苏科版中考数学冲刺专项第10讲.点睛之一模考前知识梳理与易错题赏析 教师版

`

【例1】         ⑴已知抛物线过和点，与轴交于点，且，则这条抛物线的解析式为_________________________________．

⑵如图所示，在梯形中，，，   

，，点是线段上一定点，且

．动点从点出发沿的路线运

动，运动到点停止．在点的运动过程中，使为

等腰三角形的点有______个．               

⑶已知四边形中，，，，且是      一个直角三角形，那么的长等于__________________．

⑷当为何值时，方程和方程有公共根？并求出公共根．

【解析】       ⑴或

⑵

         ⑶或

⑷令两方程的公共根是，

则，两式相减得，

①若，即，两个方程都是，则公共根是；

②若，即，则，此时．

综上所述，时，公共根是；时，公共根是．

一、        旋转精选题

【例2】         ⑴（2012四川绵阳）如图，P是等腰直角△ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B=135°，P′A：P′C=1：3，则P′A：PB=（   ）

A．1：     B．1：2     C．：2     D．1：

【答案】B.

【解析】       如图，连接AP，

∵BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，

∴BP=BP′，∠ABP+∠ABP′=90°

又∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AB=BC，∠CBP′+∠ABP′=90°，∴∠ABP=∠CBP′

在△ABP和△CBP′中，∵ BP=BP′，∠ABP=∠CBP′，AB=BC ，∴△ABP≌△CBP′（SAS）

∴AP=P′C

∵P′A：P′C=1：3，∴P′C=AP=3P′A

连接PP′，则△PBP′是等腰直角三角形.∴∠BP′P=45°，PP′=PB

∵∠AP′B=135°，∴∠AP′P=135°-45°=90°，∴△APP′是直角三角形.

设P′A=x，则AP=3x，

在Rt△APP′中，

在Rt△APP′中，

∴，解得PB=2x

∴P′A：PB=x：2x=1：2

⑵(2012广西)如图，在平面直角坐标系中，矩形OEFG的顶点F的坐标为(4，2)，将矩               形OEFG绕点O逆时针旋转，使点F落在y轴上，得到矩形OMNP，OM与GF相交                                          于点A．若经过点A的反比例函数的图象交EF于点B，则点B的坐标                                                        为          .

【答案】（4，）

【解析】       ∵矩形OEFG绕点O逆时针旋转，使点F落在y轴的点N处，得到矩形OMNP，

∴∠P=∠POM=∠OGF=90°,∵

∴△OGA∽△NPO

∵E点坐标为（4，0），G点坐标为（0，2），∴OE=4，OG=2

∴OP=OG=2，PN=GF=OE=4

∵△OGA∽△NPO，∴OG：NP=GA：OP，即2：4=GA：2

∴GA=1  ∴A点坐标为（1，2）

把A（1，2）代入得k=1×2=2

∴过点A的反比例函数解析式为

把x=4代入得

∴B点坐标为（4，）

⑶（2012广东佛山）如图，把一个斜边长为2且含有30°的直角三角板ABC绕直角顶                                           点C顺时针旋转90°到△A1B1C，则在旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积是                                                                                    （    ）

 A．π        B．      C．     D．

【答案】D

【解析】       因为旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积分为三部分扇形ACA1、 BCD和△ACD 计算即可：在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2，

∴BC=AB=1，∠B=90°－∠BAC=60°。∴

∴

设点B扫过的路线与AB的交点为D，连接CD，

∵BC=DC，∴△BCD是等边三角形。∴BD=CD=1.

∴点D是AB的中点。

∴

∴△ABC扫过的面积=

⑷（2012江西南昌）如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF                                                          绕顶点A旋转，在旋转过程中，当BE=DF时，∠BAE的大小可以是　    　．

