苏科版中考数学冲刺专项第2讲.第二轮复习之图形变换与动手操作 教师版

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【例1】         阅读下面材料：

        小伟遇到这样一个问题：如图1，在梯形中，，对角线、相交于点．若梯形的面积为1，试求以、、的长度为三边长的三角形的面积．

        小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可，他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题．他的方法是过点作的平行线交的延长线于点，得到的即是以、、的长度为三边长的三角形（如图2）．

        请你回答：图2中的面积等于________．

    参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：

    如图3，的三条中线分别为、、．

    ⑴ 在图3中利用图形变换画出并指明以、、的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；

    ⑵ 若的面积为1，则以、、的长度为三边长的三角形的面积等于________．

（2011北京）

【解析】的面积等于     1    .

 ⑴ 如图.

以、、的长度为三边长的一个三角形是.

 ⑵ 以、、的长度为三边长的三角形的面积等于.

【例2】         阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：

我们定义: 如果一个图形绕着某定点旋转一定的角度 (0 < <360) 后所得的图形与原图形重合，则称此图形是旋转对称图形. 如等边三角形就是一个旋转角为120的旋转对称图形. 如图1，点O是等边三角形△ABC的中心, D、E、F分别为AB、BC、 CA的中点, 请你将△ABC分割并拼补成一个与△ABC面积相等的新的旋转对称图形.

          图1                           图2

小明利用旋转解决了这个问题，图2中阴影部分所示的图形即是与△ABC面积相等的新的旋转对称图形.

请你参考小明同学解决问题的方法，利用图形变换解决下列问题：

    如图3，在等边△ABC中, E1、E2、E3分别为AB、

BC、CA 的中点，P 1、P2,  M 1、M2,  N1、N2分别为

AB、BC、CA的三等分点. 

      （1）在图3中画出一个和△ABC面积相等的新的旋转

           对称图形，并用阴影表示（保留画图痕迹）；

      （2）若△ABC的面积为a，则图3中△FGH的面积           为           ．        （2012海淀二模）                 

【解析】（1）画图如下：

    （2）图3中△FGH的面积为.   

动手操作分为：1、立体图形及展开图；2、骰子问题；3、折纸问题；4、图形的分割；5、图形的剪拼.

【例3】         ⑴如图，已知MN是圆柱底面直径，NP是圆柱的高.在圆柱的侧面上，

过点M、P嵌有一圈路径最短的金属丝.现将圆柱侧面沿NP剪开，

所得的侧面展开图是（    ）

 A.                   B.                     C.                   D.

⑵在二行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子(相对面上分别标有1点和6点，                                                                       2点和5点，3点和4点)，在每一种翻动方式中，骰子不能后退．开始时骰子如图                                                                                    ①那样摆放，朝上的点数是2；最后翻动到如图②所示的位置，此时骰子朝上的点                                                                                    数不可能是下列数中（ ）

A．5             B．4                     C．3               D．1

⑶ 如图，矩形纸片中，，将纸片折叠，使顶点落在边上的点为，折痕的一端点在边上，另一端F落在矩形的边上，．

①请你在备用图中画出满足条件的图形；

②求出折痕的长为                    ．

【解析】       ⑴ ；（）.

⑵ ①正确画出图⑴、图⑵

②或.

情况一：如图⑴，当点在上时，过点作，则四边形为矩形，

∴，，设，

由图形的折叠可知，

∴，，

在中，由勾股定理，得，∴．

∵，，

∴

解方程，得 ∴，

∵，∴

情况二：如图⑵,当点在边上时，因为四边形由四边形折叠得到，

由折叠可知，，，，

∵，∴，∴，

∴，∴,∴四边形为平行四边形

又∵，∴平行四边形为菱形

连结，与        互相垂直平分，

在中，，，

由勾股定理可得，∴，

∴，∴，

∴.

