2022-2023学年江苏省无锡市江阴市徐霞客中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

2022-2023学年江苏省无锡市江阴市徐霞客中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）

一、选择题（本题共10小题，共30分）

1.    下列关于的方程中，一定是一元二次方程的为(    )

A.  B.
C.  D.

2.    已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3.    用配方法解一元二次方程，此方程可化为(    )

A.  B.  C.  D.

4.    已知的半径是，，则点与的位置关系是(    )

A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 不能确定

5.    如图，的直径，弦于点，若，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

6.    如图，是的内接三角形，，，则的半径长为(    )

A.
B.
C.
D.

7.    如图，在中，是上的一条弦，直径，连接、，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

8.    已知的半径等于，圆心到直线的距离为，那么直线与的位置关系是(    )

A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定

9.    如图，直线与相切于点，、是的两条弦，且，若的半径为，，则弦的长为(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，矩形，，点为的内心，将矩形绕点顺时针旋转，则点的对应点坐标为(    )

A.  
B.
C.  ， 
D.

二、填空题（本题共8小题，共24分）

11. 一元二次方程的解是______．
12. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______．
13. 某种药品原来售价元，连续两次降价后售价为元．若平均每次下降的百分率相同，则这个百分率是______．
14. 如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形劣弧，其跨度为米，拱的半径为米，则拱高为______米．
15. 如图，点在半圆上，是直径，若，则的长为______．

16. 如图所示，点，，是上的点，，则______．

17. 如图，在每个小正方形边长都为的网格中，有四个点，，，，以其中任意三点为顶点的三角形的外接圆半径长是______．

18. 如图，菱形中，，于点，为的中点，连接，，若，则的外接圆半径为______．

三、解答题（本题共10小题，共96分）

19. 解下列方程：
    配方法
    ；
20. 已知关于的方程．
    求证：无论为何值，方程总有实数根；
    若等腰三角形一腰长为，另外两边长度为该方程的两根，求等腰三角形的周长．
21. 如图，为建设美丽校园，学校准备利用一面围墙和旁边的空地，建一个面积为的长方形花坛，另三边用木质围栏围成，木栏总长，若围墙足够长，则花坛垂直于墙的一边长应安排多少米？

22. 如图，请只用无刻度直尺找出的外心点；并直接写出其外接圆半径______；
    如图，请用直尺和圆规将图中的弧补成圆；并标记圆心．
     
23. 已知：如图，在中，，以腰为直径作，分别交，于点，，连结，．
    求证：．
    若，求的度数．

24. 如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为，拱高为．
    求拱桥的半径．
    有一艘宽为的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面，则此货船是否能顺利通过此圆弧形拱桥？并说明理由．

25. 今年大德福超市以每件元的进价购进一批商品，当商品售价为元时，三月份销售件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到件．
    求四、五这两个月的月平均增长率．
    从六月份起，商场为了减少库存，从而采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价元，月销量增加件，当商品降价多少元时，商场月获利元？
26. 如图，是的直径，是的弦，于点，交于，与过点的直线交于点，且．
    求证：是的切线；
    若的半径为，，求的长．

27. 阅读以下材料：
    若，求、的值．
    思路分析：一个方程求两个未知数显然不容易，考虑已知等式的特点，将其整理为两个完全平方式的和，利用其非负性转化成两个一元一次方程，进而求出、．
    解：，，，
    ，请你根据上述阅读材料解决下列问题：
    若，求的值；
    求证：无论、取何值，代数式的值始终为正．
28. 如图，已知矩形中，，，动点从点出发，在边上以每秒个单位的速度向点运动，连接，作点关于直线的对称点，设点的运动时间为．
    若，求当，，三点在同一直线上时对应的的值．
    已知满足：在动点从点到点的整个运动过程中，有且只有一个时刻，使点到直线的距离等于，求所有这样的的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：时，不是一元二次方程，所以选项不符合题意；
B.为二元二次方程，所以选项不符合题意；
C.为分式方程，所以选项不符合题意；
D.为一元二方程，所以选项符合题意．
故选：．
根据一元二次方程的定义对各选项进行判断．
本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程．
 

2.【答案】 

【解析】解：把代入方程得，
解得．
故选：．
把代入方程得，然后解关于的方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
则，即，
故选：．
将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，
，
则点在外，
故选：．
根据题意得的半径为，则点到圆心的距离大于圆的半径，则根据点与圆的位置关系可判断点在外．
本题考查了点与圆的位置关系：设的半径为，点到圆心的距离，则有点在圆外；点在圆上；点在圆内．
 