【答案】15°或165°

【解析】       正三角形AEF可以在正方形的内部也可以在正方形的外部，所以要分两种情况分别求解：

①当正三角形AEF在正方形ABCD的内部时，如图1，

∵正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，

∴AB=AD，AE=AF

∵当BE=DF时，在△ABE和△ADF中，AB=AD，BE=DF，AE=AF，

∴△ABE≌△ADF（SSS）∴∠BAE=∠FAD

∵∠EAF=60°，∴∠BAE+∠FAD=30° ∴∠BAE=∠FAD=15°

②当正三角形AEF在正方形ABCD的外部，顺时针旋转小于180°

时，如图2，同上可得△ABE≌△ADF（SSS）∴∠BAE=∠FAD

∵∠EAF=60°，∴∠BAF=∠DAE

∵90°＋60°＋∠BAF＋∠DAE=360°，∴∠BAF=∠DAE=105°

∴∠BAE=∠FAD=165°

③当正三角形AEF在正方形ABCD的外部，顺时针旋转大于180° 

时，如图3，

同上可得△ABE≌△ADF（SSS）∴∠BAE=∠FAD

∵∠EAF=60°，∠BAD=90°，

∴90°＋∠DAE=60°＋∠DAE，不成立

∴此时不存在BE=DF的情况

综上所述，在旋转过程中，当BE=DF时，∠BAE的大小可以是

15°或165°

二、圆与勾股定理精选题

【例3】         ⑴已知是一个半径为的圆内接四边形，，，分别延长和，它们相交于，且，．则等于（   ）．

       A．10   B．  C．  D．14

【答案】B.

【解析】       显然，首先可以求出长度，由切割线定理得，

有，解得．

如图，连接，在三角形中，由，，

得，

从而是圆的直径．

在直角三角形中由勾股定理，得：

，从而．

⑵如图，圆O在矩形内ABCD，且与AB、BC边都相切，E是BC上一点，将△DCE延DE对折，点C的对称点F恰好落在圆O上，已知AB=20，BC=25，CE=10，则圆O的半径为           。

【答案】5

【解析】       过点F作AD、BC的垂线GH，由△DGF∽△FHE得：于是：DG=HC=16，GF=12，FH=8，设圆O的半径为r,在△FON中由勾股定理得：解得：r=5

⑶(2012江苏无锡)如图，以M（﹣5，0）为圆心、4为半径的圆与x轴交于A、B两点，P是⊙M上异于A、B的一动点，直线PA、PB分别交y轴于C、D，以CD为直径的⊙N与x轴交于E、F，则EF的长(     )

　    A．等于4      B． 等于4 C．等于6      D．随P点

【答案】C

【解析】       连接NE，设圆N半径为r，ON=x，则OD=r﹣x，OC=r+x，

∵以M（﹣5，0）为圆心、4为半径的圆与x轴交于A．B两点，

∴OA=4+5=9，OB=5﹣4=1

∵AB是⊙M的直径，∴∠APB=90°

∵∠BOD=90°，∴∠PAB+∠PBA=90°，∠ODB+∠OBD=90°

∵∠PBA=∠OBD，∴∠PAB=∠ODB

∵∠APB=∠BOD=90°，∴△OBD∽△OCA∴，即，即r2﹣x2=9

由垂径定理得：OE=OF，

由勾股定理得：OE2=EN2﹣ON2=r2﹣x2=9 ∴OE=OF=3，∴EF=2OE=6

⑷（2013上海）如图，在中，，，，如果将沿直线   翻折后，点落在边的中点处，直线与边交于点，那么的长为__________．

【答案】

【解析】       勾股定理：

    解得

1. （浙江杭州）已知点在函数的图象上，那么点应在第________象限．

【答案】        二

2. （山东淄博）如图，梯形中，和的平分线相交于梯形中位线上的一点，若，则梯形的周长为______．

【答案】       

3. （山东济南）在平面直角坐标系中，对于平面内任一点，若规定一下三种变换：

①．如，；

②．如，；

③．如，．

按照以上变换有：，

那么__________．

【答案】       

4. （湖北孝感）关于的方程的解是正数，则的取值范围是_______________．

【答案】        且

5. （广西崇左）一个等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为_______________．

【答案】       

6. （湖北鄂州）已知直角梯形中，，，，，点在上移动，则当取最小值时，中边上的高为_____________．

【答案】       

7. （广西桂林）如图，正方形的边长为，将长为的线段的两端放在正方形的相邻两边上同时滑动．如果点从点出发，沿图中所示方向按滑动到停止，同时点从点出发，沿图中所示方向按滑动到停止．在这个过程中，线段的中点所经过的路线围成的图形的面积为__________．

【答案】       

8. （四川遂宁）已知整数满足，，，对任意一个，都取中的较小值，则的最大值是________．

【答案】       

9. （黑龙江哈尔滨）正方形的边长为，为边上一点，，为线段上一点，射线交正方形的一边于点，且，则的长为______________．

【答案】        或

10. （辽宁沈阳）在平面直角坐标系中，已知点和点，点在坐标平面内，若以为顶点构成的三角形是等腰三角形，且底角为，则满足条件的点有_____个．

【答案】       

11. 将一正方体纸盒沿下图所示的线剪开，展开成平面图，其展开图的形状为（    ）

【答案】        B．

12. （浙江衢州）汶川大地震牵动每个人的心，一方有难，八方支援，5位衢州籍在外打工人员也捐款献爱心．已知5人平均捐款560元（每人捐款数额均为百元的整数倍），捐款数额最少的也捐了200元，最多的（只有1人）捐了800元，其中一人捐600元，600元恰好是5人捐款数额的中位数，那么其余两人的捐款数额分别是___________．

