苏科版中考数学冲刺专项第7讲.第二轮复习之中考中圆的热门考点 教师版

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每年北京中考第20题中都会对圆的基本性质的进行考察，此题第⑴主要考察切线的证明，第⑵主要考察相似和解直角三角形与圆的结合．

【例1】         如图，已知，以为直径，为圆心的半圆交于点，点为的中点，连接交于点，为的角平分线，且，垂足为点．

⑴ 求证：是半圆的切线；

⑵ 若，，求的长．

【解析】⑴证明：连接，

     ∵是直径  ∴

     有∵于  ∴

     ∵  ∴

     ∵是的角平分线

     ∴ 

     又 ∵为的中点

     ∴

     ∵于

     ∵，即

     又∵是直径，∴是半圆的切线 ．

（2）∵，．

由（1）知，，∴．

在中，于，平分，

∴，∴．

由∽，得．

∴，

∴．

【例2】         已知：如图，直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过点C作CD⊥PA，垂足为点D．

   （1）求证：CD与⊙O相切；

   （2）若tan∠ACD=，⊙O的直径为10，求AB的长．     （2013丰台二模）

【解析】（1）连结OC.                       

∵ 点C在⊙O上，OA=OC，

∴                    

∵ ，∴ ，有.

∵ AC平分∠PAE，∴                   

∴                 

∴

∵ 点C在⊙O上，OC为⊙O的半径，

∴ CD为⊙O的切线.                  

  （2）过点O作OG⊥AB于G.

∵,,∴四边形OCDG是矩形.

∴OG=CD, GD=OC.      ---------3分

∵ ⊙O的直径为10，∴OA=OC=5.∴DG=5.

∵tan∠ACD，

设AD=x, CD=2x ,则OG=2x.∴ AG=DG-AD=5- x .                        

在中，由勾股定理知

∴        解得.         

∴   .

辅助圆是平面几何的一种重要解题工具，巧妙地添加辅助圆，能够使得那些看似与圆无关的题目通过建立沟通条件和结论的联系，利用圆的性质或其它几何性质，从而通过简捷的方法把复杂的问题转化为较为简单的问题．中考中只能利用圆的定义来构造辅助圆，常见的有两种类型：一是多条等线段共端点，而是两个直角三角形共斜边．

【例3】    已知四边形，，且，，且．

求的值．

【解析】       以为圆心，以为半径作圆．延长交于点，连接

∵，

∴

∵，

∴

∴

在和中，

∴，

∴

∵是直径，

∴

在中，

，，

由勾股定理得

∴ 

【例4】    如图，四边形是正方形，是上一点，交的外角平分线于，求证：．

【解析】       连接

∵四边形是正方形，∴，

∵是外角平分线，∴，∴，

∵，∴四点共圆，

∴，∴，∴．

近年来，北京中考中对圆的考察，从分值和难度上都有相当程度的提升，其中近三年中考最后一题都是将圆放在平面直角坐标系中考察，主要考察对直线与圆各种位置关系的了解与掌握．

【例5】 如图，在平面直角坐标系中，的外接圆与轴交于点，，求的长．

【解析】       连接.∵,∴AB为直径

∵，∴．

∵，∴ ．

在中，， 

∴．

过点作于，∴ ．

∵，∴，∴．

在中，由勾股定理得．

在中，，

∴．

∴．

【例6】 如图1，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，且与轴交于另一点．

⑴ 求抛物线的解析式；

⑵ 若点在抛物线上，且与面积相等，求点的坐标；

⑶ 如图2，为外接圆上的中点，直线交轴于点，

，当绕点旋转时，交直线于点，交轴

负半轴于点．请你探究：的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变

化，求出变化范围．

【解析】（1）由直线AC的解析式可得：，；

        代入抛物线的解析式中可得：，解得；

        故抛物线的解析式为：；

       （2）易知，按题意本题分两种情况讨论：

        （I）当Q在直线AC上方的抛物线上时，和同底，若它们的面积相等，则、到直线的距离相等，即∥；

        由于抛物线的对称轴为，故；

（II）当在直线下方的抛物线上时，设直线交轴于点，则的面积为：，的面积为：；

        若两个三角形的面积相等，则有，即；

        易知直线的解析式为：，联立抛物线的解析式得：

        ，解得 或；

        故；

        综上所述，存在两个符合条件的点：或；

（3）如图，设的外接圆圆心为，连接，作，交轴于点，则；

        由于是的中点，由垂径定理知平行于轴，得：

        ，；

        则∽；

        ∴也是等腰三角形，即；

        ∴；

        ∵；

        ∴；

        又∵，；

        ∴≌；

        得；

        故；

        ∴的值不变，恒为4．

【例7】         在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“非常距离”，给出如下定义：

    若，则点与点的“非常距离”为；

    若，则点与点的“非常距离”为.

