专题21：第4章解三角形之一字型-备战2022中考数学解题方法系统训练（全国通用）(原卷+解析)

21第4章解三角形之一字型

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东方向，距离灯塔60海里的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是(　　)

A．海里 B．海里 C．120海里 D．60海里

【答案】B

【解析】

【分析】

过点C作CD⊥AB于点D，先解Rt△ACD，求出AD，CD，再根据BD=CD，即可解出AB．

【详解】

如图，过点C作CD⊥AB于点D，

则∠ACD=30°，∠BCD=45°，

在Rt△ACD中，AD=CA=×60=30（海里），

CD=CA·cos∠ACD=60×=（海里），

∵∠BCD=45°，∠BDC=90°，

∴在Rt△BCD中，BD=CD，

∴AB=AD+BD=AD+CD=（30+）海里，

故选：B．

【点睛】

此题主要考查了解直角三角形的应用——方向角问题，解一般三角形的问题，一般可以转化为解直角三角形的问题，解题的关键是作高线．

2．如图，港口在观测站的正东方向，，某船西东从港口出发，沿北偏东方向航行一段距离后到达处，此时从观测站处测得该船位于北偏东的方向，则该船航行的距离（即的长）为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

过点A作AD⊥OB于D．先解Rt△AOD，得出AD=OA=1，再由△ABD是等腰直角三角形，得出BD=AD=1，则AB=AD=2．

【详解】

如图，过点A作AD⊥OB于D．

在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=2，
∴AD=OA=1．
在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB-∠AOB=75°-30°=45°，
∴BD=AD=1，
∴AB=AD=．
即该船航行的距离（即AB的长）为km．
故选：C．

【点睛】

此题考查解直角三角形的应用-方向角问题，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．

3．如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋楼顶部B的仰角为30°，看这栋楼底部C的俯角为60°，热气球A与楼的水平距离为120米，这栋楼的高度BC为（   ）

A．160米 B．（60+160） C．160米 D．360米

【答案】C

【解析】

【分析】

过点A作AD⊥BC于点D.根据三角函数关系求出BD、CD的长，进而可求出BC的长.

【详解】

如图所示，过点A作AD⊥BC于点D.

在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，AD＝120m，BD＝AD∙tan30°＝120×＝m；

在Rt△ADC中，∠DAC＝60°，CD＝AD∙tan60°＝120×＝m.

∴BC＝BD＋DC＝m.

故选C.

【点睛】

本题主要考查三角函数，解答本题的关键是熟练掌握三角函数的有关知识，并牢记特殊角的三角函数值.

4．如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角度数为α，看这栋楼底部C处的俯角度数为β，热气球A处与楼的水平距离为100m，则这栋楼的高度表示为（    ）

A．100(tanα+tanβ)m B．100(sinα+sinβ)m C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

过点A作AH⊥BC于点H，利用解直角三角形分别求出BH，CH的长，再根据BC=BH+CH，代入计算可求出BC的长.

【详解】

过点A作AH⊥BC于点H，

 ∴∠AHB=∠AHC=90°，

 在Rt△ABH中，

 BH=AHtan∠BAH=100tanα；

 在Rt△ACH中，

 CH=AHtan∠CAH=100tanβ；

 ∴BC=BH+CH=100tanα+100tanβ=100（tanα+tanβ）m.

 故选：A.

【点睛】

此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确确定直角三角形是解题的关键.

二、填空题

5．如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离为________海里．

【答案】20

【解析】

【分析】

过点A作AC⊥BD，根据方位角及三角函数即可求解．

【详解】

如图，过点A作AC⊥BD，

依题意可得∠ABC=45°

∴△ABC是等腰直角三角形，AB=20(海里)

∴AC=BC=ABsin45°=10(海里)

在Rt△ACD中，∠ADC=90°-60°=30°

∴AD=2AC=20 (海里)

故答案为：20．

【点睛】

此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值．

6．如图，海上有一灯塔P，位于小岛A北偏东60°方向上，一艘轮船从北小岛A出发，由西向东航行到达B处，这时测得灯塔P在北偏东30°方向上，如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔P的正南方，此时轮船与灯塔P的距离是________．（结果保留一位小数，）

【答案】20.8

【解析】

【分析】

证明△ABP是等腰三角形，过P作PD⊥AB，从而求得PD的长即可．

【详解】

解：过P作PD⊥AB于D，

∵AB=24，

∵∠PAB=90°-60°=30°，∠PBD=90°-30°=60°，

∴∠BPD=30°，

∴∠APB=30°，即∠PAB=∠APB，
∴AB=BP=24，
在直角△PBD中，PD=BP•sin∠PBD=24×=≈20.8.

