专题23：第4章解三角形之步步高型-备战2022中考数学解题方法系统训练（全国通用）(原卷+解析)

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23第4章解三角形之步步高型
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知三角形的两边长分别是3和5，则此三角形第三边的长可能是（ ）
A．1 B．2 C．3.5 D．8
【答案】C
【解析】
【分析】
能构成三角形的条件是，“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，根据构成三角形的条件解答此题.
【详解】
选项A，若第三边为1，则，不满足构成三角形的条件，故错误；
选项B，若第三边为2，则，不满足构成三角形的条件，故错误；
选项C，，满足构成三角形的条件符合，故正确；
选项D，若第三边为8，则，不满足构成三角形的条件，故错误．
【点睛】
本题考察构成三角形的条件，“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”.
2．如图，竖直放置的杆，在某一时刻形成的影子恰好落在斜坡的D处，而此时1米的杆影长恰好为1米，现量得为10米，为8米，斜与地面成30°角，则杆的高度为（ ）米．

A． B． C．8 D．6
【答案】A
【解析】
【分析】
如图：延长AB交水平线于点E,过C作DE的垂线,垂足为F,则CF=BE,BC=EF,根据题意可知∠CDE=30°结合CD=8运用三角函数可得CF=4，DF=,即BE=CF=4,DE=EF+DF=10+;又由1米的杆影长恰好为1米，则AE:DE=1:1,解得AE=10+;最后由AB=AE-BE即可解答．
【详解】
解：如图：延长AB交水平线于点E,过C作DE的垂线,垂足为F,则CF=BE,BC=EF
∵∠CDE=30°，CD=8
∴CF=CD·sin30°=8=4，DF=CD·cos30°=8=
∴DE= EF+DF=10+
又∵1米的杆影长恰好为1米
∴AE:DE=1:1，即AE=DE=10+
∴AB=AE-BE=10+-4=6+．
故答案为A．

【点睛】
本题考查了锐角三角函数解直角三角形，根据题意正确构造直角三角形并灵活运用三角函数解三角形是解答本题的关键．
3．如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，A4，…在x轴正半轴上，点B1，B2，B3，…在直线y＝x（x≥0）上，若A1（1，0），且△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，则线段B2019B2020的长度为（　　）

A．22021 B．22020 C．22019 D．22018
【答案】D
【解析】
【分析】
设△BnAnAn+1的边长为an，根据直线的解析式能够得出∠AnOBn=30°，再结合等边三角形的性质及外角的性质即可得出∠OBnAn=30°，∠OBnAn+1=90°，从而得出BnBn+1=an，由点A1的坐标为（1，0），得到a1=1，a2=1+1=2，a3=1+a1+a2=4，a4=1+a1+a2+a3=8，…，an=2n﹣1．即可求得B2019B2020=a2019=×22018=22018．
【详解】
设等边△BnAnAn+1的边长为an，
∵点B1，B2，B3，…是直线y=上的第一象限内的点，
∴∠AnOBn=30°，
又∵△BnAnAn+1为等边三角形，
∴∠BnAnAn+1=60°，
∴∠OBnAn=30°，∠OBnAn+1=90°，
∴BnBn+1=OBn==an，
∵点A1的坐标为（1，0），
∴a1=1，a2=1+1=2，a3=1+a1+a2=4，a4=1+a1+a2+a3=8，…，
∴an=2n﹣1．
∴B2019B2020=a2019=×22018=22018，
故选：D．
【点睛】
本题考查了一次函数的规律探究问题，等边三角形的性质以及三角形外角的性质，解直角三角形等，解题的关键是找出规律BnBn+1=OBn=an，解决该题型题目时，根据等边三角形边的特征找出边的变化规律是关键．

二、填空题
4．如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部5m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为50°．若测角仪的高度是1.5m，则建筑物AB的高度约为_____m．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）

