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2021-2022学年河南省驻马店市汝南县八年级（上）期中数学试卷
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这是一份2021-2022学年河南省驻马店市汝南县八年级（上）期中数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题.，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年河南省驻马店市汝南县八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）下列长度的各组线段不能组成一个三角形的是（ ）
A．2cm，2cm，1cm B．2cm，2cm，2cm
C．2cm，2cm，3cm D．2cm，2cm，4cm
3．（3分）如图，在△ABC中，AC边上的高是（ ）
A．AD B．BE C．BF D．CF
4．（3分）如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的（ ）
A．全等形 B．稳定性 C．灵活性 D．对称性
5．（3分）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A．∠ACB＝∠DAC B．AC＝AE C．BC＝DE D．∠BAD＝∠CDE
6．（3分）如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC，工程人员这种操作方法的依据是（ ）
A．等边对等角 B．等角对等边
C．垂线段最短 D．等腰三角形“三线合一”
7．（3分）如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
8．（3分）如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（ ）
A．AE＝DF B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AB＝DC
9．（3分）如图，△ABC中，AD⊥BC，D为BC的中点，以下结论：
（1）△ABD≌△ACD；
（2）AB＝AC；
（3）∠B＝∠C；
（4）AD是△ABC的一条角平分线．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（3分）如图，AC，BD相交于点O，∠A＝∠D，如果请你再补充一个条件，使得△BOC是等腰三角形，那么你补充的条件不能是（ ）
A．OA＝OD B．AB＝CD C．∠ABO＝∠DCO D．∠ABC＝∠DCB
二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）.
11．（3分）如图，四边形ABCD中，∠BAC＝∠DAC，请补充一个条件 ，使△ABC≌△ADC．
12．（3分）一个多边形的每一个外角都等于60°，则这个多边形的内角和为 度．
13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，2）向右平移2个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点C的坐标是 ．
14．（3分）如图，AC＝BC＝10cm，∠B＝15°，若AD⊥BD于点D，则AD的长为 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝9，AC＝5，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，P是直线上的一动点，则△APC的周长的最小值为 ．
三、解答题（共8小题，满分分）
16．（10分）如图，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，∠B＝40°，∠ACB＝80°．点F在BC的延长线上，FG⊥AE，垂足为H，FG与AB相交于点G．
（1）求∠AGF的度数；
（2）求∠EAD的度数．
17．（7分）如图，BD∥AC，BD＝BC，点E在BC上，且BE＝AC．求证：∠D＝∠ABC．
18．（7分）如图，点F，C在线段AD上，AF＝CD，AB＝DE，BC＝EF．
求证：AB∥DE．
19．（7分）已知：如图，在△ABC中，AC⊥BC，E是AB上的一点，延长BC到D，连接DE交边AC于F，使得ED＝EB．求证：EA＝EF．
20．（9分）证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．
已知：如图，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，
求证： ．
请你补全已知和求证，并写出证明过程．
21．（10分）如图，∠ABC＝90°，FA⊥AB于点A，D是线段AB上的点，AD＝BC，AF＝BD．
（1）判断DF与DC的数量关系为 ，位置关系为 ．
（2）如图2，若点D在线段AB的延长线上，点F在点A的左侧，其他条件不变，试说明（1）中结论是否成立，并说明理由．
22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC的平分线BE交AC于点D，AF⊥AB交BE于点F．
（1）如图1，若∠BAC＝40°，求∠AFE的度数．
（2）如图2，若BD⊥AC，垂足为D，BF＝8，求DF的长．
23．（10分）在等边△ABC中，
（1）如图1，P，Q是BC边上两点，AP＝AQ，∠BAP＝20°，求∠AQB的度数；
（2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP＝AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．
①依题意将图2补全；