    例如：点，点，因为，所以点与点的“非常距离”为，也就是图1中线段与线段长度的较大值（点为垂直于轴的直线与垂直于轴的直线的交点）．

    （1）已知点，为轴上的一个动点，

         ①若点与点的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点的坐标；

         ②直接写出点与点的“非常距离”的最小值；

    （2）已知是直线上的一个动点，

         ①如图2，点的坐标是（0，1），求点与点的“非常距离”的最小值及相应的点的坐标；

         ②如图3，是以原点为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点与点的“非常距离”的最小值及相应的点和点的坐标．                                                                                                                                                                                     

 (2012北京)

【解析】⑴ ①或

②

⑵ ①设坐标

∴当　　此时　　∴距离为　　此时.　　

②　　∴　∴

最小值1．

【分析】从第二题第一问的作图中可以发现，过C点向x、y轴作垂线，当CP和CQ长度相等的时候“非常距离”最短，理由是，如果向下或向上移动C点到达C’点，其与点D的“非常距离”都会增大．故而C、D为正方形相对的两个顶点时有最小的非常距离．

训练1.     如图，在△ABC中，AC=BC，D是BC上的一点，且满足

∠BAD＝∠C，以AD为直径 的⊙O与AB、AC分别相交于点E、F.

 （1）求证：直线BC是⊙O的切线；

 （2）连接EF，若tan∠AEF＝，AD＝4，求BD的长.

（2013朝阳二模）

【解析】（1）证明：在△ABC中，

∵AC=BC，

∴∠ CAB = ∠B.

∵∠ CAB +∠B+∠C＝180º，

∴2∠B+∠C＝180º.

∴＝90º.

∵∠BAD＝∠C，

∴＝90º.

∴∠ADB＝90º.

∴AD⊥BC.

∵AD为⊙O直径的，

∴直线BC是⊙O的切线.

（2）解：如图，连接DF，

∵AD是⊙O的直径，

∴∠AFD = 90º.

∵∠ADC＝90º，

∴∠ADF+∠FDC＝∠CD+∠FDC＝90º.

∴∠ADF＝∠C.

∵∠ADF＝∠AEF，tan∠AEF＝，

∴tan∠C＝tan∠ADF＝.

在Rt△ACD中，

设AD＝4x，则CD＝3x.

∴

∴BC＝5x，BD＝2x.

∵AD＝4，∴x＝1.∴BD＝2.

训练2.     已知，是的平分线．将一个直角的直角顶点在射线上 移动，点不与点重合．如图，当直角的两边分别与射线、交于点、              时，请判断与的数量关系，并证明你的结论；

【解析】       与的数量关系是相等  ．

常规证法：过点作，，垂足分别为点．

∵，易得，∴，

而，∴．

∵是的平分线，∴，

又∵，∴．∴．

        辅助圆证法：∵，∴四点共圆，

        ∵平分，∴，

∴．

训练3.     已知：如图，在直角坐标系中，经过坐标原点，分别与轴正半轴、 轴正半轴交于点、．设的内切圆的直径为，              求的值．

（朝阳初三期末）

【解析】       设的内切圆与、、分别切于点、、，

且半径为．

∵，，，

∴．

∴，

，．

∴．                                

解得．

∴．

题型一  圆中的计算 巩固练习

【练习1】   如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交    AC于点D，过点D作⊙O 的切线交BC于点E．

    （1）求证：点E为BC中点；

    （2）若tanEDC=，AD=，求DE的长．

【解析】 (1)连结OD，

     ∵AB为直径，∴∠ADB=90°，又∠ABC=90°，

     ∴BC是⊙O切线        

     ∵DE是⊙O切线

     ∴BE=DE，

     ∴∠EBD=∠EDB，

     ∵∠ADB=90°，∴∠EBD+∠C=90°，∠EDB+∠CDE=90°，∴∠C=∠EDC，

     ∴DE=CE，

     ∴BE=CE.            

    (2) ∵∠ABC=90°，∠ADB=90°，

      ∴∠C=∠ABD=∠EDC，

      Rt△ABD中，DB=，

      Rt△BDC中，BC=，

      又点E为BC中点，∴=3  

题型二  辅助圆  巩固练习

【练习2】   如图，正方形的中心为，面积为，为正方形内一点，且      ，，求的长．

【解析】 连接，

∵是正方形，∴，，

∵，∴四点共圆，

∴．

在中，，

∴，

设，

则，

解得，∴，

∴．

题型三  坐标系中圆  巩固练习

【练习3】   如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC，∠ABC=2∠BAC，

弦BE交AC于点D，连接AE，若，点C坐标

是（a，0），点F坐标是（0，b）．

⑴请你写出圆心O的坐标（     ，    ）；（用含a，b

的代数式表示）

⑵求线段BD的长．

（通州初三期末）

【解析】       ⑴  

⑵ ∵，∴

∵，∴

∴

∵，，

∴∽，

∴，

∴，

∴，  

∵点坐标是（，0），

设的长为

∴

∵

∴∽

即  

∴

解之得：

∴的长为