中考数学典例精做题集专题05 棋盘摆米问题 中考数学典例精做题集（教师版）

   ※知识精要

棋盘摆米问题是用方程思想解决求和问题。此方法还可以解决循环小数化分数问题。

※要点突破

解题的关键是根据题意发现规律，再用方程思想解决求和问题。

※典例精讲

例：棋盘摆米：古时候，在某个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国家象棋，献给了国王，国王从此迷上了下棋，为了对聪明的大臣表示感谢，国王答应满足这位大臣的一个要求。大臣说：“就在这个棋盘上放一些米粒吧。第1格放1粒米，第2格放2粒米，第3格放4粒米，然后是8粒、16粒、32粒……一直到第64格。”“你真傻!就要这么一点米粒？！”国王哈哈大笑，大臣说：“就怕您的国库里没有这么多米！”

你认为国王的国库里有这么多米吗？

事实上，按照这位大臣的要求，放满一个棋盘上的64个格子需要 粒米， 到底多大呢？借助计算机中的计算器进行计算，可知答案是一个20位数：

18 446 744 073 709 551 615.

※课堂精练

1．为了求的值，可令 ，则，因此，所以，请仿照以上推理计算出的值是（       ）

A．                       B．    

C．                      D．

【答案】B

【解析】∵设

则

故选B.

2．求的值，可令，则，因此，即，仿照以上推理，计算出的值为______．

【答案】

3．观察下列运算过程：

，

运用上面计算方法计算：　___________．

【答案】

【解析】首先根据已知设S=1+5+52+53+…+524+525 ①，再将其两边同乘5得到关系式②，②-①即可求得答案．

设S=1+5+52+53+…+52013 ①，

则5S=5+52+53+54…+52014②，

②-①得：4S=52014-1，所以S=,

故答案为:

4．阅读材料：计算31＋32＋33＋34＋35＋36.

解：设S＝31＋32＋33＋34＋35＋36，①

则3S＝32＋33＋34＋35＋36＋37，②

由②－①，得3S－S＝37－31，则S＝，

即31＋32＋33＋34＋35＋36＝.

仿照以上解题过程，计算：51＋52＋53＋54＋55＋…＋52018.

【答案】

5．阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22013的值．

解：设S=1+2+22+23+24+…+22012+22013，将等式两边同时乘以2得：

   2S=2+22+23+24+25+…+22013+22014

   将下式减去上式得2S﹣S=22014﹣1

   即S=22014﹣1

   即1+2+22+23+24+…+22013=22014﹣1

请你仿照此法计算：

（1）1+2+22+23+24+…+210

（2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n为正整数）．

【答案】见解析.

【解析】（1）设S=1+2+22+23+24+…+210，两边乘以2后得到新的等式，与已知等式相减，变形即可求出所求式子的值；（2）类比题目中的方法即可得到所求式子的值．

（1）设S=1+2+22+23+24+…+210，

将等式两边同时乘以2得2S=2+22+23+24+…+210+211，

将下式减去上式得：2S-S=211-1，即S=211-1，

则1+2+22+23+24+…+210=211-1；

（2）设S=1+3+32+33+34+…+3n①，

两边乘以3得：3S=3+32+33+34+…+3n+3n+1②，

②-①得：3S-S=3n+1 -1，即S=（3n+1-1），

则1+3+32+33+34+…+3n =（3n+1-1）.

6．在求1＋6＋62＋63＋64＋65＋66＋67＋68＋69的值时，小林发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的6倍，于是她设：S＝1＋6＋62＋63＋64＋65＋66＋67＋68＋69①，然后在①式的两边都乘以6，得6S＝6＋62＋63＋64＋65＋66＋67＋68＋69＋610②，②－①得6S－S＝610－1，即5S＝610－1，所以S＝，得出答案后，爱动脑筋的小林想：如果把“6”换成字母“a”(a≠0且a≠1)，求1＋a＋a2＋a3＋a4＋…＋a2016的值。

【答案】

7．在数学活动中，小明为了求的值(结果用n表示)，设计如图所示的几何图形．

请你利用这个几何图形求的值．

【答案】

【解析】方法1.把一个面积为1的正方形分成两个面积为的长方形，接着把面积为的长方形分成两个面积为的正方形，再把面积为的正方形分成两个面积为的三角形，…，由图形揭示的规律进行解答即可得.

由图可知，

，

，

…

，

所以.

8．阅读理解题：

你知道为什么任何无限循环小数都可以写成分数形式吗？下面的解答过程会告诉你原因和方法．

（1）阅读下列材料：

问题：利用一元一次方程将化成分数．

设 ．

由，可知 ，

即 ．（请你体会将方程两边都乘以10起到的作用）

可解得 ，即 ．

填空：将直接写成分数形式为_____________ ．

（2）请仿照上述方法把小数化成分数，要求写出利用一元一次方程进行解答的过程.

【答案】（1）（2）见解析