②求证：PA＝PM．
2021-2022学年河南省驻马店市汝南县八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
2．（3分）下列长度的各组线段不能组成一个三角形的是（ ）
A．2cm，2cm，1cm B．2cm，2cm，2cm
C．2cm，2cm，3cm D．2cm，2cm，4cm
【分析】根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，进行判定即可．
【解答】解：A、∵2+1＞2，∴能组成三角形；
B、∵2+2＞2，∴能组成三角形；
C、∵2+2＞3，∴能组成三角形；
D、∵2+2＝4，∴不能组成三角形．
故选：D．
3．（3分）如图，在△ABC中，AC边上的高是（ ）
A．AD B．BE C．BF D．CF
【分析】根据三角形的高解答即可
【解答】解：因为点B到AC边的垂线段是BE，所以AC边上的高是BE，
故选：B．
4．（3分）如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的（ ）
A．全等形 B．稳定性 C．灵活性 D．对称性
【分析】根据三角形具有稳定性解答．
【解答】解：生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有稳定性．
故选：B．
5．（3分）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A．∠ACB＝∠DAC B．AC＝AE C．BC＝DE D．∠BAD＝∠CDE
【分析】根据翻三角形全等的性质一一判断即可．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴AD＝AB，AE＝AC，BC＝DE，∠ABC＝∠ADE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AD＝AB，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴∠BAD＝180°﹣∠ABD﹣∠ADB，
∴∠CDE＝180°﹣∠ADB﹣ADE，
∵∠ABD＝∠ADE，
∴∠BAD＝∠CDE
故B、C、D选项不符合题意，
故选：A．
6．（3分）如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC，工程人员这种操作方法的依据是（ ）
A．等边对等角 B．等角对等边
C．垂线段最短 D．等腰三角形“三线合一”
【分析】根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵AB＝AC，BE＝CE，
∴AE⊥BC，
故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，
故选：D．
7．（3分）如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【分析】如图，由作图可知，OA＝OB＝CE＝EF，BA＝CF．根据SSS证明△AOB≌△CEF．
【解答】解：如图，由作图可知，OA＝OB＝CE＝EF，BA＝CF．
在△AOB和△CEF中，
，
∴△AOB≌△CEF（SSS），
故选：D．
8．（3分）如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（ ）
A．AE＝DF B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AB＝DC
【分析】根据垂直定义求出∠CFD＝∠AEB＝90°，再根据全等三角形的判定定理推出即可．
【解答】解：条件是AB＝CD，
理由是：∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠CFD＝∠AEB＝90°，
在Rt△ABE和Rt△DCF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），
故选：D．
9．（3分）如图，△ABC中，AD⊥BC，D为BC的中点，以下结论：
（1）△ABD≌△ACD；
（2）AB＝AC；
（3）∠B＝∠C；
（4）AD是△ABC的一条角平分线．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】先运用SAS证明△ABD≌△ACD，再得（1）△ABD≌△ACD正确；（2）AB＝AC正确；（3）∠B＝∠C正确；
∠BAD＝∠CAD（4）AD是△ABC的角平分线．即可找到答案．
【解答】解：∵AD＝AD、∠ADB＝∠ADC、BD＝CD
∴（1）△ABD≌△ACD正确；
∴（2）AB＝AC正确；
（3）∠B＝∠C正确；
∠BAD＝∠CAD
∴（4）AD是△ABC的角平分线．
故选：D．
10．（3分）如图，AC，BD相交于点O，∠A＝∠D，如果请你再补充一个条件，使得△BOC是等腰三角形，那么你补充的条件不能是（ ）
A．OA＝OD B．AB＝CD C．∠ABO＝∠DCO D．∠ABC＝∠DCB
【分析】根据所给的补充条件证明△AOB≌△DOC或△ABC≌△DCB，然后再证明BO＝CO或∠OCB＝∠OBC即可得到△BOC是等腰三角形．
【解答】解：A、补充AO＝DO，可利用ASA证明△AOB≌△DOC，根据全等三角形的性质可得BO＝CO，进而证明出△BOC是等腰三角形；
B、补充AB＝CD，可利用AAS证明△AOB≌△DOC，根据全等三角形的性质可得BO＝CO，进而证明出△BOC是等腰三角形；
C、补充∠ABO＝∠DCO，不能证明△AOB≌△DOC，进而不能证明出△BOC是等腰三角形；
D、补充∠ABC＝∠DCB，可利用AAS证明△ABC≌△DCB，根据全等三角形的性质可得∠OCB＝∠OBC，进而证明出△BOC是等腰三角形；
故选：C．
二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）.