故答案为：20.8.

【点睛】

本题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出垂线，转化为直角三角形的计算是解决本题的关键．

7．如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图．自动扶梯的倾斜角为，在自动扶梯下方地面处测得扶梯顶端的仰角为，、之间的距离为4． 则自动扶梯的垂直高度=_________．（结果保留根号）

【答案】

【解析】

【分析】

先推出∠ABC=∠BAC，得BC=AC=4，然后利用三角函数即可得出答案．

【详解】

∵∠BAC+∠ABC=∠BCD=60°，∠BAC=30°，

∴∠ABC=30°，

∴∠ABC=∠BAC，

∴BC=AC=4，

在Rt△BCD中，BD=BCsin60°=4×=，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质，三角函数，得出BC=AB=4是解题关键．

8．某拦水坝的横截面为梯形， 迎水坡的坡角为，且， 背水坡的坡度为是指坡面的铅直高度与水平宽度的比，坝面宽，坝高则坝底宽__________．

【答案】

【解析】

【分析】

添一条辅助线，作BFCD，AE=12m，根据，可得CF的长，根据背水坡AD的坡度，可得DE的长，且AB=EF，坝底CD=DE+EF+FC，可得出答案．

【详解】

解：如图所示，添一条辅助线，作BFCD，

∵AE=12m，且，而，∴m，

又∵背水坡AD的坡度，∴，故DE=30m，

且EF=AB=3m，坝底CD=DE+EF+FC=30+3+16=49m，

故答案为：49m．

【点睛】

本题主要考察了用正切值求边长，坡度是坡角的正切，在直角三角形中，正切值为对边∶斜边，掌握定义就不会算错．

9．如图，某轮船以每小时30海里的速度向正东方向航行，上午8：00，测得小岛C在轮船A的北偏东45°方向上；上午10：00，测得小岛C在轮船B的北偏西30°方向上，则轮船在航行中离小岛最近的距离约为__海里（精确到1海里，参考数据≈1.414，≈1.732）．

【答案】38．

【解析】

【分析】

作CD⊥AB于点D，再求得AB、∠ACD、∠BCD的值，然后根据锐角三角函数求出CD的长即可解答．

【详解】

解：如图，作CD⊥AB于点D，

根据题意可知：

AB＝30×（10﹣8）＝60（海里），∠ACD＝45°，∠BCD＝30°，

在Rt△ACD中，CD＝AD，

在Rt△CBD中，BD＝AB﹣AD＝60﹣CD，

∴tan30°＝，

即＝，

解得CD≈38（海里）．

答：轮船在航行中离小岛最近的距离约为38海里．

故答案为38．

【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用，掌握方向角的概念和解直角三角形的知识是解答本题的关键．

10．如图所示，轮船在处观测灯塔位于北偏西方向上，轮船从处以每小时海里的速度沿南偏西方向匀速航行，小时后到达码头处，此时，观测灯塔位于北偏西方向上，则灯塔与码头的距离是______海里(结果精确到个位，参考数据：，，)

【答案】24

【解析】

【分析】

作BD⊥AC于点D，在直角△ABD中，利用三角函数求得BD的长，然后在直角△BCD中，利用三角函数即可求得BC的长．

【详解】

∠CBA=25°+50°=75°，

作BD⊥AC于点D，

则∠CAB=（90°﹣70°）+（90°﹣50°）=20°+40°=60°，

∠ABD=30°，

∴∠CBD=75°﹣30°=45°，

在直角△ABD中，BD=AB•sin∠CAB=20×sin60°=20×=10，

在直角△BCD中，∠CBD=45°，

则BC=BD=10×=10≈10×2.4=24（海里），

故答案是：24．

【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用——方向角问题，正确求得∠CBD以及∠CAB的度数是解决本题的关键．

