专题12 存在性-相似三角形-中考数学压轴题满分突破之二次函数篇（全国通用）

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中考数学压轴题--二次函数--存在性问题
第12节 相似三角形的存在性

方法点拨
三角形相似的判定方法
①、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似
②、平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似
③、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。
④、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
⑤、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似





例题演练
1．如图．已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（1，0）、B两点，与y轴交于点C．对称轴为直线x＝﹣1，P为顶点．
（1）求出点B的坐标及抛物线的表达式；
（2）在x轴上是否存在点M，使得△MOC与△BCP相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）由题意，，
解得，
∴抛物线的解析式y＝﹣x2﹣2x+3，
令y＝0，则﹣x2﹣2x＝3＝0，解得x＝1或﹣3，
∴B（﹣3，0）．

（2）存在．如图，连接PB，PC．

∵B（﹣3，0），P（﹣1，4），C（0，3），
∴BC＝3，PC＝，PB＝2，
∴PB2＝PC2+CB2，
∴∠PCB＝90°，PC：BC＝：3＝1：3，
当MO：OC＝1：3或OC：MO＝1：3时，△COM与△BCP相似，
∴OM＝1或9，
∴满足条件的点M的坐标为（1，0）或（﹣1，0）或（9，0）或（﹣9，0）．
2．如图所示，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C（0，﹣3），其对称轴x＝1与x轴相交于点D，点M为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的表达式．
（2）若直线CM交x轴于点E，求证：BC＝EC．
（3）若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵y＝x2+bx+c与y轴相交于点C（0，﹣3），
将点C（0，﹣3）代入可得：c＝﹣3，
又∵对称轴，
∴b＝﹣2，
即抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵对称轴为x＝1，
代入抛物线表达式得y＝1﹣2﹣3＝4，
即点M（1，﹣4），
设直线CM的表达式为y＝kx+n，
把点C（0，﹣3），M（1，﹣4）代入解得k＝﹣1，n＝﹣3，
∴CM的表达式为y＝﹣x﹣3，
∵点E在x轴上，即纵坐标y＝0，此时x＝﹣3，
∴E（﹣3，0），
由平面直角坐标系的可知：OE＝OC＝OB＝3，∠EOC＝∠BOC＝90°，
∴△EOC≌△BOC（SAS），
∴EC＝BC；
（3）存在，
∵点P在线段EM上，可设P（t，﹣t﹣3），
如图1所示，作PN⊥x轴于N，
∴PN＝t+3，MN＝OE﹣ON＝3+t，
由勾股定理可知PE＝＝（t+3），BC＝＝＝，
又∵AB＝OA+OB＝4，
由（2）可知△EOC≌△BOC，
∴∠OEC＝∠OBC，
当△PEO∽△ABC时，
＝，
即＝，
解得t＝﹣1，
即点P的坐标为（﹣1，﹣2），
当△PEO∽△CBA时，
，
解得t＝，
即点P的坐标为（，﹣），
综上P的坐标为（﹣1，﹣2）或（，﹣）．

3．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（4，0）和点B（3，﹣2），点C是函数图象与y轴的公共点、过点C作直线CE∥AB．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求直线CE的表达式；
（3）如果点D在直线CE上，且四边形ABCD是等腰梯形，求点D的坐标；
（4）若P是抛物线上x轴上方的一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵二次函数图象经过点A（4，0）和点B（3，﹣2），则，解得，
∴所求二次函数的解析式为y＝x2﹣x﹣2；

（2）直线AB的表达式为y＝2x﹣8，
∵CE∥AB，
∴设直线CE的表达式为y＝2x+m．
又∵直线CE经过点C（0，﹣2），
∴直线CE的表达式为y＝2x﹣2；

（3）设点D的坐标为（x，2x﹣2）．
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AD＝BC，即＝3．
解得x＝1（舍去）或，
∴点D的坐标为（，）；

（4）设点P的坐标为（x，x2﹣x﹣2），
当P是抛物线上x轴上方的一动点，则PM＝x2﹣x﹣2，则AM＝|x﹣4|，
在Rt△AOC中，tan∠OAC＝＝，
故当以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似时，tan∠PAM＝或2，
即，则，
解得x＝0（舍去）或4（舍去）或3（舍去）或﹣5或﹣2，
故点P的坐标为（﹣2，3）或（﹣5，18）．
4．已知，如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC，若点M是x轴上的动点（不与点B重合），MN⊥AC于点N，连接CM．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当MN＝1时，求点N的坐标；
（3）是否存在以点C，M，N为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵抛物线ya＝ax2+bx﹣与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，
得，
解得：，
∴，
（2）∵
∴当x＝0时，y＝，
∴C（0，），
∴OC＝，
∵A（3，0），
∴OA＝3，
∴∠OAC＝30°，
∵MN＝1，∠MNA＝90°，
在Rt△AMN中，AN＝，
过点N作NH⊥x轴于点H，

