2021-2022学年江苏省盐城市滨海县九年级（上）期末数学试卷（含答案解析）

2021-2022学年江苏省盐城市滨海县九年级（上）期末数学试卷

1.     函数的最小值是(    )

A. 1 B.  C. 3 D.

2.     已知，则下列各式正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.     已知关于x的方程的一个根为，则实数k的值为(    )

A. 1 B.  C. 2 D.

4.     若抛物线经过点，则的值是(    )

A. 7 B.  C.  D. 3

5.     某校艺术节的乒乓球比赛中，小东同学顺利进入决赛．有同学预测“小东夺冠的可能性是”，则对该同学的说法理解最合理的是(    )

A. 小东夺冠的可能性较大
B. 如果小东和他的对手比赛10局，他一定会赢8局
C. 小东夺冠的可能性较小
D. 小东肯定会赢

6.     由下表：

可知方程为常数一个根精确到的范围是(    )

A.  B.  C.  D.

7.   如图，AB是的直径，点C在上，，，则的半径为
   (    )

A. 4
B. 8
C.
D.

8.   如图，以点O为圆心作圆，所得的圆与直线a相切的是(    )
    

A. 以OA为半径的圆 B. 以OB为半径的圆 C. 以OC为半径的圆 D. 以OD为半径的圆

9.   二次函数图象的开口方向是______ .
10. 一元二次方程的根是__________.
11. 甲、乙两人在相同条件下进行射击练习，每人10次射击成绩的平均数都是8环，方差分别为，，则两人射击成绩比较稳定的是______ 填“甲”或“乙”
12. 实数m，n是一元二次方程的两个根，则多项式的值为______ .
13. 将抛物线向右平移3个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的解析式为______.
14. 如图，AB是的直径，C、D是上的两点，，则______
     
15. 如图，为了测量操场上一棵大树的高度，小英拿来一面镜子，平放在离树根部5m的地面上，然后她沿着树根和镜子所在的直线后退，当她后退1m时，正好在镜中看见树的顶端.小英估计自己的眼睛到地面的距离为，则大树的高度是_________
     
16. 如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，则与的面积比为______ .

17. 如图，AB是的直径，AC是的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D，若，，则图中阴影部分的面积为______.
     
18. 如图，正方形ABCD的边长为6，的半径为若在正方形ABCD内平移可以与该正方形的边相切，则点A到上的点的距离的最大值为______.

19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、
    向左平移3个单位，向上平移1个单位，请画出平移后的；
    以点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为2：1；
    若与是关于某一点Q为位似中心的位似图形，请在图中标出位似中心Q，并写出点Q的坐标.
     
20. 如图，在和中，，AC平分
    证明：∽；
    若，，求CD的长．

21. 某中学为了解初三学生参加志愿者活动的次数，随机调查了该年级20名学生，统计得到该20名学生参加志愿者活动的次数如下：
    3，5，3，6，3，4，4，5，2，4，5，6，1，3，5，5，4，4，2，4
    根据以上数据，得到如下不完整的频数分布表：

表格中的______ ，______ ；
在这次调查中，参加志愿者活动的次数的众数为______ ，中位数为______ ；
若该校初三年级共有300名学生，根据调查统计结果，估计该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数.

22. 李老师为缓解小如和小意的压力，准备了四个完全相同不透明的锦囊，里面各装有一张纸条，分别写有：转移注意力，合理宣泄，自我暗示，放松训练.
    若小如随机取走一个锦囊，则取走的是写有“自我暗示”的概率是______ ；
    若小如和小意每人先后随机抽取一个锦囊抽走后不放回，请用列表法或画树状图的方法求小如和小意都没有取走“合理宣泄”的概率.
23. 如图，预防新冠肺炎疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离区，隔离区一面靠着长为10m的墙，隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开．已知整个隔离区塑料膜总长为24m，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的面不能超过墙长，设垂直于墙的一边为x m，隔离区面积为
    求S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
    求隔离区面积的最大值．

24. 如图，是的外接圆，点O在BC边上，的平分线交于点D，连接BD，CD，过点D作的切线与AC的延长线交于点
    求证：；
    求证：∽；
    当，时，求线段PC的长.
     
25. 某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同.如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为
    求雕塑高
    求落水点C，D之间的距离.
    若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，，，问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明.