11．（3分）如图，四边形ABCD中，∠BAC＝∠DAC，请补充一个条件 AD＝AB（答案不唯一） ，使△ABC≌△ADC．
【分析】本题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可．
【解答】解：添加的条件是AD＝AB，
理由是：在△ABC和△ADC中
，
∴△ABC≌△ADC（SAS），
故答案为：AD＝AB（答案不唯一）．
12．（3分）一个多边形的每一个外角都等于60°，则这个多边形的内角和为 720 度．
【分析】首先根据外角和与外角的度数可得多边形的边数，再根据多边形内角和公式180（n﹣2）计算出答案．
【解答】解：∵多边形的每一个外角都等于60°，
∴它的边数为：360°÷60°＝6，
∴它的内角和：180°×（6﹣2）＝720°，
故答案为：720．
13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，2）向右平移2个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点C的坐标是 （1，﹣2） ．
【分析】直接利用平移的性质得出B点坐标，再利用关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得出答案．
【解答】解：∵将点A（﹣1，2）向右平移2个单位长度得到点B，
∴B（1，2），
则点B关于x轴的对称点C的坐标是（1，﹣2）．
故答案为：（1，﹣2）．
14．（3分）如图，AC＝BC＝10cm，∠B＝15°，若AD⊥BD于点D，则AD的长为 5cm ．
【分析】根据等边对等角的性质可得∠B＝∠BAC，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠ACD＝30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答即可．
【解答】解：∵AC＝BC，
∴∠B＝∠BAC＝15°，
∴∠ACD＝∠B+∠BAC＝15°+15°＝30°，
∵AD⊥BC，
∴AD＝AC＝×10＝5（cm）．
故答案为：5cm．
15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝9，AC＝5，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，P是直线上的一动点，则△APC的周长的最小值为 13 ．
【分析】连接BP，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，得BP＝CP，即当AB与m的交点为P时，AP+BP最小．
【解答】解：连接BP，
∵直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，
∴BP＝CP，
∴AP+PC＝AP+BP，
∴当AB与m的交点为P时，AP+BP最小，
∴△APC的周长的最小值为AB+AC＝8+5＝13，
故答案为：13．
三、解答题（共8小题，满分分）
16．（10分）如图，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，∠B＝40°，∠ACB＝80°．点F在BC的延长线上，FG⊥AE，垂足为H，FG与AB相交于点G．
（1）求∠AGF的度数；
（2）求∠EAD的度数．
【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线定义即可得到结论；
（2）根据高线定义得到∠ADB＝90°，再根据角平分线定义，即可得到结论．
【解答】解：（1）∵∠B＝40°，∠ACB＝80°，
∴∠BAC＝180°﹣40°﹣80°＝60°，
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAE＝∠BAC＝30°，
∵FG⊥AE，
∴∠AHG＝90°，
∴∠AGF＝180°﹣90°﹣30°＝60°；
（2）∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠ACB＝80°，
∴∠CAD＝180°﹣90°﹣80°＝10°，
∵∠BAC＝60°，AE是△ABC的角平分线，
∴∠CAE＝∠BAC＝30°，
∴∠EAD＝∠CAE﹣∠CAD＝30°﹣10°＝20°．
17．（7分）如图，BD∥AC，BD＝BC，点E在BC上，且BE＝AC．求证：∠D＝∠ABC．
【分析】先根据平行线的性质得到∠ACB＝∠EBD，然后根据“SAS”可判断△ABC≌△EDB，从而根据全等三角形的性质得到结论．
【解答】证明：∵BD∥AC，
∴∠ACB＝∠EBD，
在△ABC和△EDB中，
，
∴△ABC≌△EDB（SAS），
∴∠ABC＝∠D．
18．（7分）如图，点F，C在线段AD上，AF＝CD，AB＝DE，BC＝EF．
求证：AB∥DE．
【分析】由AF＝CD，可得出AF+FC＝CD+FC，即得AC＝DF，即可利用SSS证明△ABC≌△DEF，由全等三角形的性质得出∠A＝∠D，即可判定AB∥DE．
【解答】证明：∵AF＝CD，
∴AF+FC＝CD+FC，
即AC＝DF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠A＝∠D，
∴AB∥DE．
19．（7分）已知：如图，在△ABC中，AC⊥BC，E是AB上的一点，延长BC到D，连接DE交边AC于F，使得ED＝EB．求证：EA＝EF．
