BD与平面B1CD1间的距离为.

9.

已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD=1，E，F分别为AB，BC的中点.

(1)求点D到平面PEF的距离;

(2)求直线AC到平面PEF的距离.

解(1)建立如图所示空间直角坐标系，

则P(0，0，1)，A(1，0，0)，

C(0，1，0)，E，

F，D(0，0，0)，

所以，

，

设平面PEF的法向量n=(x，y，z)，

则

令x=2，则y=2，z=3，所以n=(2，2，3)，

所以点D到平面PEF的距离d=，

因此点D到平面PEF的距离为.

(2)因为E，F分别为AB，BC的中点，

所以EF∥AC.

又因为AC⊄平面PEF，EF⊂平面PEF，

所以AC∥平面PEF.

因为，所以点A到平面PEF的距离d=.

所以直线AC到平面PEF的距离为.

10.如图，已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别是AB，AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC=2，则点B到平面EFG的距离为(　　)

A. B.

C. D.1

【答案】B

【解析】以C为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系(图略)，则F(4，2，0)，E(2，4，0)，G(0，0，2)，B(0，4，0)，∴=(2，0，0)，=(-2，2，0)，=(-2，-4，2).

设平面EFG的法向量为m=(x，y，z)，

则

令x=1，则y=1，z=3，则m=(1，1，3)，

∴点B到平面EFG的距离d=.

11.已知平面α的一个法向量n=(-2，-2，1)，点A(-1，3，0)在平面α内，则平面α外的点P(-2，1，4)到平面α的距离为(　　)

A.10 B.3

C. D.

【答案】D

【解析】由题意可知=(1，2，-4).

设点P到平面α的距离为h，则h=.

12.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是(　　)

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，

则D(0，0，0)，M，B(a，a，0)，A1(a，0，a)，

∴=(a，a，0)，=(a，0，a).

设平面MBD的法向量为n=(x，y，z)，

则

令x=1，则y=-1，z=-2，可得n=(1，-1，-2).

∴点A1到平面MBD的距离d=.

13.已知A(0，0，2)，B(1，0，2)，C(0，2，0)，则点A到直线BC的距离为(　　)

A. B.1

C. D.2

【答案】A

【解析】∵A(0，0，2)，B(1，0，2)，C(0，2，0)，

∴=(1，0，0)，=(-1，2，-2)，

∴点A到直线BC的距离为

d=

=.故选A.

14.已知A(2，3，1)，B(4，1，2)，C(6，3，7)，D(-5，-4，8)，则点D到平面ABC的距离为　　　　　. 

【答案】

【解析】设平面ABC的法向量n=(x，y，z)，

则

即

∴可取n=.

又=(-7，-7，7)，

∴点D到平面ABC的距离d=.

15.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=AD=1，则点B1到平面A1BC1的距离为　　　　　. 

【答案】

【解析】建立如图所示空间直角坐标系，

由已知，A1(1，0，1)，B(1，2，0)，C1(0，2，1)，

则=(0，2，-1)，=(-1，2，0).

设平面A1BC1的法向量为n=(x，y，z)，

则

取x=2，则n=(2，1，2).

又=(0，0，1)，故d=.

16.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=，AB=BC=AD=a，PA⊥平面ABCD，且PA=a，点F在AD上，且CF⊥PC.

(1)求点A到平面PCF的距离;

(2)求直线AD到平面PBC的距离.

解(1)由题意知AP，AB，AD两两垂直，建立空间直角坐标系，如图所示.

则A(0，0，0)，B(a，0，0)，C(a，a，0)，D(0，3a，0)，P(0，0，a).设F(0，m，0)，

则=(-a，m-a，0)，=(-a，-a，a).

∵PC⊥CF，∴，

∴=(-a)·(-a)+(m-a)·(-a)+0·a=a2-a(m-a)=0，

∴m=2a，即F(0，2a，0).

设平面PCF的法向量为n=(x，y，z)，

则

取x=1，得n=(1，1，2).

设点A到平面PCF的距离为d，由=(a，a，0)，

得d=a.

(2)由于=(-a，0，a)，=(0，a，0)，=(0，0，a).

设平面PBC的法向量为n1=(x0，y0，z0)，

由

取x0=1，得n1=(1，0，1).

设点A到平面PBC的距离为h，

∵AD∥BC，AD⊄平面PBC，

∴AD∥平面PBC，∴h为AD到平面PBC的距离，∴h=a.

17.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，问:线段AD上是否存在一点Q，使得它到平面PCD的距离为?若存在，求出的值;若不存在，说明理由.

解取AD的中点O，在△PAD中，

∵PA=PD，∴PO⊥AD.

又侧面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PO⊥平面ABCD.

建立如图所示的空间直角坐标系，易得A(0，-1，0)，B(1，-1，0)，C(1，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)，

则=(-1，0，1)，=(-1，1，0).

假设存在点Q，使它到平面PCD的距离为，

设Q(0，y，0)(-1≤y≤1)，则=(-1，y，0).

设平面PCD的法向量为n=(x0，y0，z0)，

则

即x0=y0=z0，取x0=1，

则平面PCD的一个法向量为n=(1，1，1).

∴点Q到平面PCD的距离d=，∴y=-或y=(舍去).

此时，

则||=，||=.

∴存在点Q满足题意，此时.