26. 在中，，，
    如图1，点D为AC上一点，交AB边于点E，若，求AD及DE的长；
    如图2，折叠，使点A落在BC边上的点H处，折痕分别交AC、AB于点G、F，且
    ①求证：四边形AGHF是菱形；
    ②求菱形的边长；
    在的条件下，线段CD上是否存在点P，使得？若存在，求出PD的长；若不存在，请说明理由．
     
27. 如图，二次函数的图象与x轴交于点、两点，与y轴交于点C，点D为OC的中点．
    求二次函数的表达式；
    若点E为直线BC上方抛物线上一点，过点E作轴，垂足为H，EH与BC、BD分别交于点F、G两点，设点E的横坐标为
    ①用含m的代数式表示线段EF的长度；
    ②若，求此时点E的坐标；
    在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
    
    

答案和解析

1.【答案】D 

【解析】解：，
，
当时，该函数有最小值，最小值是，
故选：
利用二次函数顶点式求函数的最小值即可．
本题考查了二次函数的最值问题，掌握利用顶点式确定二次函数最值的方法是解题关键．
 

2.【答案】A 

【解析】解：A、由可得，故此选项正确；
B、由可得，故此选项错误；
C、由可得，故此选项错误；
D、由可得，故此选项错误．
故选：
利用比例的性质：内项之积等于外项之积，即可求解．
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
 

3.【答案】B 

【解析】

【分析】
本题主要考查了一元二次方程的解的定义：就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
利用方程解的定义将代入关于x的方程，就可以得到关于k的方程，解之求得k的值．
【解答】
解：把代入方程，得：，
解得
故选  

4.【答案】A 

【解析】解：抛物线经过点，
，
整理，得，

故选：

把代入可得，再将所求的式子变形，即可求出答案
本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，关键要掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式．
 

5.【答案】A 

【解析】解：根据题意，有人预测小东夺冠的可能性是，结合概率的意义，
A、小东夺冠的可能性较大，故本选项正确；
B、小东和他的对手比赛10局时，他可能赢8局，故本选项错误；
C、小东夺冠的可能性较大，故本选项错误；
D、小东可能会赢，故本选项错误．
故选：
根据概率的意义，反映的只是这一事件发生的可能性的大小，不一定发生也不一定不发生，依次分析可得答案．
本题主要考查了概率的意义：反映的只是这一事件发生的可能性的大小，难度较小．
 

6.【答案】C 

【解析】解：由表可以看出，当x取与之间的某个数时，，
即这个数是的一个根．
所以的一个解x的取值范围为
故选：
由表可以看出，当x取与之间的某个数时，，据此解答即可.
本题考查了估算一元二次方程的近似解，正确估算是建立在对二次函数图象和一元二次方程关系正确理解的基础上的．
 

7.【答案】A 

【解析】解：是直径，
，
，
，
，
即的半径为为4，
故选：
利用圆周角定理的推论得，再利用含30度角的直角三角形的性质即可解决问题．
本题考查含30度角的直角三角形的性质，圆周角定理的推论等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

8.【答案】D 

【解析】解：于D，
以点O为圆心，OD为半径的圆与直线a相切．
故选：
根据直线与圆的位置关系的判定方法进行判断．
本题考查了直线与圆的位置关系：判断直线和圆的位置关系：设的半径为r，圆心O到直线l的距离为直线l和相交；直线l和相切；直线l和相离
 

9.【答案】向下 

【解析】解：二次函数的二次项系数，
抛物线图象开口方向是向下．
故答案为：向下．
由抛物线解析式可知，二次项系数，可知抛物线图象开口方向是向下．
本题考查了抛物线的图象开口方向与二次函数的二次项系数符号的关系：当时，抛物线图象开口向上；
当时，抛物线图象开口向下．
 

10.【答案】， 

【解析】解：   ，
 ，
，或，
，
故答案为，
首先利用提取公因式法分解因式，由此即可求出方程的解．
本题主要考查了用因式分解法解一元二次方程．
 

11.【答案】乙 

【解析】解：，，
，
两人射击成绩比较稳定的是乙．
故答案为：乙．
根据方差的意义即方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，数据越稳定，即可得出答案．
此题主要考查了方差的意义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，数据越不稳定；方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，数据越稳定．
 

12.【答案】 

【解析】解：实数m，n是一元二次方程的两个根，，，，
，，

故答案为：
由实数m，n是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系可得出，mn的值，再将其代入中即可求出结论．
本题考查了一元二次方程中根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：抛物线的顶点坐标为，
先向右平移3个单位，再向上平移3个单位后的抛物线的顶点坐标为，
所以平移后的抛物线的解析式为
故答案为：
先求出平移后抛物线的顶点坐标，再利用抛物线的顶点式写出解析式即可．
本题考查了二次函数图象与几何变换，解题的关键是熟练掌握点的平移规律，并根据规律利用点的变化确定函数解析式．
 

14.【答案】30 

【解析】解：，，
，

故答案为
先利用邻补角性质计算出，然后根据圆周角定理得到的度数．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，熟练掌握圆周角定理是解题关键.
 