【分析】由条件可得到∠A＝90°﹣∠B，∠AFE＝90°﹣∠BDE，可得到∠AFE＝∠A，根据等腰三角形的判定可证得AE＝EF．
【解答】证明：∵ED＝EB，
∴∠D＝∠B，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠B，∠AFE＝∠DFC＝90°﹣∠D，
∴∠A＝∠AFE，
∴AE＝EF．
20．（9分）证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．
已知：如图，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上， PD⊥OA，PE⊥OB
求证： PD＝PE ．
请你补全已知和求证，并写出证明过程．
【分析】根据图形写出已知条件和求证，利用全等三角形的判定得出△PDO≌△PEO，由全等三角形的性质可得结论．
【解答】解：已知：PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E；求证：PD＝PE．
故答案为：PD＝PE．
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO＝∠PEO＝90°，
在△PDO和△PEO中，
，
∴△PDO≌△PEO（AAS），
∴PD＝PE．
21．（10分）如图，∠ABC＝90°，FA⊥AB于点A，D是线段AB上的点，AD＝BC，AF＝BD．
（1）判断DF与DC的数量关系为 DF＝DC ，位置关系为 DF⊥DC1 ．
（2）如图2，若点D在线段AB的延长线上，点F在点A的左侧，其他条件不变，试说明（1）中结论是否成立，并说明理由．
【分析】（1）证△ADF≌△BCD（SAS），得DF＝DC，∠ADF＝∠BCD，再由∠BCD+∠CDB＝90°，得∠ADF+∠CDB＝90°，则∠CDF＝90°，即可得出DF⊥DC；
（2）证△ADF≌△BCD（SAS），得DF＝DC，∠ADF＝∠BCD，再由∠BCD+∠CDB＝90°，得∠ADF+∠CDB＝90°，即∠CDF＝90°，即可得出DF⊥DC．
【解答】解：（1）DF＝CD，CD⊥DF，理由如下：
∵FA⊥AB，
∴∠DAF＝90°＝∠CBD，
在△ADF和△BCD中，
，
∴△ADF≌△BCD（SAS），
∴DF＝DC，∠ADF＝∠BCD，
∵∠BCD+∠CDB＝90°，
∴∠ADF+∠CDB＝90°，
∴∠CDF＝90°，
∴DF⊥DC；
（2）成立，理由如下：
∵FA⊥AB，
∴∠DAF＝90°，
在△ADF和△BCD中，
，
∴△ADF≌△BCD（SAS），
∴DF＝DC，∠ADF＝∠BCD，
∵∠BCD+∠CDB＝90°，
∴∠ADF+∠CDB＝90°，
即∠CDF＝90°，
∴DF⊥DC．
22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC的平分线BE交AC于点D，AF⊥AB交BE于点F．
（1）如图1，若∠BAC＝40°，求∠AFE的度数．
（2）如图2，若BD⊥AC，垂足为D，BF＝8，求DF的长．
【分析】（1）由角平分线求出∠ABF的度数，再利用外角的性质即可；
（2）证出△ABD≌△CBD，得出△ABC是等边三角形即可解决问题．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝40°，
∴∠ABC＝70°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF＝35°，
∵AF⊥AB，
∴∠BAF＝90°，
∴∠AFE＝125°．
（2）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝CDB＝90°，
∴△ABD≌△CBD（ASA），
∴AB＝BC，
∵AB＝AC，
∴三角形ABC是等边三角形，
∴∠ABF＝30°，
∴AF＝4，
在Rt△ADF中，
DF＝2．
23．（10分）在等边△ABC中，
（1）如图1，P，Q是BC边上两点，AP＝AQ，∠BAP＝20°，求∠AQB的度数；
（2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP＝AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．
①依题意将图2补全；
②求证：PA＝PM．
【分析】（1）根据三角形的外角性质得到∠APC，由等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）①根据题意补全图形即可；
②过点A作AH⊥BC于点H，根据等边三角形的判定和性质解答即可．
【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形
∴∠B＝60°
∴∠APC＝∠BAP+∠B＝80°
∵AP＝AQ
∴∠AQB＝∠APC＝80°，
（2）①补全图形如图所示，
②证明：过点A作AH⊥BC于点H，如图．
由△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∵AP＝AQ，
∴∠APQ＝∠AQP，
∴∠APQ﹣∠B＝∠AQP﹣∠C，
即∠PAB＝∠QAC，
∵点Q，M关于直线AC对称，
∴∠QAC＝∠MAC，AQ＝AM
∴∠MAC+∠PAC＝∠PAB+∠PAC＝60°，
∵AP＝AM，
∴△APM为等边三角形
∴PA＝PM．
2021-2022学年河南省驻马店市汝南县八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）下列长度的各组线段不能组成一个三角形的是（ ）