∴NH＝，AH＝，
当点M在点A左侧时，N的坐标为（，﹣），
当点M在点A右侧时，N的坐标为（，），
综上，点N的坐标为（）或（，），
（3）设M点为（x，0），
则由（2）可得AB＝4，
BC＝＝2，AC＝＝2，
∵BC2+AC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠BCA＝90°，
又由2S△CMA＝AM×OC＝AC×MN得：
MN＝＝，
∴若以点C，M，N为顶点的三角形与△ABC相似，
则：＝，即＝，
即6x＝6，
所以x＝1，
此时M为（1，0）；
＝，即＝，
即x2+3x＝0，
解之可得：x＝0或x＝﹣3，
∴M为（0，0）或（﹣3，0），
综上所述，存在以点C，M，N为顶点的三角形与△ABC相似，且M的坐标为（1，0）或（0，0）或（﹣3，0）．
5．如图，抛物线y＝ax2﹣8x+c经过A（2，0），B（6，0）两点，直线l为抛物线的对称轴并与x轴交于点C．直线y＝﹣x+2与抛物线分别交于点B，D两点，与直线l交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若以点A为圆心适当的长为半径画圆，使圆A与直线BD相切于点F，求点F的坐标并说明直线l，y轴与圆A的位置关系．
（3）在（2）的条件下，在圆A上是否存在点G，使得以G，O，C为顶点的三角形与△BCE相似．若存在，请直接写出G点坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x﹣2）（x﹣6）＝a（x2﹣8x+12），
∴﹣8a＝﹣8，解得a＝1，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣8x+12；

（2）由点A、B的坐标知，抛物线的对称轴为直线x＝4，即OC＝4，
由直线BD的表达式知，∠EBC＝30°，
∵BD和圆A相切，
∴AF⊥BD，
在Rt△ABF中，AB＝6﹣2＝4，∠EBC＝30°，
则AF＝AB＝2＝OA＝AC，
故圆A与直线l、y轴都相切，
则BF＝AB＝2，
设点F的坐标为（x，﹣x+2），
则BF2＝（x﹣6）2+（﹣x+2）2＝（2）2，
解得x＝9（舍去）或3，
故点F的坐标为（3，）；

（3）在△BCE中，∠EBC＝30°，∠ECB＝90°，
当点G在圆上时，则∠CGD＝90°，OC＝4，
故以G，O，C为顶点的三角形与△BCE相似时，∠GCO＝30°或60°即可满足条件．
①当点G在x轴上方时，过点G作GH⊥x轴于点H，

当∠GCO＝30°时，则∠GOH＝60°，
则OG＝CO＝2，
则OH＝OGcos60°＝1，GH＝OGsin60°＝，
故点G的坐标为（1，）；
当∠GCO＝60°时，则∠GOH＝30°，
则OG＝COsin60°＝2，
则OH＝OGcos30°＝3，GH＝OGsin30°＝，
故点G的坐标为（3，）；
故点G的坐标为（1，）或（3，）；
②当点G在x轴下方时，
根据圆的对称性，则点G的坐标为（1，﹣）或（3，﹣）；
综上，点G的坐标为（1，）或（3，）或（1，﹣）或（3，﹣）．
6．如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c的图象过A（0，3），B（﹣1，0），C（3，0）三点，顶点为P．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点G在y轴上，且∠OGB+∠OAB＝∠ACB，求AG的长；
（3）若AD∥x轴且D在抛物线上，过D作DE⊥BC于E，M在直线DE上运动，点N在x轴上运动，是否存在这样的点M、N使以A、M、N为顶点的三角形与△APD相似？若存在，请求出点M、N的坐标．