【例4】         ⑴在中，沿着中位线一刀剪切后，用得到的和四边形可以拼成平行四边形，剪切线与拼图如图所示，仿上述的方法，按要求完成下列操作设计，并画出图示．

①在中，增加条件               ，沿着                 

一刀剪切后可以拼成矩形；

②在中，增加条件               ，沿着               

一刀剪切后可以拼成菱形；

③在中，增加条件               ，沿着              

一刀剪切后可以拼成正方形；

④在中，一刀剪切后也可以拼成等腰梯形，首先要确定剪切线，其操作过程（剪切线的作法）是：                                ．                           

⑵在中，，边上的高，沿图中线段、

将剪开，分成的三块图形恰能拼成正方形，如图⑴所

示．请你解决如下问题：

在中，，边上的高．请你设计两种不同的分割方法，将 沿分割线剪开后，所得的三块图形恰能拼成一个正方形，请在图⑵、图⑶中，画出分割线及拼接后的图形．                           

【解析】       ⑴ ①方法一：，中位线，如图⑴．

方法二：，中线（或高），如图⑵．

②（或者，），中位线，如图⑶．　

③方法一：且，中位线，如图⑷．

方法二：且，中线（或高），如图⑸．

④方法一：不妨设，在边上取一点，作交于，过的中点作交于，则为剪切线．如图⑹

方法二：不妨设，分别取、的中点、，过、作的垂线，、为垂足，在上截取，连结，则为剪切线．如图⑺

方法三：不妨设，作高，在上截取，连结，过的中点作交于，则为剪切线．如图⑻

⑵ 答案如下图：

【例5】         阅读下列材料：

小明遇到一个问题：如图，正方形中，、、、分别是、、和边上靠近、、、的等分点，连结、、、，形成四边形．求四边形与正方形的面积比（用含的代数式表示）．

小明的做法是：先取，如图，将绕点顺时针旋转至，再将绕点逆时针旋转至，得到个小正方形，所以四边形与正方形的面积比是；然后取，如图，将绕点顺时针旋转至，再将绕点逆时针旋转至，得到个小正方形，所以四边形与正方形的面积比是，即；……

请你参考小明的做法，解决下列问题：

⑴在图中探究时四边形与正方形的面积比（在图上画图并直接写出结果）；

⑵图是矩形纸片剪去一个小矩形后的示意图，请你将它剪成三块后再拼成正方形（在图中画出并指明拼接后的正方形）．

【解析】       ⑴ 四边形与正方形的面积比是.  

⑵ 如图所示：

【例6】         操作探究：

一动点沿着数轴向右平移5个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移3个单位．用实数加法表示为 5+（）=3．

    　　若平面直角坐标系xOy中的点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，平移个单位），沿y轴方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移个单位），则把有序数对{a，b}叫做这一平移的“平移量”．规定“平移量”{a，b}与“平移量”{c，d}的加法运算法则为．

  （1）计算：{3，1}+{1，2}；

  （2）若一动点从点A（1，1）出发，先按照“平移量”{2，1}平移到点B，再按照“平移量”

{-1，2}平移到点C；最后按照“平移量”{-2，-1}平移到点D，在图中画出四边形ABCD，并直接写出点D的坐标；

（3）将（2）中的四边形ABCD以点A为中心，顺时针旋转90°，点B旋转到点E，连结AE、BE若动点P从点A出发，沿△AEB的三边AE、EB、BA平移一周． 请用“平移量”加法算式表示动点P的平移过程．

 （2013丰台二模）

【解析】（1）{4，3}．

    （2）①画图

         ②D(0，3).

   （3）{1，-2}+{1，3}+{-2，-1}．

【例7】         如图1，四边形ABCD中，、为它的对角线，E为AB边上一动点（点E不与点A、B重合），EF∥AC交BC于点F，FG∥BD交DC于点G，GH∥AC交AD于点H，连接HE．记四边形EFGH的周长为，如果在点的运动过程中，的值不变，则我们称四边形ABCD为“四边形”， 此时的值称为它的“值”．经过探究，可得矩形是“四边形”．如图2，矩形ABCD中，若AB=4，BC=3，则它的“值”为           ．

（1）等腰梯形                   （填“是”或 “不是”）“四边形”；

（2）如图3，是⊙O的直径，A是⊙O上一点，，点为上的一动点，将△沿的中垂线翻折，得到△．当点运动到某一位置时，以、、、、、中的任意四个点为顶点的“四边形”最多，最多有    个．

（2013海淀二模）

【解析】 “值”为10．

    （1）是；

    （2）最多有5个．

训练1.             ⑴将如右图所示的圆心角为的扇形纸片围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径与重合(接缝粘贴部分忽略不计)，则围成的圆锥形纸帽是（   ）

⑵如图是一个等腰直角三角形纸片，按图中裁剪线将这个纸片裁剪成三部

分．请你将这三部分小纸片重新分别拼接成：(1)一个非矩形的平行四边形；    

(2)一个等腰梯形；(3)一个正方形．请画出拼接后的三个图形．

【解析】       ⑴B. ⑵

训练2.             图⑴、图⑵均为的正方形网格，点、、在格点上.

