数学第7章 平面图形的认识（二）7.5 多边形的内角和与外角和教学设计

三角形角平分线的精彩世界

——三角形内外角角平分线的夹角专题

一、       导入：

同学们，数学带领我们认识世界，探索奥秘。本节课，我将带领大家一起进入三角形角平分线的精彩世界，探求三角形角平分线里的奥秘。

二、新授：

    已知：DB、DC分别是两个角的角平分线。

类型一：  两内角平分线

若它们是三角形两内角的角平分线，你能猜测∠BDC与∠A的关系吗？

例1．              已知：如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，

求证：∠BDC=90°+

运用：若∠A=40°，则∠BDC=             °,

      若∠BDC=100°, 则∠A=             °

      若∠ABC=50°，∠ACB=60°,∠BDC=             °

小结：看来在三角形中给两内角平分线的夹角必定能求另一个角，反之给一个角，另两个角的平分线所夹的角也能求出来。这就是我们今天研究的模型一：两内角平分线模型。观察这个模型我们研究的是什么样的两个角的关系？抓住两条内角平分线的夹角等于90°与第三个角一半的和。请把这个模型画下来。（可以连接任意两个内角平分线，弄清它与哪个角有关系。将图形的变式，使学生对这个模型印象更加深刻。）

类型二：两外角平分线

若BD、CD它们是三角形两外角的角平分线，你知道∠D与∠A的关系吗？

例2．              已知：如图，在△ABC中，外角∠EBC、∠FCB的平分线交于点D，

求证：∠ D=90°--

运用：若∠A=40°，则∠D=             °,

      若∠D=50°, 则∠A=             °

小结：三角形中两个外角平分线所夹的角与第三个角中已知其中一个，另一个就能求出来。这就是我们今天研究的模型二：两外角平分线模型。观察这个模型我们研究的是什么样的两个角的关系？抓住两条外角平分线的夹角等于90°与第三个角一半的差。请把这个模型画下来。（可以连接任意两个外角平分线，弄清它与哪个角有关系。将图形的变式，使学生对这个模型印象更加深刻。）

类型三： 一内一外平分线

若BD、CD它们是三角形一内角一外角的平分线，你知道∠D与∠A的关系吗？

例3．              已知：如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACE的平分线交于点D，

求证：∠D=

变式1：若∠ABC=75°, ∠ACB=45°,求∠D。

变式2：若把∠A截去，得到四边形MNCB，猜想∠D、∠M、∠N的关系。

小结：当我们同学把辅助线添出来后，就变成了我们上面的图形。这就是我们今天研究的模型三：一内一外角平分线模型。观察这个模型我们研究的是什么样的两个角的关系？抓住一内一外角平分线的夹角等于第三个角的一半。请把这个模型画下来。（可以连接任意两个外角平分线，弄清它与哪个角有关系。将图形的变式，使学生对这个模型印象更加深刻。）

总结：今天我们认识了三角形角平分线的三个基本模型。当三角形中遇到角平分线时，搞清是什么角的平分线，选择适当的基本模型，知道两个角之间的关系解决问题就简单了。

下面我们来用这三个模型解决问题：

三、运用：

运用一: 已知：如图，∠MON=90°，点A、B分别在射线OM、ON上移动，BE是

∠ABN的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线交于点C，

试问∠ACB的大小是否发生变化？请说明理由

运用二：已知：如图，在△ABC中，BO、CO、BP、CP分别平分∠ABC、∠ ACB、∠ CBD、

       ∠ EBC。

问题：（1）猜想∠B0C与∠BPC之间的关系。

     （2）延长BO、PC，交于点F，若△BPF中存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数。

四、总结

小结：遇到复杂图形时，我们要善于在复杂图形中挖掘出我们所熟悉的图形。利用一些基本模型解决问题，有时候就会变得非常简单。通过今天的学习，你有什么收获？

我希望这节课后同学们能记住今天的三个模型，能根据题目已知条件辨析用哪个基本图形解决问题。其实数学学习中有很多复杂问题，我们有时候都可以抽离出一些模型，我们在平时的学习中要有建模的思想。利用模型解决问题往往能事半功倍。

五、课后练习

1、

2、

3、