【答案】7.5
【解析】
【分析】
过点D作DE⊥AB，垂足为点E，根据正切进行求解即可；
【详解】
解：如图，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，则DE＝BC＝5，DC＝BE＝1.5，
在Rt△ADE中，
∵tan∠ADE＝，
∴AE＝tan∠ADE•DE＝tan50°×5≈1.19×5＝5.95（米），
∴AB＝AE+BE＝5.95+1.5≈7.5（米），
故答案为：7.5．

【点睛】
本题主要考查了解直角三角形的实际应用，准确构造直角三角形是解题的关键．
5．如图，是矗立在高速公路地面上的一块交通警示牌，经测量得知PA＝4米，AB＝5米，∠PAD＝45°，∠PBC＝30°，则警示牌的高CD为______．(结果保留小数点后一位）

【答案】1.2米
【解析】
【分析】
在Rt△CPB中求出CP，在Rt△ADP中求出DP即可解决问题．
【详解】
在Rt△CPB中，∵∠CPB=90°，PB=AP+AB=9米，∠PBC=30°，
∴CP=PB•tan30°=9×=3，
在Rt△ADP中，∵∠APD=90°，∠PAD=45°，
∴∠MAD=∠MDA=45°，
∴PD=AP=4，
∴CD=CP-DP=3-4(米)
故答案为：米
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义，属于基础题中考常考题型．
6．如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°．若斜面坡度为1：,则斜坡AB的长是__________米．

【答案】
【解析】
【分析】
首先根据题意得出∠ABF=30°，进而得出∠PBA=90°，∠BAP=45°，再利用锐角三角函数关系求出即可．
【详解】
解：如图所示：过点A作AF⊥BC于点F，
∵斜面坡度为1：，
∴tan∠ABF=，
∴∠ABF=30°，
∵在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°，
∴∠HPB=30°，∠APB=45°，
∴∠HBP=60°，
∴∠PBA=90°，∠BAP=45°，
∴PB=AB，
∵PH=30m，sin60°=，
解得：PB=，
故AB=m，
故答案为：.

【点睛】
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出PB=AB是解题关键．
7．2019年，徐州马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事，这大幅度提升了徐州市的国际影响力，如图，在一场马拉松比赛中，某人在大楼A处，测得起点拱门CD的顶部C的俯角为35°，底部D的俯角为45°，如果A处离地面的高度AB＝20米，求起点拱门CD的高度_____m．（结果精确到1米；参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）．

【答案】6
【解析】
【分析】
作CE⊥AB于E，根据矩形的性质得到CE＝DB＝20，CD＝BE，根据正切的定义求出AE，结合图形计算即可．
【详解】
解：作CE⊥AB于E，

则四边形CDBE为矩形，
∴CE＝DB，CD＝BE，
在Rt△ADB中，∠ADB＝45°，
∴AB＝DB＝20，
∴CE＝20，
在Rt△ACE中，tan∠ACE＝，
∴AE＝CE·tan∠ACE≈20×0.70＝14，
∴CD＝BE＝AB﹣AE＝6m，
故答案为：6．
【点睛】
本题主要考查利用三角函数解决实际问题，同时涉及矩形有关性质，解题关键在于作出辅助线构造直角三角形进而即可求解．

三、解答题
8．数学课外学习小组利用矩形建筑物ABED测量广场灯塔CF的高，如图所示，在点B处测得灯塔顶端C的仰角为28°，在点D处测得灯塔顶端C的仰角为45°，已知AB＝10m，AD＝30m．求灯塔CF的高（结果保留整数）．
（参考数据：tan28°≈0.53， cos28°≈0.88，sin28°≈0.47，≈1.41）

【答案】55米
【解析】
【分析】
延长BE交CD于点G，交CF于点H，设CH＝xm，利用锐角三角函数的含义分别表示，再列方程求解即可．
【详解】
解：延长BE交CD于点G，交CF于点H，
在Rt中，∠EDG＝45°，
∴EG＝DE＝10m．∠EGD＝45°
设CH＝xm，
在Rt中，∠EGD＝45°，
∴GH＝xm
在Rt中，∠CBH＝28°，
∴tan∠CBH＝，
即：＝tan28°
解这个方程得：x≈45.1，
经检验：x≈45.1符合题意．
∴灯塔的高CF＝55.1≈55（m）
答：灯塔的高为55米．