【解答】解：（1）把A（0，3），B（﹣1，0），C（3，0）代入y＝ax2+bx+c，
得，解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）如图1，过点G作GF⊥AB，交AB的延长线于点F，则∠BFG＝90°．
∵OA＝OC＝3，
∴∠ACB＝45°，
∴∠GBF＝∠OGB+∠OAB＝∠ACB＝45°，
∴∠FGB＝45°＝∠GBF，
∴FB＝FG．
∵＝tan∠BAO＝，AB＝＝，
∴，
∴FB＝FG＝，
∴AF＝+＝，
∴AG＝＝5；
作点G关于点O的对称点G′，则点G′也满足∠OG′B+∠OAB＝∠ACB，
此时，OG′＝OG＝5﹣3＝2，AG′＝3﹣2＝1．
综上所述，AG的长为5或1．
（3）存在．
由B（﹣1，0），C（3，0）得，抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵点D与点A关于直线x＝1对称，且A（0，3），
∴D（2，3），E（2，0）；
当x＝1时，y＝﹣1+2+3＝4，
∴P（1，4），
作PH⊥AD于点H，则H（1，3），
∴PH＝AH＝DH＝1，
∴∠APD＝90°，且AP＝DP，
∴△APD是等腰直角三角形，
当△AMN是等腰直角三角形时，以A、M、N为顶点的三角形与△APD相似.
如图2，AN为斜边，点M、N分别在DE、OE上，
∵∠ADM＝∠MEN＝∠AMN＝90°，
∴∠AMD＝90°﹣∠EMN＝∠MNE，
又∵AM＝MN，
∴△AMD≌△MNE（AAS），
∴AD＝ME＝2，DM＝EN＝1，
∴ON＝2﹣1＝1，
∴M（2，2）、N（1，0）；
如图3，AN为斜边，点M、N分别在DE、OE的延长线上，
∵∠ADM＝∠MEN＝∠AMN＝90°，
∴∠AMD＝90°﹣∠EMN＝∠MNE，
又∵AM＝MN，
∴△AMD≌△MNE（AAS），
∴AD＝ME＝2，DM＝EN＝3+2＝5，
∴ON＝2+5＝7，
∴M（2，﹣2）、N（7，0）；
如图4，AM为斜边，点M、N分别在DE、EO的延长线上，
∵∠AON＝∠NEM＝∠ANM＝90°，
∴∠OAN＝90°﹣∠ONA＝∠ENM，
又∵AN＝NM，
∴△AON≌△NEM（AAS），
∴ON＝EM＝1，
∴M（2，﹣1）、N（﹣1，0）；
如图5，AM为斜边，点M、N分别在DE、OE的延长线上，
∵∠AON＝∠NEM＝∠ANM＝90°，
∴∠OAN＝90°﹣∠ONA＝∠ENM，
又∵AN＝NM，
∴△AON≌△NEM（AAS），
∴OA＝EN＝3，ON＝EM＝2+3＝5，
∴M（2，﹣5）、N（5，0）．
综上所述，M（2，2）、N（1，0）或M（2，﹣2）、N（7，0）或M（2，﹣1）、N（﹣1，0）或M（2，﹣5）、N（5，0）．





7．如图，已知直线y＝x﹣4与坐标轴分别交于点B、点C，二次函数y＝﹣x2+2x的图象经过点C．
（1）求直线与抛物线的另一个交点A的坐标及线段AB的长；
（2）若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D，C，B构成的三角形与△OAB相似？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵直线y＝x﹣4与y轴、x轴分别交于点B、点C，
∴B（0，﹣4），C（4，0）.
由，得，，
∴A（﹣2，﹣6），
∴AB＝＝2；
（2）存在．
∵OB＝OC＝4，∠BOC＝90°，
∴BC＝＝4，∠OBC＝∠OCB＝45°，
∴∠BCD＝∠ABO＝135°，
如图1，当∠CBD＝∠BOA时，则△CBD∽△BOA，
∴，
∴，
解得CD＝4，
∴OD＝4+4＝8，
∴D（8，0）；
如图2，当∠CBD＝∠BAO时，则△CBD∽△BAO，
∴，
∴，
解得DC＝8，
∴OD＝4+8＝12，
∴D（12，0）．
综上所述，点D的坐标为（8，0）或（12，0）．