三、解答题

11．为加强我市创建文明卫生城市宣传力度，需要在甲楼A处到E处悬挂一幅宣传条幅，在乙楼顶部D点测得条幅顶端A点的仰角∠ADF=45°，条幅底端E点的俯角为∠FDE=30°，DF⊥AB，若甲、乙两楼的水平距离BC为21米，求条幅的长AE约是多少米？（，结果精确到0.1米）

【答案】33.1米

【解析】

【分析】

根据题意及解直角三角形的应用直接列式求解即可．

【详解】

解：

过点D作DF⊥AB，如图所示：

在Rt△ADF中，DF=BC=21米，∠ADF=45°

∴AF=DF=21米

在Rt△EDF中，DF=21米，∠EDF=30°

∴EF=DF×tan30°=米

∴AE=AF+BF=+21≈33.1米．

答：条幅的长AE约是33.1米．

【点睛】

本题主要考查解直角三角形的应用，关键是根据题意及利用三角函数求出线段的长．

12．如图，是某小区的甲、乙两栋住宅楼，小丽站在甲栋楼房的楼顶，测量对面的乙栋楼房的高度，已知甲栋楼房与乙栋楼房的水平距离米，小丽在甲栋楼房顶部B点，测得乙栋楼房顶部D点的仰角是，底部C点的俯角是，求乙栋楼房的高度（结果保留根号）．

【答案】18(+1)m

【解析】

【分析】

根据仰角与俯角的定义得到AB=BE=AC,再根据三角函数的定义即可求解．

【详解】

如图，依题意可得∠BCA=45°，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴AB=CE=

∵∠DBE=30°

∴DE=BE×tan30°=18

∴的高度为CE+ED=18(+1)m．

【点睛】

此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知三角函数的定义．

13．汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去A、B两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P点，测得A村的俯角为30°，B村的俯角为60°(如图)则A，B两个村庄间的距离是多少米．(结果保留根号)．

【答案】A，B两个村庄间的距离300米．

【解析】

【分析】

根据两个俯角的度数可知ABP是等腰三角形，AB＝BP，在直角△PBC中，根据三角函数就可求得BP的长．

【详解】

解：过P作AB的垂线，垂足是C，

由题意得：∠A＝∠APQ＝30°，∠PBC＝∠BPQ＝60°，

∴∠APB＝60°﹣30°，

∴∠APB＝∠A，

∴AB＝PB．

在RtBCP中，∠C＝90°，∠PBC＝60°，PC＝450米，

∴PB＝＝＝

∴AB＝PB＝．

答：A，B两个村庄间的距离300米．

【点睛】

此题考查的是解直角三角形的应用，正确理解解直角三角形的条件，熟练运用三角函数是解题关键．

14．一艘渔船从位于A海岛北偏东60°方向，距A海岛60海里的B处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A海岛周围50海里水域内有暗礁．（参考数据：）

（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．

（2）渔船航行3小时后到达C处，求A，C之间的距离．

【答案】（1）没有危险，理由见解析；（2）79.50海里

【解析】

【分析】

（1）过A点作于点D，在中求出AD与50海里比较即可得到答案；

（2）在中求出BD得到CD，再根据勾股定理求出AC.

【详解】

解：（1）过A点作于点D，

∴，

由题意可得，

∴在中，，

∴渔船在航行过程中没有触礁的危险；

（2）在中，，

∵，

∴，

在中，，

即A，C之间的距离为79.50海里.

【点睛】

此题考查解直角三角形的实际应用，正确理解题意，构建直角三角形，将已知的线段和角度放在直角三角形中，利用锐角三角函数解决问题是解题的关键.