【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数在解直角三角形中的应用是解题的关键．
9．如图，某同学在大楼AD的观光电梯中的E点测得大楼BC楼底C点的俯角为60°，此时该同学距地面的高度AE为27米，电梯再上升10米到达D点，此时测得大楼BC楼顶B点的仰角为45°，求大楼BC的高度．（结果保留根号）

【答案】（37+9）米．
【解析】
【分析】
过D作DH⊥BC于H，过E作EG⊥BC于G．求出EG和DH的长，在Rt△BDH中，求出BH，则可得出答案
【详解】
解：过D作DH⊥BC于H，过E作EG⊥BC于G．

由已知得，∠BDH＝45°，∠CEG＝60°．AE＝27，DE＝10．
在Rt△CEG中，CG＝AE＝27，tan，
∴EG＝＝．
∴DH＝EG＝9．
在Rt△BDH中，∵∠BDH＝45°，
∴BH＝DH＝9．
∴BC＝CG+HG+BH＝CG+DE+BH＝27+10+9＝（37+9）米．
答：大楼BC的高度是（37+9）米．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．
10．如图所示，某塔观光层的最外沿点为蹦极项目的起跳点.已知点离塔的中轴线的距离为10米，塔高为123米（垂直于地面），在地面处测得点的仰角，从点沿方向前行40米到达点，在处测得塔尖的仰角．

（1）求出点到塔底的距离；（结果保留根号）
（2）求点离地面的高度．（结果精确到1米，参考数据，，）
【答案】（1） （2）100米
【解析】
【分析】
（1）先根据锐角三角函数的定义求出DB的长，
（2）由CF=DB-FB+CD及∠α=45°即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵∴为直角三角形
在中，∵
∴
（2）∵，，
∴四边形为矩形，
∴
∴，
∴
在中，∵
∴为等腰直角三角形，
∴（米）
答：点离地面的高度约为100米.
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
11．我市在凤城河风景区举办了端午节赛龙舟活动，小亮在河畔的一幢楼上看到一艘龙舟迎面驶来，他在高出水面的处测得在处的龙舟俯角为；他登高到正上方的处测得驶至处的龙舟俯角为，问两次观测期间龙舟前进了多少？（结果精确到，参考数据：，，，）

【答案】两次观测期间龙舟前进了18米．
【解析】
【分析】
设BA与CD的延长线交于点O，由题意得出∠BDO=50°，∠ACO=23°，OA=15m，AB=6m，在Rt△BOD中，解直角三角形求得OD的长度，在Rt△AOC中，解直角三角形求出DC的长度即可．
【详解】
解：设BA与CD的延长线交于点O，

根据题意易得：∠BDO=50°，∠ACO=23°，OA=15m，AB=6m，
在Rt△BOD中，，
解得：，
在Rt△AOC中，，
，
答：两次观测期间龙舟前进了18米．
【点睛】
本题考查解直角三角形的实际应用，要理解俯角概念，并且熟练掌握解直角三角形的方法．
12．如图，点E与树AB的根部点A、建筑物CD的底部点C在一条直线上，AC＝10m．小明站在点E处观测树顶B的仰角为30°，他从点E出发沿EC方向前进6m到点G时，观测树顶B的仰角为45°，此时恰好看不到建筑物CD的顶部D（H、B、D三点在一条直线上）．已知小明的眼睛离地面1.6m，求建筑物CD的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：≈1.41，≈1.73．）

【答案】19.8m．
【解析】
【分析】
延长FH，交CD于点M，交AB于点N，求CD，只需求出DM即可，即只要求出HN就可以，在Rt△BNF中，设BN＝NH＝x，则根据tan∠BFN＝就可以求出x的值，再根据等腰直角三角形的性质和线段的和可求得CD的长．
【详解】
解：如图，延长FH，交CD于点M，交AB于点N，