A．2cm，2cm，1cm B．2cm，2cm，2cm
C．2cm，2cm，3cm D．2cm，2cm，4cm
3．（3分）如图，在△ABC中，AC边上的高是（ ）
A．AD B．BE C．BF D．CF
4．（3分）如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的（ ）
A．全等形 B．稳定性 C．灵活性 D．对称性
5．（3分）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A．∠ACB＝∠DAC B．AC＝AE C．BC＝DE D．∠BAD＝∠CDE
6．（3分）如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC，工程人员这种操作方法的依据是（ ）
A．等边对等角 B．等角对等边
C．垂线段最短 D．等腰三角形“三线合一”
7．（3分）如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
8．（3分）如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（ ）
A．AE＝DF B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AB＝DC
9．（3分）如图，△ABC中，AD⊥BC，D为BC的中点，以下结论：
（1）△ABD≌△ACD；
（2）AB＝AC；
（3）∠B＝∠C；
（4）AD是△ABC的一条角平分线．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（3分）如图，AC，BD相交于点O，∠A＝∠D，如果请你再补充一个条件，使得△BOC是等腰三角形，那么你补充的条件不能是（ ）
A．OA＝OD B．AB＝CD C．∠ABO＝∠DCO D．∠ABC＝∠DCB
二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）.
11．（3分）如图，四边形ABCD中，∠BAC＝∠DAC，请补充一个条件 ，使△ABC≌△ADC．
12．（3分）一个多边形的每一个外角都等于60°，则这个多边形的内角和为 度．
13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，2）向右平移2个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点C的坐标是 ．
14．（3分）如图，AC＝BC＝10cm，∠B＝15°，若AD⊥BD于点D，则AD的长为 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝9，AC＝5，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，P是直线上的一动点，则△APC的周长的最小值为 ．
三、解答题（共8小题，满分分）
16．（10分）如图，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，∠B＝40°，∠ACB＝80°．点F在BC的延长线上，FG⊥AE，垂足为H，FG与AB相交于点G．
（1）求∠AGF的度数；
（2）求∠EAD的度数．
17．（7分）如图，BD∥AC，BD＝BC，点E在BC上，且BE＝AC．求证：∠D＝∠ABC．
18．（7分）如图，点F，C在线段AD上，AF＝CD，AB＝DE，BC＝EF．
求证：AB∥DE．
19．（7分）已知：如图，在△ABC中，AC⊥BC，E是AB上的一点，延长BC到D，连接DE交边AC于F，使得ED＝EB．求证：EA＝EF．
20．（9分）证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．
已知：如图，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，
求证： ．
请你补全已知和求证，并写出证明过程．
21．（10分）如图，∠ABC＝90°，FA⊥AB于点A，D是线段AB上的点，AD＝BC，AF＝BD．
（1）判断DF与DC的数量关系为 ，位置关系为 ．
（2）如图2，若点D在线段AB的延长线上，点F在点A的左侧，其他条件不变，试说明（1）中结论是否成立，并说明理由．
22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC的平分线BE交AC于点D，AF⊥AB交BE于点F．
（1）如图1，若∠BAC＝40°，求∠AFE的度数．
（2）如图2，若BD⊥AC，垂足为D，BF＝8，求DF的长．
23．（10分）在等边△ABC中，
（1）如图1，P，Q是BC边上两点，AP＝AQ，∠BAP＝20°，求∠AQB的度数；
（2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP＝AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．
①依题意将图2补全；
②求证：PA＝PM．
2021-2022学年河南省驻马店市汝南县八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
2．（3分）下列长度的各组线段不能组成一个三角形的是（ ）
A．2cm，2cm，1cm B．2cm，2cm，2cm
C．2cm，2cm，3cm D．2cm，2cm，4cm
