2021-2022学年河南省驻马店市汝南县八年级（下）段考数学试卷（3月份）（含解析）

2021-2022学年河南省驻马店市汝南县八年级（下）段考数学试卷（3月份）

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

2. 下列式子中，为最简二次根式的是

A.  B.  C.  D.

3. 下列几组数中，不能作为直角三角形三边长度的是

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

4. 下列各式计算正确的是

A.  B.
C.  D.

5. 已知、、为的三边，且满足，则是

A. 等边三角形 B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形

6. 下面四个命题：对顶角相等；同旁内角互补，两直线平行；全等三角形的对应角相等；如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等，其中逆命题是真命题的个数是

A.  B.  C.  D.

7. 如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是

A.  B.  C.  D.

8. 把根号外面的因式移到根号内得

A.  B.  C.  D.

9. 如图，桌面上的长方体长为，宽为，高为，为的中点．一只蚂蚁从点出发沿长方体的表面到达点，则它运动的最短路程为

A.
B.
C.
D.

10. 如图，在中，，，，平分，于，与相交于，则的长是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11. 如果一个无理数与的积是一个有理数，写出的一个值是______．
12. 化简：______．
13. 如图，，，以为圆心，为半径画弧，交轴负半轴于点，则点的坐标为______．
    
    
    
     

14. 如图，等腰中，，，于，且，则 ______ ．
    
    
     

15. 在中，，，，以为一边作等腰直角三角形，使，连接，则线段的长为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分）

16. 计算：
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     
17. 先化简，再求值：，其中．
    
    
    
    
    
    
     
18. 已知，，求下列各式的值：
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图，四边形是舞蹈训练场地，要在场地上铺上草坪网．经过测量得知：，，，，．
    判断是不是直角，并说明理由；
    求四边形需要铺的草坪网的面积．
     

20. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．
    在图中，画一个三角形，使它们的三边长分别为、、．
    求边上的高．
    
    
    
    
    
    
     
21. 阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索：
    设其中、、、均为整数，则有．
    ，这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．
    请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
    当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得______，______；
    试着把化成一个完全平方式．
    若是的立方根，是的平方根，试计算：．
    
    
    
    
    
    
     
22. 如图，将正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在处，折痕为已知长为．
    求线段和线段的长；
    连接，求的长．

23. 如图，已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒个单位的速度向右运动．设点的运动时间为连结．
    当秒时，求的长度结果保留根号；
    当为等腰三角形时，求的值；
    过点做于点在点的运动过程中，当为何值时，能使？

答案和解析

1.【答案】

【解析】

解：依题意，得
，
解得，．
故选：．
二次根式的被开方数是非负数．
考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
 

2.【答案】

【解析】

解：因为不含有可以开方的因数，也不含有分母，所以选项符合题意；
B.因为的被开方数含有分母，所以它不是最简二次根式，所以选项不符合题意；
C.因为，所以它不是最简二次根式，所以不符合题意；
D.因为含有可以开方的因式，所以它不是最简二次根式，所以不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了最简二次根式的定义，能熟记定义是解此题的关键，注意：最简二次根式具备以下两个条件：被开方数不含有分母，被开方数的每个因式的指数都小于根指数且是正整数．
 

3.【答案】

【解析】

解：，
以，，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B.，
以，，为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意；
C.，
以，，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D.，
以，，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：．
先分别求出两小边的平方和和最长的边的平方，再看看是否相等即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，注意：如果一个三角形的两边、的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
 

4.【答案】

【解析】

解：．无法合并，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项符合题意；
D.，故此选项不合题意；
故选：．
直接利用二次根式的加减运算法则以及二次根式乘除运算法则分别化简，进而判断得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

5.【答案】

【解析】

解：，
，或，
即或，
的形状为等腰三角形或直角三角形．
故选：．
由，可得：，或，进而可得或，进而判断的形状．
此题考查了利用边判断三角形的形状，有两边相等的三角形是等腰三角形，满足的三角形是直角三角形．
 

6.【答案】

【解析】

解：对顶角相等的逆命题为相等的角为对顶角，错误，为假命题，不符合题意；
同旁内角互补，两直线平行的逆命题为两直线平行，同旁内角互补，正确，为真命题；
全等三角形的对应角相等的逆命题为对应角相等的三角形全等，错误，为假命题，符合题意；
如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等的逆命题为如果两个实数相等，那么这两个实数的平方也相等，正确，为真命题，
真命题有个，
故选：．
利用平行线的判定、全等三角形的性质、实数的性质分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的判定、全等三角形的性质、实数的性质，属于基础知识，比较简单．
 

7.【答案】

【解析】

解：由勾股定理得，，
，
阴影部分的面积，
故选：．
根据勾股定理求出，再根据勾股定理计算即可．
本题考查的是勾股定理的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
 

8.【答案】

【解析】

解：二次根式有意义，
，则，
原式

．
故选D．
根据二次根式有意义，可知，则，再根据二次根式的性质解答即可．
解答此题，要弄清以下问题：一般地，形如的代数式叫做二次根式．利用，将根号外面的因式移到根号里面．
 

9.【答案】

【解析】

解：如图所示，
则；
如图所示，
，
故它运动的最短路程为，
故选：．
根据题意画出长方体的侧面展开图，连接，根据勾股定理求出的长即可．
本题考查的是平面展开最短路径问题，此类问题应先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
 