∵ ∠BHN＝45°，BA⊥MH，
则BN＝NH，
设BN＝NH＝x，
∵ HF＝6，∠BFN＝30°，且tan∠BFN＝＝，
∴tan30°＝，
解得x≈8.22，
根据题意可知：
DM＝MH＝MN+NH，
∵ MN＝AC＝10，
则DM＝10+8.22＝18.22，
∴ CD＝DM+MC＝DM+EF＝18.22+1.6＝19.82≈19.8（m）．
答：建筑物CD的高度约为19.8m．
【点睛】
本题考查解直角三角形应用-仰角俯角问题，理解仰角俯角的概念，根据题意构造直角三角形，利用锐角三角函数解直角三角形是解答的关键．
13．某数学兴趣小组去测量一座小山的高度，在小山顶上有一高度为米的发射塔，如图所示，在山脚平地上的处测得塔底的仰角为，向小山前进米到达点处，测得塔顶的仰角为，求小山的高度．

【答案】小山的高度为米
【解析】
【分析】
设塔高BC为x米，根据正切的定义列出关于x的关系式，求出x,进而得出小山的高．
【详解】
解：设为米，则米，∵ ∴，而米，
在中，，
则米，米，
在中，，
解得．
答：小山的高度为米．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的概念、正确理解仰角和俯角的概念是解题的关键．
14．如图，已知楼高，从楼顶处测得旗杆的俯角为，又从离地面的一窗口测得旗杆顶的仰角为，求旗杆的高.（结果精确到，，）

【答案】
【解析】
【分析】
过点C作CG⊥AE，垂足为点G，由题意得∠CEF=45°=∠CEG，∠ACG=60°，设CG=x，在Rt△ACG中，AG=CG•tan∠ACG=x，在Rt△ECG中，EG==x，根据AG+EG=AE，列方程x+x=30-5，得到CF=EG=，于是得到结论．
【详解】
解：过点C作CG⊥AE，垂足为点G，

由题意得∠CEF=45°=∠CEG，∠ACG=60°，
设CG=x，
在Rt△ACG中，AG=CG•tan∠ACG=x，
在Rt△ECG中，EG==x，
∵AG+EG=AE，
∴x+x=30-5，
解得：x=，
∴CF=EG=，
∴CD=+5≈14.1m．
答：该旗杆CD的高为14.1m．
【点睛】
此题主要考查了仰角与俯角问题，正确应用锐角三角函数关系是解题关键．
15．如图，斜坡的坡度是1：2.2（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度），这个斜坡的水平宽度是22米，在坡顶处的同一水平面上（）有一座古塔．在坡底处看塔顶的仰角是45°，在坡顶处看塔顶的仰角是60°，求塔高的长．（结果保留根号）

【答案】米
【解析】
【分析】
分别过点和作的垂线，垂足为和，设AD=x，根据坡度求出DQ，根据正切定义用x表示出PQ，再由等腰直角三角形的性质列出x的方程，解之即可解答．
【详解】
解：分别过点和作的垂线，垂足为和，
设的长是米
∵中，
∴
∵的坡比是1：2．2，水平长度22米
∴
∴
在中，
∴，即：
∴
答：的长是米

【点睛】
本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
16．如图甲楼AB的高为40米，小华从甲楼顶A测乙楼顶C仰角为α＝30°，观测乙楼的底部D俯角为β＝45°；
（1）求甲、乙两楼之间的距离；
（2）求乙楼的高度（结果保留根号）．

【答案】（1）40米；（2）米
【解析】
【分析】
（1）过点作于，则四边形为矩形，由可求得两楼之间的距离AE的长度；
（2）解直角三角形ACE可以得到CE的值，进一步得到乙楼的高度CD的大小．
【详解】
解：（1）过点作于，
则四边形为矩形，
∴米，
∵
∴米
即两楼之间的距离为40米；
（2）在中，
∵，米，
∴，
∴，
则楼高为：（米）．
答：乙楼的高度为米．
【点睛】
本题考查解直角三角形，综合应用各平面图形的性质及锐角三角函数的知识是解题关键．
17．为了计算湖中小岛上凉亭P到岸边公路l的距离，某数学兴趣小组在公路l上的点A处，测得凉亭P在北偏东60°的方向上；从A处向正东方向行走200米，到达公路l上的点B处，再次测得凉亭P在北偏东45°的方向上，如图所示．求凉亭P到公路l的距离．（结果保留整数，参考数据：≈1.414，≈1.732）

