数学人教B版 (2019)2.6.1 双曲线的标准方程一课一练

课时分层作业(二十一)　双曲线的标准方程

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．双曲线＋＝1的焦距为(　　)

A．2　　　　　　　　 B．

C．5   D．10

A　[∵m－5＜0，∴0＜m＜5，方程化为标准方程为－＝1，

∴c2＝m＋5－m＝5，∴2c＝2．]

2．双曲线－＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为(　　)

A．22或2   B．7

C．22   D．5

A　[∵a2＝25，∴a＝5．由双曲线定义得||PF1|－|PF2||＝10，由题意知|PF1|＝12，∴|PF1|－|PF2|＝±10，∴|PF2|＝22或2．]

3．已知双曲线的一个焦点坐标为(，0)，且经过点(－5,2)，则双曲线的标准方程为  (　　)

A．－y2＝1   B．－x2＝1

C．－y2＝1   D．－＝1

A　[依题意可设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，

则有解得

故双曲线标准方程为－y2＝1．]

4．已知双曲线－＝1(m＞n＞0)和椭圆＋＝1有相同的焦点，则＋的最小值为(　　)

A．2　　　B．4　　　  C．6　　　D．9

D　[椭圆＋＝1是焦点在x轴上的椭圆，

且c2＝5－4＝1．

双曲线－＝1(m＞n＞0)和椭圆有相同的焦点．

∴m＋n＝1(m＞n＞0)，∴＋＝(m＋n)＝5＋＋≥5＋2＝9．

当且仅当＝，即m＝，n＝时取等号，∴＋的最小值为9．]

5．已知点M(－3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为(　　)

A．x2－＝1(x＞1)   B．x2－＝1(x＞0)

C．x2－＝1(x＞0)   D．x2－＝1(x＞1)

A　[设过点P的两切线分别与圆切于S，T，则|PM|－|PN|＝(|PS|＋|SM|)－(|PT|＋|TN|)＝|SM|－|TN|＝|BM|－|BN|＝2＝2a，所以曲线为双曲线的右支且不能与x轴相交，a＝1，c＝3，所以b2＝8，

故P点的轨迹方程为x2－＝1(x>1)．]

二、填空题

6．已知点F1、F2分别是双曲线－＝1(a＞0)的左、右焦点，P是该双曲线上的一点，且|PF1|＝2|PF2|＝16，则△PF1F2的周长是        ．

34　[因为|PF1|＝2|PF2|＝16，

所以|PF1|－|PF2|＝16－8＝8＝2a，

所以a＝4，又b2＝9，所以c2＝25，所以2c＝10．

△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝16＋8＋10＝34．]

7．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点为F1(－2，0)，F2(2,0)，点P(3，)在双曲线上，则双曲线方程为        ．

－＝1　[|PF1|＝＝4，

|PF2|＝＝2，

|PF1|－|PF2|＝2＝2a，所以a＝，

又c＝2，故b2＝c2－a2＝2．

所以双曲线方程为－＝1．]

8．已知定点A的坐标为(1,4)，点F是双曲线－＝1的左焦点，点P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为        ．

9　[由双曲线的方程可知a＝2，设右焦点为F1，则F1(4,0)．|PF|－|PF1|＝2a＝4，即|PF|＝|PF1|＋4，所以|PF|＋|PA|＝|PF1|＋|PA|＋4≥|AF1|＋4，当且仅当A，P，F1三点共线时取等号，此时|AF1|＝＝＝5，所以|PF|＋|PA|≥|AF1|＋4＝9，即|PF|＋|PA|的最小值为9．]

三、解答题

9．已知方程kx2＋y2＝4，其中k∈R，试就k的不同取值讨论方程所表示的曲线类型．

[解]　(1)当k＝0时，方程变为y＝±2，表示两条与x轴平行的直线；

(2)当k＝1时，方程变为x2＋y2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆；

(3)当k<0时，方程变为－＝1，表示焦点在y轴上的双曲线；

(4)当0<k<1时，方程变为＋＝1，表示焦点在x轴上的椭圆；

(5)当k>1时，方程变为＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆．

10．根据下列条件，求双曲线的标准方程．

(1)经过点P(4，－2)和点Q(2，2)；

(2)c＝，经过点(－5,2)，焦点在x轴上．

[解]　(1)设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)．

∵点P(4，－2)和点Q(2，2)在双曲线上，

∴解得

∴双曲线的方程为－＝1．

(2)法一：依题意可设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)．

依题设有解得

∴所求双曲线的标准方程为－y2＝1．

法二：∵焦点在x轴上，c＝，

∴设所求双曲线方程为－＝1(其中0＜λ＜6)．

∵双曲线经过点(－5,2)，

∴－＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)．

∴所求双曲线的标准方程是－y2＝1．

11．(多选题)已知双曲线8kx2－ky2＝8的焦距为6，则k的值为(　　)

A．1   B．2

C．－1   D．－2

AC　[由8kx2－ky2＝8得－＝1，因为焦距为6，所以c＝3．

若焦点在x轴上，则＋＝＝c2＝9，∴k＝1．

若焦点在y轴上，故方程可化为－＝1，k＜0

∴－＝9，∴k＝－1．]

12．设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于(　　)

A．4　　　B．8  C．24　　　D．48

C　[由可解得

又由|F1F2|＝10可得△PF1F2是直角三角形，

则S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝24．]

13．(一题两空)椭圆＋＝1与双曲线y2－＝1有公共点P，则P与椭圆两焦点连线构成三角形的周长为        ，P与双曲线两焦点连线构成三角形面积为        ．

24　24　[由已知椭圆与双曲线具有共同的焦点F1(0,5)，F2(0，－5)，

由椭圆与双曲线的定义可得

所以或

又|F1F2|＝10，∴△PF1F2为直角三角形，∠F1PF2＝90°，所以周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝14＋10＝24，S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝24．]

14．设双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为(，4)，则此双曲线的方程为        ．

－＝1　[法一：椭圆＋＝1的焦点坐标是(0，±3)，根据双曲线的定义，知2a＝＝4，故a＝2．又b2＝c2－a2＝5，故所求双曲线的方程为－＝1．

法二：椭圆＋＝1的焦点坐标是(0，±3)．设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则a2＋b2＝9，－＝1，解得a2＝4，b2＝5．故所求双曲线的方程为－＝1．

法三：设双曲线方程为＋＝1(27<λ<36)，由于曲线过点(，4)，故＋＝1，解得λ1＝32，λ2＝0(舍去)．故所求双曲线方程为－＝1．]

15．从双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F引圆x2＋y2＝a2的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于点P，若M是线段PF的中点，O为原点，则|MO|－|MT|的值是        ．

b－a　[如图所示，设双曲线的右焦点为F1，连接PF1，

则|PF|－|PF1|＝2a，在Rt△FTO中，|OF|＝c，

|OT|＝a，所以|FT|＝＝＝b，又M是线段PF的中点，

O为FF1中点，

所以|PF|＝2|MF|＝2(|MT|＋b)，

所以|MO|＝|PF1|＝(|PF|－2a)

＝(2|MT|＋2b－2a)＝|MT|＋b－a，

即|MO|－|MT|＝b－a．]