江苏省盐城市滨海一中2021-2022学年九年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

江苏省盐城市滨海一中2021-2022学年九年级（下）第一次月考数学试卷

一．选择题（本题共8小题，共24分）

1. 的绝对值是

A.  B.  C.  D.

2. 如图图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是

A.  B.
C.  D.

3. 下列计算正确的是

A.  B.  C.  D.

4. 今年以来，人们对全国多地大范围持续的雾霾天气记忆犹新，“细颗粒物”遂成为显示度最高的热词之一．是指大气中直径小于或等于米即微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．把用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

5. 一组数据，，，，的众数为，则这组数据的中位数为

A.  B.  C.  D.

6. 圆的直径是，若圆心与直线的距离是，则该直线和圆的位置关系是

A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相交或相切

7. 若函数的图象与坐标轴有三个交点，则的取值范围是

A. 且 B.  C.  D.

8. 一次函数与反比例函数同一平面直角坐标系中的图象可能是

A.  B.
C.  D.

二．填空题（本题共10小题，共30分）

9. 比较大小：______填“”、“”或“”
10. 函数中自变量的取值范围是______．
11. 因式分解：______．
12. 将抛物线向下平移个单位，再向右平移个单位，得到抛物线解析式为______ ．
13. 已知扇形的弧长为，半径为，则此扇形的圆心角为______度．
14. 已知多边形内角和与外角和的和是，则这个多边形的边数是______．
15. 已知抛物线的对称轴是直线，若关于的一元二次方程的一个根为，则该方程的另一个根为______．
16. 如图，四边形是菱形，经过点、、，与相交于点，连接、若，则______
     

17. 如图，将矩形绕点沿顺时针方向旋转到矩形的位置，，，则阴影部分的面积为______．
    
     

18. 如图，四边形是平行四边形，点在轴上，反比例函数的图象经过点，且与边交于点若，则点的坐标为          ．
    
     

三．计算题（本题共1小题，共10分）

19. 计算：；
    化简：．
    
    
    
    
    
    
     

四．计算题（本题共8小题，共86分）

20. 解方程：；
    解不等式组：．
    
    
    
    
    
    
     
21. 世界园艺博览会在扬州枣林湾举行，本次世园会共有个展园，其中包括个境内城市展园、个境外城市展园、个江苏城市展园以及个企业展园．小明制作了张反面完全一样正面是各个展园资料的卡片，洗匀后反面朝上摆放．
    “从中随机抽取一张，恰好是江苏城市展园”的概率是______；
    从“北京园、上海园、荷兰园、罗马园”张卡片中，随机抽取张，请用画树状图或用表格的方法估计“抽出张卡片是北京园和上海园”的概率．
    
    
    
    
    
    
     
22. 某校为了解九年级学生新冠疫情防控期间每天居家体育活动的时间单位：，在网上随机调查了该校九年级部分学生．根据调查结果．绘制出如下的统计图和图请根据相关信息，解答下列问题：
    
    本次接受调查的初中学生人数为______，图中的值为______；
    这组数据的平均数是______，众数是______，中位数是______．
    根据统计的这组每天居家体育活动时间的样本数据，估计该校名九年级学生居家期间每天体育活动时间大于的学生人数．
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点．
    求反比例函数与一次函数的表达式；
    结合函数图象直接写出不等式的解集；
    求的面积．
    
     

24. 为了测量某山如图所示的高度．甲在山顶测得处的俯角为，处的俯角为，乙在山下测得，之间的距离为米，已知，，在同一水平面的同一直线上，求山高结果保留根号．

25. 如图，中，，点为上一点，且，过，，三点作，是的直径，连结．
    求证：是的切线；
    若，，求的直径．

26. 定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”．
    
    如图，四边形与四边形都是正方形，，求证：四边形是“等垂四边形”；
    如图，四边形是“等垂四边形”，，连接，点，，分别是，，的中点，连接，，试判定的形状，并证明；
    如图，四边形是“等垂四边形”，，，试求边长的最小值．
    
    
    
    
    
    
     
27. 如图，抛物线经过、、三点，对称轴与抛物线相交于点，与直线相交于点，连接，．
    求该抛物线的解析式；
    设对称轴与轴交于点，在对称轴上是否存在点，使以、、为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由；
    抛物线上是否存在一点，使与的面积相等，若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由；
    点是轴上的动点，连接，求的最小值．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：根据绝对值的概念可知：，
故选：．
根据绝对值的定义直接进行计算．
本题考查了绝对值的概念，注意掌握一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是．
 

2.【答案】
 

【解析】解：、是轴对称图形，也是中心对称图形；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 

3.【答案】
 

【解析】解：原式，故A错误；
原式，故B错误；
原式，故C错误；
故选：．
根据整式的混合运算即可求出答案．
本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
 

4.【答案】
 

【解析】解：．
故选：．
根据科学记数法和负整数指数的意义求解．
本题考查了科学记数法表示较小的数：用为负整数表示较小的数．
 

5.【答案】
 

【解析】解：数据，，，，的众数为，
，
则数据重新排列为、、、、，
所以中位数为，
故选：．
根据众数和中位数的概念求解．
本题考查了众数和中位数的概念，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
 