15.【答案】8 

【解析】解：如图所示，，，，
，，
，
：：DE，
即1：：DE，
，
故答案为：
根据入射角等于反射角可得，两个直角相等，那么图中的两个三角形相似，利用对应边成比例可求得树高．
本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程．
 

16.【答案】1：4 

【解析】解：四边形ABCD为平行四边形，
，，
是AB的中点，
；

，
，
，
故答案为：1：
先根据平行四边形的性质得，，而由E是AB的中点得，再证明，然后根据相似三角形的性质可计算与的面积比．
本题考查了三角形相似的判定与性质，解题的关键是熟知相似三角形的面积比等于相似比的平方．
 

17.【答案】 

【解析】解：连接OC，

过点C的切线交AB的延长线于点D，
，
，
即，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
阴影部分的面积，
故答案为：
连接OC，可求得和扇形BOC的面积，进而可求出图中阴影部分的面积．
本题主要考查切线的性质及扇形面积的计算，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键．求出是解题的突破口．
 

18.【答案】 

【解析】解：当与CB、CD相切于点E，F时，点A到上的点Q的距离最大，如图，连接OE，OF，

，，，
平分，
四边形ABCD为正方形，
点O在AC上，，
四边形OECF是正方形，
，，
，
即点A到上的点的距离的最大值为，
故答案为：
当与CB、CD相切于点E，F时，点A到上的点Q的距离最大，连接OE，OF，根据切线的性质得到，利用正方形的性质得到点O在AC上，然后计算出AQ的长即可．
本题主要考查了切线的性质，正方形的性质，利用切线的性质得到，是解题的关键．
 

19.【答案】解：如图所示，即为所求．

如图所示，即为所求．
如图所示，点Q即为所求，其坐标为 

【解析】本题主要考查作图-平移变换、位似变换作图，解题的关键是掌握平移变换和位似变换的定义与性质．
将三个顶点分别向左平移3个单位，向上平移1个单位得到其对应点，再首尾顺次连接即可；
延长OA、OB到、，使，，与点O首尾顺次连接即可；
直线、、的交点即为所求．
 

20.【答案】证明：平分，

，
∽；
解：在中，，，，
，
∽，

，
 

【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到∽
根据AC平分，可得进而结合可得结论；
根据勾股定理首先求出，再根据∽，由相似三角形对应边成比例即可解决问题．
 

21.【答案】解：；5；
；4；
人
答：估计该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数有90人． 

【解析】

【分析】
此题考查了频数分布表，众数、中位数，样本估计总体，掌握众数、中位数的定义是本题的关键，中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，众数是一组数据中出现次数最多的数．
由题中的数据即可求解；
根据中位数、众数的定义，即可解答；
根据样本估计总体，即可解答．
【解答】
解：由该20名学生参加志愿者活动的次数得：，，
故答案为：4，5；
该20名学生参加志愿者活动的次数从小到大排列如下：
1，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，6，
出现的最多，
众数为4，中位数为第10和第11个数的平均数，即为，
故答案为：4，4；
见答案.  

22.【答案】解：
画树状图如图：

所有的等可能的结果有：、、、、、、、、、、、，共12种，
其中小如和小意都没有取走“合理宣泄”的结果有：、、、、、，共6种，
小如和小意都没有取走“合理宣泄”的概率为 

【解析】

【分析】
此题考查的是求概率，可以用列表法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，也可以用树状图法求概率，适合于两步及两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有12种等可能的结果，小如和小意都没有取走“合理宣泄”的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【解答】
解：一共有4个锦囊，若小如随机取走一个锦囊，则取走的是写有“自我暗示”的概率是，
故答案为：；
见答案.  