【答案】        500，700或600，600．

13. （浙江温州）如图，点在射线上，点在射线上，且，．若，的面积分别为，则图中三个阴影三角形面积之和为_____________．

【答案】        10.5．

14. （浙江杭州）如图，大圆的半径是小圆的直径，且有垂直于的直径．的切线交的延长线于点，切点为．已知的半径为，则__________，____________．

【答案】        ．

15. （浙江杭州）如图，一个的矩形可以用3种不同的方式分割成2或5或8个小正方形，那么一个的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数可以是__________________．

【答案】        4，7，9，12，15．

16. （上海）在中，．如果得半径为，且经过点，那么线段的长等于____________．

【答案】        3或5．

17. （山东泰安）若等腰梯形的上、下底之和为4，并且两条对角线所夹锐角为，则该等腰梯形的面积为______________．

【答案】        或．

18. （山东烟台）红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志．将宽为的红丝带交叉成角重叠在一起，则重叠四边形的面积为__________．

【答案】        ．

19. （江苏宿迁）用边长为1的正方形覆盖的正方形网格，最多覆盖边长为的正方形网格（覆盖小正方形内部一部分才算覆盖）的个数是____________．

【答案】        ．

20. （湖北荆州）关于的方程两实数根之和为，且满足，关于的不等式组有实数解，则的取值范围是____________．

【答案】        ．

21. （辽宁沈阳）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点到直线的距离为，且是直角三角形，则满足条件的点有_________个．

【答案】        ．

22. （江苏南京）如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点处安装了一台监视器，它的监控角度是．为了监控整个展厅，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器___________台．

【答案】        ．

23. （湖北黄石）若实数满足，则的最小值是___________．

【答案】        ．

24. （湖北武汉）已知菱形的边长是，点在直线上，，连接与对角线相交于点，则的值是______________．

【答案】        或

25. 如图，将矩形纸的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形，若，则边的长是_________．

【答案】        ．

【练习1】   （浙江台州中考）定义：在四边形内，到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边 距离也相等的点叫凸四边形的准内点．如图1，，，则点就是四边              形的准内点．

⑴ 如图2，与的角平分线，相交于点．求证：点是四边形的

准内点．

⑵ 分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点．（作图工具不限，不写作法，但要有必要

的说明）

⑶ 判断下列命题的真假，在括号内填“真”或“假”．

① 任意凸四边形一定存在准内点．（   ）

② 任意凸四边形一定只有一个准内点．（   ）

【解析】       ⑴ 如图2，过点作，，，，

∵平分， ∴．

同理．

∴是四边形的准内点．

⑵ 平行四边形对角线，的交点就是准内点，如图3⑴ .

或者取平行四边形两对边中点连线的交点就是准内点，如图3⑵；

梯形两腰夹角的平分线与梯形中位线的交点就是准内点．如图4.

⑶ 真；真．

【练习2】   （石景山二模）研究发现，二次函数图象上任何一点到定点和 到定直线的距离相等.我们把定点叫做抛物线的焦点，定直线                            叫做抛物线的准线.

⑴ 写出函数图象的焦点坐标和准线方程；

⑵ 等边三角形的三个顶点都在二次函数图象上，为坐标原点，求等边三     角形的边长；若正方形三个顶点、、都在二次函数图象上，                                                                      为坐标原点，在轴上，直接写出正方形对角线的长____________；

⑶ 为抛物线上的一个动点，为抛物线的焦点，为定点，求的最小值.

【解析】       ⑴ 焦点坐标为，准线方程是； 

⑵ 设等边的边长为，则，，

故点的坐标为．

把点坐标代入函数，得，

解得（舍去），或．     

∴ 等边三角形的边长为，正方形对角线的长为8．    

⑶ 如图，过作准线的垂线，垂足为，．

过作准线的垂线，垂足为，

当运动到与抛物线交点位置时，最小，

最小值为．

【练习3】   直线与轴交于点，点的横、纵坐标是方程的两个根，  点在轴上，若是直角三角形，求点的坐标．

【解析】       ∵的两根分别是，∴点坐标为或，

由题意可知，点坐标为，

①当，时，

  ，，，；

②当，时，

  ，，，．