⑴在图⑴中确定格点，并画出以、、、为顶点的四边形，使其为轴对称图形.（画一个即可）

⑵在图⑵中确定格点，并画出以、、、为顶点的四边形，使其为中心对称图形.（画一个即可）

（吉林长春）

【解析】       ⑴ 有以下答案供参考：

⑵ 有以下答案供参考：

训练3.             ⑴图⑴是一个八角星形纸板，图中有八个直角，八个相等的钝角,每条边都相等.如图⑵将纸板沿虚线进行切割，无缝隙无重叠的拼成图⑶所示的大正方形,其面积为，则图⑶中线段的长为       .                                                      

（海淀二模）

⑵如图⑶，在的网格中有一个正方形，把正方形的各边三等分，分别以居中那条线段为斜边向外作等腰直角三角形，去掉居中的那条线段，得到图⑷，请把图⑷中的图形剪拼成正方形，并在图⑷中画出剪裁线，在图⑸中画出剪拼后的正方形．                 

（石景山一模）

【解析】       ⑴.

⑵ 如图所示：

【练习1】   已知，．如图1所示，取三边中点，可

以把分割成四个等腰三角形．请你在图2中，用另外四种不同的方法把分割成四个等腰三角形，并标明分割后的四个等腰三角形的底角的度数（如果经过变换后两个图形重合，则视为同一种方法）.  

（海淀二模）

【解析】       分割为等腰三角形常用方法:

①角分线+平行线.如图⑴和图⑵  

②直角三角形+斜边中线.如图⑶(和图⑴)  

③顶角为特殊角度的等腰三角形可以无限分割成和为底角的等腰三角形.如图⑷

④知一等腰三角形，做此三角形的对称轴，然后再去分割.如图⑸

【练习2】   现场学习题

问题背景：在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．

小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1)，再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图⑴所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．

⑴请你将的面积直接填写在横线上．________

思维拓展：

⑵我们把上述求面积的方法叫做构图法．若三边的长分别为、、 ，请利用图⑵的正方形网格(每个小正方形的边长为)画出相应的，并求出它的面积是：            ．

探索创新：

⑶若三边的长分别为、、 ，请运用构图法在图⑶指定区域内画出示意图，并求出的面积为：        ．

【解析】       ⑴ ．         　　　　　　　　　　　

⑵ 面积：．

⑶ 面积：．

【练习3】   在如图1中，正方形的边长为，等腰直角三角形

的斜边，且边和在同一直线上．

操作示例：当时，如图1，在上选取点，使，连结和，裁掉和并分别拼接到和的位置构成四边形．

思考发现：小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将绕点逆时针旋转到的位置，易知与在同一直线上．连结，由剪拼方法可得，故，从而又可将绕点顺时针旋转到的位置．这样，对于剪拼得到的四边形（如图1），过点作于点（图略），利用公理可判断，易得，．进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形是正方形．

实践探究：⑴ 正方形的面积是__________；（用含，的式子表示）

⑵ 类比图1的剪拼方法，请你就如图2至如图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．

联想拓展：小明通过探究后发现：当时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点的位置在方向上随着的增大不断上移．

⑶ 当时，如图5的图形能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图中画出剪拼的示意图；若不能，简要说明理由．

【分析】       抓住新正方形的边长为，结合四边形为正方形及给出的图１中的作法，只需满足，由全等三角形即可得出和互相垂直平分且相等．再按照提示方法可以证明四边形为正方形．

【解析】       ⑴ ；　⑵ 剪拼方法如图2至图4． 

⑶ 能；剪拼方法如图5（图中）．先沿剪一刀，将拼接到；再沿剪一刀，将拼接到即可．