中考数学典例精做题集专题15 圆的计算与证明（2） 中考数学典例精做题集（教师版）

11．已知过原点，，三点，则圆心M坐标为______．

【答案】

，

，

，

是直角三角形，

是外接圆的直径，

是OB的中点，

，，

；

故答案为：

12．如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100cm，下雨前水面宽为60cm，一场大雨过后，水面宽为80cm，则水位上升______cm．

【答案】10或70

13．如图：四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A=n°，则∠DCE=_____°．

【答案】n

【解析】∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，

∴∠A+∠DCB=180°，

又∵∠DCE+∠DCB=180°

∴∠DCE=∠A=n°

故答案为：n

14．如图为一个玉石饰品的示意图，与中心在同一平面上的点A，B为外圆上的两点，且AB与内圆相切于点C，过点C作CD⊥AB交外圆于点D，测得AB＝24 cm，CD＝6 cm，则外圆的直径为________cm.

【答案】30

15．如图，AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD=50°，则∠ACD=_____°．

【答案】40

【解析】若要利用∠BAD的度数，需构建与其相等的圆周角；连接BD，由圆周角定理可知∠ACD=∠ABD，在Rt△ABD中，求出∠ABD的度数即可得答案．

解：连接BD，如图，

∵AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠ABD=90°﹣∠BAD=90°﹣50°=40°，

∴∠ACD=∠ABD=40°，

故答案为：40．

16．如图，△ABC，AC=3，BC=4，∠C=90°，⊙O为△ABC的内切圆，与三边的切点分别为D、E、F，则⊙O的面积为_____（结果保留π）

【答案】π

17．已知⊙O直径AB与弦AC的夹角为35°，过C点的切线PC与AB的延长线交于点P，则∠P＝____．

【答案】20°

【解析】先由PC为⊙O的切线得出∠PCO=90°，再用等腰三角形性质求出∠ACO=∠PAC=35°，最后利用三角形内角和即可求解．

解：连接OC，PC为⊙O的切线，所以∠PCO=90°，

因为OA=OC，则∠ACO=∠PAC=35°，

在△ACP中，∠P=180°-35°-35°-90°=20°．

故答案为：20°

18．已知的半径为，，是的两条弦，，，，则弦和之间的距离是__________．

【答案】2或14

∵AB=16cm，CD=12cm，

∴AE=8cm，CF=6cm，

∵OA=OC=10cm，

∴EO=6cm，OF=8cm，

∴EF=OF-OE=2cm；

②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图，

∵AB=16cm，CD=12cm，

∴AF=8cm，CE=6cm，

∵OA=OC=10cm，

∴OF=6cm，OE=8cm，

∴EF=OF+OE=14cm．

∴AB与CD之间的距离为14cm或2cm．

故答案为：2或14．

19．如图，量角器的0度刻度线为，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点，直尺另一边交量角器于点，，量得，点在量角器上的读数为，则该直尺的宽度为____________．

【答案】

直尺的宽度：

故答案为：

20．如图，半径为3的经过原点O和点，B是y轴左侧优弧上一点，则为______．

【答案】

∵=,

∴=,

∴=.

在Rt△OAD中

AD===2.

=.

∴=.

21．如图，是的直径，过外一点作的两条切线，，切点分别为，，连接，．

（1）求证：；

（2）连接，，若，，，求的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

22．如图内接于，，CD是的直径，点P是CD延长线上一点，且．

求证：PA是的切线；

若，求的直径．

【答案】（1）详见解析；（2）的直径为．

，

，

又，

，

又，

，

，

，

是的切线．

在中，，

，

又，

，

，

．

的直径为．

23．如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．

（1）证明：DE为⊙O的切线；

（2）连接OE，若BC=8，求△OEC的面积．

【答案】（1）证明见解析；（2）S△OEC=2.

（2）连接DC．                                      

∵∠OBD=∠ODB=30°，

∴∠DOC=60°．

∴△ODC为等边三角形．

∴∠ODC=60°，

∴∠CDE=30°

又∵BC=8，

∴DC=4,

∴CE=2．

过点E作EF⊥BC，交BC的延长线于点F．

∵∠ECF=∠A+∠B=60°,

∴EF=CE·sin60°=2×=     

∴S△OEC =OC∙EF=×4×=2.

故答案为：

【点睛】本题考核知识点：圆的切线.解题关键点：根据所求分析所知，找出必要条件.要熟练掌握切线的判定定理和切线的性质.

24．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，DE交AC于点E，且∠A=∠ADE．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若AD=16，DE=10，求BC的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）15.

∴∠B=∠BDO，

∵∠ADE=∠A，

∴∠ADE+∠BDO=90°，

∴∠ODE=90°．

∴DE是⊙O的切线；

25．如图，AB是的直径，弦，垂足为H，连接AC，过上一点E作交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F，且，连接CE．

求证：EG是的切线；

延长AB交GE的延长线于点M，若，，求EM的值．

【答案】证明见解析；．

，

，

，

，

，

，

，

，

，

是的切线；

连接OC，设的半径为r，

、，

，，

则，

解得：，

，

，

，

∽，

，即，

解得：．

26．如图，AB为的直径，C为上一点，D为BA延长线上一点，．

求证：DC为的切线；

线段DF分别交AC，BC于点E，F且，的半径为5，，求CF的长．

【答案】证明见解析；．

中，，，

，，

，，

∽，

，

设，，

中，，

，

舍或，

，，

，

设，

，

，

，

，

∽，

，

，，

．

27．如图，AB是的直径，AC是的切线，连接OC，弦，连接BC，DC．

求证：DC是的切线；

若，求的值．

【答案】(1)见解析;(2).

为切线，
，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
≌，
，
，
是的切线；
 

28．如图，内接于，AD是直径，过点A的切线与CB的延长线交于点E．

求证：；

若，，，求的半径．

【答案】证明见解析

解：连接BD，过点B作于点H，

，

，

，

，

，

，

，

，

在中，，

，

是直径，

，

，

，

，

，

的半径为．

29．如图，AB是的直径，弦于H，过CD延长线上一点E作的切线交AB的延长线于切点为G，连接AG交CD于K．

求证：；

若，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；

在的条件下，若，，求FG的长．

【答案】证明见解析；，理由见解析；．

为切线，

，

，

，

又，

，

，

．

30．如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=6cm，设弦AP的长为xcm，△APO的面积为ycm2，（当点P与点A或点B重合时，y的值为0）．小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整；

（1）通过取点、画图、测量、计算，得到了x与y的几组值，如下表：

那么m=　   　；（保留一位小数）

（2）建立平面直角坐标系，描出以表中各组对应值为坐标的点，画出该函数图象．

（3）结合函数图象说明，当△APO的面积是4时，则AP的值约为　   　．（保留一位小数）

【答案】(1) 4.5；(2)见解析;(3) 3.1或5.2．

（2）如图所示：