北师大版 (2019)选择性必修 第一册4.3 用向量方法研究立体几何中的度量关系第2课时复习练习题

这是一份北师大版 (2019)选择性必修 第一册4.3 用向量方法研究立体几何中的度量关系第2课时复习练习题，共10页。
3.4.3　用向量方法研究立体几何中的度量关系第2课时　空间中的距离问题1.在空间直角坐标系O-xyz中，平面OAB的一个法向量为n=(2，-2，1)，已知点P(-1，3，2)，则点P到平面OAB的距离d等于(　　)　　 　　　　　　　　　　　　　　A.4 B.2 C.3 D.1【答案】B【解析】点P到平面OAB的距离为d==2.2.已知直线l过点A(1，-1，2)，和l垂直的一个向量为n=(-3，0，4)，则点P(3，5，0)到l的距离为(　　)A. B.2 C.3 D.【答案】A3.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，CC1=2，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为              (　　)A.2 B. C. D.1【答案】D【解析】如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，E(0，2，)，=(2，2，0)，=(0，2，)，易知AC1∥平面BED.设n=(x，y，z)是平面BED的法向量.则取y=1，则n=(-1，1，-)为平面BED的一个法向量.又=(2，0，0)，所以点A到平面BDE的距离是d==1.故直线AC1到平面BED的距离为1.4.如图，点C在圆锥PO的底面圆O上，AB是直径，AB=8，∠BAC=30°，圆锥的母线与底面成的角为60°，则点A到平面PBC的距离为              (　　)A. B.2 C. D.【答案】C【解析】如图，过点O作AB的垂线Ox，以Ox，OB，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，由题意可得A(0，-4，0)，B(0，4，0)，C(-2，2，0)，P(0，0，4)，=(2，2，0)，=(0，-4，4).设平面PBC的法向量为m=(x，y，z)，则所以取y=，所以m=(-1，，1).因为=(0，4，4)，所以d=，所以点A到平面PBC的距离为.5.若O为坐标原点，=(1，1，-2)，=(3，2，8)，=(0，1，0)，则线段AB的中点P到点C的距离为(　　)A. B.2 C. D.【答案】D【解析】∵)=(4，3，6)==(0，1，0)，∴，∴||=.6.如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD.若已知AB=3，AD=4，PA=1，则点P到直线BD的距离为　　　　　. 【答案】【解析】如图，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则P(0，0，1)，B(3，0，0)，D(0，4，0)，∴=(3，0，-1)，=(-3，4，0)，∴点P到直线BD的距离d=，∴点P到直线BD的距离为.7.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1=，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，则点B1到平面A1BC的距离为　　　　　. 【答案】【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，0)，A1(1，0，)，B1(0，1，)，C1(0，0，)，∴=(-1，1，-)，=(-1，0，-)，=(-1，1，0).设平面A1BC的法向量为n=(x，y，z)，则令z=1，得x=-，y=0，∴n=(-，0，1).∴点B1到平面A1BC的距离d=.8.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，求平面A1BD与平面B1CD1间的距离.解以点D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，=(0，1，-1)，=(-1，0，-1)，=(-1，0，0).设平面A1BD的法向量为n=(x，y，z)，则则令z=1，得y=1，x=-1，∴n=(-1，1，1)，∴点D1到平面A1BD的距离d=.易证平面A1BD∥平面B1CD1，∴平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离，∴平面A1BD与平面B1CD1间的距离为.9.已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD=1，E，F分别为AB，BC的中点.(1)求点D到平面PEF的距离;(2)求直线AC到平面PEF的距离.解(1)建立如图所示空间直角坐标系，则P(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E，F，D(0，0，0)，所以，，设平面PEF的法向量n=(x，y，z)，则令x=2，则y=2，z=3，所以n=(2，2，3)，所以点D到平面PEF的距离d=，因此点D到平面PEF的距离为.