8．已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线y＝x﹣4经过B，C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，动点M，K同时从A点出发，点M以每秒4个单位的速度在线段AB上运动，点K以每秒个单位的速度在线段AC上运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动设运动的时间为t（t＞0）秒．
①如图1，连接MK，再将线段MK绕点M逆时针旋转90°，设点K落在点H的位置，若点H恰好落在抛物线上，求t的值及此时点H的坐标；
②如图2，过点M作x轴的垂线，交BC于点D，交抛物线于点P，过点P作PN⊥BC于N，当点M运动到线段OB上时，是否存在某一时刻t，使△PNC与△AOC相似．若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵直线y＝x﹣4经过B，C两点，
∴B（8，0），C（0，﹣4），
将B、C两点代入抛物线解析式得：
，
∴b＝﹣，c＝﹣4，
∴；
（2）由题意得A（﹣2，0），
OM＝AM﹣OA＝4t﹣2，AK＝，
过K作KV⊥x轴于V，
由△ACO∽△AKV可知，
AV＝t，KV＝2t，
∴OV＝2﹣t，
∴MV＝3t，
在△MKV和△HMN中，
∵MK＝MH，∠KVN＝∠MNH＝∠KMH＝90°，
∴∠VMK＝∠MHN，
∴△MKV≌△HMN（AAS），
∴MN＝KV＝2t，HN＝MV＝3t，
∴H（6t﹣2，﹣3t），
∴点H恰好落在抛物线上，
∴，
解得t1＝，t2＝0（舍），
∴H（6，﹣4）

（3）当∠OAC＝∠NCP时，
∴tan∠NCP＝tan∠OAC，
∴＝2，
由Rt△BOC∽Rt△GHB，
∴GH＝16，BH＝8，
∴G（16，﹣16），
∴直线CP的解析式为：y＝﹣x﹣4，
∵点P在抛物线上，
∴x1＝0，x2＝3，
∴P（3，﹣），
∴t＝．

当∠OCA＝∠NCP时，
∵∠OCA＝∠OBC，
∴∠NCP＝∠OBC，
∴CP∥x轴，
∴C、P关于对称轴x＝3对称，
∴P（6，﹣4），
∴t＝2
综上所述：t＝或t＝2
9．如图，直线y＝2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，过点B的抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线BC交于点D（3，﹣4）．
（1）求直线BD和抛物线的解析式；
（2）在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M，作MN垂直于x轴，垂足为点N，使得以M，O，N为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）在y＝2x+2中，
当x＝0时，y＝2，
∴B（0，2），
当y＝0时，x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c过点B（0，2），D（3，﹣4），
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2，
设直线BD的解析式为y＝kx+n，
代入B（0，2），D（3，﹣4）得，
解得：，
∴直线BD的解析式为：y＝﹣2x+2；
（2）存在；
如图，设M（m，﹣m2+m+2），

∵MN⊥x轴，
∴MN＝﹣m2+m+2，ON＝m，
∵直线BD的解析式为：y＝﹣2x+2，
y＝0时，x＝1，
∴C（1，0），
∴OC＝1，
∵B（0，2），
∴OB＝2，
①若△BOC～△MNO，
则，
即，
解得：m1＝1，m2＝﹣2（舍去），
m＝1时，﹣m2+m+2＝2，
∴M（1，2）；
②若△BOC∽△ONM，
则，
即，
解得：，（舍去），
m＝时，﹣m2+m+2＝，
∴M（，），
综上所述，M（1，2）或M（，）．
10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接BC与OP，交于点D，当PD：OD的值最大时，求点P的坐标；
（3）点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N使∠CMN＝90°，且△CMN与△BOC相似，若存在，请直接写出点M的坐标．

【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣2x2+4x+6；

（2）由抛物线的表达式知，点C（0，6），
由B、C的表达式得，直线BC的表达式为y＝﹣2x+6，
过点P作y轴的平行线交BC于点H，

则△PDH∽△ODC，
则PD：OD＝PH：OC，
设点P的坐标为（x，﹣2x2+4x+6），则点H（x，﹣2x+6），
则PH＝（﹣2x2+4x+6）﹣（﹣2x+6），＝﹣2x2+6x，OC＝6，
∴PD：OD＝PH：OC＝（﹣2x2+6x），
∵﹣2×＜0，故PD：OD存在最大值，此时x＝，
故点P的坐标为（，）；

（3）存在，理由：
过点M作y轴的平行线交过点C与x轴的平行线于点G，交过点N与x轴的平行线于点H，
在Rt△BOC中，OB＝3，OC＝6，
则当△CMN与△BOC时，两个三角形的相似比为2或，
即MN：CM＝OB：OC＝1：2或MN：CM＝OB：OC＝2：1，

设点M的坐标为（x，﹣2x2+4x+6），设点N的坐标为（0，t），
∵∠CMG+∠HMN＝90°，∠HMN+∠HNM＝90°，
∴∠CMG＝∠HNM，
∵∠MHN＝∠CGM＝90°，
∴△MHN∽△CGM，
∴＝2或，
即＝2或，
解得x＝0（舍去）或3或，
故点M的坐标为（3，0）或（，）．