【分析】根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，进行判定即可．
【解答】解：A、∵2+1＞2，∴能组成三角形；
B、∵2+2＞2，∴能组成三角形；
C、∵2+2＞3，∴能组成三角形；
D、∵2+2＝4，∴不能组成三角形．
故选：D．
3．（3分）如图，在△ABC中，AC边上的高是（ ）
A．AD B．BE C．BF D．CF
【分析】根据三角形的高解答即可
【解答】解：因为点B到AC边的垂线段是BE，所以AC边上的高是BE，
故选：B．
4．（3分）如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的（ ）
A．全等形 B．稳定性 C．灵活性 D．对称性
【分析】根据三角形具有稳定性解答．
【解答】解：生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有稳定性．
故选：B．
5．（3分）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A．∠ACB＝∠DAC B．AC＝AE C．BC＝DE D．∠BAD＝∠CDE
【分析】根据翻三角形全等的性质一一判断即可．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴AD＝AB，AE＝AC，BC＝DE，∠ABC＝∠ADE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AD＝AB，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴∠BAD＝180°﹣∠ABD﹣∠ADB，
∴∠CDE＝180°﹣∠ADB﹣ADE，
∵∠ABD＝∠ADE，
∴∠BAD＝∠CDE
故B、C、D选项不符合题意，
故选：A．
6．（3分）如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC，工程人员这种操作方法的依据是（ ）
A．等边对等角 B．等角对等边
C．垂线段最短 D．等腰三角形“三线合一”
【分析】根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵AB＝AC，BE＝CE，
∴AE⊥BC，
故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，
故选：D．
7．（3分）如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【分析】如图，由作图可知，OA＝OB＝CE＝EF，BA＝CF．根据SSS证明△AOB≌△CEF．
【解答】解：如图，由作图可知，OA＝OB＝CE＝EF，BA＝CF．
在△AOB和△CEF中，
，
∴△AOB≌△CEF（SSS），
故选：D．
8．（3分）如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（ ）
A．AE＝DF B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AB＝DC
【分析】根据垂直定义求出∠CFD＝∠AEB＝90°，再根据全等三角形的判定定理推出即可．
【解答】解：条件是AB＝CD，
理由是：∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠CFD＝∠AEB＝90°，
在Rt△ABE和Rt△DCF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），
故选：D．
9．（3分）如图，△ABC中，AD⊥BC，D为BC的中点，以下结论：
（1）△ABD≌△ACD；
（2）AB＝AC；
（3）∠B＝∠C；
（4）AD是△ABC的一条角平分线．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】先运用SAS证明△ABD≌△ACD，再得（1）△ABD≌△ACD正确；（2）AB＝AC正确；（3）∠B＝∠C正确；
∠BAD＝∠CAD（4）AD是△ABC的角平分线．即可找到答案．
【解答】解：∵AD＝AD、∠ADB＝∠ADC、BD＝CD
∴（1）△ABD≌△ACD正确；
∴（2）AB＝AC正确；
（3）∠B＝∠C正确；
∠BAD＝∠CAD
∴（4）AD是△ABC的角平分线．
故选：D．
10．（3分）如图，AC，BD相交于点O，∠A＝∠D，如果请你再补充一个条件，使得△BOC是等腰三角形，那么你补充的条件不能是（ ）
A．OA＝OD B．AB＝CD C．∠ABO＝∠DCO D．∠ABC＝∠DCB
【分析】根据所给的补充条件证明△AOB≌△DOC或△ABC≌△DCB，然后再证明BO＝CO或∠OCB＝∠OBC即可得到△BOC是等腰三角形．
【解答】解：A、补充AO＝DO，可利用ASA证明△AOB≌△DOC，根据全等三角形的性质可得BO＝CO，进而证明出△BOC是等腰三角形；
B、补充AB＝CD，可利用AAS证明△AOB≌△DOC，根据全等三角形的性质可得BO＝CO，进而证明出△BOC是等腰三角形；
C、补充∠ABO＝∠DCO，不能证明△AOB≌△DOC，进而不能证明出△BOC是等腰三角形；
D、补充∠ABC＝∠DCB，可利用AAS证明△ABC≌△DCB，根据全等三角形的性质可得∠OCB＝∠OBC，进而证明出△BOC是等腰三角形；
故选：C．
二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）.