(2)因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC.又因为AC⊄平面PEF，EF⊂平面PEF，所以AC∥平面PEF.因为，所以点A到平面PEF的距离d=.所以直线AC到平面PEF的距离为.10.如图，已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别是AB，AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC=2，则点B到平面EFG的距离为(　　)A. B.C. D.1【答案】B【解析】以C为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系(图略)，则F(4，2，0)，E(2，4，0)，G(0，0，2)，B(0，4，0)，∴=(2，0，0)，=(-2，2，0)，=(-2，-4，2).设平面EFG的法向量为m=(x，y，z)，则令x=1，则y=1，z=3，则m=(1，1，3)，∴点B到平面EFG的距离d=.11.已知平面α的一个法向量n=(-2，-2，1)，点A(-1，3，0)在平面α内，则平面α外的点P(-2，1，4)到平面α的距离为(　　)A.10 B.3C. D.【答案】D【解析】由题意可知=(1，2，-4).设点P到平面α的距离为h，则h=.12.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是(　　)A. B. C. D.【答案】A【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，M，B(a，a，0)，A1(a，0，a)，∴=(a，a，0)，=(a，0，a).设平面MBD的法向量为n=(x，y，z)，则令x=1，则y=-1，z=-2，可得n=(1，-1，-2).∴点A1到平面MBD的距离d=.13.已知A(0，0，2)，B(1，0，2)，C(0，2，0)，则点A到直线BC的距离为(　　)A. B.1C. D.2【答案】A【解析】∵A(0，0，2)，B(1，0，2)，C(0，2，0)，∴=(1，0，0)，=(-1，2，-2)，∴点A到直线BC的距离为d==.故选A.14.已知A(2，3，1)，B(4，1，2)，C(6，3，7)，D(-5，-4，8)，则点D到平面ABC的距离为　　　　　. 【答案】【解析】设平面ABC的法向量n=(x，y，z)，则即∴可取n=.又=(-7，-7，7)，∴点D到平面ABC的距离d=.15.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=AD=1，则点B1到平面A1BC1的距离为　　　　　. 【答案】【解析】建立如图所示空间直角坐标系，由已知，A1(1，0，1)，B(1，2，0)，C1(0，2，1)，则=(0，2，-1)，=(-1，2，0).设平面A1BC1的法向量为n=(x，y，z)，则取x=2，则n=(2，1，2).又=(0，0，1)，故d=.16.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=，AB=BC=AD=a，PA⊥平面ABCD，且PA=a，点F在AD上，且CF⊥PC.(1)求点A到平面PCF的距离;(2)求直线AD到平面PBC的距离.解(1)由题意知AP，AB，AD两两垂直，建立空间直角坐标系，如图所示.则A(0，0，0)，B(a，0，0)，C(a，a，0)，D(0，3a，0)，P(0，0，a).设F(0，m，0)，则=(-a，m-a，0)，=(-a，-a，a).∵PC⊥CF，∴，∴=(-a)·(-a)+(m-a)·(-a)+0·a=a2-a(m-a)=0，∴m=2a，即F(0，2a，0).设平面PCF的法向量为n=(x，y，z)，则取x=1，得n=(1，1，2).设点A到平面PCF的距离为d，由=(a，a，0)，得d=a.(2)由于=(-a，0，a)，=(0，a，0)，=(0，0，a).设平面PBC的法向量为n1=(x0，y0，z0)，由取x0=1，得n1=(1，0，1).设点A到平面PBC的距离为h，∵AD∥BC，AD⊄平面PBC，∴AD∥平面PBC，∴h为AD到平面PBC的距离，∴h=a. 17.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，问:线段AD上是否存在一点Q，使得它到平面PCD的距离为?若存在，求出的值;若不存在，说明理由. 解取AD的中点O，在△PAD中，∵PA=PD，∴PO⊥AD.又侧面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PO⊥平面ABCD.建立如图所示的空间直角坐标系，易得A(0，-1，0)，B(1，-1，0)，C(1，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)，则=(-1，0，1)，=(-1，1，0).假设存在点Q，使它到平面PCD的距离为，设Q(0，y，0)(-1≤y≤1)，则=(-1，y，0).设平面PCD的法向量为n=(x0，y0，z0)，则即x0=y0=z0，取x0=1，则平面PCD的一个法向量为n=(1，1，1).∴点Q到平面PCD的距离d=，∴y=-或y=(舍去).此时，则||=，||=.∴存在点Q满足题意，此时.