5.【答案】 

【解析】解：连接，如图，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
连接，如图，先根据垂径定理得到，再计算出，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，连接，，

，
，
，
是等腰直角三角形，
在中，，，
，
，
即的半径是，
故选：．
连接，，可得，进而利用等腰直角三角形的性质解答即可．
此题考查三角形外接圆与外心，关键是根据圆周角与圆心角的关系得出．
 

7.【答案】 

【解析】解：连接，

是上的一条弦，直径，
，
，
，
，
，
．
故选：．
根据垂径定理得出，根据弧与圆心角关系得出，利用圆周角定理得出，然后利用直角三角形两锐角互余性质求解即可．
本题考查垂径定理，弧与圆心角关系，圆周角定理，直角三角形两锐角互余性质，掌握垂径定理，弧与圆心角关系，圆周角定理，直角三角形两锐角互余性质是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：的半径等于，圆心到直线的距离为，，
直线与相离．
故选：．
根据“若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离”即可得到结论．
本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知设的半径为，圆心到直线的距离为，当时，直线和相离是解答此题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：连接、，的延长线交于点，如图，
直线与相切于点，
，
，
，
，
在中，，
，
在中，．
故选：．
连接、，的延长线交于点，如图，先根据切线的性质得到，则利用平行线的性质得到，再根据垂径定理得到，然后利用勾股定理先计算出，再计算的长．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理和勾股定理．
 

10.【答案】 

【解析】解：将矩形绕点顺时针旋转，如图所示：

点为的内心，
点为角平分线的交点，过点作三边的高线，，，垂足分别为，，，
，
设，
在矩形中，
，
，
，
，
，
，
，
．
则点的对应点坐标为．
故选D．
根据题意画出旋转后的图形，根据点为的内心，可得点为角平分线的交点，过点作三边的高线，，，垂足分别为，，，所以，设，根据，列式求出的值，进而可以解决问题．
本题考查了三角形内切圆与内心，矩形的性质，坐标与图形变化旋转，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
 

11.【答案】， 

【解析】解：，
，
，
，
或，
解得，，
故答案为：，．
先提公因式，然后移项，再提公因式，即可解答本题此方程．
本题考查解一元二次方程因式分解法，解答本题的关键是明确解一元二次方程的方法．
 

12.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有实数根，
，
．
故答案为：．
根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围．
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有实数根”是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：设平均每次下降的百分率为，
依题意得：，
解得：，不合题意，舍去，
平均每次下降的百分率为．
故答案为：．
设平均每次下降的百分率为，利用经过两次降价后的售价原价平均每次下降的百分率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：因为跨度，拱所在圆半径为，
所以找出圆心并连接，延长到，构成直角三角形，
利用勾股定理和垂径定理求出，
进而得拱高．
故答案为：．
先构建直角三角形，再利用勾股定理和垂径定理计算．
本题考查了垂径定理和勾股定理的应用．可通过作辅助线建立模形，利用垂径定理解答．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接，

，是直径，
，
，，
，
．
故答案为：．
连接，由圆心角，弦，弧的关系可得，结合等腰直角三角形的性质可求解的长，进而可求解的长．
本题主要考查圆周角，弦，弧的关系，等腰直角三角形的性质，求解，的长是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：在优弧上取点，连接，，

，，
，
．
故答案为：．
首先在优弧上取点，连接，，由点、、是上的点，，即可求得的度数，然后由圆周角定理，即可求得答案．
此题考查了圆周角定理以及圆的内接四边形的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
 

17.【答案】 

【解析】解：连接，，作，的垂直平分线，两直线相交于，
则为的外接圆的圆心，为外接圆的半径，
由勾股定理得，
故答案为：．
连接，，作，的垂直平分线，两直线相交于，即可找到四点共圆的圆心，再利用勾股定理可求解该圆的半径．
本题主要考查三角形的外接圆与外心，勾股定理，找到圆心是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解答】解：延长交的延长线于，如图所示：
四边形是菱形，
，，
，
是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
设，则，
，，是的中点，
，，
，
在和中，由勾股定理得：，
即，
解得：，或舍去，
，
，
，
是的外接圆的直径，
的外接圆半径为，
故答案为：．
延长交的延长线于，由菱形的性质得出，，证明≌，得出，，由线段垂直平分线的性质得出，设，则，由直角三角形斜边上的中线性质得出，得出，在和中，由勾股定理得出方程，解方程求出，进而求出，即可得到的外接圆半径．
本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、线段垂直平分线的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度．
 