6.【答案】
 

【解析】解：的直径为，
，
，
，
直线与的位置关系是相切．
故选：．
由的直径为，得出圆的半径是，圆心到直线的距离为，即，得出，即可得出直线与的位置关系是相切．
本题考查了直线与圆的位置关系；若圆的半径为，圆心到直线的距离为，时，圆和直线相离；时，圆和直线相切；时，圆和直线相交．
 

7.【答案】
 

【解析】

【分析】
抛物线与坐标轴有三个交点，则抛物线与轴有个交点，与轴有一个交点．
本题考查了抛物线与轴的交点．该题属于易错题，解题时，往往忽略了抛物线与轴有交点时，这一条件．
【解答】
解：函数的图象与坐标轴有三个交点，

解得且．
故选A．  

8.【答案】
 

【解析】解：一次函数中，，
直线与轴的交点在正半轴，故A、不合题意，、符合题意，
C、由一次函数的图象过一、二、四象限可知，由反比例函数的图象在二、四象限可知，两结论相矛盾，故选项C错误；
D、由一次函数的图象过一、二、三象限可知，由反比例函数的图象在二、四象限可知，故选项D正确；
故选：．
分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是一次函数与反比例函数图象的特点，熟知一次函数与反比例函数的性质是解答此题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：，
，
．
故答案为：．
根据实数大小比较的方法，判断出两个数的平方的大小故选，即可判断出两个数的大小关系．
此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出两个数的平方的大小关系．
 

10.【答案】且
 

【解析】解：由题意得，，，
解得，且，
故答案为：且．
根据分式有意义的条件、二次根式有意义的条件列式计算．
本题考查的是函数自变量的取值范围，当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．
 

11.【答案】
 

【解析】解：

．
故答案为：．
直接提取公因式，再利用完全平方公式分解因式．
此题主要考查了提取公因式法、公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
 

12.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减，上加下减”的法则是解答此题的关键．
直接根据函数图象平移的法则即可得出结论．
【解答】
解：将抛物线向下平移个单位，再向右平移个单位，得到抛物线解析式为：，
故答案为．  

13.【答案】
 

【解析】解：设扇形的圆心角为，
则，
解得，，
故答案为：
利用扇形的弧长公式计算即可．
本题考查的是弧长的计算，掌握弧长公式是解题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】解：设这个多边形的边数是，
，
解得．
故答案为：．
根据多边形的内角和公式与外角和定理列式求解即可．
本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟记公式与定理是解题的关键，需要注意，任意多边形的外角和都是，与边数无关．
 

15.【答案】
 

【解析】解：由题意抛物线的对称轴，与轴的交点为，
抛物线与轴的另一个交点坐标，
一元二次方程的另一个根为．
故答案为
根据抛物线与轴的交点两个点横坐标就是一元二次方程的解；
本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

16.【答案】
 

【解析】解：四边形是菱形，，
，
四边形是圆内接四边形，
，
，
故答案为：．
根据菱形的性质得到，根据圆内接四边形的性质得到，由三角形的外角的性质即可得到结论．
本题考查了菱形的性质，三角形的外角的性质，圆内接四边形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
 

17.【答案】
 

【解析】解：四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
由勾股定理得：，
阴影部分的面积是，
故答案为：．
先求出，求出，求出，，分别求出扇形和三角形的面积，即可求出答案．
本题考查了扇形的面积，勾股定理，直角三角形的性质的应用，解此题的关键是能正确求出扇形和三角形的面积，题目比较好，难度适中．
 

18.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质的运用，解决问题时注意方程思想的运用．
先连接并延长，交轴于，得到等腰，进而得到点的坐标，根据待定系数法求得直线的解析式，再解方程组即可得到点的坐标；
【解答】
解：如图，连接并延长，交轴于，

由，可得，
，
，，
，
，
，即，
，
，
由，，
设的解析式为，
得，解得
可得的解析式为，
反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数的解析式为，
联立方程组
可得或
点的坐标为
故答案为  

19.【答案】解：


．



．
 

【解析】根据零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、实数的运算法则解决此题．
根据单项式乘多项式、多项式乘多项式、整式的混合运算法则解决此题．
本题主要考查零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、实数的运算、单项式乘多项式、平方差公式、整式的混合运算，熟练掌握零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、实数的运算、单项式乘多项式、多项式乘多项式、整式的混合运算法则是解决本题的关键．
 

20.【答案】解：方程两边同时乘以得：
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的解；

解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为．
 

【解析】方程两边同时乘以，把分式方程化成整式方程，解整式方程检验后，即可得出分式方程的解；
根据解不等式组的一般步骤，进行解答即可．
本题考查了解分式方程及解一元一次不等式组，掌握把分式方程化成整式方程的方法及解一元一次不等式组的一般步骤是解决问题的关键．
 

