江苏省无锡市江阴市敔山湾实验学校2023-2024学年九年级上学期第一次作业检查数学试卷（月考）

敔山湾实验学校2023—2024学年度第一学期第一次作业检查

九年级   数学试卷             2023年10月

命题人          审题人：

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1．代数式有意义的x的取值范围是                                                       （　　）

A．x≥﹣1且x≠0 B．x≥﹣1 C．x＜﹣1 D．x＞﹣1且x≠0

2．若，则的值为 A．1   B．   C．   D．           （　　）

3．不解方程，判别方程的根的情况                                                 （　　）

A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 

C．有一个实数根 D．无实数根

4．如图，已知△ACD∽△ADB，AC＝4，AD＝2，则AB的长为A．1 B．2 C．3 D．4          （　　）

5．已知关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0的一个根是x＝1，则m的值为                           （　　）

A．2 B．4 C．﹣4 D．﹣2

6．下列说法错误的是                                                                          （　　）

A．直径是圆中最长的弦 B．半径相等的两个半圆是等弧 

C．面积相等的两个圆是等圆 D．半圆是圆中最长的弧

7．如图，在直角坐标系中，△OAB和△OCD是位似图形，O为位似中心，若A点的坐标为（1，1），B点的坐标为（2，1），C点的坐标为（3，3），那么点D的坐标是                                         （　　）

A．（4，2） B．（6，3） C．（8，4） D．（8，3）

                第4题                                        第7题

8．如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，则sinα等于              （　　）

A． B． C． D．

9．二道区为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2021年投入3000万元，预计2023年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是                                  （　　）

A．3000（1+x2）＝5000 B．3000x2＝5000 

C．3000（1+x）2＝5000 D．3000（1+x%）2＝5000

10．如图，在正方形ABCD中；点M是AB上一动点，点E是CM的中点，AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，连接DE，DF．给出结论：①DE＝EF；②∠CDF＝45°；③若正方形的边长为2，则点M在射线AB上运动时，CF有最小值．其中结论正确的是                                                            （　　）

A．①②③ B．①② C．①③ D．②③

第8题                                  第10题

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共计24分．）

11．在比例尺为1：80000的江阴市地图上，长山大道的长度约为25 cm，它的实际长度约为         km．

12．若两个相似三角形的周长之比为1:4，则它们的面积之比为           ．

13．⊙O的半径为4cm，点P到圆心O的距离为5cm，点P与⊙O的位置关系是 　        　．

14．如果圆的半径为4，则弦长x的取值范围是　        　．

15．一元二次方程x2+3x﹣1＝0与x2﹣2x+3＝0的所有实数根的和等于　     　．

16．平面内一点到圆上一点最大距离为a，最小距离为b，则该圆的半径为              ．

17．如图，若反比例函数与直线y＝﹣x+5相交于A、B两点，直线y＝﹣x+5与坐标轴交于C、D两点，且AC：AB＝1：2，则k＝　        　．

18．如图，等边△ABC的边长为10，点M是边AB上一动点，将等边△ABC沿过点M的直线折叠，该直线与直线AC交于点N，使点A落在直线BC上的点D处，且BD：DC＝1：3，折痕为MN，则AN的长为　       　．

                           第17题                         第18题

三、解答题（本大题共10小题，共96分．）

19．（8分）计算：（1）．（2）．

20．（8分）解方程：（1）；（2）．

21．（10分）如图，在△ABC中，AD⊥BC且AD2＝BD•CD．

（1）求证：∠BAC＝90°；（2）若BD＝2，AC＝，求CD的长．

22．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3＝0．

（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；

（2）当一矩形ABCD的对角线长为AC＝，且矩形两条边AB和BC恰好是这个方程的两个根时，求k的值．

23．（10分）如图，已知：AC、BD是⊙O的两条弦，且AC＝BD，求证：AB＝CD．

24．（10分）如图在正方形网格中，小正方形的边长均为1，线段AB、线段EF的端点均在小正方形的顶点上．

（1）在图中以AB为边画Rt△ABC，点C在小正方形的格点上，使∠BAC＝90°，且tan∠ACB＝；

（2）在（1）的条件下，在图中画以EF为边且面积为3的△DEF，点D在小正方形的格点上，使∠CBD＝45°．

（3）求△BFD的面积．（4）sin∠DBF=           ．

25．（10分）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，AD＝2，BD＝6，tanB＝，点E是边BC的中点．

（1）求边AC的长；（2）求∠EAB的正弦值．

26．（10分）某中学广场上有旗杆如图1所示，在学习解直角三角形以后，数学兴趣小组测量了旗杆的高度．如图2，某一时刻，旗杆AB的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长BC为4米，落在斜坡上的影长CD为3米，AB⊥BC，同一时刻，光线与水平面的夹角为72°，1米的竖立标杆PQ在斜坡上的影长QR为2米．

（1）直接写出∠BAD＝　      　；

（2）求旗杆的高度．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）

27．（10分）【温故知新】（1）九（9）班数学兴趣小组认真探究了课本P91第13题：如图1，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是CD上一点，且CF＝3DF，图中有哪几对相似三角形？把它们表示出来，并说明理由．

（1）①小华很快找出△ABE∽△DEF，他的思路为：设正方形的边长AB＝4a，则AE＝DE＝2a，DF＝a，利用“两边分别成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可证明，请你结合小华的思路写出证明过程；

②小丽发现图中的相似三角形共有三对，而且可以借助于△ABE与△DEF中的比例线段来证明△EBF与它们都相似．请你根据小丽的发现证明其中的另一对三角形相似；

【拓展创新】

（2）如图2，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连结FC．（AB＞AE）

①求证：△AEF∽△ECF；

②设BC＝2，AB＝a，是否存在a，使得△AEF与△BFC相似．若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．

28．（10分）操作发现：在综合实践课上，同学们进行正方形图形变换探究活动，如图1，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，点E在CD上运动，在AD上截取AH，使AH＝DE，连接GH．

（1）①发现：△ADE≌△GHA，请证明；②推断：线段GH与AB的关系是　       　．

（2）探究拓展：如图2，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形，点E在CD上运动，，在AD上截取AH，使AH＝kDE，连接GH．判断线段GH与AB的关系并证明；

（3）学以致用：在（2）的条件下，连接BH交AE于点M，连接FH并延长交AE于点P（如图3）．当时，若∠FHG＝2∠ABH，，求PM的长．