15．热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋高楼底部的俯角为，热气球与高楼的水平距离为66m，这栋高楼有多高？（结果精确到0.1m，参考数据：）

【答案】

【解析】

【分析】

过点A作于点D，根据仰角和俯角的定义得到和的度数，利用特殊角的正切值求出BD和CD的长，加起来得到BC的长．

【详解】

解：如图，过点A作于点D，

根据题意，，，，

，

，

．

【点睛】

本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握利用特殊角的三角形函数值解直角三角形的方法．

16．如图，一艘轮船以每小时30海里的速度自东向西航行，在处测得小岛位于其西北方向（北偏西方向），2小时后轮船到达处，在处测得小岛位于其北偏东方向．求此时船与小岛的距离（结果保留整数，参考数据：，）．

【答案】此时船与小岛的距离约为44海里

【解析】

【分析】

过P作PH⊥AB，设PH=x，由已知分别求PB、BH、AH，然后根据锐角三角函数求出x值即可求解

【详解】

如图，过P作PH⊥AB，设PH=x，

由题意，AB=60，∠PBH=30º，∠PAH=45º，

在Rt△PHA中，AH=PH=x,

在Rt△PBH中，BH=AB-AH=60-x，PB=2x，

∴tan30º=，

即，

解得：，

∴PB=2x=≈44（海里），

答：此时船与小岛的距离约为44海里．

【点睛】

本题考查了直角三角形的应用，掌握方向角的概念和解直角三角形的知识是解答本题的关键．

17．如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为、、，测得，，千米，求、两点间的距离．（参考数据：，，结果精确到1千米）．

【答案】、两点间的距离约为11千米．

【解析】

【分析】

如图（见解析），先根据直角三角形的性质、勾股定理可求出CD、AD的长，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得BD的长，然后根据线段的和差即可得．

【详解】

如图，过点C作于点D

在中，，千米

（千米），（千米）

在中，

是等腰直角三角形

千米

（千米）

答：、两点间的距离约为11千米．

【点睛】

本题考查了直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键．

18．如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度（＝1．7）．

【答案】32.4m．

【解析】

【分析】

【详解】

试题分析：首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式求解．

试题解析：如图，过点B作BE⊥CD于点E，

根据题意，∠DBE=45°，∠CBE=30°．

∵AB⊥AC，CD⊥AC，

∴四边形ABEC为矩形，

∴CE=AB=12m，

在Rt△CBE中，cot∠CBE=，

∴BE=CE•cot30°=12×=12，

在Rt△BDE中，由∠DBE=45°，

得DE=BE=12．

∴CD=CE+DE=12（+1）≈32.4．

答：楼房CD的高度约为32.4m．

考点：解直角三角形的应用——仰角俯角问题．

19．如图所示，一堤坝的坡角，坡面长度米(图为横截面)，为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角，则此时应将坝底向外拓宽多少米？(结果保留到 米)(参考数据：，，)

【答案】6.58米

【解析】

试题分析：过A点作AE⊥CD于E．在Rt△ABE中，根据三角函数可得AE，BE，在Rt△ADE中，根据三角函数可得DE，再根据DB=DE﹣BE即可求解．

试题解析：过A点作AE⊥CD于E．   在Rt△ABE中，∠ABE=62°． ∴AE=AB•sin62°=25×0.88=22米，

BE=AB•cos62°=25×0.47=11.75米， 在Rt△ADE中，∠ADB=50°， ∴DE==18米，

∴DB=DE﹣BE≈6.58米．      故此时应将坝底向外拓宽大约6.58米．

考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．

20．如图，小军想测量他所在的位置到池塘中心的亭子的距离，首先，他走到池塘的一侧，找到位置使，此时恰好也为，然后走到池塘的另一侧，找到位置使，且位置与亭子在同一直线上，小军测得求位置到亭子的距离．(参考数据：，，)

【答案】位置到亭子的距离约为

【解析】

【分析】

先根据题目意思证明，再把的值计算出来，根据题中所给的三角函数值即可得到答案；

【详解】

解：如图，过点作于点，

由题意知，

，

，

，

，

根据勾股定理得，

，

在中，

故，位置到亭子的距离约为．

【点睛】

本题主要考查了等腰三角形、勾股定理以及三角函数，掌握知识点、灵活运用所学知识是解题的关键．