21.【答案】
 

【解析】解：“从中随机抽取一张，恰好是江苏城市展园”的概率是，
故答案为：；
用、、、分别表示“北京园、上海园、荷兰园、罗马园”，画树状图如下，

因为共有种等可能的情况数，其中“抽出张卡片是北京园和上海园”的有种结果，
所以“抽出张卡片是北京园和上海园”的概率为．
直接利用概率公式求解即可；
分别用，，，表示张卡片，然后通过画树状图表示出所有等可能的结果数，再用概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比．
 

22.【答案】       
 

【解析】解：本次接受调查的初中学生人数为：人，
，
则；
故答案为：，．

由条形统计图得，个，个，个，个，个，
平均数是：，
出现了次，出现的次数最多，
众数是，
第个数和第个数都是，
中位数是；
故答案为：，，；

根据题意得：
人，
答：该校每天在校体育活动时间大于的学生有人．
根据小时的人数和所占的百分比求出本次调查的学生人数，进而求得的值；
根据平均数、众数、中位数的定义分别进行求解即可；
用总人数乘以体育活动时间大于的学生人数所占的百分比即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、平均数、中位数和众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

23.【答案】解：将代入得，
解得，
反比例函数解析式为，
将代入得，
点坐标为，
将，代入得，
解得，
一次函数解析式为．
由图象可得或时，直线在反比例函数图象上方，
不等式的解集是或．
将代入得，
解得，
点坐标为，，
．
 

【解析】将点坐标代入反比例函数解析式求出，将点坐标代入反比函数解析求出，进而求解．
结合图象中点，横坐标求解．
由一次函数解析式求出点坐标，根据求解．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握函数与方程及不等式的关系．
 

24.【答案】解：根据题意可知：
，，，，
在中，，
在中，，
，
即，
解得米．
答：山高为米．
 

【解析】根据题意可得，，，，，再根据特殊角三角函数即可求出山高．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．
 

25.【答案】证明：，，
，，
，
又，
，
是的直径，
，
，
，即，
，
是的切线；
解：过点作于点，如图，
，
，
在中，，
设，，
，
，解得，
，
，
，，
∽，
，即，解得，
即的直径为．
 

【解析】根据等腰三角形的性质，由，得，，则，根据圆周角定理得，，所以，然后根据切线的判定定理即可得到是的切线；
过点作于点，如图，根据等腰三角形的性质得，在中，利用正弦定义得，则设，，利用勾股定理得，所以，解得，于是得到，然后证明∽，再利用相似比可计算即可．
本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质．
 

26.【答案】解：如图，延长，交于点，

四边形与四边形都为正方形，
，，．
．
≌．
，．
，
，
即，
．
．
又，
四边形是“等垂四边形”．

是等腰直角三角形．
理由如下：如图，延长，交于点，

四边形是“等垂四边形”，，
，，

点，，分别是，，的中点，
，，，，
，，．
．
是等腰直角三角形．

延长，交于点，分别取，的中点，连接，，，

则，
由可知．
最小值为．
 

【解析】本题是四边形的综合问题，新定义问题，正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理及等腰直角三角形的性质等知识点．
延长，交于点，先证≌，得，结合，知，即可得从而得证；
延长，交于点，由四边形是“等垂四边形”，知，，从而得，根据三个中点知，，，，据此得，，由可得答案；
延长，交于点，分别取，的中点，连接，，，由及可得答案．
 

27.【答案】解：将点、、代入中，
得到，解得，
；
函数对称轴为直线，
设，
由已知可得，，
轴，轴，
，
，
，
当以、、为顶点的三角形与相似时，
∽时，
，
或；
当∽时，
，即，
或；
综上所述：以、、为顶点的三角形与相似时，满足条件的点坐标为或或或；
当时，，
，
设直线的解析式为，
将点、代入，可得，
解得，
，
过点作交轴于点，
直线的解析式为，
联立，解得或，
或舍；
当时，，
，
点关于点对称的点为，
过点与直线平行的直线解析式为，
联立，
解得或，
或；
综上所述：与的面积相等时，点坐标为或或；
连接，在上截取使得，过点作交于点，过点作轴交于点，
在中，，
，此时的值最小；
，，
，，
，
设直线的解析式为，
将点，代入，可得，
，解得，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
的最小值为．
 

【解析】将点、、代入中即可求解析式；
两个三角形相似有两种情况∽；∽，在利用相似三角形的边对应成比例即可求解；
由于与共底，利用平行线的性质，只要两个三角形等高即可；分两种情况找平行线，过点作交轴于点，直线的解析式为，直线与抛物线的交点即为；由点关于点对称的点为，过点与直线平行的直线解析式为，该直线与抛物线的交点即为；
连接，在上截取使得，过点作交于点，过点作轴交于点，在中，，，当、、三点共线，并且时，值最小．在中，求出，进而求出直线的解析式，再求出，由于，在中，，可求，则即为所求的最小值．
本题考查二次函数的综合应用，本题涉及的知识点较多，需要掌握函数解析式的求法：待定系数法；三角形相似的性质，对应边成比例；共边的三角形面积相等，利用平行线构造等高；的最小值求法，通过构造，将转化为的长，再由垂线段最短确定最短距离．本题对学生的要求比较高．