19.【答案】解：，
，
，即，
，
，；
，
，
，
或，
，． 

【解析】利用配方法求解即可；
利用因式分解法求解即可．
本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是熟练运用因式分解法以及配方法，本题属于基础题型．
 

20.【答案】证明：，
，即，
无论取任何实数值，方程总有实数根；

解：等腰三角形一腰长为，
另外一边长度为，
方程一个根为，
，
解得，
方程为，
，
解得，，
故的周长． 

【解析】先计算出，然后根据非负数的性质和根的判别式的意义判断方程根的情况；
依题意方程一个根为，代入方程求得，再把代入方程，求出方程的解，然后计算三角形周长．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
 

21.【答案】解：设花坛垂直于墙的一边长应安排米，根据题意得：
，
解得：，．
答：花坛垂直于墙的一边长应安排米或米． 

【解析】根据“木栏总长，长方形花坛的面积为”可得相应的一元二次方程．
本题考查了一元二次方程的应用，根据题干信息找出等量关系并据此列式计算是解题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：如图所示，点即为所求；外接圆半径；
故答案为：；
如图所示：即为所求．
根据三角形的外心是三边垂直平分线的交点作出点；
在弧上任取三点，，，连接，，分别作弦，的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为圆心，于是得到结论．
本题考查了三角形外接圆与外心，勾股定理，正确地作出图形是解题的关键．
 

23.【答案】证明：，
，
，
，
，
，
，
；
，
，
，
，
． 

【解析】利用等腰三角形的性质得到，，再判断，然后利用平行线分线段成比例得到；
利用三角形内角和计算出，则，再利用圆内接四边形的性质得到，然后利用平角定义可计算出的度数．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰三角形的性质．
 

24.【答案】解：如图，连接，．
，
为中点，
，
．
又，
设，则．
在中，根据勾股定理得：，
解得．
拱桥的半径为；

，船舱顶部为长方形并高出水面，
，
，
在中，，
．
．
此货船不能顺利通过这座拱桥． 

【解析】根据垂径定理和勾股定理求解；
连接，，根据勾股定理即可得到结论．
此题考查了垂径定理的应用．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．
 

25.【答案】解：设四、五这两个月的月平均增长率为，
依题意得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：四、五这两个月的月平均增长率为；
设商品降价元，则每件获利元，月销售量为件，
依题意得：，
解得：，不合题意舍去．
答：当商品降价元时，商场月获利元． 

【解析】设四、五这两个月的月平均增长率为，利用五月份的销售量三月份的销售量月平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
设商品降价元，则每件获利元，月销售量为件，利用商场销售该商品月销售利润每件的销售利润月销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

26.【答案】证明：，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
是直径，
是的切线；
解：的半径为，
，，
，，
，
，，
∽，
，即，
． 

【解析】由等腰三角形的性质，对顶角的性质得出，，由垂线的性质得出，进而得出，即可证明是的切线；
先由勾股定理求出，再证明∽，由相似三角形的性质即可求出．
本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，掌握等腰三角形的性质，垂线的性质，切线的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
 

27.【答案】解：，
，
，
，，
；
证明：

，
，，
，
无论、取何值，代数式的值始终为正． 

【解析】根据材料完成配方即可求解；
把已知代数式配方成为两个完全平方式和一个正数的和的形式，然后利用完全平方式的非法性即可求解．
此题主要考查了配方法的应用，同时也利用了完全平方式的非负性．
 

28.【答案】解：如图中，设则．

、、共线，点与点关于直线的对称，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
或舍弃，
，
时，、、共线．

分两种情况讨论：
如图中，当点与重合时，点在的下方，点到的距离为．
作于，于则，，

易证四边形是矩形，
，，
，
，，
∽，
，
，
，当时，直线上方还有一个点满足条件，见图．

如图中，当点与重合时，点在的上方，点到的距离为．
作于，延长交于则，，

在中，，
由∽，
，
，
．
综上所述，在动点从点到点的整个运动过程中，有且只有一个时刻，使点到直线的距离等于，这样的的取值范围． 

【解析】如图中，设则首先证明，在中利用勾股定理即可解决问题；
分两种情形求出的值即可解决问题：如图中，当点与重合时，点在的下方，点到的距离为；如图中，当点与重合时，点在的上方，点到的距离为．
本题考查四边形综合题、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．