中考数学典例精做题集专题15 圆的计算与证明（1） 中考数学典例精做题集（教师版）

※知识精要

一、垂直于弦的直径

    圆轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

    推理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对两条弧。弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

    平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一个条弧。推理2：圆两条平行弦所夹的弧相等。

二、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

    圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。  顶点是圆心的角叫圆心角，从圆心到弦的距离叫弦心距。

    定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等。

推理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

三、圆周角

    顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角。

    推理1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

    推理2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

    推理3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

    由于以上的定理、推理，所添加辅助线往往是添加能构成直径上的圆周角的辅助线。

四、圆的内接四边形

    多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫圆内接多边形，这个圆叫这个多边形的外接圆

    定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。

五、切线的判定和性质

    切线的判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径

推理1：经过圆心且垂直干切线的直线必经过切点。推理2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

六、三角形的内切圆

    要求会作图，使它和己知三角形的各边都相切∵分角线上的点到角的两边距离相等。∴两条分角线的交点就是圆心。

    这样作出的圆是三角形的内切圆，其圆心叫内心，三角形叫圆的外切三角形。

和多边形各边都相切的圆叫多边形的内切圆，多边形叫圆的外切多边形。

七、切线长定理

经过圆外一点可作圆的两条切线。在经过圆外一点的圆的切线上，

这点和切点之间的线段的长，叫这点到圆的切线长。

切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。

圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

※要点突破

解题的关键是正确添加辅助线，灵活运用所学知识解决问题．

※典例精讲

例1．如图，AB是的一条弦，E是AB的中点，过点E作于点C，过点B作的切线交CE的延长线于点D．

求证：；

若，，求的半径．

【答案】（1）证明见解析；（2）的半径为

作于F，连接OE，

，，

，，

在中，，，

，

，，

，

，

，

，

的半径为．

例2．如图，在中，，以AC为直径作交BC于点D，过点D作于点E，交AC的延长线于点F．

求证：EF与相切；

若，，求EB的长．

【答案】证明见解析

，

．

，

，

，

，

，

，

，

，

是的半径，

与相切；

设的半径为r，

，

解得，，

，

．

※课堂精练

一、单选题

1．如图，内接于，连结OA，OB，，则的度数是　　

A．     B．     C．     D．

【答案】C

2．如图，已知AB是的直径，，则的度数为　　

A．    B．     C．     D．

【答案】C

3．如图，AB为的直径，点C在上，若，，则的长为　　

A．     B．     C．     D．

【答案】B

【解析】根据等腰三角形的性质得出∠A的度数，再利用圆周角定理得出∠BOC的度数，然后根据弧长公式进行计算即可求出答案．

解：，，

，

，

，

，

的长为：，

故选B．

4．如图，点D、E分别是的内接正三角形ABC的AB、AC边上的中点，若的半径为2，则DE的长等于　　

A．     B．     C． 1    D．

【答案】A

故选：A

5．如图，的直径CD过弦EF的中点G，，则等于　　

A．     B．     C．     D．

【答案】C

6．如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠A=66°，则∠OCB的度数是（　　）

A． 24°    B． 28°    C． 33°    D． 48°

【答案】A

【解析】首先利用圆周角定理可得∠COB的度数，再根据等边对等角可得∠OCB=∠OBC，进而可得答案．

解：∵∠A=66°，

∴∠COB=2∠A=132°，

∵CO=BO，

∴∠OCB=∠OBC=×（180°﹣132°）=24°，

故选A．

7．如图，已知圆心角∠AOB=110°，则圆周角∠ACB=（　　）

A． 55°    B． 110°    C． 120°    D． 125°

【答案】D

【解析】根据圆周角定理，得
∠ACB=（360°-∠AOB）=×250°=125°．
故选：D．

8．如图，PA、PB分别与圆O相切于A、B两点，C为圆上一点，∠P＝70°，则∠C＝（  ）

A． 60°    B． 55°    C． 50°    D． 45°

【答案】B

所以，∠P+∠BOA=180°,

所以，∠BOA=180°-∠P=110°,

所以，∠C=,

故选：B

9．如图，PA和PB是⊙O的切线，点A和B的切点，AC是⊙O的直径，已知∠P=50°，则∠ACB的大小是（　　）

A． 65°    B． 60°    C． 55°    D． 50°

【答案】A

10．如图，一把直尺，的直角三角板和光盘如图摆放，为角与直尺交点，,则光盘的直径是(    )

A． 3    B．     C．     D．

【答案】D