23.【答案】解：垂直于墙的一边为x m，则隔离区的另一边为，
，化简得，
根据题意，得不等式组，
解得：，
关于x的函数解析式，x的取值范围：；
，
则该抛物线开口向下，对称轴为直线，
当时，S随x的增大而减小，
当时，S的值最大，最大值，
答：隔离区面积最大值为 

【解析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
垂直于墙的一边为xm，则隔离区的另一边为，得，化简得，根据题意，得不等式组，解不等式组即可得到x的取值范围；
，根据开口方向、对称轴、取值范围确定增减性，即可求解．
 

24.【答案】解：连接OD，

是的直径，
，
是的平分线，
，
，
，
是的切线，
，
；
，
，
，
，
是的直径，
，
是的平分线，
，
，
，
即是等腰直角三角形，
，
，
，
是的直径，
，
平分，
，
，
，，
∽；
在中，，，，
，
，
在等腰直角三角形BCD中，，
，
由知，∽，
，
，
即，
 

【解析】本题考查圆的综合应用，涉及圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的性质，等腰直角三角形等知识，熟练掌握切线的性质，能够灵活运用同弧所对的圆周角与圆心角的关系，准确找到角之间的等量关系是解题的关键．
连接OD，由是直径所对的圆周角，可知，再由AD是的平分线，可得，根据同弧所对的圆周角与圆心角的关系，可得，则，再由切线的性质得，从而可证；
利用圆周角定理和平行线的性质证得，利用圆周角定理和角平分线的性质得，证明是等腰直角三角形，得出，利用平行线的性质得，从而得出，即可证得结论；
由已知可求，在等腰直角三角形BCD中可得，再由∽，可得，即可求得结果．
 

25.【答案】解：由题意得，A点在抛物线上.
当时，，
点A的坐标为，
雕塑高；
由题意得，D点在抛物线上.
当时，，
解得：舍去，，
点D的坐标为，

从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，
，
，
即落水点C，D之间的距离是22m；
当时，，
点在抛物线上．
又，
顶部F不会碰到水柱． 

【解析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：①利用二次函数图象上点的坐标特征，求出点A的坐标；②利用二次函数图象上点的坐标特征，求出点D的坐标；③利用二次函数图象上点的坐标特征，求出抛物线上横坐标为10的点的坐标．
利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，进而可得出雕塑高OA的值；
利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，进而可得出OD的长度，由喷出的水柱为抛物线且形状相同，可得出OC的长，结合即可求出落水点C，D之间的距离;
代入求出y值，进而可得出点在抛物线上，将与比较后即可得出顶部F不会碰到水柱．
 

26.【答案】解：，
，
，
，
，，
，
，；
①由翻折可知：，，，
，
，
，
，
，
四边形AGHF是菱形；
②，，，
，
，
，
，
，
：FH：：4：5，
设，则，，
，
，
，
，
即菱形的边长为；
存在点P，使得，理由如下：
，
，
，
，
，
，
，
存在点P，使得，且PD的长为 

【解析】本题是相似的综合题，熟练掌握三角形相似的判定与性质，菱形的判定及性质是解题的关键．
由，可求相似比为，即可求AD，DE的长；
①根据折叠的性质和平行线的性质，证明，即可求解；
②由，可得BH：FH：：4：5，设，则，，求得，再求FH即可；
由，可求BH，CH，再由，即可求DP的长．
 

27.【答案】解：与x轴交于，两点，
抛物线的表达式为：，
即；
①在二次函数表达式中，当时，，
点C坐标为，
，
直线BC的表达式为：，
点E的横坐标为且点E在抛物线上，
，
轴，F是EH与直线BC的交点，
，
；
②为OC的中点，
，
，
又，
设直线BD的表达式为：，
，
，
直线BD的表达式为，
，
，
，
，
解得：舍去，，
；
，，
对称轴为直线，
设，
，，，
的中点，
则，
，
，
解得：，，
，，
在抛物线的对称轴上存在一点P，使，点P坐标为或 

【解析】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，中点坐标公式，直角三角形斜边中线等于斜边的一半等知识，得出是解决的关键．
利用交点式可直接求得二次函数解析式；
①先求出直线BC的表达式，设点E的坐标为，可表示点F的坐标，上减下可得EF的长；
②先求出直线BD的表达式，可表达点G的坐标，进而表达线段FG的长，利用等式建立方程，求解即可；
先得出抛物线的对称轴为直线，取BC的中点为M，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，由此建立方程，求解即可．