11．（3分）如图，四边形ABCD中，∠BAC＝∠DAC，请补充一个条件 AD＝AB（答案不唯一） ，使△ABC≌△ADC．
【分析】本题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可．
【解答】解：添加的条件是AD＝AB，
理由是：在△ABC和△ADC中
，
∴△ABC≌△ADC（SAS），
故答案为：AD＝AB（答案不唯一）．
12．（3分）一个多边形的每一个外角都等于60°，则这个多边形的内角和为 720 度．
【分析】首先根据外角和与外角的度数可得多边形的边数，再根据多边形内角和公式180（n﹣2）计算出答案．
【解答】解：∵多边形的每一个外角都等于60°，
∴它的边数为：360°÷60°＝6，
∴它的内角和：180°×（6﹣2）＝720°，
故答案为：720．
13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，2）向右平移2个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点C的坐标是 （1，﹣2） ．
【分析】直接利用平移的性质得出B点坐标，再利用关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得出答案．
【解答】解：∵将点A（﹣1，2）向右平移2个单位长度得到点B，
∴B（1，2），
则点B关于x轴的对称点C的坐标是（1，﹣2）．
故答案为：（1，﹣2）．
14．（3分）如图，AC＝BC＝10cm，∠B＝15°，若AD⊥BD于点D，则AD的长为 5cm ．
【分析】根据等边对等角的性质可得∠B＝∠BAC，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠ACD＝30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答即可．
【解答】解：∵AC＝BC，
∴∠B＝∠BAC＝15°，
∴∠ACD＝∠B+∠BAC＝15°+15°＝30°，
∵AD⊥BC，
∴AD＝AC＝×10＝5（cm）．
故答案为：5cm．
15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝9，AC＝5，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，P是直线上的一动点，则△APC的周长的最小值为 13 ．
【分析】连接BP，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，得BP＝CP，即当AB与m的交点为P时，AP+BP最小．
【解答】解：连接BP，
∵直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，
∴BP＝CP，
∴AP+PC＝AP+BP，
∴当AB与m的交点为P时，AP+BP最小，
∴△APC的周长的最小值为AB+AC＝8+5＝13，
故答案为：13．
三、解答题（共8小题，满分分）
16．（10分）如图，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，∠B＝40°，∠ACB＝80°．点F在BC的延长线上，FG⊥AE，垂足为H，FG与AB相交于点G．
（1）求∠AGF的度数；
（2）求∠EAD的度数．
【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线定义即可得到结论；
（2）根据高线定义得到∠ADB＝90°，再根据角平分线定义，即可得到结论．
【解答】解：（1）∵∠B＝40°，∠ACB＝80°，
∴∠BAC＝180°﹣40°﹣80°＝60°，
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAE＝∠BAC＝30°，
∵FG⊥AE，
∴∠AHG＝90°，
∴∠AGF＝180°﹣90°﹣30°＝60°；
（2）∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠ACB＝80°，
∴∠CAD＝180°﹣90°﹣80°＝10°，
∵∠BAC＝60°，AE是△ABC的角平分线，
∴∠CAE＝∠BAC＝30°，
∴∠EAD＝∠CAE﹣∠CAD＝30°﹣10°＝20°．
17．（7分）如图，BD∥AC，BD＝BC，点E在BC上，且BE＝AC．求证：∠D＝∠ABC．
【分析】先根据平行线的性质得到∠ACB＝∠EBD，然后根据“SAS”可判断△ABC≌△EDB，从而根据全等三角形的性质得到结论．
【解答】证明：∵BD∥AC，
∴∠ACB＝∠EBD，
在△ABC和△EDB中，
，
∴△ABC≌△EDB（SAS），
∴∠ABC＝∠D．
18．（7分）如图，点F，C在线段AD上，AF＝CD，AB＝DE，BC＝EF．
求证：AB∥DE．
【分析】由AF＝CD，可得出AF+FC＝CD+FC，即得AC＝DF，即可利用SSS证明△ABC≌△DEF，由全等三角形的性质得出∠A＝∠D，即可判定AB∥DE．
【解答】证明：∵AF＝CD，
∴AF+FC＝CD+FC，
即AC＝DF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠A＝∠D，
∴AB∥DE．
19．（7分）已知：如图，在△ABC中，AC⊥BC，E是AB上的一点，延长BC到D，连接DE交边AC于F，使得ED＝EB．求证：EA＝EF．