10.【答案】

【解析】

解：过点作于点，如图：

于，
，
，
在中，，
，
又平分，，
．
在中，，，，
．
在和中，
，
≌，
，，
，，
．
设，则，
在中，由勾股定理得：
，
解得
的长是．
故选：．
过点作于点，由，，可得，由平行线的性质可得；在中，由勾股定理求得的值；由判定≌，由全等三角形的性质可得及的值，进而可判定设，则，在中，由勾股定理得关于的方程，解得的值即为的长．
本题主要考查了勾股定理、角平分线的性质定理及等腰三角形的判定等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
 

11.【答案】

答案不唯一
 

【解析】

解：，
无理数与的积是一个有理数，的值可以为：答案不唯一．
故答案为：答案不唯一．
直接化简二次根式，进而得出符合题意的值．
此题主要考查了二次根式的乘法，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
 

12.【答案】

【解析】

解：．
故答案为：．
直接利用二次根式的性质化简得出答案．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
 

13.【答案】

【解析】

解：，，
，，
在中，由勾股定理得：
，
，
点，
故答案为：．
利用勾股定理求出的长，再根据即可解决．
本题主要考查了勾股定理，以及坐标系中点的坐标的特征，求出的长度是解题的关键．
 

14.【答案】

【解析】

解：，
，
，，
，
设，则，
在中，，
，
，
，
，
故答案为：．
先根据勾股定理得出的长，再根据勾股定理得出方程求出的长，即可解决问题．
此题考查了勾股定理以及三角形面积，解题的关键是根据勾股定理求出的长．
 

15.【答案】

或
 

【解析】

解：如图所示：过点作于点，
，，，以为一边作等腰直角三角形，，
，，
则，，
故EC，
则在中，，
如图所示：过点作于点，
，，，以为一边作等腰直角三角形，，
，，
则，，
故EC，
则在中，．
故线段的长为：或．
利用，点在的两侧以及，点在的同侧进而分别利用勾股定理求出答案．
此题主要考查了勾股定理以及直角三角形的性质，根据题意结合分类讨论求出是解题关键．
 

16.【答案】

解：原式
；

原式

．
 

【解析】

先去掉括号，同时根据二次根式的性质化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
先根据完全平方公式和二次根式的除法进行计算，再算加减即可．
本题考查了完全平方公式，二次根式的性质，二次根式的混合运算等知识点，能灵活运用二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
 

17.【答案】

解：原式
，
当，时，原式．
 

【解析】

先把各二次根式化为最简二次根式，再合并得到原式，接着把、的值代入，然后进行二次根式的加减运算．
本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
 

18.【答案】

解：，，
，，，
；
．
 

【解析】

先计算出，，，再利用完全平方公式和平方差公式得到；，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．利用整体代入的方法可简化计算．
 

19.【答案】

解：连接，如图，
，
在中，，，
，
在中，，，
，
为直角三角形，．
由知为直角三角形，，
，
 ，
．
 

【解析】

连接，利用勾股定理判断是否为直角三角形．
利用分割法，分为和，求四边形面积，
本题主要考查利用勾股定理的实际应用，解题的关键是构造直角三角形或者能够根据是否满足勾股定理判断三角形是否为直角三角形．
 

20.【答案】

解：如图，即为所求作．


设边上的高为，
、、，
，
，
，
．
 

【解析】

利用数形结合的思想解决问题即可．
利用面积法求解即可．
本题考查作图应用与设计作图，三角形的面积，勾股定理以及逆定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
 

21.【答案】

；
；
是的立方根，是的平方根，
，，
．
 

【解析】

【分析】
本题考查了平方根、立方根、完全平方公式、算术平方根等知识点，能灵活运用完全平方公式进行变形是解此题的关键．
根据完全平方公式展开，再得出即可；
根据完全平方公式得出即可；
先求出、的值，再代入求出即可．
【解答】
解：，
，
，，
故答案为：；；
见答案．  

22.【答案】

解：对角线为，
，
设，由折叠可知，
由于为中点，
则，
在直角三角形中，由勾股定理可得：
，解得：．
故CF．
如图所示，连接，作于点，连接交于点，

由折叠可知，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
即，
由折叠可得，，
由勾股定理有．
 

【解析】

由对角线为，易知边长为设，由折叠可知在直角三角形中，由勾股定理有，解得，即可得；
连接，作于点，连接交于点，由折叠知，可证明≌，则，，在直角三角形中由勾股定理可求．
本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，熟悉折叠的性质、掌握以上定理并利用勾股定理建立关于的方程是解题的关键．
 

23.【答案】

解：根据题意，得，，，
在中，根据勾股定理，得．
答：的长为．

在中，，，
根据勾股定理，得
若，则 ，解得；
若，则，，解得；
若，则，解得．
答：当为等腰三角形时，的值为或或．

，，，，，
，点在的平分线上，
，平分，
， 
，
若在点的左侧，

解得：，
若在点的右侧，；

解得：
答：当为或时，能使．
 

【解析】

根据动点的运动速度和时间先求出，再根据勾股定理即可求解；
根动点运动过程中形成三种等腰三角形，分情况即可求解；
根据动点运动的不同位置利用勾股定理即可求解．
本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理，解决本题的关键是动点运动到不同位置形成不同的等腰三角形．