【答案】凉亭P到公路l的距离为273.2m．
【解析】
【分析】
分析：作PD⊥AB于D，构造出Rt△APD与Rt△BPD，根据AB的长度．利用特殊角的三角函数值求解．
【详解】
详解：作PD⊥AB于D．

设BD=x，则AD=x+200．
∵∠EAP=60°，
∴∠PAB=90°﹣60°=30°．
在Rt△BPD中，
∵∠FBP=45°，
∴∠PBD=∠BPD=45°，
∴PD=DB=x．
在Rt△APD中，
∵∠PAB=30°，
∴PD=tan30°•AD，
即DB=PD=tan30°•AD=x=（200+x），
解得：x≈273.2，
∴PD=273.2．
答：凉亭P到公路l的距离为273.2m．
【点睛】
此题考查的是直角三角形的性质，解答此题的关键是构造出两个特殊角度的直角三角形，再利用特殊角的三角函数值解答．
18．遥感兴趣小组在如图所示的情景下，测量无人机的飞行高度，如图，点在同一平面内，操控手站在坡度是坡面长的斜坡的底部处遥控无人机，坡顶处的无人机以的速度，沿仰角的方向爬升，时到达空中的点处，求此时无人机离点所在地面的高度（结果精确到参考数据：，，）

【答案】无人机离点所在地面的高度大约为，见详解．
【解析】
【分析】
过点作过点作于，交的延长线于，根据题意可得，然后根据解直角三角形的方法进行求解即可．
【详解】
解：过点作过点作于，交的延长线于，

，



在中，
．
故此时无人机离点所在地面的高度大约为．
【点睛】
本题主要考查解直角三角形，解题的关键是根据题意作出辅助线构造直角三角形，然后利用三角函数值进行求解即可．
19．关于三角函数有如下的公式：
①；
②
③利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如

根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：
（1）求的值；
（2）如图，直升机在一建筑物上方的点处测得建筑物顶端点的俯角为，底端点的俯角为此时直升机与建筑物的水平距离为求建筑物的高．

【答案】（1）；（2）84米
【解析】
【分析】
（1）根据，可求的值；
（2）先求出俯角β的正切值，进而根据BC求得AB，再求出俯角α的正切值，进而根据BC求得A、E两点垂直距离，最后CD的长即可求得．
【详解】
解：
．
如图，过点作于点，

则，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
由平行得，
∵在中，，
∴米，
∵在中，，
∴米，
∴米．
答：建筑物的高为米．
【点睛】
本题主要考查了特殊的锐角三角函数值，解题关键是将不特殊三角函数转化为特殊三角函数并结合图像解直角三角形．
20．下图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图.已知BC=4 m,AB=6 m,中间平台宽度DE=1 m,EN,DM,CB为三根垂直于AB的支柱,垂足分别为N,M,B,∠EAB=31°,DF⊥BC于点F,∠CDF=45°,求DM和BC的水平距离BM的长度.(结果精确到0.1 m.参考数据:sin 31°≈0.52,cos 31°≈0.86,tan 31°≈0.60)

【答案】2.5m.
【解析】
【分析】
设DF=x，在Rt△DFC中，可得CF=DF=x，则BF=4-x，根据线段的和差可得AN=5-x，EN=DM=BF=4－，在Rt△ANE中，∠EAB=，利用∠EAB的正切值解得x的值．
【详解】
解：设DF=，在Rt△DFC中，∠CDF=，
∴CF=tan·DF=，
又∵CB=4，
∴BF=4－，
∵AB=6，DE=1，BM= DF=，
∴AN=5－，EN=DM=BF=4－，
在Rt△ANE中，∠EAB=，EN=4－，AN=5－，
tan
=0.60，
解得=2.5，
答：DM和BC的水平距离BM为2.5米．
考点：解直角三角形．