【分析】由条件可得到∠A＝90°﹣∠B，∠AFE＝90°﹣∠BDE，可得到∠AFE＝∠A，根据等腰三角形的判定可证得AE＝EF．
【解答】证明：∵ED＝EB，
∴∠D＝∠B，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠B，∠AFE＝∠DFC＝90°﹣∠D，
∴∠A＝∠AFE，
∴AE＝EF．
20．（9分）证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．
已知：如图，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上， PD⊥OA，PE⊥OB
求证： PD＝PE ．
请你补全已知和求证，并写出证明过程．
【分析】根据图形写出已知条件和求证，利用全等三角形的判定得出△PDO≌△PEO，由全等三角形的性质可得结论．
【解答】解：已知：PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E；求证：PD＝PE．
故答案为：PD＝PE．
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO＝∠PEO＝90°，
在△PDO和△PEO中，
，
∴△PDO≌△PEO（AAS），
∴PD＝PE．
21．（10分）如图，∠ABC＝90°，FA⊥AB于点A，D是线段AB上的点，AD＝BC，AF＝BD．
（1）判断DF与DC的数量关系为 DF＝DC ，位置关系为 DF⊥DC1 ．
（2）如图2，若点D在线段AB的延长线上，点F在点A的左侧，其他条件不变，试说明（1）中结论是否成立，并说明理由．
【分析】（1）证△ADF≌△BCD（SAS），得DF＝DC，∠ADF＝∠BCD，再由∠BCD+∠CDB＝90°，得∠ADF+∠CDB＝90°，则∠CDF＝90°，即可得出DF⊥DC；
（2）证△ADF≌△BCD（SAS），得DF＝DC，∠ADF＝∠BCD，再由∠BCD+∠CDB＝90°，得∠ADF+∠CDB＝90°，即∠CDF＝90°，即可得出DF⊥DC．
【解答】解：（1）DF＝CD，CD⊥DF，理由如下：
∵FA⊥AB，
∴∠DAF＝90°＝∠CBD，
在△ADF和△BCD中，
，
∴△ADF≌△BCD（SAS），
∴DF＝DC，∠ADF＝∠BCD，
∵∠BCD+∠CDB＝90°，
∴∠ADF+∠CDB＝90°，
∴∠CDF＝90°，
∴DF⊥DC；
（2）成立，理由如下：
∵FA⊥AB，
∴∠DAF＝90°，
在△ADF和△BCD中，
，
∴△ADF≌△BCD（SAS），
∴DF＝DC，∠ADF＝∠BCD，
∵∠BCD+∠CDB＝90°，
∴∠ADF+∠CDB＝90°，
即∠CDF＝90°，
∴DF⊥DC．
22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC的平分线BE交AC于点D，AF⊥AB交BE于点F．
（1）如图1，若∠BAC＝40°，求∠AFE的度数．
（2）如图2，若BD⊥AC，垂足为D，BF＝8，求DF的长．
【分析】（1）由角平分线求出∠ABF的度数，再利用外角的性质即可；
（2）证出△ABD≌△CBD，得出△ABC是等边三角形即可解决问题．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝40°，
∴∠ABC＝70°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF＝35°，
∵AF⊥AB，
∴∠BAF＝90°，
∴∠AFE＝125°．
（2）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝CDB＝90°，
∴△ABD≌△CBD（ASA），
∴AB＝BC，
∵AB＝AC，
∴三角形ABC是等边三角形，
∴∠ABF＝30°，
∴AF＝4，
在Rt△ADF中，
DF＝2．
23．（10分）在等边△ABC中，
（1）如图1，P，Q是BC边上两点，AP＝AQ，∠BAP＝20°，求∠AQB的度数；
（2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP＝AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．
①依题意将图2补全；
②求证：PA＝PM．
【分析】（1）根据三角形的外角性质得到∠APC，由等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）①根据题意补全图形即可；
②过点A作AH⊥BC于点H，根据等边三角形的判定和性质解答即可．
【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形
∴∠B＝60°
∴∠APC＝∠BAP+∠B＝80°
∵AP＝AQ
∴∠AQB＝∠APC＝80°，
（2）①补全图形如图所示，
②证明：过点A作AH⊥BC于点H，如图．
由△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∵AP＝AQ，
∴∠APQ＝∠AQP，
∴∠APQ﹣∠B＝∠AQP﹣∠C，
即∠PAB＝∠QAC，
∵点Q，M关于直线AC对称，
∴∠QAC＝∠MAC，AQ＝AM
∴∠MAC+∠PAC＝∠PAB+∠PAC＝60°，
∵AP＝AM，
∴△APM为等边三角形
∴PA＝PM．
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